Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian g mêtric

G G (ψ, ϕ) G (ψ, ϕ) G G G 2 D D G G G G (ψ, ϕ) G (ψ, ϕ) (ψ, ϕ) (ψ, ϕ) (ψ, ϕ) G G G G G (ψ, ϕ) G X d : X × X → R X d(x, y) ≥ 0 x, y ∈ X d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) x, y ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) x, y, z ∈ X X d (X, d) X d (x, y) x y (X, d) {x n } ⊂ X x ∈ X ε > 0 n 0 ∈ N ∗ n ≥ n 0 d (x n , x) < ε lim n→∞ x n = x x n → x n → ∞ (X, d) {x n } ⊂ X ε > 0 n 0 ∈ N ∗ n, m ≥ n 0 d(x n , x m ) < ε {x n } lim n,m→+∞ d(x n , x m ) = 0 (X, d) M (X, d) M (X, d) (Y, ρ) f : (X, d) → (Y, ρ) α ∈ [0, 1) ρ(f (x) , f (y)) ≤ αd (x, y) , x, y ∈ X. (X, d) f : X → X X x ∗ ∈ X f (x ∗ ) = x ∗ x ∗ ∈ X f (x ∗ ) = x ∗ f A 1 A 2 A p (X, d) T : p  i=1 A i → p  i=1 A i p T (A i ) ⊆ A i+1 A p+1 = A 1 i = 1, 2, 3, p. A 1 A 2 A p (X, d) T : p  i=1 A i → p  i=1 A i k ∈ (0, 1) d(T x, Ty) ≤ kd(x, y) ∈ A i , y ∈ A i+1 i = 1, 2, 3, p T Φ ϕ : [0, 1) → [0, 1) ϕ ϕ(t) = 0 t = 0 X p f : X → X X {X i } p i=1 X X f X = p  i=1 X i X i = φ i = 1, . . . , p f (X 1 ) ⊂ X 2 , f (X 2 ) ⊂ X 3 , . . . , f (X p−1 ) ⊂ X p , f (X p ) ⊂ X 1 A 1 A 2 A p (X, d) X = p  i=1 A i T : X → X (ψ, ϕ) X = p  i=1 A i X T ψ(d(T x, Ty)) ≤ ψ(d(x, y)) − ϕ(d(x, y)) x ∈ A i y ∈ A i+1 i = 1, 2, 3, p ψ, ϕ ∈ Φ A p+1 . = A 1 (X, d) A 1 , A 2 , A p X X = p  i=1 A i T : X → X (ψ, ϕ) T z ∈ p  i=1 A i X = φ G : X × X × X → R + G G X G 1 G(x, y, z) = 0 x = y = z G 2 0 < G(x, x, y) x, y ∈ X x = y G 3 G(x, x, y) ≤ G(x, y, z) x, y, z ∈ X z = y G 4 G(x, y, z) = G(p{x, y, z}) p x, y, z G 5 G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) x, y, z, a ∈ X X G G G X = φ G : X × X × X → R + G(x, y, z) =  0 x = y = z, 1 . (X, G) G G G 1 G 2 G 3 G 4 G G 5 x, y, z, a ∈ X x = y = z G(x, y, z) = 0 G G(x, y, z) = 0 ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) x = y x = z y = z G(x, y, z) = 1 a ∈ X 1 ≤ G(x, a, a)+ G(a, y, z) ≤ 1 + 1 = 2 G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) (X, G) G (X, d) G : X × X × X → R + G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} x, y, z ∈ X (X, G) G G G (G 1 ) d(x, y), d(y, z), d(x, z) x, y, z ∈ X G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ≥ 0 x, y, z ∈ X x = y = z (G 2 ) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) > 0 x, y ∈ X x = y (G 3 ) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) ≤ max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} = G(x, y, z) x, y, z ∈ X z = y G 4 ) G 5 ) G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ≤ max{d(x, a) + d(a, y), d(y, z), d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)} ≤ max{d(x, a), d(x, a), d(a, a)} + max{d(a, y), d(a, z), d(y, z)} = G(x, a, a) + G(a, y, z) x, y, z, a ∈ X (X, d) G : X × X × X → R + G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z) x, y, z ∈ X (X, G) G d G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z) x, y, z ∈ X G G 1 G 2 G 3 G 4 G G 5 x, y, z, a ∈ X G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z) ≤ (d(x, a) + d(a, y) + d(y, z) + d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)) = (d(x, a) + d(x, a) + d(a, a)] + [d(a, y) + d(y, z) + d(a, z)) = G(x, a, a) + G(a, y, z) (X, G) G (X, G) (X  , G  ) G f : (X, G) → (X  , G  ) f G a ∈ X ε > 0 δ > 0 x, y ∈ X G(a, x, y) < δ G(f(a), f(x), f(y)) < ε f G X f G a ∈ X (X, G) G {x n } X {x n } G x ∈ X lim n,m→∞ G(x, x n , x m ) = 0 ε > 0 n 0 ∈ N G(x, x n , x m ) < ε n, m ≥ n 0 x {x n } x n → x lim x n = x (X, G) G {x n } G x G(x n , x n , x) → 0 n → ∞ G(x n , x, x) → 0 n → ∞ [...]... (G( z, z, z)) = (0), (G( z, z, T z)) = 0 Vì , ta suy ra G( z, z, T z) = 0 và z = T z Do đó z là điểm bất động của T Cũng bằng cách dùng điều kiện (, ) -co yếu cyclic suy rộng và , ta chứng minh được tính duy nhất của điểm suy ra bất động 18 chương 2 Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian G- mêtric Điểm bất động của các phép co yếu Cyclic trong 2.1 không gian 2.1.1 Định nghĩa G- mêtric. .. trong không gian G( x, x, T y) + G( y, y, T x) 2 (, ) -co yếu cyclic G- mêtric Trong mục này, ta sẽ chứng minh một số định lý điểm bất động đối với các phép (, ) -co yếu cyclic trên các không gian G- mêtric 1.2.1 Định lý không gian A1 , A2 , , Ap là các tập đầy đủ (X, G) , sao cho có ít ([10]) Cho G- mêtric p nhất một tập p Ai 1, 2, , p là tập compắc và ánh xạ T : i=1 tồn tại số con đóng khác rỗng của. .. điều kiện của Hệ quả 2.1.4 Do đó, nhờ Hệ quả 2.1.4 ta suy ra nhất một điểm bất động u A1 A2 , nghĩa là u C của phương trình (2.24) 32 T T thỏa có duy là nghiệm duy nhất Kết luận Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây G- mêtric, các khái niệm liên quan đến các phép co yếu cyclic trong không gian G- mêtric, điểm bất động của phép (, ) -co yếu cyclic trong không gian G- mêtric 1 Trình bày một cách hệ... chất của không 3 G( x, y, y) dG (x, y) 3G( x, y, y) với mọi x, y X gian G- mêtric ta có 2 không gian mêtric (X, G) là không gian G- mêtric Khi đó hàm G( x, y, z) liên tục theo tập ba biến x, y, z (theo tôpô (G) ) Chứng minh Giả sử {xn }, {yn }, {zn } là các dãy G- hội tụ lần lượt tới các điểm x, y, z X Khi đó từ điều kiện (G5 ) trong định nghĩa G- mêtric ta có 1.1.25 Mệnh đề ([12]) Cho G( x, y, z) G( y,... x)) = 0 Vậy x là một điểm bất động của T Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sử là một điểm bất động khác của T Do tính cyclic của T và yX y, x là các điểm bất m động của T nên ta có y, x Ai Sử dụng điều kiện (, ) -co yếu cyclic ta i=1 thu được (G( y, y, x)) (G( T y, T y, T x)) (G( y, y, x)) (G( y, y, x)) (1.10) (G( y, y, x)) = 0 Từ các tính chất của ta có G( y, y, x) = 0 hay... đối xứng nếu G( x, y, y) = G( y, x, x) với mọi x, y X 1.1.23 Định nghĩa ([12]) Không gian 10 1.1.24 Mệnh đề ([12]) Mỗi không gian G- mêtric (X, G) đều xác định một (X, dG ) với mêtric dG xác định bởi công thức dG (x, y) = G( x, y, y) + G( y, x, x) với mọi x, y X Nếu (X, G) là không gian G- mêtric đối xứng, thì dG (x, y) = 2G( x, y, y) với mọi x, y X Tuy nhiên nếu (X, G) không đối xứng, thì nhờ các tính... nghĩa 1.1.30 không gian phép ([10]) Giả sử G- mêtric (X, G) A1 , A2 , , Ap là các tập con khác rỗng của ánh xạ cyclic T p p Ai : i=1 Ai được g i là i=1 (, ) -co yếu cyclic suy rộng nếu (G( T x, T x, T y)) (M (x, x, y)) (M (x, x, y)), với mọi x Ai và (1.1) _ y Ai+1 , i = 1, 2, , pTrong đó , , Ap+1 = A1 và M (x, x, y) = max G( x, x, y), G( x, x, T x), G( y, y, T y), Điểm bất động của các phép 1.2 trong. .. có G( xm , xn , xl ) < 2 Vậy {xn } là G- Cauchy Do đó nếu G- mêtric Khi đó với mỗi x0 X và r > 0, G- hình cầu tâm x0 bán kính r ký hiệu là BG (x0 , r) 1.1.22 Định nghĩa ([12]) Cho (X, G) là không gian được xác định bởi công thức BG (x0 , r) = {y X : G( x0 , y, y) < r} G- hình cầu tạo thành một cơ sở của tôpô (G) trên X (G) là tôpô G- mêtric Họ tất cả các Ta g i G- mêtric (X, G) g i là không gian Gmêtric... ánh xạ co, nên T có duy nhất một điểm bất động trong A Hơn nữa, bất kì điểm bất động nào của T cũng nằm trong A Vì (X, G) là một không gian G- mêtric đầy đủ và A1 , A2 , Ap p là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = i=1 Ai Giả sử T : X X là phép (, ) -co yếu cyclic Khi đó T có duy nhất một điểm bất động 1.2.2 Định lí ([10]) Cho p z Ai i=1 Chứng minh Lấy x0 X và xác định dãy {xn } cho bởi xn+1... = max {G( xn , x , x ), G( xn , xn+1 , xn+1 ), G( x , T x , T x )} 24 (2.19) Lấy giới hạn khi và nhờ n trong bất đẳng thức (2.17), sử dụng (2.18), (2.19) G liên tục theo tập các biến của nó ta thu được (G( x , T x , T x )) (G( x , T , T )) (G( x , T , T )) (G( x , T x , T x ) = 0 và do đó x = T x Do đó x là điểm bất động của T Cuối cùng, ta chứng minh rằng x là điểm bất động duy nhất của T Giả