Một số phương pháp lặp và điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC TƢỞNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn, bảo tận tình để hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai nơi công tác Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp xác đáng thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn động viên, khích lệ gia đình bạn bè suốt trình làm luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Đức Tưởng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đạt luận văn trung thực, chưa công bố công trình nghiên cứu khác.Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Đức Tưởng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.Không gian metric, không gian metric đầy đủ .6 1.2.Tô pô không gian metric .7 1.3.Ánh xạ liên tục .8 1.4.Tập hợp compact bị chặn .9 1.5 Không gian véc tơ (không gian tuyến tính)………………………… …10 1.6 Không gian định chuẩn, không gian Banach……………………………11 1.7 Sai số số gần 12 Chương Định lý điểm bất động phương pháp lặp đơn 14 2.1 Định lý điểm bất động 14 2.2 Phương pháp lặp đơn 21 2.3 Một số phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính 36 Chương Phương pháp Newton- Kantorovich phương pháp dây cung 44 3.1 Phương pháp Newton –Kantorovich 44 3.2 Một số kiểu biến dạng phương pháp Newton-Kantorovich……… 55 3.3 Phương pháp dây cung để giải phương trình toán tử 58 3.4 Một số biến dạng phương pháp nhiều bước để giải phương trình toán tử 67 3.5 Nguyên lý cực trị cho phương pháp Newton – Kantorovich………… 83 3.6 Một số biến dạng phương pháp Newton – Kantorovich……………91 KẾT LUẬN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu phương pháp lặp, sở để tìm lời giải số cho nhiều toán toán học khoa học, kỹ thuật Trong việc tìm kiếm nghiệm phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoán ban đầu để tạo xấp xỉ hội tụ tới nghiệm toán Cách làm cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp cố gắng giải vấn đề dãy hữu hạn phép tính Khi sai số phương pháp trực tiếp đưa nghiệm xác với phương pháp lặp ta có nghiệm gần Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp tốn (và số trường hợp không thể) với khả tính toán tốt có sẵn Hiện nay, việc nghiên cứu phương pháp lặp cách tổng quát nhờ áp dụng kết phương pháp giải tích hàm cho nhìn cách chất nhiều phương pháp giải tích số mà cho phép đề nhiều thuật toán có hiệu lĩnh vực khác toán học, đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phi tuyến… Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp này, chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp điểm bất động” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số phương pháp lặp việc giải toán tìm nghiệm số phương trình toán học Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống lại số kiến thức lý thuyết điểm bất động - Trình bày phương pháp lặp việc giải số phương trình Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Các vấn đề lý thuyết điểm bất động, phương pháp lặp đơn, Newton-Kantorovich, dây cung số vấn đề mở rộng Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu dựa sở giải tích hàm, giải tích số, phương trình vi phân, phương trình tích phân đại số Những đóng góp đề tài - Đề tài luận văn trình bày cách có hệ thống số phương pháp lặp hay sử dụng giải phương trình toán tử mà hội tụ liên quan đến ánh xạ co - Các phương pháp lặp trình bày nghiên cứu tiếp để mở rộng cho không gian trừu tượng Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Cho X   , ta gọi metric X ánh xạ d từ tích Descartes XX vào tập số thực R thỏa mãn tiên đề sau: i)(x, y X ) d ( x, y)  0, d ( x, y)   x  y ii)(x, y X ) d ( x, y)  d ( y, x) iii)(x, y, z X ) d ( x, y)  d ( x, z)  d ( z, y) Không gian metric cặp (X,d) đó: ● X   gọi tập ● d metric X ● d(x,y) khoảng cách hai phần tử x, y X ● Các phần tử X gọi điểm Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric(X,d) Dãy hội tụ : Dãy xn  X gọi hội tụ đến a  X (  0) (n0  N * ) :(n  n0 ) d ( xn , a)   , kí hiệu: lim xn  a hay xn  a (n  ) n Điểm a gọi giới hạn dãy ( xn ) không gian metric (X,d) Dãy :dãy xn  X gọi dãy ( dãy Cauchy )  (  0) (n0  N * ) :(m, n  n0 ) d ( xn , xm )    (  0) (n0  N * ) (n  n0 ) (p  N * ) d ( xn p , xn )   hay xn dãy  lim d ( xm , xn )  m,n lim d(x n  p , x n ) =  p = 1,2,… n  Không gian đủ: Không gian metric mà dãy hội tụ gọi không gian metric đủ 1.2 Tô pô không gian metric Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian (X,d), r > 0, a  X Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x  X: d(x,a) < r } hình cầu mở tâm a, bán kính r Hình cầu đóng:Ta gọi B’(a, r) = { x  X: d(x,a)  r } hình cầu đóng tâm a, bán kính r Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian (X,d), A  X Tập mở: A gọi tập mở x  A x điểm A Điểm : xA gọi điểm A   : B( x,  )  A Tập đóng: Tập A gọi tập đóng X\A = Ac tập mở Quy ước , X vừa tập đóng vừa tập mở Định lý 1.2.1 Trong không gian metric, hình cầu đóng tập đóng, hình cầu mở tập mở Định lý 1.2.2 Cho không gian metric (X,d), F  X F tập đóng   xn   F xn  x x  F Định lý 1.2.3 Cho (X,d) không gian metric thì: a) Hợp họ tùy ý tập mở tập mở: G mở    G  tập mở  b) Giao hữu hạn tập mở tập mở: Gi tập mở  i = 1, n  n G i tập mở i 1 c) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng: Fi đóng  i = 1, n  n Fi tập đóng i 1 d) Giao họ tùy ý tập hợp đóng tập đóng: F đóng  = 1, n  F tập đóng  1.3 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) gọi liên tục x0 ( > 0), ( > 0) ( x  X): d X ( x, x0 )   dY ( f ( x ), f ( x0 ))   Ánh xạ liên tục điểm thuộc A  X ta nói f liên tục A  X Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) gọi liên tục A  X ( > 0), (> 0) ( x, x’  X): d X ( x, x ')   dY ( f ( x ), f ( x '))   Hiển nhiên ánh xạ f liên tục liên tục 1.4 Tập hợp compact bị chặn Định nghĩa 1.4.1 Không gian compact Không gian metric (X,d) không gian compact với dãy điểm {xn}X,  x nk  x n  : x nk  x  X (k  ) Tập compact: Tập A  X tập compact không gian A không   gian compact nghĩa  {xn}  A,  x nk  x n  : x nk  x  A (k  ) Định lý 1.4.1 (Định lý tính chất ánh xạ liên tục tập compact) Ánh xạ liên tục f: X  Y từ không gian metric ( X , d X ) vào không gian metric (Y , dY ) K tập compact X thì: f liên tục K f(K) tập compact Y Định nghĩa 1.4.2 Tập hợp bị chặn: Cho A tập hợp tùy ý không gian metric (X,d) Số (A)  sup d(x, y) gọi đường kính tập A, số hữu x,yA hạn vô hạn Nếu (A)