143 jJ 'j 144 Do đó vớ
2.3.2.Phương pháp giảm dư
292 Ngoài phương pháp lặp đơn và phương pháp Zeidel còn có nhiều
phương pháp lặp khác. Ở đây ta xét phương pháp giảm dư. Sau khi xấp xỉ tốt hơn từng tọa độ bằng phương pháp Zeidel ta tiến hành bổ sung một lượng dịch chuyển cùng hướng với hệ số trọng lượng p (p không nhất thiết phải dương). Phương pháp giảm dư cho phép xác định các xấp xỉ nhờ hệ thức
293 r(£+0 1 nx ( - k ) x
294---B(--- ) - Cx a> = b
---(2.52)
295 ỉ + p
296 Trong thực hành với A>0 tốt nhất là chọn chỉ số giảm dư 0<P<1. Trong trường hợp đó, phương pháp được gọi là giảm dư trên (*). Với p = 0 trong
298 (2.53’)
299 (*) lần đầu tiên được
xét kỹ bởi Young (Young p. M). Nó còn được gọi tắt là phương pháp SOR: Sucessive - Over - Relaxation.
300 Với ký hiệu F(y) như ở mục 2.3.2 và đặt
301 F ữ (y) = F(ỵ) + (Ax* ,x*) = (A(ỵ — x*),y — X*) ta có -1 < p< 1 các giá trị
x(k) được xác định từ (2.52) sẽ thỏa mãn điều kiện
302 F 0 (x°‘* l> )<F 0 (x ik> ) khi x (k) ±x*.
303 Tham số giảm dư p có thế chọn phụ thuộc vào k và L
304 Có thể chứng minh được rằng với điều kiện |/\|< q < 1 phương pháp giảm dư hội tụ theo tốc độ cấp số nhân.
305 Richardson đưa ra một cách lập dãy các vectơ xấp xỉ nghiệm bằng công thức 306 X {t+Ị> =x ạ> +a k (Ax (k) -b )
307 Neu chọn các tham số giảm dư ak phù hợp thì phương pháp Richardson hội tụ nhanh hơn phương pháp Zeidel.
308 Ký hiệu <Ẹ (lc) = Ax (k) —b là độ lệch (không khớp) của quá trình lặp. Từ (2.54) sau khi tác dụng toán tử A vào cả hai vế và trù’ đi b ta được phương
trình của độ lệch: 309 310 (2.55) (2.54) 11 12 trong đó
313 Giả thiết rằng các giá trị riêng của ma trận A thỏa mãn điều kiện 0 < a < Ẳj < p,
314 Và các vectơ riêng của A lập thành một cơ sở. Khi đó từ điều kiện chọn (Xj sao cho II ệ {k) II, bé nhất ta đi tới bài toán: Tìm đa thức pk sao cho
315 p, (0) = 1 và max I p. (À) I đạt min. 316 0<a</?
317 Đáp số của bài toán đó là đa thức Chebyshev:
318 FM)—<256>319 T