Điểm bất động của ánh xạ co t kannan trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM VĂN LÂM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO T-KANNAN TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Hà Đức Vượng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Phạm Văn Lâm 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Phạm Văn Lâm Mục lục Bảng kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Không gian metric . . . . . . . . 5 1.2. Không gian Banach. . . . . . . . . 17 1.3. Điểm bất động của ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . 30 2.2. Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . 33 Chương 3. Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . 40 3.2. Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón . . . . . . . . . . 42 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức ∅ Tập rỗng int(P ) Phần trong của P  p Quan hệ thứ tự theo nón P  Kết thúc chứng minh 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Cho một tập hợp M tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : M → M. Nếu tồn tại x 0 ∈ M mà T x 0 = x 0 thì x 0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên lí thuyết điểm bất động (fixed point theory). Lý thuyết điểm bất động phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski, Ky Fan, . . . Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệm metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa metric bởi một nón định hướng trong không gian Banach thực. Các tác giả đã giới thiệu khái niệm về sự hội tụ và tính đầy đủ của không gian. Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất động cho lớp ánh xạ co trong không gian này. Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm và kết quả về điểm bất động trong không gian metric nón đã lần lượt được công bố. Năm 2010 Jose R.Morales và Edixon Rojas đã công bố kết quả về điểm bất động cho lớp ánh xạ co T-Kannan trong không gian này qua bài báo “cone metric spaces and fixed point theorems of T-Kannan contractive mappings”. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu: 3 "Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón". 2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón. 3. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không metric nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về “không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón” nội dung chính dựa vào hai bài báo: 1. H. Long-Guang and Z. Xian (2007), cone metric spaces and fixed piont theorems of contractive mappings. 2. R. Morales and Edixon Rojas (2010), Cone metric spaces and fixed point Theorems of T-Kannan contractive mappings. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 4 6. Dự kiến đóng góp Đây là bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón. Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mục tài liệu tham khảo. Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co Banach, không gian Banach và cuối cùng là điểm bất động của ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng. Trong chương 2 chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach thực. Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón. Trong chương 3 chúng tôi trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co Banach, không gian Banach và cuối cùng là định lý điểm bất động của ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng. 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau: 1. d(x, y)  0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X, (tiên đề đồng nhất); 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng ); 3. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác). Ánh xạ d gọi là metric trên X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm. 6 Không gian metric được kí hiệu là (X, d). Ví dụ 1.1.1. Cho C [a,b] là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt d(x(t), y(t)) = max atb |x(t) − y(t)|, ∀x(t), y(t) ∈ C [a,b] . Khi đó (C [a,b] , d) là không gian metric. Chứng minh. ∀x(t), y(t) ∈ C [a,b] thì x(t) − y(t) là hàm liên tục ∀t ∈ [a, b], khi đó tồn tại max atb |x(t) − y(t)| hay d(x(t), y(t)) xác định trên C [a,b] . Ta kiểm tra các điều kiện về metric. 1. ∀x(t), y(t) ∈ C [a,b] , ta có |x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b]. Ta suy ra max atb |x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b]. Do đó d(x(t), y(t))  0, ∀x(t), y(t) ∈ C [a,b] . d(x(t), y(t)) = 0 khi max atb |x(t) − y(t)| = 0. Hay |x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b]. Do đó x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b]. 2. ∀x(t), y(t) ∈ C [a,b] , ta có d(x(t), y(t)) = max atb |x(t) − y(t)| = max atb |y(t) − x(t)| = d(y(t), x(t)). [...]... d(x (t) , y (t) ) = d(y (t) , x (t) ), ∀x (t) , y (t) ∈ C[a,b] 3 ∀x (t) , y (t) , z (t) ∈ C[a,b] , ta có d(x (t) , y (t) ) = max |x (t) − y (t) | a t b = max |x (t) − z (t) + z (t) − y (t) | a t b max |x (t) − z (t) | + max |z (t) − y (t) | a t b a t b = d(x (t) , z (t) ) + d(z (t) , y (t) ) Do đó d(x (t) , y (t) ) d(x (t) , z (t) ) + d(z (t) , y (t) ), ∀x (t) , y (t) , z (t) ∈ C[a,b] Vậy (C[a,b] , d) là m t không gian metric Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian. .. Chương 2 Không gian metric nón Trong chương này chúng t i trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn t c và xây dựng quan hệ thứ t xác định bởi nón trong không gian Banach thực Sau đó chúng t i trình bày về khái niệm metric nón, không gian metric nón và sự hội t trong không gian metric nón 2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1 [8] Cho E là không gian Banach thực, t p con P của E được gọi là nón khi... hai không gian metric (X, d1 ) và (Y, d2) Ánh xạ T : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu t n t i số k ∈ [0, 1) sao cho d2 (T x, T y) kd1(x, y), ∀x, y ∈ X Định lý 1.1.1 [1] Nguyên lý ánh xạ co Banach Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều có điểm b t động duy nh t 14 Chứng minh Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ, T : X → X là ánh xạ co Ta lấy điểm x0 b t kỳ, x0 ∈ X và lập dãy lặp x1 = T. .. 3 của Định nghĩa 1.1.1 d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Do đó (X, d) là không gian metric Ta chứng minh T có điểm b t động duy nh t Ta có d (T (1) , T (2)) = d (T (1) , T (3)) = d (T (2) , T (3)) = 0 Trong các trường hợp khác d (T x, T y) = 1, [d (x, T x) + d (y, T y)] Ta chọn λ = 1 suy ra d (T x, T y) 3 4 1 [d (x, T x) + d (y, T y)] 3 29 Theo định lý (1.3.1) thì T có điểm b t động duy nh t. .. x∗, xn) + d(xn, x∗) = d (T x∗, T xn−1) + d(xn, x∗) kd(x∗, xn−1) + d(xn, x∗) ∀n = 1, 2, Do lim d(xn, x∗) = lim d(xn−1, x∗) = 0, n→∞ n→∞ nên ta suy ra d (T x∗, x∗) = 0 hay T x∗ = x∗ Vậy x∗ là điểm b t động của ánh xạ T Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm b t động duy nh t của ánh xạ T trên X Giả sử t n t i điểm y ∗ ∈ X cũng là điểm b t động của ánh xạ T Thế thì d(x∗, y ∗) = d (T x∗, T y ∗) kd(x∗, y ∗) Suy... x (t) | 1 + max |xn (t) − x (t) | t R n2 + 1 1 + d (xn, x) = 2 n +1 x (t) = Suy ra, 1 + d (xn, x) (1.3) n2 + 1 T (1.3) cho n → ∞ ta được |x (t) − x (t) | = 0, t ∈ R Suy ra x (t) = x (t) ∈ X , mâu thuẫn với giả thi t x (t) ∈ X / |x (t) − x (t) | 0 Mâu thuẫn trên chứng t t n t i m t dãy Cauchy trong không gian (X, d) nhưng không hội t đến phần t trong (X, d) Do đó (X, d) là không gian metric không. .. d) không là không gian metric Định lý 1.3.1 [4] Cho (X, d) là không gian metric suy rộng đầy đủ, và ánh xạ T : X → X thỏa mãn: d (T x, T y) λ [d (x, T x) + d (y, T y)] (1.9) ∀x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1) Khi đó T có điểm b t động duy nh t Chứng minh Chọn x0 là điểm t y ý trong X Cho x1 = T (x0 ), nếu x1 = x0 thì x0 = T (x0 ) nghĩa là x0 là điểm b t động của T Giả sử rằng x1 = x0 , chọn x2 = T (x1 ) Theo... m t dãy Cauchy trong X Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằng phản chứng Giả sử X là không gian metric đầy đủ Dãy {xn } hội t đến x ∈ X hay t n t i x ∈ X sao cho lim d (xn , x) = 0 n→∞ 13 X t hàm 1 , t ∈ R t2 + 1 Ta có x (t) liên t c trên R và 0 < x (t) 1, t ∈ R Do x (t) = 0, t ∈ R nên x (t) ∈ X / M t khác, ta có với t ∈ R, 0 |x (t) − x (t) | |x (t) − xn (t) | + |xn (t) ... thì h < 1 và [1 − hn ] d (x0 , T x0 ) 1−λ Vậy x0 là điểm b t động của ánh xạ T Đ t h = 0 Trong phần tiếp theo của chứng minh ta có thể giả sử rằng T n x0 = x0 với n=1,2,3, Theo b t đẳng thức (1.10) ta có d (T nx0, T n+mx0) λ d T n−1x0, T nx0 + d T n+m−1x0, T n+mx0 λ hn−1d (x0, T x0) + hn+m−1d (x0, T x0) Do đó, d (xn , xn+m ) → 0 khi n → ∞ Điều này có nghĩa là dãy {xn} là dãy Cauchy trong X T t nh... x (t) liên t c trên R sao cho x (t) = 0 ngoài m t đoạn nào đó (đoạn này phụ thuộc t ng hàm số x (t) ) Với hai hàm số b t kỳ x (t) , y (t) ∈ X ta đ t d (x, y) = max |x (t) − y (t) | t R Khi đó (X, d) là m t không gian metric không đầy đủ Chứng minh Th t vậy, ta x t dãy hàm {xn (t) } ⊂ X xác định như sau:  1  1 − 2 nếu |t| n xn (t) = t2 + 1 n + 1 0 nếu |t| > n 12 Ta thấy {xn } là dãy các hàm liên t c . bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không metric nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón . cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co Banach, không gian Banach và cuối cùng là điểm bất động của ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng. Trong chương. về không gian metric, không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co Banach, không gian Banach và cuối cùng là định lý điểm bất động của ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng. 1.1 Không