Một số phương pháp lặp và điếm bất động

1 CẢM Bộ GIÁO DỤC LỜI VÀ ĐÀO TẠOƠN TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc củci tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướìĩg dân, bảo tận tình đế hoàn thành luận văn NGUYỄN ĐỨC TƯỞNG Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai nơi công tác Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Tác giả xin chân thành cảm ơn ỷ kiến đóng góp xác đáng thầy giáo phản biện đê luận văn hoàn thiện Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Hà Nội, tháng năm 2013 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng Nguyễn Đức Tưởng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đạt luận văn trung thực, chưa công bo công trình nghiên cứu khác Tỏi xin cam đoan rang giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dân luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2013 Nguyễn Đức Tường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ 1.2 TÔ pô không gian metric 1.3 Á nh xạ liên tục .8 1.4 .Tập hợp compact bị chặn 1.5 Không gian véc tơ (không gian tuyến tính) .10 1.6 Không gian định chuấn, không gian Banach .11 1.7 .Sai số số gần .12 Chương Định lý điểm bất động phương pháp lặp đơn 14 2.1 Định lý điểm bất động .14 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu phương pháp lặp, sở đế tìm lời giải số cho nhiều toán toán học khoa học, kỹ thuật Trong việc tìm kiếm nghiệm phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoán ban đầu để tạo xấp xỉ hội tụ tới nghiệm toán Cách làm cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp cố gắng giải vấn đề dãy hữu hạn phép tính Khi sai số phương pháp trực tiếp đưa nghiệm xác với phương pháp lặp ta có nghiệm gần Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp tốn (và số trường họp không thê) với khả tính toán tốt có sẵn Hiện nay, việc nghiên cứu phương pháp lặp cách tống quát nhờ áp dụng kết phương pháp giải tích hàm không nhừng cho nhìn cách chất nhiều phương pháp giải tích số mà cho phép đề nhiều thuật toán có hiệu lĩnh vực khác toán học, đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phi tuyến Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp này, chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp điếm bất động” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiếu số phương pháp lặp việc giải toán tìm nghiệm số phương trình toán học Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống lại số kiến thức lý thuyết điềm bất động - Trình bày phương pháp lặp việc giải số phương trình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các vấn đề lý thuyết điểm bất động, phương pháp lặp đơn, Newton-Kantorovich, dây cung số vấn đề mở rộng Phưong pháp nghiên cứu Nghiên cứu dựa sở giải tích hàm, giải tích số, phương trình vi phân, phương trình tích phân đại số Những đóng góp đề tài - Đe tài luận văn trình bày cách có hệ thống số phương pháp lặp hay sử dụng giải phương trình toán tử mà hội tụ liên quan đến ánh xạ co - Các phương pháp lặp trình bày nghiên cứu tiếp đế mở rộng cho không gian trừu tượng Chương Kiến thức chuẩn bỉ 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Cho X ^0, ta gọi ỉà metric X ánh xạ d từ tích Descartes XxX vào tập số thực R thoa mãn tiên đề sau: ỉ)(\/x,ye X) d(x,y)>0,d(x,y) = ii)(\/x,ye X) d(x, y) = d(y,x) Ui)(Vx,y,zeX) d(x,y) 0) (3n0eN*) :(\/m,n > /20) d(xn,xm)< o(\/8>0)(3n0£N*) (Vn>n0)(VpeN*) d(xn+p,xn) < hay xn dãy lim d(xm,xn) = m,n—> 00 n—»00 limd(x xn) =0 Vp = 1,2, F Không gian đủ: Không gian metric mà dãy hội tụ gọi không gian metric đủ 1.2 Tô pô không gian metric Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian (X,d), r > 0, a GX Hình cầu mở: Ta gọi Bịa, r) - { X G X: d(x,a) < r j hình cẩu mở tâm a, bán kính r Hình cầu đóng Ta gọi B’(a, r) = ịX e X: d(x,a) V |x;ỉỊ cz F xn —> X X e F Định lý 1.2.3 Cho (X,d) không gian metrỉc thì: a) Hợp họ tùy ý tập mở tập mở: IK tập mở P|G tập mở i=l c) Hợp hữu hạn tập đóng tập đỏng: ^>|JF tập đóng i=l (X,d), F cX Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ f: X —> Y từ không gian metrỉc (X,dx)vào không gian metric (Y,dy) gọi liên tục A cl (Vs> 0), (3Ô> 0) ( Vx, x’ e X): dx(x,x') < ổ dy(f{x),f{x'))co) Tập compact: Tập A tập compact không gian A không Ị gian compact nghĩa 1/ fxnỊ czA, 3|xn c= {xn} : xn -^xeA(k^oo) Định lý 1.4.1 (Định lý tính chất ánh xạ liên tục tập compact) Ánh xạ liên tục f: X —> Y từ không gian metric (X,d x) vào không gian metric (Y,dy) K tập compact X thì: f liên tục đểu K Từ suy A bị chặn BB(a,R): A c B(a,R) 10 1.5 Không gian vectơ (không gian tuyến tính) Định nghĩa Giả sử X tập hợp, K trường (K = R vC) có hai phép toán ‘d-\- ” ” thỏa mãn tiên đề sau: 1) V*,yeX :x + y = ỵ + x 2) Vx,y,zeX :(x + y) + z = x + (y + z) 3) \/x e Xe X: 4) X + ỡ = X VXE V : X + ( - X ' ) = hay:x-x' = ỡ 5) Vxe X,\/a,j3e K :a(j3(x)) = (aj3)x 6) Vx,y e X,Va E K: a(x + y) = ax + ay 7) Vxe x,v a,p E K :(a + Ị3)x = ax + J3x Khi không gian vectơ 76 2) Nhờ định lý nêu số khái niệm bố sung xác định cấp hội tụ phương pháp lặp nhiều bước biến dạng chúng 3.4.3 Vấn đề tối ưu hóa trình nhiều bước a) Tương tự trường hợp hàm biến thực thông thường , đặt vấn đề tối ưu hóa công thức cầu phương suy rộng theo nghĩa xét vấn đề cho phương pháp giải gần phương trình toán tử thu nhờ áp dụng công thức cầu phương suy rộng Xét tích phân trừu tượng J(F) = [ F(x)clx = í F(x0 +tAx)Axdt Jx J0 toán tử liên tục, giới nội có đạo hàm cấp giới nội: F(x)eJ(x)czBC(XJ) Các công thức cầu phương suy rộng xét viết chung dạng SN(F)=:fjaJF(xJ)Ax, 7=1 N Ax,0< p < \,ỵ^a =1 7=1 Đặt inf R N {J)= R Ax = r >Ỳĩi P : í - 77 gọi ước lượng tối uư sai số công thức cầu phương J = [x0,x0 + Ax] Có chứng minh với = ỉ R Nj{J) = R\ 3.4.4 Trongthức phầncầu nàyphương ta xét Công suy dạng rộng biếu diễn toán tử không gian định chuấn công thức lặp tương ứng Trước tiên, giả X,Y 5-không gian, S' sử AX)F(x) A* toán tử thuộc N (F) =—ỹ F ( X + C(X,Y) khả vi theo Frechet, gọi J = [jt0,x0 + Ax] c= X, theo định nghĩa: Njx 2N y gọi0 thức tối ưu I F{x)dx = I F(x + công tAx)Axdt Có thể chứng minh (theo định nghĩa) công thức sau Trong trường hợp N = / ta có I F(x)dx + ị F\x)(x- x )dx = F(x + Ax)Ax S*(F) — F ( X + — Ax)Ar Tương ứng ta nhận trình lặp (3.73) F = A \ Với N = ta có b) Với công thức thu cách áp dụng phương pháp tính gần đạo hàm suy rộng cho toán tử ta thấy chúng có dạng chung Jj •' k =0 ỡ 78 Công thức (3.79) gọi công tích phân trìru tượng) thức tích phân phần suy rộng Thực vậy, ta có í F(x)dx = limY/^x, + ftAr)(Ax)(ft+l-t k ) = ỊịmYF(X)(Ax k ), x k =x + t k Ax, Ax k = (t k + ị - t k )Ax, ổ = max^ (t k + ỉ - t k) F(x + Ax)Ax = ỵjt k + ì F(x k+]) - t k F(x k )]Ax = k=0 = F *=0 ) - (Xk )]*» A*+2+(**+i )A*jfc=o /, = Ị F(x)dx,I = -J* F'(-v)(x -x Q )dx + F(x0 + Ax)Ax, II/, -ỉ ll0) k =0 Từ (exp A- ỉ)(p(t,A)x = ^(k\y ] (tA) k X k =0 (3.80) Mặt khác lại có 00 (exp A-I)y = ỵ(kì)-'A t y k= hay (exp A - I)ọ(t, A)x = ^(k \y ì A k (p(t, A)x (3.81) k=0 Từ biểu thức (3.80) (3.81) đặt 00 k (x + Ax) - A -8+8) ^)]-1; A^ = A\x n =tA w x), AA' { ) y Sy — suy với yeX zeM ta có f(x) (hoặc = f(y) + f \,Ạx-y)A y>6 y0 /"(}’)< với y e[a,bị =Ax„+y x J â„ A' U n J n + x SS M i = Từ điều kiện (b) suy õ n + ỉ > (hoặc Ổ I J + Ỉ x n (hoặc x,1+l < x n ) Chang hạn xét việc giải phương trình f(x) = âỏf(x) hàm thực, hai lần khả vi liên tục đoạn [a,b ] Phương pháp Newton cho ta: f(x ) x n + \ = x n z \ > (x ữ e[a,b] cho trước) / + V«3ỡ)(\ > và- kiện+ 0[...]... các phép lặp a 23 đại số tuyến (2.47) khác nhau Trong mục này trình bày một số phương pháp lặp thường dùng Bx (k+n +Cx m =b (2.46) a „:Â a a„ 2Ẳ trong đó với x m ={x\ k) ,xị k> , ,xll‘ > ) T , b = (b l ,b 2 , ,b n f 2.3.1 Phương pháp Zeidel Từ (2.46) ta thấy rằng phương pháp Zeidel tương đương với phương Xét hệ phương trình: pháp lặp đơn ma trận —zr'c Vì vậy, điều kiện cần và đủ đế phương pháp Ax =... chính xác tới 6 số lẻ: Xj* =0,737713; ta thấy sai số mắc phải sau 7 bước lặp là khoảng 10 4 X* =1,001047; x3* =0,626178; chéo 2 +' 37 36 0 a 22 a 0• 0• a \2 23 • «1» ì a nn thì phương 0 được 0,dưới pháp Zeidel 2.3 Một số phương phápviết lặp đểdạng: giải hệ phương trình đại số a n2 j tuyến tính Ngoài phương pháp lặp được nêu trong 2.3.5 đế giải hệ phương trình 2n tính, người ta đã xây dựng một lớp khá... là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a thỏa mãn 0 < a < 1 sao cho với bất p(Ax,Ay) ... hiếu số phương pháp lặp việc giải toán tìm nghiệm số phương trình toán học Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống lại số kiến thức lý thuyết điềm bất động - Trình bày phương pháp lặp việc giải số phương. .. đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phi tuyến Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp này, chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp điếm bất động ... phương pháp trực tiếp cố gắng giải vấn đề dãy hữu hạn phép tính Khi sai số phương pháp trực tiếp đưa nghiệm xác với phương pháp lặp ta có nghiệm gần Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp tốn (và số