một số định lí điểm bất động trong không gian nón metric

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Nguyn Cụng Anh MT S NH L IM BT NG TRONG KHễNG GIAN NểN-METRIC LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh - 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Nguyn Cụng Anh MT S NH L IM BT NG TRONG KHễNG GIAN NểN-METRIC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS NGUYN BCH HUY Thnh ph H Chớ Minh - 2012 Li cm n Tụi xin dnh nhng dũng u tiờn ca lun by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc n PGS.TS Nguyn Bớch Huy, l ngi Thy ó ch dy tn tõm v nhit tỡnh vic nghiờn cu khoa hc, l ngi Cha luụn ng viờn, giỳp tụi cú nim tin v ngh lc hon thnh lun ny Bờn cnh ú, tụi xin gi li cm n chõn thnh ti tt c cỏc Thy, Cụ ang ging dy Khoa Toỏn Tin hc, Trng i Hc S Phm Thnh Ph H Chớ Minh ó tn tỡnh giỳp , truyn t nhng kin thc b ớch cho tụi sut khúa hc Tụi xin cm n ban lónh o v chuyờn viờn phũng khoa hc cụng ngh sau i hc, ban ch nhim khoa Toỏn -Tin trng HSP TPHCM ó to thun li cho chỳng tụi c khúa hc Tụi cng rt cm n cỏc bn, cỏc anh ch hc viờn khúa 19, 20, 21 ó cựng tụi chia s bun vui, nhng khú khn sut quỏ trỡnh hc Cui cựng tụi xin dnh trn tm lũng bit n ca mỡnh i vi nhng ngi thng yờu gia ỡnh nh b m, cỏc anh, cỏc em Nhng ngi ó luụn ng viờn tinh thn v l ch da cho tụi v mi mt Tp.HCM, Ngy 30 thỏng 03 nm 2012 Hc viờn Nguyn Cụng Anh Mc lc Mc lc Li m u im bt ng khụng gian nún mờtric 1.1 Khụng gian nún mờtric 1.2 im bt ng ca ỏnh x dng co 16 1.3 im bt ng chung 22 1.3.1 im bt ng chung ca ỏnh x dng co 22 1.3.2 im bt ng chung cho cỏc ỏnh x tng thớch yu 26 1.3.3 im bt ng chung ca nhng ỏnh x gión khụng gian nún mờtric 31 1.4 im bt ng ca mt s ỏnh x khụng gión 42 1.4.1 nhxc-khụng gión 42 1.4.2 Mt s nh lý ỏnh x co m rng 45 1.5 nh lý Kirk-Caristi 53 im bt ng khụng gian nún -chun 59 2.1 Mt nh lý im bt ng kiu Krasnoselskii khụng gian nún chun 59 2.2 o phi compac vi giỏ tr nún v ng dng 63 Ti liu tham kho 67 Danh sỏch cỏi ti liu 68 Li m u Lý thuyt im bt ng i t nhng nm 1920 v c phỏt trin mnh m cho n tn hụm Nú l cụng c chớnh chng minh s tn ti v nht nghim ca nhiu lp phng trỡnh xut phỏt t Toỏn hc v khoa hc Cỏc nh lý im bt ng khụng gian vi mờtric l mt ỏnh x nhn giỏ tr mt nún ca khụng gian vect c bt u nghiờn cu t nhng nm 1950 phc v vic nghiờn cu cỏc phng trỡnh vi phõn v quỏ trỡnh tớnh toỏn gn ỳng Nhng nm gn õy vic nghiờn cu cỏc im bt ng khụng gian nún mờtric c quan tõm tr li vi hng chc bi bỏo v ti ny c cụng b Rt nhiu nh lý v im bt ng ca ỏnh x khụng gian mờtric thụng thng ó c m rng cho khụng gian nún -mờtric Vic h thng li cỏc kt qu lnh vc ny l cn thit cú mt cỏi nhỡn tng quan v cỏc kt qu ó t c Ni dung lun bao gm 02 chng: Chng 1: Trỡnh by cỏc khỏi nim ca khụng gian nún -mờtric, t ú a cỏc nh lý im bt ng khụng gian nún mờtric ca ỏnh x co, ỏnh x khụng gión ng thi trỡnh by cỏc nh lý im bt ng chung ca ỏnh x dng co, ỏnh x tng thớch yu, ỏnh x gión khụng gian nún -mờtric V cui cựng trỡnh by nh lý Kirk -Caristi Chng 2: Trỡnh by nh lý im bt ng kiu Krasnoselskii khụng gian nún chun o phi compac vi giỏ tr nún v ng dng Tuy nhiờn, thi gian v iu kin nghiờn cu cú hn, dự ó ht sc c gng nhng lun cng khụng trỏnh nhng sai sút ngoi ý mun Do ú, tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp, phờ bỡnh, xõy dng ca cỏc thy cụ v cỏc bn tham kho ti ny Chng im bt ng khụng gian nún mờtric 1.1 Khụng gian nún mờtric Lý thuyt im bt ng i t nhng nm 1920, phỏt trin rt mnh m v ó tr thnh trung tõm ca cỏc hot ng nghiờn cu gn õy Nú cú ng dng rng rói nhiu lnh vc khỏc nh h thng iu kin tng thớch khụng tuyn tớnh, bi toỏn c lng tham s, lnh vc tớnh toỏn v gii mó Gn õy, Huang v Zhang ó a khỏi nim khụng gian nún mờtric, thay th hp nhng s thc bng khụng gian Banach cú th t v ó thu c nhng nh lý im bt ng cho cỏc ỏnh x tha cỏc iu kin co T ú, vic nghiờn cu nh lý im bt ng khụng gian ny c nhiu nh toỏn hc quan tõm v phỏt trin m rng xem xột c th, trc tiờn ta a nh ngha khụng gian nún mờtric cng nh cỏc khỏi nim khụng gian ú 1.1.1 nh ngha: Cho E l khụng gian Banach thc v P l ca E Tp P c gi l nún nu tha: (i) P úng, khỏc rng v P {0} (ii) a, b ẻ R, a, b 0, x, y ẻ P thỡ ax + by ẻ P (iii) x ẻ P v - x ẻ P thỡ ax + by ẻ P V ta xỏc nh quan h th t sau: x Ê y v ch y - x ẻ P Ký hiu x < y nu x Ê y v x y x y nu y - x ẻ intP 1.1.2 Mnh : Gi s Ê l th t E sinh bi nún P Khi ú: x Ê y,0 Ê a Ê b thỡ ax Ê by x Ê y ị x + z Ê y + z , l x Ê l y (" z ẻ X , " l 0) ( xn Ê yn (n ẻ N * ),lim xn = x,lim yn = y ) ị x Ê y Nu {xn } l dóy tng, hi t v x thỡ xn Ê x" n ẻ N * Chng minh: 1.Hin nhiờn Hin nhiờn Suy t tớnh úng ca nún P Vỡ {xn } l dóy tng nờn xn Ê xn +m Ly gii hn m đ Ơ bờn ta cú iu phi chng minh 1.1.3 Mnh : Cho P l nún, x ẻ P, a ẻ R,0 Ê a < 1, x Ê ax thỡ x=0 Chng minh: Ta cú: Nu x Ê ax ị ax - x = (a - 1) x ẻ P Mt khỏc x ẻ P v Ê a < ị (1 - a ) > nờn (1 - a ) x ẻ P Vy theo nh ngha 1.1, ta cú iu phi chng minh 1.1.4 nh ngha: Nún P c gi l nún chun nu tn ti K > cho " x, y ẻ E : Ê x Ê y ị || x ||Ê K || y || S dng K nh nht tha iu kin trờn c gi l hng s chun ca nún P 1.1.5 Mnh Gi s Ê l th t sinh bi nún chun Khi ú: Nu u Ê v thỡ on < u , v >= : {x ẻ X : u Ê x Ê v} b chn theo chun Nu xn Ê yn Ê zn (n ẻ N * ) v lim xn = a,lim zn = a thỡ lim yn = a Nu {xn } n iu, cú dóy hi t v a thỡ lim xn = a Chng minh: " x ẻ < u , v >ị Ê x - u Ê v - u ị || x - u ||Ê K || v - u ||ị || x ||Ê|| u || +K || v - u || Ê yn - xn Ê zn - xn ị || yn - xn ||Ê K || zn - xn || Ta gi s {xn } l dóy tng v lim xnk = a Vỡ " n, xn Ê xnk ( vi k ln) nờn kđ Ơ xn Ê a Cho e > v chn k0 || xnk - a ||< e thỡ ta cú: N " n > nk0 ị a - xn Ê a - xnk ị || a - xn ||Ê k || a - xnk ||< e 0 1.1.6 nh ngha Nún K c gi l nún chớnh quy nu mi dóy tng, b chn trờn thỡ hi t Tc l nu dóy {x}n tha x1 Ê x2 Ê Ê y ẻ E thỡ tn ti x thuc E lim || xn - x ||= nđ Ơ V nh ngha ny tng ng vi nún P l nún chớnh quy nu mi dóy gim, b chn di thỡ hi t 1.1.7 Mnh Nún chớnh quy l nún chun Chng minh Gi s K l nún chớnh quy nhng khụng l nún chun Khi ú: " n ẻ N * , $ xn , yn : Ê xn Ê yn ,|| xn ||> n || yn || xn y , = n thỡ || xn || || xn || t un = Ê un Ê ,|| un ||= 1,|| ||< Ơ Vỡ || v n n =1 n2 Ơ ||< Ơ nờn tn ti v := n =1 Dóy sn := u1 + u2 + + un tng, b chn trờn (bi u) nờn hi t Suy lim un = (vụ lý) 1.1.8 Mnh Khụng cú nún chun cú hng s chun K : " Wẻ vi r l mờtric Hausdorff, c nh ngha nh sau: r (W1 , W2 ) = inf{e > : W+ eB ẫ W 2,W +e B ẫ W 1} vi B = {x ẻ X :|| x || X < 1} 2.2.2 Vớ d Xột khụng gian Banach (Y ,|| ||) v o phi compact cú giỏ tr thc j c nh ngha trờn cỏc b chn ca Y Trong X = C ([a, b]; Y ) , chỳng ta xột chun || x ||= sup{| x(t ) |: t ẻ [a, b]} Vi mi b chn Wè X ta ký hiu W(t ) = {x(t ) : t ẻ W } v nh ngha hm: j c (W) :[a, b] đ R xỏc nh bi j c (W)(t ) = j [W(t )] Rừ rng nu o j l liờn tc v Wè X l ng liờn tc thỡ hm j c (W) l liờn tc, t ú tn ti ỏnh x j c t h A ca ng liờn tc ca X vo nún ca nhng hm khụng õm C ([a, b], R ) V d dng chng minh rng j iu kin 2.2.1 v nu j c cú mt tớnh cht no ú ca nh ngha trờn thỡ j tha c cú tớnh cht tng t 2.2.3 nh ngha Gi X l khụng gian Banach v j : A è X đ K l o phi compact cú giỏ tr nún nh x f : D è X đ X c gi l cụ c nu Wè D, Wẻ A, f (Wẻ ) A,j [ f (W)] j (W) thỡ Wl compact tng i 2.2.4 nh lý Gi s rng j : A è X đ K l o phi compact cú giỏ tr nún cú tớnh cht: j ({xn | n 1}) = j ({xn | n 2}) vi mi {xn } ẻ A v f : M è X đ M l ỏnh x cụ c Khi ú, f cú im bt ng M 2.2.5 nh lý Cho E l khụng gian Banach c sp th t bi nún K, X l khụng gian Banach, ỏnh x j : A è X đ K l o phi compact cú tớnh cht 2.2.2 Gi s f l hm liờn tc xỏc nh trờn M è X , gi s rng tn ti toỏn t tng A : K đ K tha món: j [ f (W)] Ê A[j (W)] nu Wè A, f (Wẻ ) A v lim An ( x) = E " x ẻ K Khi ú f cú im bt ng nđ Ơ M Chng minh p dng nh lý 2.2.4, ta ch cn chng minh rng f l cụ c Xột Wè M cho Wẻ A, f (Wẻ ) A v j [ f (W)] j (W) , chỳng ta cn chng minh Wl compact tng i Tht vy, t x0 = j (W) chỳng ta cú: Ê x0 Ê j [ f (W)] Ê A[j (W)] = A[ x0 ] Vỡ A l toỏn t tng nờn ta suy rng x0 Ê An ( x0 ) vi mi n thuc N T ú ta cú x0 = , j l o phi compact chớnh quy nờn Wl compact tng i Chỳng ta s xột vớ d sau: 2.2.6 Vớ d Cho (Y ,| |) l khụng gian Banach v j l o phi compact cú giỏ tr thc xỏc nh trờn cỏc b chn ca Y v cú tớnh cht 1, 5-8 nh ngha 2.2.1 Gi f :[0, b] B( x0 , r ) è R Y đ Y $ m > 0, $ a ẻ (0,1] : j [ f (t , M )] Ê m[j ( M )]a l liờn vi mi tc u tha M è B ( x0 , r ), h :[0, b] đ R liờn tc tha Ê h(t ) Ê t a Khi ú tn ti b1 ẻ [0, b] cho bi toỏn Cauchy xÂ(t ) = f [t , x(t )], x(0) = x0 cú li gii trờn [0, b1 ] Chng minh Ly Wè C ([0, b], Y ) l ng liờn tc S dng tớnh cht 5, 6, ca nh ngha o j t cú giỏ tr ũ x( s )ds cú th u xp x bng tng tớch phõn, chỳng ta cú: j t t 0 ({ũ x(s)ds | x ẻ W}) Êũ j [W( s )]ds Chỳng ta chn b1 < min{b, r} cho | f (t , x) |Ê r " (t , x) ẻ [0, b] B ( x0 , r ) b1 Ta s chng minh rng toỏn t t Fx(t ) = x0 +ũ0 f [ s, x( x)]ds Cú im c nh M ={x ẻ C ([0, b], Y ) : x(0) = x0} vi x l Lipschitz vi hng s r b1 Ly K l nún ca cỏc hm xỏc nh khụng õm E = C ([0, b], R ),j c (W)(t ) = j [W(t )] Xột toỏn t A : K đ K c nh ngha l t Au (t ) =ũ0 u a [h( s )]ds D thy rng A l ỏnh x tng V bng phộp chng minh quy np ta d dng chng minh c rng: Anu (t ) Ê m1+a + +a || u ||a t n [2a 3a (n - 1)a n]- n n n- n- V ú lim An (u ) = cho mi u ẻ K nđ Ơ Vi Wè M , t 2.2.3 ta cú: ({ũ j [ F (W)(t )] = j t f [ s, x(h( s ))]ds | x ẻ W }) t Êũ0 j ( f [ s, W(h( s ))])ds t Ê mũ0 (j [W(h( s ))])a ds Hay j c [ F (W)] Ê A[j c (W)] Chớnh vỡ th, toỏn t: F : M đ M , A : K đ K v o j cỏc iu kin ca nh lý 2.2.5 c cú giỏ tr K tha Kt lun Nm 2007, Long-Guang v Xian ó a khỏi nim khụng gian nún mờtric, nhm thay th cỏc s thc bng mt khụng gian Banach cú th t nh ngha mờtric v tng quỏt húa cỏc khỏi nim ca khụng gian mờtric thụng thng Cho nờn, khụng gian ny v s tn ti im bt ng v im bt ng chung ca cỏc ỏnh x dng co, ỏnh x khụng gión, ỏnh x tng thớch yu c cỏc nh toỏn hc rt quan tõm nghiờn cu Lun nờu s tn ti, nht ca im bt ng, im bt ng chung ca mt s lp ỏnh x dng co, ỏnh x khụng gión, ỏnh x tng thớch yu trong: Khụng gian nún mờtric Khụng gian nún -chun Lun ó c gng phỏt biu v chng minh mt s kt qu quan trng ca im bt ng khụng gian nún mờtric v nún chun Vi kin thc cũn hn hp ban u, tụi mong mun s tip tc nghiờn cu v thu c nhng kt qu kh quan hn Ngoi ra, tụi hy vng rng cỏc kt qu lun ny phn no s giỳp mi ngi cú cỏi nhỡn tng quan v khụng gian nún mờtric v cú hng nghiờn cu im bt ng ca khụng gian ú Ti liu tham kho [1] C T Aage, J N Salunke, On common fixed points for contractive type mappings in cone metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 1821-1291 (2009) [2] T Abdeljawad, E Karapinar, Quasicone metric spaces and generalization of Caristi Kirks theorem, Cankaya and Atilim Uni, pp 2009 [3] P.P Akhmerov, M.I.Kamenskii, A.S Potapov, B.N Sadorskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators Birkhauser, 1992 [4] S Chouhan, N Malviya, A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metric Spaces, Inter Math Forum, Vol 6, 2011, no 18, 891 -897 [5] Huang-Guang, Zhang Xian, Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl 332 (2007) 1468-1476 [6] Z Kadelburg, P.P Murthy, Common Fixed Points for Expansive Mappings in Cone Metric Spaces, Journal of Math Anylysis, Vol 5, 2011, no 27, 1309 -1319 [7] J G Mehta, M L Joshi, On Complete Cone Metric Space and Fixed Point Theorem, Journal of Scientific Research, 303-309 (2011) [8] P Raja, S M Veazpour,Some extension of Banachs contraction principle in complete cone metric spaces, Amirkabir University of technology -Tehran -Iran, pp 2008 [9] Sh Rezapour, R Hamlbarani, Some note on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal, Appl 345 (2008) 719724 [10] Ilker Sahin, M Telci, A Theorem on common fixed points of expension type mappings in cone metric spaces, St Univ Ovidius Constanta, vol.18(1),(2010), 329-336 [11] A Singh, R C Dimri, S Bhatt, A Unique Common Fixed Point Theorem for Four Maps in Cone Metric Space, Joural of Math Analysis, Vol 4, 2010, no 31, 1511 -1517 [12] P.P.Zabreiko, K-metric and K-normed spaces: survey, Collect Math 48(46).1997, 825-859 [...]... = g v S = T trong nh lý 1.3.2.5 thỡ ta cú iu phi chng minh 1.3.2.8 H qu Ta cú th thay iu kin (ii) trong nh lý 1.3.2.5 bng iu kin: d ( Sx, Ty ) Ê ad ( fx, gy ) + b[d ( fx, Sx) + d ( gy, Ty )] + c[d ( fx, Ty ) + d ( gy, Sx)] Trong ú: a, b, c 0, a + 2b + 2c < 1 1.3.3 im bt ng chung ca nhng ỏnh x gión trong khụng gian nún mờtric Trc tiờn, chỳng ta i xem xột cỏc nh lý im bt ng trong khụng gian nún mờtric... phi chng minh 1.2 im bt ng ca ỏnh x dng co Trong phn sau, chỳng ta s a ra v chng minh mt s nh lý im bt ng ca ỏnh x dng co trong khụng gian nún mờtric 1.2.1 nh lý Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y , nún chun P v hng s chun K Gi s ỏnh x T : X đ X tha món iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê kd ( x, y ) vi mi x, y ẻ X vi hng s k ẻ [0;1) Khi ú T cú 1 im bt ng duy nht trong X, ghi l x0 , v lim T n x = x0 vi mi x... đ Ơ ) , 1.1.14 Mnh : Cho (X, d) l mt khụng gian nún mờtric Nu {xn } hi t trong X thỡ gii hn ú l duy nht Chng minh Vi mi c ẻ E ,0 c , tn ti N sao cho vi mi n > N , d ( xn , x) c, d ( xn , y ) c Ta cú: d ( x, y ) Ê d ( xn , x) + d ( xn , y ) Ê 2c Vỡ th || d ( x, y ) ||Ê 2 K || c || Vỡ c l bt k nờn ta cú d ( x, y ) = 0 , tc l x=y 1.1.15 Mnh Trong khụng gian nún mờtric (X,d) thỡ mi dóy hi t u l... K + 2) || c ||< e Vỡ th d ( xn , yn ) đ d ( x, y ) (n đ Ơ ) Ta cú iu phi chng minh 1.1.18 Mnh Cho (X,d) l mt khụng gian nún mờtric, {xn } l dóy trong X Nu {xn } hi t ti x v {xnk } l dóy con ca {xn } thỡ {xnk } hi t ti x 1.1.19 Mnh : Cho (X,d) l mt khụng gian nún mờtric, {xn } l dóy trong X Nu {xn } l dóy Cauchy v cú dóy con {xnk } hi t ti x thỡ {xn } hi t ti x Chng minh c Vi mi c ẻ E ,0 c , tn ti... c d ( xn , x) Ê d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x) + = c 2 2 Do ú {xn } hi t ti x 1.1.20 Mnh : Cho (X, d) l mt khụng gian nún mờtric, {xn } l dóy trong X Nu tn ti 1 dóy {an } trong R, vi an > 0 " n, ồ an < Ơ , tha món d ( xn +1 , xn ) Ê an M , " n ẻ N vi M ẻ E , M 0 Thỡ {xn } l dóy Cauchy trong ( X , d) Chng minh Gi s n > m thỡ d ( xn , xm ) Ê d ( xn , xn- 1 ) + d ( xn- 1 , xn- 2 ) + + d ( xm+1 , xm...Khi ú d c gi l mờtric trờn X, v (X,d) c gi l khụng gian nún mờtric 1.1.11 Vớ d: Cho E = R 2 , P = {( x, y ) ẻ E ; x, y 0} è R 2 , X = R v d : X X đ E xỏc nh bi d ( x, y ) = (| x - y |, a | x - y |), a 0 l 1 hng s Thỡ (X,d) l khụng gian nún mờtric 1.1.12 nh ngha Gi s (X, d) l khụng gian nún mờtric, {xn } l mt dóy trong X a Dóy {xn } gi l hi t u n x ẻ X nu vi mi c ẻ E ,0 c , tn ti... d) l khụng gian nún mờtric y , P l nún chớnh quy Gi s ỏnh x T : X đ X tha món iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê kd ( x, y ) vi mi x, y ẻ X , x ạ y vi hng s k ẻ [0;1) Khi ú T cú 1 im bt ng duy nht trong X 1.2.3 nh lý Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y Gi s ỏnh x T : X đ X tha món iu kiu co d (Tx, Ty ) Ê k (d (Tx, x) + d (Ty, y )) 1 vi mi x, y ẻ X vi hng s k ẻ [0; ) Khi ú T cú 1 im bt ng duy nht 2 trong X,... Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric y , nún chun P v hng s chun K Gi s ỏnh x T : X đ X tha món: a d ( f p x , f q y ) + b d ( x , f p x ) +g d ( y , f q y ) Ê d d ( x , y ) (1.3.2) vi mi x, y ẻ X , a , b , g , d 0, d < a v p, q l s nguyờn dng Thỡ f cú 1 im bt ng duy nht trong X Chng minh Bng cỏch t f = f p , g = f q trong nh lý trờn ta cú iu phi chng minh 1.3.3 H qu Cho (X, d) l khụng gian nún mờtric... ký hiu l lim xn = x hoc xđ Ơ xn đ x, n đ Ơ b Dóy {xn } gi l dóy Cauchy nu vi mi c ẻ E ,0 c , tn ti N sao cho vi mi n, m N , d ( xn , xm ) c Khụng gian nún mờtric (X,d) c gi l y nu mi dóy Cauchy u hi t trong X 1.1.13 Mnh Ly {xn } l dóy trong khụng gian nún mờtric (X,d) Nún chun P cú hng s chun K Khi ú: xn đ x d ( xn , x) đ 0(n đ Ơ ) Chng minh: Chiu thun Gi s xn đ x(n đ Ơ ) Ly e > 0 , chn c ẻ... bt ng thc trong nh lý trờn u tha món v x=0 l im chung cựa f v g Bõy gi, chỳng ta se a ra mt s nh lý im bt ng chung ca ỏnh x gión trong khụng gian nún mờtric thụng thng vi iu kin mi 1.3.3.5 nh lý Cho khụng gian mờtric y (X,d) v f , g : X đ X l 2 ỏnh x tha món gX è fX v 1 trong 2 tp fX v gX l y Gi s: d ( fx, fy ) a d ( gx, gy ) (1.5) vi a > 1 , vi mi x, y ẻ X Khi ú f v g cú 1 im trựng duy nht Mt ...B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Nguyn Cụng Anh MT S NH L IM BT NG TRONG KHễNG GIAN NểN -METRIC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA... cỏc im bt ng khụng gian nún mờtric c quan tõm tr li vi hng chc bi bỏo v ti ny c cụng b Rt nhiu nh lý v im bt ng ca ỏnh x khụng gian mờtric thụng thng ó c m rng cho khụng gian nún -mờtric Vic... gian nún -mờtric, t ú a cỏc nh lý im bt ng khụng gian nún mờtric ca ỏnh x co, ỏnh x khụng gión ng thi trỡnh by cỏc nh lý im bt ng chung ca ỏnh x dng co, ỏnh x tng thớch yu, ỏnh x gión khụng gian