(3.21)
485 và II A2X- Д y ll< q 0 \\x-y\\, (x,y e S(x 0 ,r)) với 0<q 0 <1.
486 Thay cho [A']"‘ ta xét [A*]_l. Cũng ký hiệu [A'(x0)]_l = ro ta có định lý sau. 487 Định lý 3.3. Giả sử a ữ và <7 0thỏa mãn bât đăng thức
0 < 2Г 0 La 0 + qị < 1 — 2Г0 Lĩ] 0 (3.22)
488 và
489 r* - 1 ~ ~ + < r
(3 23) 490 r0L
491 khi đó phương trình (3.20) có nghiêm X* E S(x 0 ,r*) và dãy xấp xỉ
492 xn+\=xn ~тЛхп+А2хп^ л = 0,1,2,...(3.24) (3.24)
493 hội tụ về X* theo tốc độ của cấp so nhân với công bội
494 я = я o + roLr*
(3*25)
495 Chứng minh. Từ điều kiện (3.22) ta suy ra Г* là nghiệm thực của
phương trình bậc hai:
496 Vì vậy từ II X - XQll< r và từ định lý 3.1 suy ra 497
498
499 l i ( r0/ 4 , +A2)X-xa l l < l l roAtx-x0 I I + I I A2X l l < r < ) L ( r —
500 Điều kiện đó có nghĩa là toán tử roAị + A 2 biến hình cầu S(x 0 ,r*) vào trong nó. Từ các điều kiện của định lý và 3.21 suy ra.
Sử dụng nguyên lý ánh xạ co suy ra kết quả của định lý.
503 3.1.6. Thay cho phương trình (3.1) xét phương trình dạng
504 X — fíx = 0
505 trong đó B là toán tử liên tục trong không gian Banach X. Phương pháp Newton đơn giản cho phương trình 3.1 có dạng
506 •Vi = x „ - ư - (x n - Bx n )
507 = [ I - B X x 0 ) ] - ' l B x
(3.27') 508 Vì B là hoàn toàn liên tục nên toán tử tuyến tính B'(x 0 ) cũng hoàn toàn liên tục. Trong các không gian Banach toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục có thế xấp xỉ với độ chính xác tùy ý bởi các toán tử tuyến tính hữu hạn chiều. Giả sử trong X có hệ cơ sở e ì ,e 2 ,...,e n ,... khi đó mỗi phần tử igX được biểu diễn dưới dạng
509 00 510 x = ỵíỉi(x)ei 511 i =1 512 m 513 p„,x = I>, ( x e X ) 514 i=\ (3.26) (3.27)
516 Từ đó có thể lấy P m B\x 0) xấp xỉ cho B' nếu m đủ lớn. Thay trong (3.27) toán tử [/ - ổ'(*0)]-1 bởi [/ - P m B\x 0)r' ta được quá trình lặp
517 •Vu =\-ư-P m B\x 0 )Ỵ'(x n -BxJ
518 = [/ - PmB \ x [ B x „ - B\x ữ )x n ] (n = 0,1,2,...)
519 Ta hy vọng rằng với m đủ lớn quá trình lặp (3.29) sẽ hội tụ về nghiệm của phương trình xuất phát. Trong quá trình (3.29) thay cho việc tìm nghịch đảo của một toán tử tuyến tính bất kỳ là việc tìm nghịch đảo của một ma trận hữu hạn chiều, hay mỗi bước lặp là việc giải một hệ đại số tuyến tính hữu hạn chiều với một ma trận cố định.
520 Giả sử II [/ - Æ'(x0)]_lll < b 0 khi đó với m đủ lớn sao cho 521 IIB'(x0)-^,B'(x0)ll<<y
và Sb„ < 1 thì [/ - P m B\x a )]~' cũng tồn tại và
522 ii[/-^,S'(x0)]-1
523 Ỉ-Sb ữ
524 Khi đó có thể áp dụng định lý 3.3 về phương pháp Newton đơn giản có kích động để tìm điều kiện cho quá trình (3.20) hội tụ về nghiệm của phương trình xuất phát.
525 Bạn đọc có thể thấy được bằng kiểm tra trực tiếp trong trường họp này các hằng số a Qt q 0 và toán tử A 2 trong mục 3.15 tương ứng là
(3.29)
3.2. Một số kiểu biến dạng của phương pháp Newton- Kantorovich Kantorovich
3.2.1. Phương pháp Newton-Kantorovich để giải phương trình (3.1) có
thể
526 được viẻt
527 (3.31)
528 vói t n =n. Công thức (3.31)có thể xem như
sự rời rạc hóa phương trình vi phân
529 sĩ Ỵ
530 =- = -[A'( X )Y'Ax.
531 clt
532 Nghiệm của phương trình xuất phát, với một số điều kiện nào đó, sẽ là điểm dừng (í = go)của phương trình vi phân (3.32). Giải phương trình vi phân
(3.32) bằng một số phương pháp nào đó sẽ cho phép ta tìm nghiệm gần đúng của phương trình (3.1) khi cho t —»0 0 . Neu ta xấp xỉ (3.32) bởi
533 ( 3.33)
534 thì suy ra
535 Quá trình (3.33) tổng quát hon quá trình Newton-Kantorovich. Chúng ta đã chứng minh định lý hội tụ của quá trình Newton-Kantorovich (3.3) với yêu cầu khá chặt chẽ về nghiệm gần đúng ban đầu. Với mục đích mở rộng miền hội tụ ta xét một biến dạng của phương pháp Newton-Kantorovich. Cho một phiếm hàm O(x), chẳng hạn II A(x) \\ 2 = O(x) sao cho cD(x*) = inf O(jc), X* là nghiệm của phương trình Ax = 0. Dãy các nghiệm gần đúng được xác định
16 17 1 -V 18 1 -bữỏ L. - í . . n+177 (3.32)
từ (3.33) với An được xác định từ điều kiện:
536 min<t>(x" - A a (A'(x n )y' Ax„).
537 An
539 * « + 1 =х п -Л‘(А'(х п )У'А(х п ); / = 0,...,/,
540 Q„+]j - Ф(-*„+рО- Nếu với mọi к < l nào đó ta có q n+Ị k < вФ(х п ) thì ngừng
541 tính toán và lấy x n+] = x n+u ; nếu không thì tìm mịn q n+u = q n+ì và lấy 542 0</<i
543 X n + l ^n+\,m ’
544 Neu với mọi / = 0,/đều có q n+]ị > 0Ф(х п ) thì có thể hoặc tạm thời
chuyến qua phương pháp khác hoặc thay các giá trị của tham số ẲJ,0 hoặc dừng tính toán lại. 545 Phương pháp chuyển từ một quá trình lặp sang một quá trình lặp không dừng tương ứng như trên có nhiều ứng dụng và mặt nào đó có nhiều ý tương tự như việc xây dựng bao đóng của thuật toán được đề ra bởi S.L.Sobolev.
3.2.2. Cấp hội tụ của phương pháp lặp
546 Ta đã xét một đặc trưng của sự hội tụ là tốc độ hội tụ tiệm cận. Ớ đây ta xét một đặc trưng khác của sự hội tụ của phép lặp. Giả sử X = Y là không gian siêu metric đủ (tuyến tính), A là một toán tử tuyến tính xác định trong miền
lồi D(A) a X . Giả thiết rằng để giải phương trình 3.1
547 Ax = 0
548 ta dùng phép lặp
549 *„+l = ф(*„ ) = G(x„, Ax n );
(3.34) 550 và toán tử A được giả thiết có điểm bất động hút.
551 Định nghĩa 1. (Schroder) Nói răng quá trình lặp (3.34) trong
lân cận của X* có cấp hội tụ là к > 1 tới nghiệm X* nếu trong lân cận nào
đó cỏ hệ thức