định lý điểm bất động trong không gian nón metric

HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014... HỒ CHÍ MINH Dương Thùy Vân ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thùy Vân

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thùy Vân

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC

Chuyên ngành : Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Lời đầu tiên trong bài luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến

Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn và cung cấp đầy đủ các tài liệu để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách tốt

nhất

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

đã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại

Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt

thời gian học tập

Sau cùng tôi xin kính chúc Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại

Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và tất cả các bạn dồi dào sức khỏe, luôn đạt được nhiều thành công trong công việc cũng như trong cuộc sống Tôi xin chân thành cảm ơn

Học viên thực hiện

Dương Thùy Vân

L ỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN 3

1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón 3

1.2 Không gian nón định chuẩn 4

1.3 Định lí Krasnoselskii 7

Chương 2 ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED 10

2.1 Không gian lồi địa phương có thứ tự 10

2.2 Không gian nón định chuẩn phi Archimed 13

2.3 Các định lí điểm bất động 14

2.4 Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers 18

2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm 20

Chương 3 ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN 24

3.1 E – không gian 24

3.2 Các định lý điểm bất động trong E-không gian 26

3.3 Định lý Krasnoselskii trong E-không gian Banach 28

K ẾT LUẬN 32

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 33

LỜI MỞ ĐẦU

Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng và

hữu hiệu nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng

xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên cũng như cho nhiều mô hình Kinh tế Xã hội Lý thuyết điểm bất động hình thành từ đầu thế kỷ 20, phát triển mạnh mẽ và được hoàn thiện cho đến ngày nay Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lý Schauder về điểm

bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là các định lý quan trọng của lý thuyết điểm bất động Năm 1955 Krasnoselskii đã kết hợp hai định lý này trong định lí quan trọng về điểm bất động của ánh xạ là tổng của ánh

xạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục Định lý này đã tìm được những ứng dụng sâu

sắc trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân,…Do sự quan trọng

của định lý Krasnoselskii mà nó được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở

rộng theo nhiều hướng Hướng thứ nhất tìm cách giảm nhẹ điều kiện co và điều

kiện compact hoặc điều kiện bất biến của miền xác định Hướng mở rộng thứ hai là

mở rộng về không gian như thay không gian định chuẩn bằng không gian lồi địa phương hoặc không gian nón - định chuẩn

Không gian nón – mêtric và nón – định chuẩn được đưa vào nghiên cứu trong

những năm 1950 khi thay miền giá trị của mêtric và chuẩn thông thường là [0, )∞

bởi nón dương của một không gian có thứ tự Các không gian này tìm được các ứng

dụng quan trọng trong Giải tích số, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điểm

bất động Các kết quả về điểm bất động trong không gian nón – mêtric chủ yếu liên quan đến ánh xạ dạng co Việc tìm hiểu định lý Krasnoselskii cho không gian nón - định chuẩn và ứng dụng của nó là đề tài có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đó là lí do tôi chọn đề tài này

Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống hướng nghiên cứu định

lý Krasnoselskii trong không gian nón - định chuẩn, không gian nón – định chuẩn phi Archimed, và trong E – không gian; các ứng dụng của nó trong phương trình tích phân, phương trình hàm

Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và toàn diện hơn các kiến

thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, thấy rõ hơn

mối liên hệ giữa chúng; biết vận dụng các kiến thức đã học để học tập các vấn đề

mới và làm quen với nghiên cứu khoa học Luận văn có thể là tài liệu tham khảo “ Định lý Krasnoselskii trong không gian nón – định chuẩn” cho học viên Cao học chuyên ngành Toán Giải Tích

Luận văn có ba chương Chương 1 trình bày định lý Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn Chương 2 trình bày định Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn phi Archimed Chương 3 trình bày định Krasnoselskii trong E - không gian

Chương 1 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG

KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN 1.1 Nón và th ứ tự sinh bởi nón

Ánh xạ A : M E⊂ → được gọi là dương nếu E A(x) ≥ θ ∀ ∈ x M, x ≥ θ

Ánh xạ A tăng nếu x, y ∈ M và x ≤ y thì A(x) ≤ A(y)

Ta dễ thấy nếu A : E→ là ánh xạ tuyến tính và dương thì A là ánh xạ tăng E4) Nón liên hợp

Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của K là

( hay K – khơng gian định chuẩn)

Khơng gian nĩn định chuẩn (X, p) với tơpơ τ được kí hiệu là ( , , )X pτ

1) lim x lim p(x - x)= trong E

2) A X đóng nếu , lim x thì x A

τ ={ ⊂ G là tập đóng }

τ2là tơpơ trên X được xác định bởi họ nửa chuẩn {f p f K : ∈ *}

(X, τ2) là khơng gian vectơ tơpơ lồi địa phương Họ các tập

≤ ≤

∈ : max 1 i ( ) < , i∈ K , n N , >0 * ∈ *

i n

Lưới { }xα ⊂X hội tụ về x trong τ2nếu lim f p x( ( α −x)) 0= ∀ ∈f K*

1.2.3 Định nghĩa

Cho (E, K) là khơng gian Banach cĩ thứ tự; (X, p) là khơng gian nĩn định chuẩn, τ là một tơpơ trên X Ta nĩi

1)( , , )X pτ là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mỗi dãy { }x n ⊂ X mà

p x x hội tụ trong E thì { }x n hội tụ trong ( , , )X pτ

2)( , , )X pτ là đầy đủ theo Kantorovich nếu với mỗi dãy { }x n thỏa

Cho không gian Banach (E, . ) được sắp thứ tự bởi nón chuẩn K với

N=1:θ ≤ ≤ ⇒x y x ≤ y và (X, p) là không gian nón định chuẩn Khi đó ánh

xạ q X: →  , q(x)= ( )p x là một chuẩn trên X có những tính chất sau:

1)Tôpô τ1trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q)

2) Nếu( , , )X pτ1 là đầy đủ theo Weierstrass thì (X, q) đầy đủ

Vậy tôpô τ1trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q)

2) Lấy dãy{ }x n ⊂X sao cho

Vì (X p, , τ 1)là đầy đủ theo Weierstrass nên { }x n hội tụ trong (X p, , τ 1)và trong (X, q)

Vì (X p, , τ)là đầy đủ theo Kantorovich nên { }x n hội tụ trong (X p, , τ)hay

(X p, , τ)đầy đủ theo Weierstrass

2) Lấy dãy{ }x n thỏa

Do đó { }x n là dãy Cauchy trong (X, q) nên { }x n hội tụ trong (X, q)

Suy ra { }x n hội tụ trong(X p, , τ 1)theo bổ đề 1.2.4

Vậy (X p, , τ 1)là đầy đủ theo Kantorovich

Giả sử C là tập lồi đóng trong (X p, , τ) và S, T: C→X là hai toán tử thỏa

(i) T(x) + S(y)∈ C ∀x,y∈ C

(ii) S liên tục và S C( )là compact đối với tôpô τ

(iii) Tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục dương Q: E→E với bán kính phổ

r (Q)<1 sao cho:

( ( ) ( )) ( ) ,

p T x −T y ≤Q p x y −  ∀x y C∈

Khi đó T+S có một điểm bất động trong hai trường hợp sau:

(TH1) τ τ= 1, K là nón chuẩn, (X p, , τ 1) là đầy đủ theo Weierstrass

(TH2) τ τ= 2, ( , , )X pτ2 là đầy đủ theo Kantorovich

1 1

1 1

Trường hợp 1: K là nón chuẩn, (X p, , τ 1) là đầy đủ theo Weierstrass

Khi đó theo bổ đề 1.2.5, (X p, , τ 1) là đầy đủ theo Kantorovich

Trường hợp 2: ( , , )X pτ là đầy đủ theo Kantorovich 2

Với f K∈ *ta có f Q K ∈ * Cho n → ∞trong (2) ta có T x y( )* =x*

Chứng minh điểm bất động của T ylà duy nhất

Giả sử có điểm a thỏa T a y( ) =a Khi đó

Vì toán tử T x y( ) =T x( ) +ycó một điểm bất động duy nhất ∀ ∈y S C( )

Nên tồn tại toán tử (I T− ) : ( )− 1 S C →C

Chương 2 ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN

ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED

2.1 Không gian l ồi địa phương có thứ tự

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff thực mà tôpô của nó được xác định bởi họ nửa chuẩn{ }p i i I∈ Khi đó họ các tập có dạng như dưới đây là cơ sở lân cận của θ

Nếu K là nón thì thứ tự của E sinh bởi nón K được định nghĩa như sau

u v≤ ⇔ − ∈v u K

Ta gọi cặp (E,K) là không gian lồi địa phương có thứ tự

Nón K được gọi là nón minihedral nếu với mỗi cặp ,u v E∈ tồn tại cận trên đúng sup{u,v} Ta kí hiệu sup{u,v} là u v∨

2.1.2 B ổ đề

Nếu không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) có tính chất (E) và limu n =u,

limv n =v thì limu n∨v n = ∨u v

Chứng minh:

Nếu limu n =θ thì từ điều kiện (ii) của (E) ta có limu n+ = θ

Giả sử limu n =u, ta chứng minhlimu n+ =u+ Thật vậy,

Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) và toán tử Q : K → K

1 Ta nói toán tử Q có tính chất (Q) nếu Q(θ) = θ, Q liên tục tại θ và Q tăng

là cơ sở lân cận của θnên

(1) tương đương với điều kiện sau:

*

, 0, :o o, i( ( ( )))k n

∀ ∈ ∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈  ⇒ < (2)

2.1.4 B ổ đề

Giả sử không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ và có tính chất (E), toán tử Q có tính chất (Q) vàu D∈ 1 Khi đó

* 1

mà p là bán đơn điệu nên ta có i v D∈ 1

2) Trước tiên ta chứng minhu D∈

→∞ = đều đối với k ∈ *

Do đó {S u n( )}nlà dãy cauchy trong E nên {S u n( )}nhội tụ hay u D ∈

2) Nếu (E, K) là không gian Banach có thứ tự với tính chất (E) và Q E: →Elà toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Q)<1 thì D1 =Kvà S u( ) (≤ −I Q) ( )−1 u

Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự

1 Ta gọi p là nón_ metric trên tập X nếu ánh xạ p X X: × →Kthỏa

(i)p x y( , )=θE ⇔ =x y

(ii)p x y( , ) = p y x( , ) , ∀x y X∈

(iii)p x y( , ) ≤ p x z( , ) +p z y( , ) ∀x y z X, , ∈

Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón _ metric

Lưới { }xα hội tụ về x nếu lưới{p x x( , )α }hội tụ về θtrong E

Tập A X⊂ gọi là tập đóng nếu { }xα ⊂A, lim xα =xthì x A∈

2 Không gian nón_metric (X, p) được gọi là đầy đủ theo Kantorovich nếu với

mỗi dãy{ }x n nthỏa

(i)p x( )=θE ⇔ =x θXvớiθ θ lần lượt là phần tử không trong E và X E, X

(ii)p x( ) λ = λ p x( ) ∀ ∈ ∀ ∈ λ  , x X

(iii)p x y( + ) sup ( ), ( ) x,y X ≤ {p x p y} ∀ ∈

Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón định chuẩn phi Archimed với

tôpô được xác định bởi họ nửa chuẩn (p p i )i I∈

F X→Xlà toán tử thỏa p F x F y( ( ), ( )) ≤Q p x y ( , ) x,y X  ∀ ∈

Trong đó Q K: →Kcó tính chất (Q) và tồn tại một phần tử x o∈Xthỏa

( ( ), ( )) ( , ) x,y X

Với toán tử Q:K → Kcó tính chất (Q) và tồn tại phần tử xo∈Xsao cho

1(x , ( )o o

2)x*là điểm bất động duy nhất của F trong tập{x X p x x∈ ( , )o ∈D o}

(iv) Tồn tại phần tử x o∈Csao cho p C x( − o)⊂D1

Khi đó, F + G có điểm bất động trong C

Thật vậy, lấy lưới { }yα ⊂G C( )hội tụ về y G C∈ ( ) và đặt

Cố định i I∈ vàε > 0, lấy n onguyên dương sao cho

p p x x − < ε p p x α −xα < ∀ ε α (4)

Từ (iii) và Q liên tục ta có F liên tục

Bằng quy nạp, ta chứng minh được tính liên tục của toán tử n o( )

Do đó lim (p p x i α −x) 0 = ∀ ∈i I hay lim xα =x

Vì toán tử (I F− ) : G(C)− 1 →Clà đẳng cấu nên 1( ) ( ) 1

nếu p F x F x( ( '), ( ') 1 )≤ δ thì tồn tại một nghiệm x*của (5) thỏap x x( , ')* ≤ε

2.4.2 Định lý

Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, có tính chất (E),

int K ≠ ∅và không gian nón metric phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich Giả sử toán tử F X: →Xthỏap F x F y( ( ), ( )) ≤Q p x y ( , ) ∀x y X, ∈ , trong

đó Q K: →Kcó tính chất (Q), Q K( \{ }θ ) ⊂K\{ }θ và tồn tại x o∈Xsao cho

1( , ( ))o o

p x F x ∈D

Khi đó phương trình điểm bất động x = F(x) là ổn định theo Ulam-Hyers

tử từ C vào X Ta nói phương trình: F x1( )=F x( )là ổn định theo Ulam – Hyers đối

với những toán tử từ họ ζ nếu với mỗi ε∈int ,K ∃ ∈δ Ksao cho nếu G∈ζ và

a) Tồn tại R K: →Kmà R( )θ =θ, R liên tục tại θ và từ u≤ sup , ( ){v Q u}ta có

Khi đó phương trình điểm bất động x F x= ( )là ổn định theo Ulam – Hyers đối

với họ toán tử G thỏa:

(a)F C( ) +G C( ) ⊂C

(b) G liên tục và G C( )là tập compact

Chứng minh

Cho ε ∈int K, áp dụng định lý 2.4.2 chọn δ ∈K,sao cho nếu p y F y( − ( )) ≤δ

thì tồn tại một điểm bất động x*của F thỏa p x( *− ≤y) ε

Nếu G thỏa (a) và (b), và p G x( ( )) ≤δ ∀ ∈x Cthì phương trình x F x= ( ) +G x( )

có nghiệm( theo định lý 2.3.3)

Với nghiệm x' bất kỳ của phương trình này, ta có p x F x( ' − ( ')) ≤δ

Do đó theo định lý 2.4.2, tồn tại một điểm bất động x*của F thỏa

*

p x −x ≤ε

2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm

Cho tập T ≠ ∅ Kí hiệuE =  là không gian lồi địa phương của tất cả các T

hàmu T → : , tôpô của nó được xác định bởi họ nửa chuẩn p u t( ) = u t t T( ) , ∈

Khi đó lưới { }uα ⊂Ehội tụ về u nếu lim ( )u tα =u t( ) ∀ ∈t Tvà E là đầy đủ Trong E ta xét nón K các hàm không âm Nón K là nón minihedral, với

→∞ = trong E đều đối với k ∈ *

Cho ( , )Y Y là không gian Banach phi Archimed và X Y= Tlà không gian vectơ các hàm x T: →Y

Hay p x y( + ) sup ( ), ( ) ≤ {p x p y }trong E

Do đó p là nón định chuẩn phi Archimed trên X

Tôpô của (X, p) được xác định bởi họ nửa chuẩn(p p t )t T

Hay lim ( )x tα =x t( )trong Y với ∀ ∈ t T

Rõ ràng (X, p) là đầy đủ theo nghĩa thông thường, do đó, đầy đủ theo nghĩa Kantorovich

Áp dụng hệ quả 2.3.2, ta có kết quả sau

Trong đóQ K: →K là tăng và liên tục tại θ,Q( )θ = θ

Hơn nữa, giả sử tồn tại u o∈Kvà x o∈Xthỏa

Từ định nghĩa tôpô của E ta thấy nếuV ⊂Klà tập compact thì

( )g ∀ ∈t T,tập Y t =g({t} Y × m)là compact tương đối trong Y

Từ ( )g1 và sự hội tụ trong (X, p) là tương đương với sự hội tụ theo từng điểm,

Chương 3 ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN

được gọi là không gian tuyến tính có thứ tự

4) Không gian tuyến tính có thứ tự E mà ( , )E ≤ là một dàn gọi là không gian Riesz hay dàn tuyến tính Khi đó ta định nghĩa x x= ++x− với x+ =sup{ ,0}x ,

sup{ ,0}

x− = −x

5) Nếu x n là dãy giảm và inf{ }x n =x thì ta ký hiệu x n ↓x

6) Không gian Riesz E là Archimedean nếu 1x 0

n ↓ đúng cho mọi x∈E+ trong

đó E+ ={x∈E x: ≥0} là nón dương của E

7) Không gian Riesz E đầy đủ theo thứ tự nếu mỗi tập con khác trống của E bị

chặn trên thì có sup (tương đương với mỗi tập con khác trống của E bị chặn dưới thì

3.1.3 Định nghĩa

Cho E, F là hai không gian Riesz và f E: →F

Hàm f gọi là liên tục theo thứ tự (hay o-liên tục) Nếu o→

Bộ ba ( , , )X d E được gọi là E-không gian metric

E-không gian metric là tổng quát hóa khái niệm không gian metric

3.1.6 Định nghĩa

Cho ( , , )X d E là E-không gian metric

1) Dãy { }x n n trong X là E-hội tụ về x∈E, ta viết d E,

n

x →x, nếu tồn tại dãy

{ }a n n trong E sao cho a n ↓ 0 và d x x( n, )≤a n ∀ ∈ n

1) Cho ( , , )X d E là E-không gian metric Dãy { }x n trong X được gọi là E-Cauchy

nếu tồn tại dãy { }a n n trong E sao cho a n ↓ 0 và d x x( n, n p+ ) ≤a n ∀ ∈ n và *

p∈ 

2) E-không gian metric X được gọi là E-đầy đủ nếu mỗi dãy E-Cauchy trong X

là E-hội tụ về một phần tử của X

Nếu ∃ >a 0,a∈E: ( , )d x y ≤ ∀a ,x y∈A thì A được gọi là tập E-bị chặn

3.2 C ác định lý điểm bất động trong E-không gian

Trong phần này chúng ta đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm

bất động của ánh xạϕ−co trong E-không gian metric bằng cách sử dụng cấu trúc dàn và mối quan hệ thứ tự của không gian Riesz E