Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HÓ CHÍ MINH I TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu Sự TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự hình thành từ năm 1940, tiếp tục phát triển hoàn thiện ngày Lý thuyết tìm ứng dụng đa dạng việc chứng minh tồn nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân, tích phân phát sinh Toán học, Vật lí, Sinh học, nghiên cứu mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, Trong lí thuyết phương trình không gian có thứ tự lóp phương trình với toán tử tăng đóng vai trò quan trọng Các kết toán tử dạng cho phép nghiên cứu tồn tại, xấp xỉ nghiệm phương trình chứa toán tử không liên tục vốn xuất tự nhiên từ toán thực tế Đã có nhiều định lí điểm bất động ánh xạ tăng, chứng minh phương pháp khác báo Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn Bích Huy, Đẻ tìm định lí dạng điểm bất động ánh xạ tăng để nghiên cứu lóp ánh xạ gần với ánh xạ tăng cần có nhìn lại, phân tích phương pháp áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình không gian có thứ tự ứng dụng việc chứng minh tồn nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân, tích phân phát sinh Toán học, Vật lí, Sinh học, nghiên cứu mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có bốn chương Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng việc tìm điểm bất động ánh xạ tăng Chương 2: tìm hiểu ứng dụng số siêu hạn vào toán điểm bất động ánh xạ tăng Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy ứng dụng vào toán điểm bất động Chương PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG 1.1 Nguyên lí đệ qui mở rộng Định nghĩa 1.1.1 Cho tập p ^ 0, (p , F (ứ) > a j =>F(F(a)) = F(a) x : = F { ) điểm bất động Định nghĩa 3.2.2 Cho kg Banach thực X Nón K gọi nón chuẩn N >0:# X ánh xạ tăng, thỏa mãn i u < Fu, F v < v ii F ịẬu, v)] tập compact tuơng đối K nón chuẩn Khi đó, F có điểm bất động ( u , v) Chứng minh ■ M = ( u , v) í/ u < F ( u ) < F(x) < F(v) < V =>F ( x ) e M F (M )CM 3x0 = u e M : x0 < F(x0) Do hàm F thỏa điều kiện i) định lí 3.2.1 ■ v{*n} C(M,V), } tăng, ta có ỊF(X )j có dãy hội tụ ) tăng, K nón chuẩn (giả thiết ii) Suy hội tụ Do hàm F thỏa điều kiện ii) định lí 3.2.1 Vậy F có điểm bất động ( u , v ) Định nghĩa 3.2.3 Nón K gọi qui dãy tăng, bị chặn hội tụ Hệ 3.2.2 Giả sử F : ( u , v) —> X ánh xạ tăng thỏa i u < Fu, Fv < V ii K nón qui Khi đó, F có điểm bất động ( u , v) Chứng minh ■ M = ( u , v) cz X tập đóng xeM =>u00 v7 Do T liên tục nên x0 = T (JC0) Suy x ữ điểm bất động T điểm bất động (do T k - co) ■ Từ (1) cho p —» 00, ta d { x , T n x } < — —d ị x T x ) kn 1k Định nghĩa 4.1.2 Ánh xạ T không gian mêtric (x,d) gọi ([...]... Giả sử trái lại, với mỗi điểm bất động x0 e M của Ạ), tồn tại một A e r sao cho y = Ax0>x0 Theo chứng minh trên, tồn tại trong M một điểm bất động Xj > y của AQ Chúng ta sẽ xây dựng một dãy siêu hạn tăng các điểm bất động của AQ bằng cách tuơng tự như sau Neu xa là xác định với mọi a < p và con số siêu hạn p là loại I, thì do giả thiết, tồn tại một điểm bất động X > X p _ x của AQ , Nếu p là loại II,... e r có một điểm bất động chung X * > x0 trong M Từ đó M bao gồm tất cả các điểm bất động chung z e ( x 0 , y 0 j của A e T , suy ra X* là điểm bất động chung nhỏ nhất trong ị x ữ , y 0 ) của A E r Sự tồn tại của điểm bất động chung trên y * e (x0, y0) của A e r được chứng minh tương tự Định lí đã được chứng minh Bằng cách tương tự trên, chúng ta chứng minh được định lí sau Định lí2.1.7 Nếu một họ... và j c e M 3 Có ít nhất một toán tử AQ E r là V - đóng dưới trên M Thì các toán tử A E r có một điểm bất động chung trong M Ket quả của định lí 2.1.1 và 2.1.2 được làm mạnh dưới giả thiết thêm; chúng ta sẽ lần lượt chứng minh sự tồn tại của điểm bất động chung nhỏ nhất và điểm bất động chung lớn nhất Định lí 2.1.3 Neu tất cả các điều kiện của định lí 2.1.1 đều thỏa với một họ giao hoán r = {AỊ các... x\Fx >XỊ và X * là điểm bất động lớn nhất của F Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ quả sau Hệ quả 1.3.1 Cho p là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng G : P —> p a Nếu G(jp) có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của G(jp) đều có sup thì G có điểm bất động bé nhất X* và X* = min Ịx / Gx < xỊ b Nếu G(JP) CÓ một cận trên và mọi xích sắp tốt của G ( p ) đều có inf thì G có điểm bất động lớn nhất X* và... 2.1.1 Cho một họ giao hoán r = {ẤỊ của các toán tử A và tập M X của AQ Xét một thứ... các điểm bất động của G Mà X* = min D nên X* là điểm bất động bé nhất của G Do sự tưcmg tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự > thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3 vẫn còn đúng Đặc biệt ta có kết quả sau Định lí 1.3.2 Cho ánh xạ F : P —» p và b e P Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt nghịch đảo C' của phép lặp F từ b thỏa (/') b = max c' b>xeC'ox = mfF(C'x) Nếu b > F b , F tăng và X * = inf F(C') tồn tại. .. kiện của định lí 2.1.3 trên M Vì vậy, A e r có một điểm bất động chung dưới X* > x0 trong M Nhưng tất cả các điểm bất động chung z e (x0,00^ của A e r đều thuộc M Do đó, X* là điểm bất động chung nhỏ nhất của ẤEĨ trong khoảng đóng ^x0,oo^ Định lí được chứng minh Chú ý rằng họ giao hoán r = {A} của các toán tử đơn điệu dương A biến khoảng đóng (x0,oo) K vào nó (x0 ^ ớ) nếu x0 e K là điểm bất động. .. tốt của phép lặp G từ a e P Ta có Nếu x e C thì G x = S x khi và chỉ khi x < G x Chứng minh => / Hiển nhiên G x = S x > X p a là một. .. toán tử đơn điệu A trên Mcl thì với xeM tùy ý, tồn tại trong M một điểm bất động chung dưới (nhỏ nhất) X* > X của A E r Chứng minh Cố định một xeM , chúng ta sẽ xây dựng một dãy tăng siêu hạn của các phần tử từ M theo quy tắc sau Giả sử x a xác định với mọi a < p (xj = Jt) Nếu số siêu hạn p là loại I, thì quá trình kết thúc nếu X/M là điểm bất động chung của mọi A E r Trường hợp khác, để làm X p chúng... Vì X* = Gx* nên không tồn tại Sx* và ta có X* = max c Theo định lí 1.3.1 thì X* là điểm bất động bé nhất của G trong [ữ) Chương 2 PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG DÃY QUI NẠP SIÊU HẠN 2.1 Số siêu hạn Trong mục này ta trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về số siêu việt để ứng dụng trong mục sau Định nghĩa 2.1.1 1 Các tập có thứ tự (x, ... dạng điểm bất động ánh xạ tăng để nghiên cứu lóp ánh xạ gần với ánh xạ tăng cần có nhìn lại, phân tích phương pháp áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng 4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu. .. tìm điểm bất động ánh xạ tăng Chương 2: tìm hiểu ứng dụng số siêu hạn vào toán điểm bất động ánh xạ tăng Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy ứng dụng vào toán điểm bất động Chương PHƯƠNG PHÁP... có điểm bất động chung M Giả sử trái lại, với điểm bất động x0 e M Ạ), tồn A e r cho y = Ax0>x0 Theo chứng minh trên, tồn M điểm bất động Xj > y AQ Chúng ta xây dựng dãy siêu hạn tăng điểm bất