Một số phương pháp lặp và điểm bất động

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN ĐỨC TƯỞNG MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG • • • Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ Nguyễn Vãn Hùng, người thầy đã hướng dấn, chỉ bảo tận tình đế tôi hoàn thành luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai nơi tôi công tác và Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đảng của các thầy giáo phản biện đế luận văn hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình và bạn bề trong suốt quá trình làm luận văn. Hà Nội, thảng 6 năm 2013 rri ' _ _• 2. Tác giả Nguyễn Đức Tưởng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trong các công trình nghiên cứu nào khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vẫn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dân trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. 2 Hà Nội, tháng 6 năm 20]3 Tác giả Nguyễn Đức Tường 3 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐÀU 1. Lý do chọn đề tài. Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là cơ sở để tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học, kỹ thuật. Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoán ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thể hội tụ tới nghiệm của bài toán. Cách làm này là cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp là cố gắng giải quyết vấn đề bằng dãy hữu hạn các phép tính. Khi không có sai số thì phương pháp trực tiếp sẽ đưa ra nghiệm chính xác nhưng với phương pháp lặp ta vẫn chỉ có nghiệm gần đúng. Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp sẽ rất tốn kém (và trong một số trường họp là không thể) ngay cả với khả năng tính toán tốt nhất có sẵn. Hiện nay, việc nghiên cứu các phương pháp lặp một cách tống quát nhờ áp dụng các kết quả và phương pháp giải tích hàm không những chỉ cho cái nhìn một cách bản chất nhiều phương pháp của giải tích số mà còn cho phép đề ra nhiêu thuật toán mới có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, như đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phi tuyến Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp này, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp và điếm bất động”. 2. Mục đích nghiên cứu. - Tìm hiếu một số phương pháp lặp trong việc giải các bài toán tìm nghiệm của một số phương trình trong toán học. 3. Nhiệm vụ nghỉên cứu. - Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điểm bất động. - Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình. 4 4. Đối tượng và phạm vi nghỉên cứu. Các vấn đề của lý thuyết điểm bất động, các phương pháp lặp đơn, Nevvton- Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng. 5. Phương pháp nghỉên cứu. Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình vi phân, phương trình tích phân và đại số. 6. Những đóng góp mới của đề tài. - Đề tài luận văn được trình bày một cách có hệ thống một số phương pháp lặp hay được sử dụng khi giải phương trình toán tử mà sự hội tụ của nó đều liên quan đến ánh xạ co. Các phương pháp lặp được trình bày có thể được nghiên cứu tiếp để mở rộng cho các không gian trùn tượng hơn. Chương 1 Kiến thức chuẩn bi 1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.1.1. Cho X ^0, ta gọi là một metric trong X một ánh xạ d từ tích Descartes XxX vào tập số thực R thỏa mãn 3 tiên đề sau: /)(Vx,ye X) d{x,y)>Q,d(x,y) = §<í>x = y ii) (\/x,ỵe; X) d(x,ỵ) = d(ỵ,x) iii) (Vx, ỵ, z e X) d(x, y ) < d(x, z) + d(z, y) Không gian metric là cặp (x,d) trong đó: • X ^ 0 được gọi là tập nền • d là metric trong X • d(x,ỵ) là khoảng cách giữa hai phần tửx,yeX • Các phần tử của X gọi là các điểm 5 Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metrỉc(X,d). Dãy hội tụ : Dãy x n cz X gọi là hội tụ đen CIE.X nếu (Vf > 0) (Bn 0 G N*) :(V/2 > n 0 ) thì d (jf n ,a)<£, kí hiệu: limx ;ỉ = a hay x n —> a (n oo) n—> oc Điểm a còn được gọi là giới hạn của dãy (x n ) trong không gian metric (X,d) Dãy cơ bản :dãy x n c= X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy ) <=>(V£>Q) (3« 0 eiV*);(Vm,«> w 0 )thì d(x n ,x nì )<€ o(V£>0)(3n 0 eW*) (Vw > w 0 ) (Vp&N*) thì d(x n+p ,x n )<£ hay là dãy cơ bản <=> lim d(x m ,x n ) = 0 m,n —»00 hoặc limd(x ,x n ) =0 Vp = 1,2, n->x F Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ. 1.2. Tô pô trong không gian metric Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian (X,d), r > 0, a eX Hình cẩu mở: Ta gọi B(a, r) = ( X e X: d(x,a) < r j là hình cầu mở tâm a, bán kính r. Hình cầu đóng:Ta gọi B’(a, r) - {X e X: cl(x,a) <r } là hình cầu 6 đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian (X,d), A czX Tập mở: A được gọi là tập mở nếu Vx <E A thì X là điềm trong của A. Điểm trong : X eA được gọi là điểm trong của A nếu 3e > 0: B(x, s) c= A. Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu A\4 = A c là tập mở. Quy ước 0, X vừa là tập đóng vừa là tập mở. Định lý 1.2.1. Trong không gian metric, hình cẩu đóng là tập đóng, hình câu mở là tập mở. Định lý 1.2.2. Cho không gian metric (X,d), F czX F là tập đóng v{x ;ỉ } (Z F và x n —> X thì X E F. Định lý 1.2.3. Cho (X,d) là không gian metric thì: a) Hợp của một họ tày ý các tập mở là tập mở: Ga mở Va e A => ỊJ G là tập mở. a e A b) Giao của hữu hạn các tập mở ỉà tập mở: Gị là tập mở Vỉ- l,n ^>p|G ỉà tập mở. i=l c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng: 7 Fị đóng Vi — l,n F. là tập đóng. i = l d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng: Fa đỏng Va - 1, n =>p| F a là tập đỏng. CC€A 1.3. Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1. Ảnh xạf: X —> Y từ không gian metric (X,d x ) vào không gian metric ợ,dy ) được gọi là liên tục tại Xo nếu (Vs> 0), (Bô> 0) (Vx £ X): d ỵ (x,x ữ ) < ổ thì dy(f(x),f(x ữ ))<£. Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A aX thì ta nói / liên tục trên A czX. Định nghĩa 1.3.2. Ảnh xạ f: X —> Y từ không gian metric (X,d x )vào không gian metric (Y,dy) được gọi là liên tục đều trên A aX nếu ( Ve > 0), (3Ổ> 0) ( Vx, x’ eX): d ỵ (x,x') < ổ thì dy(f(x),f(x'))<£. Hiển nhiên ánh xạ/ liên tục đều thì liên tục. 1.4. Tập hợp compact và bị chặn Định nghĩa 1.4.1. Không gian compact Không gian metric (X,d) là không gian compact nếu với môi dãy điếm {x n }cX,3 x n[ <={x n }:x ni —» X e X (k —»co) Tập compact: Tập A dX là tập compact nếu không gian con A là không gian compact nghĩa là ỉ/ Ịx n Ị a A, 3 jx nk I <z {x n Ị: x n ->xeA(k^oo). Định lý 1.4.1. (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact) Ánh xạ liên tục f: X —>Y từ không gian metric (X ,d x ) vào không 8 gian metric (Y,dy). K là tập compact trong X thế thì: 1. f liên tục đều trên K 2. f(K) ỉà tập compact trong Y Định nghĩa 1.4.2. Tập hợp bị chặn: Cho A là tập hợp tùy ý trong không gian metric (X,d). So Ô(A) = sup d(x,y) được gọi là đường kính của tập A, nó có thế là số hữu x,yeA hạn hoặc vô hạn. Neu Ỏ(A) <oothì A được gọi là tập hợp bị chặn Từ đó suy ra A bị chặn <^>BB(a,R): A <^B(a,R). 1.5. Không gian vectơ (không gian tuyến tính) Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K = R V c) trên có hai phép toán “+ ” và ” thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 )\Jx,yeX :x + ỵ = y + x 2) \/x,ỵ,zeX :(x + ỵ) + z = x + (y + z) 3) \/x e X,0 e X : X + ỡ = X 4) Vjcg X,3x'e X :x + (-x') = ớ hay:x-x' = 0 5) Vjc g X, \ỉa,p e K: a(P(x)) = (ap)x 6) Vx, y eX,V(2E K : a ( x + ỵ ) = a x + a ỵ 7) Vxg G K :(a + fí)x = ax + 9 8) ].x = xA \/xGX với 1 là phẩn tử đơn vị của phép nhân trên trường K. Khỉ đỏ Xđược gọi là không gian vectơ trên trường K Ví dụ. C la b] = ịx(t) liên tục trên [a,b ] } được trang bị hai phép toán a) Vx,y e c ịah] :x+ỵ = x(t) + ỵ(t) b) Vxe C Ịab] ,ae R :ax = ax(t) Khi đó nó là không gian vectơ 1 0 [...]... chính xác tới 6 số lẻ: 180 JC* =0,737713; JC* =1,001047; *3 =0,626178; ta thấy sai số mắc phải sau 7 bước lặp là khoảng 1 o -4 2.3 Một số phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính 181 Ngoài phương pháp lặp được nêu trong 2.3.5 để giải hệ phương trình đại số tuyến tính, người ta đã xây dựng một lớp khá phong phú các phép lặp khác nhau Trong mục này trình bày một số phương pháp lặp thường... 0.5 (co = l) 9 Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi tính toán sai số chỉ tác động đến các chữ số không chắc mà thôi Chương 2 Định lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn 2.1 Định lý điểm bất động Định nghĩa Cho {X,p )là không gian metric Ánh xạ A : X —» X được gọi 1 4 là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a thỏa mãn 0 < a < 1 sao cho với bất kỳ hai điểm X, ỵ G X ta có p(Ax,Ay) . lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điểm bất động. - Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình. 4 4. Đối tượng và phạm vi nghỉên cứu. Các vấn đề của lý thuyết điểm bất. lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn 2.1. Định lý điểm bất động Định nghĩa Cho {X,p )là không gian metric. Ánh xạ A : X —» X được gọi 1 3 là một ánh xạ co nếu tồn tại một số. điểm bất động, các phương pháp lặp đơn, Nevvton- Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng. 5. Phương pháp nghỉên cứu. Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình