2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
2.2 Vấn đề không gian con bất biến
Bài toán không gian con bất biến là bài toán của lý thuyết các toán tử tuyến tính trong phạm trù các không gian Banach. Cho không gian Banach X và một toán tử tuyến tính liên tục T từ X vào chính nó. Một không gian con đóng M của X gọi là một không gian con bất biến của
T nếu T(M) ⊂ M. Một không gian con bất biến M của T gọi là không tầm thường nếu X 6= M 6= {θ}. Đã biết rằng tồn tại các toán tử tuyến tính liên tục T trên một không gian BanachX chỉ có các không gian con bất biến tầm thường. Năm 1973 nhà toán học Nga Lomonosov đã chứng minh sự tồn tại các không gian con bất biến không tầm thường của các toán tử tuyến tính liên tục trên một không gian Banach X giao hoán
với một toán tử tuyến tính compact khác không trên X. Chứng minh sự kiện này khá đơn giản và định lý điểm bất động Schauder-Tychonoff đóng vai trò cốt yếu. Sau đây là một số ký hiệu và định nghĩa cần thiết cho mục này.
Cho (X,kk) là không gian Banach, ký hiệu L(X) chỉ tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào chính nó. Nếu T ∈ L(X) thì
kTk = sup{kT xk : kxk ≤ 1} là một chuẩn trên L(X). Ký hiệu B(x, r)
chỉ hình cầu đóng tâm tại x, bán kính r trong không gian Banach X. 2.2.1 Định nghĩa:Cho X là không gian Banach. Không gian con bất biến không tầm thường M của T ∈ L(X) gọi là siêu bất biến nếu nó bất biến với mọi toán tử S ∈ L(X) giao hoán với T ( nghĩa là T S = ST , trong đó ký hiệu ST chỉ phép hợp S ◦T của các ánh xạ S và T).
Nhận xét :NếuT ∈ L(X)là toán tử khác vô hướng (nghĩa làT 6= αI, trong đó α là một vô hướng, I là toán tử đồng nhất) và T có giá trị riêng
λ thì không gian con riêng M ứng với giá trị riêng λ là không gian con siêu bất biến của T. Thực vậy, nếu S ∈ L(X) giao hoán với T thì với mọi x ∈ M ta có:
λSx = S(λx) =S(T x) = T(Sx)
do đó Sx ∈ M và M là không gian con bất biến của S.
2.2.2 Định lý ( Lomonosov). Giả sử X là không gian Banach thực vô hạn chiều và T ∈ L(X) là một toán tử khác vô hướng giao hoán với toán tử compact khác không S ∈ L(X). Khi đó T có một không gian con siêu bất biến.
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng nếu S là toán tử compact và λ 6= 0 là một giá trị riêng của S thì không gian con riêng
F = {x ∈ X : Sx = λx}là không gian hữu hạn chiều. Thực vậy, thu hẹp
S|F của S lên không gian con đóng F là một toán tử vô hướng trên F. Vì S compact nên S|F cũng là toán tử compact. Nhưng một toán tử vô
hướng trên không gian Banach F là toán tử compact khi và chỉ khi F
là không gian hữu hạn chiều.
Giả sử trái lại rằng T không có không gian con siêu bất biến. Gọi A là tập tất cả các toán tử thuộcL(X)giao hoán vớiT. Khi đóAlà một đại số khác rỗng. Với mỗi x ∈ X\ {θ} đặt Y(x) = {U x : U ∈ A}. Dễ thấy rằng
Y(x) là một không gian con đóng khác {θ} của X và bất biến với mọi toán tử T0 ∈ L(X) giao hoán với T. Bởi vì T không có không gian con siêu bất biến thìX = Y(x). Nếu cần nhân với một vô hướng thích hợp, ta có thể coi kSk ≤ 1mà không làm giảm tính tổng quát. Chọn x0 ∈ X sao cho kSx0k > 1 ( điều này kéo theo kx0k > 1 ) và đặt B = B(x0,1). Nếu
x ∈ S(B) thì x =6 θ vì: kSx−Sx0k = kS(x−x0)k ≤ kSk kx−x0k ≤ 1,
kSx0k > 1 → kSxk ≥ kSx0k − kSx−Sx0k > 0
Với mỗi x ∈ S(B) tìm được toán tử T0 ∈ A sao cho kT0x−x0k < 1
do X = Y(x). Do đó với mỗi x ∈ S(B) có một lân cận mở Vx sao cho T0(Vx) ⊂ B với một T0 nào đó thuộc A. Do tính compact của tập
S(B), tồn tại phủ hữu hạn V1, .., Vn và các toán tử T10, .., Tn0 ∈ A sao cho
Tj0(Vj) ⊂ B (∀j = 1, .., n). Giả sử φ1, .., φn là phân hoạch đơn vị của
S(B) phù hợp với phủ mở {V1, .., Vn} và đặt: f(x) = n X j=1 φj(Sx)Tj0(Sx) (∀x ∈ B)
Khi đó f ánh xạ liên tục hình cầu đóng B vào chính nó. Vì các ánh xạ Tj0S là các ánh xạ compact với mọi j, dễ thấy rằng f(B) là compact tương đối trong X. Theo định lý 1.3.11 (Schauder-Tychonoff) tồn tại
x∗ ∈ B sao cho f(x∗) = x∗. Ta định nghĩa một toán tử T ∈ A bởi công thức: T = n X j=1 φj(Sx∗).Tj0
Khi đó ta có (T S)(x∗) = T(Sx∗) = x∗. Nhưng T S là toán tử compact, do đó không gian con riêng F của T S ứng với giá trị riêng 1 phải là
không gian con hữu hạn chiều theo nhận xét ở đầu chứng minh. Vì T S
giao hoán với T nên F là không gian con bất biến ( khác không gian con không) của T. Vì X là không gian Banach thực vô hạn chiều nên
F 6= X. Vậy F là không gian con siêu bất biến của T, trái với giả thiết phản chứng.
Nhận xét: 1) Phép quay góc α 6= nπ ( n là số nguyên) trong mặt phẳng thực R2 rõ ràng là toán tử tuyến tính chỉ có các không gian con bất biến tầm thường. Vì trong không gian hữu hạn chiều mọi toán tử tuyến tính đều compact nên định lý Lomonosov không còn đúng với các không gian Banach thực hữu hạn chiều.
2) Định lý Lomonosov vẫn còn đúng đối với các không gian Banach phức vô hạn chiều, bởi vì một không gian Banach phức X có thể xem là một không gian Banach thực khi chỉ xét các phép nhân với số thực, đồng thời một toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Banach phức
X vẫn còn là tuyến tính liên tục nếu xét X như một không gian Banach thực. Sự khác biệt là ở chỗ: đối với các không gian Banach phức có số chiều hữu hạn ≥ 2 mọi toán tử tuyến tính đều có không gian con bất biến không tầm thường.