2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
2.4 Lý thuyết trò chơi và điểm cân bằng Nash
Chúng ta xét một trò chơi gồm n ≥ 2 người chơi với giả thiết là các người chơi bất hợp tác. Mỗi người chơi theo đuổi một chiến lược độc lập với các chiến lược của những người chơi khác. Ký hiệu tập tất cả các chiến lược có thể của người chơi thứk làKk và đặt K = K1×K2×..×Kn. Một phần tử x ∈ K gọi là một chiến lược hỗn hợp của n người chơi. Với mỗi k ∈ {1, .., n} giả sử fk : K →R là hàm tổn thất của người chơi thứ
k. Nếu
n
X
k=1
fk(x) = 0 (∀x ∈ K) (2.4) thì trò chơi gọi là có tổng bằng không, tức tổn thất của một số người sẽ là thu nhập của một số người khác đối với mỗi một chiến lược hỗn hợp
x của n người chơi. Mục đích của người chơi thứ k là chọn chiến lược
xk ∈ Kk làm cực tiểu hàm tổn thất fk nếu n−1 người chơi còn lại đã chọn chiến lược của mình.
2.4.1 Định nghĩa: Điểm cân bằng Nash của trò chơi bất hợp tác là một chiến lược hỗn hợp có tính chất là người chơi bất kỳ sẽ chịu tổn thất lớn hơn nếu người đó thay đổi chiến lược còn những người khác giữ nguyên chiến lược của họ. Nói cách khác, điểm cân bằng Nash là một
chiến lược hỗn hợp x = (x1, x2, .., xn) ∈ K của n người chơi có tính chất: fk(x) ≤ fk(x1, .., xk−1, xk, xk+1, .., xn) (∀xk ∈ Kk) (2.5)
với mọi k ∈ {1, .., n}.
Nhận xét: Điểm cân bằng Nash (nếu tồn tại) có thể không duy nhất. 2.4.2 Định lý ( Nash):Giả sử với mỗi k ∈ {1, .., n} tập Kk là tập con lồi, compact và khác rỗng của không gian véc tơ tô pô lồi địa phương X. Giả sử với mỗi k ∈ {1, .., n} hàm tổn thất fk là liên tục trên K. Thêm nữa, với mỗi xj ∈ Kj (j 6= k) cố định, ánh xạ :
fk(x1, .., xk−1, ., xk+1, .., xn) : Kk → R
là lồi. Khi đó tồn tại x ∈ K thỏa mãn (2.5), hay x là điểm cân bằng Nash theo định nghĩa 2.4.1.
Chứng minh. Xét hàm Φ : K ×K → R cho bởi công thức:
Φ(x, y) =
n
X
k=1
[fk(x)−fk(x1, .., xk−1, yk, xk+1, .., xn)]
Khi đó Φ liên tục và Φ(x, .) là hàm lõm với mỗi x ∈ K. Từ định lý 1.5.4 (Ky Fan) ta suy ra tồn tại x ∈ K sao cho :
sup{Φ(x, y) : y ∈ K} ≤ sup{Φ(y, y) : y ∈ K}= 0
Nói riêng, nếu ta đặt yk = (x1, .., xk−1, xk, xk+1, .., xn) với xk ∈ Kk ta nhận được:
Φ(x, yk) ≤0 (∀xk ∈ Kk,∀k ∈ {1, .., n}) (2.6) Các bất đẳng thức (2.6) tương đương với (2.5).
Với n = 2 và xét trò chơi có tổng bằng không (còn gọi là một cuộc đấu tay đôi), giả thiết của định lý 2.4.2 có thể giảm nhẹ như phát biểu trong định lý dưới đây.
2.4.3 Định lý ( von Neumann): Giả sử K1, K2 là các tập con lồi, compact và khác rỗng trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương X.
Giả sử Ψ : K1 ×K2 → R là hàm thỏa mãn:
(a) Ψ(., x2) là hàm nửa liên tục dưới và lồi với mọi x2 ∈ K2. (b) Ψ(x1, .) là hàm nửa liên tục trên và lõm với mọi x1 ∈ K1. Xét cuộc đấu tay đôi với các hàm tổn thất tương ứng là:
f1(x1, x2) = Ψ(x1, x2), f2(x1, x2) = −Ψ(x1, x2)
Khi đó tồn tại điểm cân bằng Nash x = (x1, x2) ∈ K1 ×K2
Chứng minh. Trong trường hợp này hàm
Φ : (K1 ×K2)×(K1 ×K2) →R
có dạng:
Φ((x1, x2),(y1, y2)) =−Ψ(y1, x2) + Ψ(x1, y2)
Lặp lại lý luận trong chứng minh định lý 2.4.2 (dùng định lý 1.5.4 (Ky Fan)) ta được điều phải chứng minh.
Định lý 2.4.3 thường được gọi là định lý minimax. Lý do của tên gọi này là định lý sau:
2.4.4 Định lý: Với các giả thiết như trong định lý 2.4.3 ta có:
inf x1∈K1 sup x2∈K2 Ψ(x1, x2) ≤Ψ(x1, x2) ≤ sup x2∈K2 inf x1∈K1 Ψ(x1, x2) (2.7) Chứng minh. Ta định nghĩa: g(x1) = supx2∈K2Ψ(x1, x2) và h(x2) = infx1∈K1Ψ(x1, x2)
Khi đó với mọi x1 ∈ K1, x2 ∈ K2 ta có:
h(x2) ≤ Ψ(x1, x2) ≤ g(x1) Vậy : sup x2∈K2 h(x2) ≤ inf x1∈K1 g(x1)
Mặt khác, theo định lý 2.4.3 ( von Neumann) :
h(x2) = inf
x1∈K1
Ψ(x1, x2) = Ψ(x1, x2) = sup
x2∈K2
Do đó: sup x2∈K2 h(x2) ≥ h(x2) = g(x1) ≥ inf x1∈K1 g(x1) ≥ sup x2∈K2 h(x2)
Vậy tất cả các bất đẳng thức trên thực chất là đẳng thức và ta thu được (2.7).
2.4.5 Trò chơi tay đôi với tập các chiến lược hữu hạn Chúng ta xét một trò chơi tay đôi với tập các chiến lược K1, K2 hữu hạn. Giả sử rằng người chơi thứ k(k = 1,2) lựa chọn chiến lược xk ∈ Kk với xác suất pk(xk). Ký hiệu hàm tổn thất của người chơi thứ nhất là Ψ(x1, x2)
. Tổn thất trung bình của người chơi thứ nhất là:
ΨP(p1, p2) = X
x1∈K1
X
x2∈K2
p1(x1)p2(x2)Ψ(x1, x2)
Tổn thất trung bình của người chơi thứ hai là −ΨP(p1, p2). Hàm ΨP
được xác định trên tập K1P ×K2P, trong đó :
KkP = ( pk : Kk → [0; 1] : X xk∈Kk pk(xk) = 1 ) Nếu đặt K = K1∪K2, X = `∞(K), đồng nhất K1P với tập các ánh xạ từ K vào [0;1] mà thu hẹp của chúng trên K2 bằng 0 và thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa của K1P , tương tự đồng nhất K2P với tập các ánh xạ từ K vào [0;1] mà thu hẹp của chúng trên K1 bằng 0 và thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa của K2P. Do K hữu hạn các tập K1P, K2P là com pact, lồi và khác rỗng trong `∞(K). Ta có:
Định lý : Với các ký hiệu như trên mọi trò chơi tay đôi với tập các chiến lược hữu hạn có điểm cân bằng Nash.
Chứng minh. Các tập KkP(k = 1,2) và hàm ΨP thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.4.3.
KẾT LUẬN
Bản luận văn “Các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tô pô lồi địa phương và ứng dụng” đã trình bày lại một cách hệ thống các định lý điểm bất động cơ bản trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương và một số ứng dụng trong lý thuyết các phương trình tích phân, lý thuyết các toán tử trong không gian Banach, lý thuyết trò chơi. Các định lý điểm bất động và các khẳng định liên quan được đề cập đến bao gồm: định lý Schauder – Tychonoff, định lý Markov – Kakutani, bất đẳng thức Ky Fan và định lý Kakutani – Ky Fan
Các ứng dụng chỉ ra bao gồm: định lý Schaefer về sự tồn tại điểm bất động của một lớp các toán tử compact và hệ quả; định lý điểm bất động Krasnoselskii và hệ quả; định lý Lomonosov về sự tồn tại các không gian con bất biến không tầm thường của một lớp các toán tử tuyến tính trên không gian Banach X; sự tồn tại các trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel; sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong các trò chơi bất hợp tác của lý thuyết trò chơi.
Định lý Krasnoselskii có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng. Trong bản luận văn có trình bày một cải tiến của định lý Krasnoselskii được chứng minh bởi T.A. Burton vào năm 1998 và một ví dụ áp dụng vào lý thuyết các phương trình tích phân của định lý này.
Các ứng dụng chỉ ra đã chứng tỏ tầm quan trọng của các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tô pô lồi địa phương trong toán
học lý thuyết và toán học ứng dụng. Vì vậy, bản luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán của các trường đại học khoa học và đại học sư phạm trong nước.
Tài liệu tham khảo
[Burton].
T.A. Burton. A fixed – point Theorem of Krasnoselskii. Appl. Math. Lett.Vol.11. No 1, pp 85-88,1998.
[Goebel – Kirk].
Kazimierz Goebel, W.A. Kirk. Topics in metric fixed point theory. Cambridge University Press, 1990.
[Hochstadt].
Harry Hochstadt. Integral Equations. A wiley – interscience Publi- cation. New York-London- Sydney-Toronto, 1973.
[ J. Kelley].
J. Kelley. General Topology, Van Nostrand Co., Princeton (1955). [V. Pata].
Vittorino Pata. Fixed point Theorems and applications. Di- partimento di Matematica “F.Brioschi”. Politecnico di Milano (Vittorino.pata@polimi.it.).
[ F. Wilde].
Ivan F. Wilde. Topological vector spaces. Lecture Notes. Depart- ment of Mathematics. King’s College, London.