Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục với tôpô yếu và ứng dụng

ệ ì ĩ ế ệ P ệ ệ ì ĩ ế ệ P ệ số ữớ ữợ Pì ệ ệ ử ổ ỗ ữỡ ỵ t r ởt số tự ổ ỗ ữỡ ỵ r ỵ t tử ợ tổổ ự ởt số t q tổổ ỵ t tử ợ tổổ ỹ tỗ t ữỡ tr t t é ỵ t ố ợ tử ởt ỹ q trồ ỵ tt t ợ ỵ t ố ợ ỵ t tử ữủ tt tr ỳ ổ õ trú t t õ ữủ t t tứ ỳ t q t rr r ỵ t rr ố ợ tử ỳ t ỗ t tr ổ ỳ ởt t q q trồ t ữủ rr ự õ ữủ ự rở r tr ỹ t ữ t Pữỡ tr t s ỵ rr ữủ rở tr ợ ổ ởt tr ỳ rở t ỵ rr tở r ố ợ tử tr ổ ỗ ữỡ ự ỵ t ợ tử tr tờ qt ổ ỗ ữỡ ự tú r ổ ổ ỗ ữỡ tổổ s ỷ tữỡ ự t trú tổổ õ trỏ rt q trồ ởt sỹ tỹ ự ỵ t tử ố ợ tổổ ữủ r sỹ t ỡ ợ t tổổ ởt t q ỵ t ởt số ợ tử ố ợ tổổ tr ổ ổ ỗ ữỡ ự ú tổ ỹ t s sỹ tỗ t t tử ợ tổổ ự ự ổ ỗ ữỡ ỵ t r tổổ ởt số ỵ t ố ợ tử t tổổ tr ữủ tr tr ữỡ ữỡ tr ởt số tự ổ tỡ tổổ ổ ỗ ữỡ ỵ t r ố ợ tử tr ổ ỗ ữỡ ữỡ ự ởt số t q tổổ sỹ tỗ t t ởt số ợ tử t tổổ ự tr ự sỹ tỗ t ữỡ tr tr tr ổ ữủ tỹ t trữớ ữợ sỹ ữợ t Pữỡ tọ ỏ t ỡ s s t ữủ ỡ t ổ tr ữ rữớ t t ú ù t tr sốt tớ t ố ũ ỡ ỗ t tr ợ t t ú ù t tr sốt q tr t ự ũ õ ố ữ ổ tr ọ ỳ t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ t ỗ r ì Pì ị ữỡ ự ởt số tự ỡ s ổ ỗ ữỡ ỵ t r ố ợ tử tr ổ ỗ ữỡ ởt số tự tr ởt số tự ỡ s ổ tỡ tổổ t ũ s ỳ ữủ tờ ủ tr r tứ ổ tỡ tổổ ởt ổ tỡ ũ ợ ởt tổổ tr õ s t ổ ữợ tử U tr ổ tỡ X ữủ U U ợ K || < t U ữủ út ợ x X tỗ t > s x U ợ || < ỵ r ổ tỡ tổổ ổ tỗ t ỡ s ỗ t út ợ U U tỗ t V V + V U U U s U ổ tỡ X ữủ ỗ ợ x, y U ợ t x + (1 )y U U ổ tỡ tổổ E ữủ ợ V tỗ t s > tữỡ ự s U tV ợ t > s ỵ r ộ ổ tỡ õ t t ổ ữợ t t ủ tờ ỳ t t E ổ tỡ tổổ A E ữủ t t t ợ ộ U tỗ t t ỳ B s A B + U E ổ tỡ tổổ ợ ỡ s U s rở {xi}iI ữủ ợ ộ U U tỗ t i0 I s xi xj U ợ i, j i0 A E ữủ s rở tử tr A ỵ E ổ tỡ tổổ A E t A t E ổ t t tr trữớ R : E R ữủ ởt tr E t s x ợ x E x = x = x = || x ợ R ợ x E x + y x + y , ợ x, y E õ (E, ) ữủ ởt ổ ổ ổ tr ợ tr s d(x, y) = xy , x, y E ổ E ữủ ổ E ợ tr s ố ợ tổổ s tr s t ổ ữợ tr E tử õ ộ ổ ởt ổ tỡ tổổ ợ Bn = {x E : x < n1 }, n = 1, 2, ỡ s ỗ t ỗ E t tử tt ố f : [a, b] R ữủ tử tt ố ợ ộ > tỗ t = () s ợ t ý ỳ [xk , yk ] [a, b] tọ |xk yk | < k t |f (xk ) f (yk )| < k tử tt ố õ ố t tt ợ ổ tự t tr ỵ f : [a, b] R õ s tữỡ ữỡ f tử tt ố f õ ỡ tr [a, b] x f (x) = f (a) + f (t)dt a ợ x [a, b] ỗ t g t s tr [a, b] s x f (x) = f (a) + g(t)dt a ợ x [a, b] (X, A, à) ổ tr õ A số t ủ X ỳ tr X ỵ Lp (X, dà) = {f : X R : |f |p t tr X}(p 1) r Lp(X, dà) t ỗ t ỡ tr X ợ t ổ ữợ t ữủ f p = p p |f (x)| dx t Lp(X, dà) ổ ỡ ỳ ổ ố 1 Lp (X, dà) ợ ổ Lq (X, dà) tr õ + = p q p L rtr f : [a, b] ì Rn Rn ữủ Lp rtr tọ s y f (t, y) tử ợ t t [a, b] t f (t, y) ữủ ợ y Rn ợ c > tỗ t hc Lp(I) s |y| |f (t, y)| hc (t) ợ t [a, b] c t t tú t ỵ t rr ỵ rr tử tứ t õ ỗ ổ ỳ õ õ t t ởt t ổ ỗ ữỡ tr t t ỡ ổ ỗ ữỡ t q ữủ tờ ủ tr r tứ ổ tỡ tổổ ữủ ỗ ữỡ õ ỡ s U ỗ t ỗ sỷ X ổ ỗ ữỡ õ ợ X õ ỡ s U t U, V U t õ W U s W U V U U ợ K, = ợ U U; U U ỗ út ỡ ỳ ổ t t tổổ X õ t U t t õ ổ ỗ ữỡ ổ tỡ E õ U ỗ t ỗ út t tr E tỗ t tổổ t s t tr E tử E tr t ổ ỗ ữỡ ỡ ỳ ỡ s tr E t U = ni=1 Vi , > 0, Vi U, i n tổổ ỗ ữỡ tr X U ỡ s X t tổổ sr U = U U;>0 t tr ỳ t q ốt sỹ tổổ ỗ ữỡ tổ q ỷ t t ỷ X ởt ổ tỡ p tr X tr tỹ ữủ ởt ỷ tr X ợ x, y X ợ K t õ N1 p(x) 0; N2 p(x + y) p(x) + p(y); N3 p(x) = ||p(x) E ổ (xn) E õ xn x f (xn) f (x) n ợ f E ự sỷ xn x õ ợ ộ f E > t õ U = {y E : |f (y) f (x)| < } t tổổ x õ tỗ t n0 s xn U ợ n n0 |f (xn ) f (x)| ợ n n0 tự f (xn) f (x) n ữủ ợ f E f (xn) f (x) n sỷ U x õ U õ U = {y E : |f1 (y) f1 (x) < , , |fk (y) fk (x)| < k }, tr õ i > 0, fi E ợ i = 1, 2, , k ứ fi(xn) fi(x) n ợ i = 1, 2, , k s r tỗ t ni s |fi (xn ) fi (x) < i ợ n ni t n0 = max{n1, , nk } õ ợ n n0 t õ |fi (xn ) fi (x) < i ợ i = 1, , k õ xn U ợ n n0 tự xn x E ổ õ tử t s t ởt tử õ t ổ tử sỷ H ổ rt ợ ỡ s trỹ (en ) õ ợ ộ a H t õ tự Ps a | a|en |2 = n=1 õ n lim | en |a | = t t ỵ t f õ f (x) = x|a tr õ a H H f (en ) = en |a n ợ f H õ (en) tử tợ tr H en = ợ n en ổ tử tợ t ứ tr t õ K = {en : n = 1, 2, } {0} t t õ ổ t t en em =2 ợ m = n t ú tổ tr ởt số t q q trồ tổ ổ ỵ E ổ t ởt t õ ỵ E ổ ỗ ữỡ F t ỗ E t õ t tổổ F trũ ợ õ õ ỵ s t q t r ỵ X ổ ỗ ữỡ tr õ t A t t õ t r t A tr ổ tổổ X t t ộ A õ ởt tử tr A t q s tở r ỵ ỗ ởt t t tr ổ ởt t t t tử tr ởt ợ ổ q tở sỷ C0 ổ tử tợ ợ x = sup |xn | n=1 ợ x = (xn) C0 t r ổ ủ C0 ợ ổ l1 = {x = (xn ) : |xn | < } n=1 ợ |xn | x = n=1 (xk ) C0 tử tợ x (xk ) tr C0 ợ ộ n = 1, 2, n lim xkn = xn ự xk x xk x t õ t tt xk sỷ xk õ (xk ) t tự tỗ t M > s xk = sup xkn M n ợ k = 1, 2, ợ ộ n = 1, 2, t pn C0 K pn (y) = yn , y = (y1 , y2 , , yn , ) K : õ tr ữủ pn t t tử t r pn tử t tổổ xk tử tợ t pn (xk ) = xkn tr K k ữủ ợ C0 t tỗ t (n) l1 s (x) = n xn n=1 ợ x = (xn) C0 ợ > ộ n=1 |n | tử tỗ t n0 s t tứ pn (xk ) = xkn n=n |n | k tỗ t k0 s pn (xk ) 1+ n0 j=1 |j | ợ n = 1, 2, , n0 õ ợ k k |(x )| |n ||pn (xk )| |n ||pn (x )| + n=1 n0 n=n0 +1 |n | n=1 t õ n0 k k0 1+ + |n | n0 j=1 |j | n=n0 +1 xk + M r (xk ) xk t tử tr ổ tử r C[a, b] ổ tử tr [a, b] ổ ợ f = sup |f (t)| t[a,b] ợ f C[a, b] õ ố (C[a, b]) ổ r q tr [a, b] ỵ s ỵ (fn) tử tợ f tr C[a, b] supnN fn < (fn) tử tợ f tự fn(t) f (t) ợ t [a, b] ự sỷ (fn) tử tợ f õ (fn) t tự supnN fn < ợ ộ t [a, b] t t t tử t : C[a, b] K t (f ) = f (t), ợ f C[a, b] õ C[a, b] fn f t (fn ) t (f ) ự t [a, b] t fn(t) f (t) ợ t [a, b] ữủ sỷ (fn) t fn tử tợ f tr [a, b] õ ợ C[a, b] tỗ t t ởt r q tr [a, b] s b f dà (f ) = a ợ f C[a, b] supnN fn < fn(t) f (t) ợ t [a, b] ỵ s tử t õ b b fn dà (fn ) = a f dà = (f ), a õ fn tử tợ f tr T ổ tr ổ t t số r X ổ f : T X ữủ ữủ f ữủ ợ X f : T X ữủ ữủ f ợ ởt ỡ ữủ ó r ộ ữủ ữủ t q s ữủ ự r ỵ X ổ f : T X õ f ữủ õ ữủ tỗ t ổ X0 X s f (X \ X0) t õ X ổ f, g : T X ữủ f, g tữỡ ữỡ f = g ỡ ợ X t q s P sỹ tữỡ ữỡ ữủ ợ t tr t tữỡ ố ợ ởt ữủ ỵ f : T X ữủ ữủ s f (T ) t tữỡ ố t f tữỡ ữỡ ợ h ữủ ỵ t tử ợ tổổ ự ởt ỵ sỹ tỗ t t tử t tổ ổ ỵ r t t ữủ ởt ỵ r ố ợ tổổ ỵ E ổ sỷ C t ỗ õ E T : C C tử t tổổ T (C) t t t C õ T õ t ự r trữợ t õ (E, w ) ổ sr ỗ ữỡ ỵ t r t õ T õ t t ỵ s r tr Pt t tờ qt ỡ t q tr ỵ sỷ E ổ ỗ ữỡ tr C t ỗ t E õ f : C C tử t t F õ t tr C ự ỵ r t r F tử ợ ộ t õ F C õ F õ t ứ tt f tử t s r f 1(F ) õ t tr C C t ỵ r t õ f 1(F ) õ õ f tử ỵ r t õ f õ t tr C ợ ộ t C rộ ỗ t tr ổ ỗ ữỡ E t ỵ K(C) tt t rộ ỗ t C õ tr F : C K(C) ữủ ỷ tử tr t ố ợ tổổ ợ ộ t õ A C t F 1(A) t õ t C õ F : C C ỡ tr tử t ố ợ tổ ổ t õ ỷ tử tr t ố ợ tổ ổ r x C ữủ t F x F (x) ỵ s r ố ỳ t tử tr t tử tr ố ợ tổổ ỵ E ổ ỗ ữỡ tr D t t E tr F : D 2E ỷ tử tr t ố ợ tổổ t F : D K(E) ỷ tử ố ợ tổ ổ ự sỷ A t õ E rữợ t t r F (A) õ t t tổổ t ợ (yn ) F (A) yn y õ yn y ứ F : D 2E ỷ tử tr t ố ợ tổ ổ s r y F 1(A) F 1(A) õ t F 1(A) õ t t tổổ r A t õ D t F 1(A) õ t tr E t õ õ t ứ D t t s r F 1(A)w t x F (A)w õ tỗ t (xn ) F (A) s xn x t tứ F 1(A) õ t s r x F 1(A) F 1(A)w = F (A) tự F (A) õ õ F : D K(E) ỷ tử ố ợ tổ ổ ỵ s t q q trồ t ỵ E ổ ỗ ữỡ tr t ỗ õ rộ X õ tr F : K 2K ỷ tử tr F (x) rộ ỗ õ ợ ộ x K t F õ t K ỵ t t q s q sỷ E ổ ỗ ữỡ tr C t ỗ t E õ F : C K(C) ỷ tử tr t ố ợ tổổ t F õ t tr C t q s tở r ỵ E ổ C t ỗ õ E õ t ỷ tử tr t ố ợ tổổ F : C K(C) õ t ự ứ tt s r tỗ t t t K C s F (C) K C õ ỵ r t õ õ ỗ K K t ỵ r F : K K ỵ t ữủ ự t tú ởt ỵ r ỵ E ổ C t õ ỗ E U t t tổổ C U s õ U w U t t sỷ F : U w C tử t s F (U w ) t t C x / F (x) ợ x U (0, 1) tr õ U t tổổ U tr C õ F õ t ự sỷ F ổ õ t tr U õ x / F (x) ợ x U [0, 1] t A = {x U w : x tF (x)ợ t õ tở [0, 1]} õ A = U õ tứ ỵ F : U w K(C) ỷ tử tr ố ợ tổ ổ r A õ ỡ ỳ õ t t U w t ứ tt F ổ õ t tr U s r A U = ứ E ợ tổ ổ ổ q s r tỗ t : U w [0, 1] s à(U ) = à(A) = t J(x) = à(x)F (x), x U w {0} x C \ U w õ J : C K(C) t ỷ tử tr t ố ợ tổ ổ õ ỵ t ữủ x C s x J(x) ỵ r x U U õ x à(x)F (x) t x A r à(x) = x F (x) ỹ tỗ t ữỡ tr tr ự ỵ t tử ố ợ tổổ tr ự sỹ tỗ t t ữỡ tr tr tr ổ X ổ I = [0, b] R B õ t x0 X r > f : I ì B X t ữỡ tr x (t) = f (t, x(t)), x(0) = x0 ữỡ tr tử tt ố x : J B tr õ J = [0, c] I s t x(t) = x0 + x (s)ds, tr õ x t tữỡ ữỡ ợ f (., x(.)) ữỡ tr tử tt ố x : J B tọ ợ X tỗ t t N J s x(t) õ f (t, x(t)) ợ t J \ N ữ ró r ộ x t x ỡ x õ õ ữỡ tr tử tt ố x : J B tr õ J = [0, c] I s rt x x tọ ữỡ tr x = f (t, x(t)) ỡ tr J x f t t f (s, x(s))ds, t J x(t) = x0 + ữỡ tỹ õ x ỡ x ỵ X ổ I = [0, b] R B õ t x0 X r > f : I ì B X sỷ f tọ s ợ ộ t I \ N tr õ N t õ s I ft (t, ) tử ợ tổ ổ tr B X ợ ộ x B f (., x) ữủ tr I f (I \ N ) ì B) t tữỡ ố t tổ ổ õ õ tr J = [0, c] I rữợ ự ỵ t ởt số t q trủ ỵ s ổ t trú ữủ tr tr ổ tr ỵ sỷ T ổ Y ổ tr f : T Y ữủ õ f (T ) t t tữỡ ố t tỗ t ỡ tử tợ f tr T ữợ tt ỵ ợ ộ tử x : J B g : J X g(t) = f (t, x(t)) ữủ ự ứ x tử ỵ trú ữủ õ t tr t t õ x ợ t tứ J B õ ợ ộ n = 1, 2, xn(t) ỳ tr tr J tt r ợ ộ x B f (., x) ữủ tr I t õ gn (t) = f (t, xn (t)) ữủ ợ ộ n ự ợ X t gn = f (., xn (.)) ữủ s tứ J R ợ ởt ữủ s ữủ s f (., xn (.)) f (., x(.)) ữủ tr J g = f (., x(.)) ữủ ữợ ỵ õ ự sỷ x : J B tỹ õ g : I X g(t) = f (t, x(t)) ợ t I ữủ t tr õ ữủ ự tr t t X õ ỵ t õ g tữỡ ữỡ ợ ữủ h õ h h t t y(t) = x0 + t ợ ộ x X t õ x x = x h(s)ds y s r y = x t x ự ỵ K ỗ õ G = f (I, B) õ ỵ r t õ K t r K t tự tỗ t M > s u M ợ u K t c = min{b, Mr } J = [0, c] õ ợ ộ t J Kt := x0 + tK B D t ữủ trũ t tr J F = X D t ợ tổ ổ t õ F ổ ỗ ữỡ tr E = C(J, X) ổ tử tứ J X ợ ộ x E t ỗ t ợ {x(t) : t D} X D õ C(J, X) õ t ữ ổ F r tổ ổ C(J, X) ữủ s tổ ổ tr F t tổổ tr F tổ ổ t tổ ổ tr X õ P = tD Kt t t ố ợ tổ ổ tr F Q t E ự tt x : J X tọ x(t) x(s) M |t s| ợ t, s J õ tr ữủ Q t ỗ õ E F õ Q õ tr F C = P Q t t tr F t t tr E t T : C C t (T x)(t) = x0 + f (s, x(s))ds õ T tử tr C ỵ t ữủ T õ t x C T x = x tự x ữỡ tr ỵ ữủ ự t ữủ t q s s r tố tự ỡ ổ ỗ ữỡ ổ tổổ r ự tt ỵ t r ố ợ tử ỳ t ỗ t tr ổ ỗ ữỡ r ởt ự ừ ỵ t ố ợ tổổ tr ự sỹ tỗ t ữỡ tr tr tr ổ ự tt ởt số t q t ổ ự ự tt ữ ỵ ỵ ỵ ỵ ữ r t q ữ ỡ s ỵ tt t r t tr ts r rst Prss r tr Pt P t tr r sqt ts s t t t rr rt qts r P t tr r sqt r sts s t ts t r t ss r s r srt s t t ss t trt rs Pr tts r r