Một số phương pháp lặp và điểm bất động

Một số phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính .... Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoán ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thể hội

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai nơi tôi công tác và Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2

Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình và bạn bè trong suốt quá trình làm luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Đức Tưởng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trong các công trình nghiên cứu nào khác.Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm

ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Đức Tưởng

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI NÓI ĐẦU 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1.Không gian metric, không gian metric đầy đủ 6

1.2.Tô pô trong không gian metric 7

1.3.Ánh xạ liên tục 8

1.4.Tập hợp compact và bị chặn 9

1.5 Không gian véc tơ (không gian tuyến tính)……… …10

1.6 Không gian định chuẩn, không gian Banach………11

1.7 Sai số và số gần đúng 12

Chương 2 Định lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn 14

2.1 Định lý điểm bất động 14

2.2 Phương pháp lặp đơn 21

2.3 Một số phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính 36

Chương 3 Phương pháp Newton- Kantorovich và phương pháp dây cung 44

3.1 Phương pháp Newton –Kantorovich 44

3.2 Một số kiểu biến dạng của phương pháp Newton-Kantorovich……… 55

3.3 Phương pháp dây cung để giải phương trình toán tử 58

3.4 Một số biến dạng của phương pháp nhiều bước để giải phương trình toán tử 67

3.5 Nguyên lý cực trị cho phương pháp Newton – Kantorovich………… 83

3.6 Một số biến dạng của phương pháp Newton – Kantorovich………91

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là

cơ sở để tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học,

kỹ thuật Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sử dụng dự đoán ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thể hội tụ tới nghiệm của bài toán Cách làm này là cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp là cố gắng giải quyết vấn đề bằng dãy hữu hạn các phép tính Khi không có sai số thì phương pháp trực tiếp sẽ đưa ra nghiệm chính xác nhưng với phương pháp lặp ta vẫn chỉ có nghiệm gần đúng Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp sẽ rất tốn kém (và trong một số trường hợp là không thể) ngay cả với khả năng tính toán tốt nhất có sẵn

Hiện nay, việc nghiên cứu các phương pháp lặp một cách tổng quát nhờ áp dụng các kết quả và phương pháp giải tích hàm không những chỉ cho cái nhìn một cách bản chất nhiều phương pháp của giải tích số mà còn cho phép đề ra nhiều thuật toán mới có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, như đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích phi tuyến… Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp này, tôi

đã chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp và điểm bất động”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu một số phương pháp lặp trong việc giải các bài toán tìm nghiệm của một số phương trình trong toán học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điểm bất động

- Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các vấn đề của lý thuyết điểm bất động, các phương pháp lặp đơn, Newton-Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình vi phân, phương trình tích phân và đại số

6 Những đóng góp mới của đề tài

- Đề tài luận văn được trình bày một cách có hệ thống một số phương pháp lặp hay được sử dụng khi giải phương trình toán tử mà sự hội tụ của nó đều liên quan đến ánh xạ co

- Các phương pháp lặp được trình bày có thể được nghiên cứu tiếp để mở rộng cho các không gian trừu tượng hơn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.1 Cho X  , ta gọi là một metric trong X một ánh

xạ d từ tích Descartes XX vào tập số thực R thỏa mãn 3 tiên đề sau:

● d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y X

● Các phần tử của X gọi là các điểm

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric(X,d)

Dãy hội tụ : Dãy x n  X gọi là hội tụ đến aX nếu

Dãy cơ bản :dãy x n  X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy )

Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được

gọi là không gian metric đủ

1.2 Tô pô trong không gian metric

Định nghĩa 1.2.1

Cho không gian (X,d), r > 0, a  X

Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x  X: d(x,a) < r } là hình cầu mở tâm

a, bán kính r

Hình cầu đóng:Ta gọi B’(a, r) = { x  X: d(x,a)  r } là hình cầu đóng tâm a, bán kính r

Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian (X,d), A  X

Tập mở: A được gọi là tập mở nếu x A thì x là điểm trong của A Điểm trong : xA được gọi là điểm trong của A nếu   0 : ( , )B x   A

Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = A c là tập mở

Quy ước , X vừa là tập đóng vừa là tập mở

Định lý 1.2.1 Trong không gian metric, hình cầu đóng là tập đóng,

Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A  X thì ta nói f liên tục trên A  X

Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric ( , X d X)vào không gian metric ( , Y d Y) được gọi là liên tục đều trên A  X nếu ( > 0), (> 0) ( x, x’  X): d X( , ')x x  thì d Y( ( ), ( '))f x f x .

Hiển nhiên ánh xạ f liên tục đều thì liên tục

1.4 Tập hợp compact và bị chặn

Định nghĩa 1.4.1 Không gian compact

Không gian metric (X,d) là không gian compact nếu với mỗi dãy điểm

{xn}X,xnk  xn : xnk  x X (k )

Tập compact: Tập A  X là tập compact nếu không gian con A là không gian compact nghĩa là  {x n }  A,  xnk  xn : xnk  x A (k )

Định lý 1.4.1 (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)

Ánh xạ liên tục f: X  Y từ không gian metric ( , X d X) vào không gian metric ( , Y d Y) K là tập compact trong X thế thì:

1 f liên tục đều trên K

1.5 Không gian vectơ (không gian tuyến tính)

Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K =R  C) trên

có hai phép toán “+” và “.” thỏa mãn 8 tiên đề sau:

với 1 là phần tử đơn vị của phép nhân trên trường K

Khi đó X được gọi là không gian vectơ trên trường K

1.6 Không gian định chuẩn - không gian Banach

Định nghĩa 1.6.1

Không gian định chuẩn:

Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ : X R , thỏa mãn các tính chất sau:

a)  x X : x 0; x   0 x 0

b)  x X,   K: x   x

c) x y, X : x y  x  y

Khi đó ánh xạ được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ

X Không gian X cùng với một chuẩn xác định trên nó là một không gian định chuẩn Kí hiệu là: X, , x là chuẩn của x X

Định nghĩa 1.6.3 Dãy cơ bản:

Dãy điểm x n trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản

(dãy Cauchy) (> 0) (n 0N*): (m, n  n 0 ) thì x n x m 

 (> 0) (n 0N*): (n  n 0 ) ( p = 1,2… thì x n p x n 

Định nghĩa 1.6.4 Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định lý 1.6.1 Cho không gian định chuẩn X, với mọi x,y X thì:

a) x  y  x y

b) Đặt d x y( , ) x y thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích) với chuẩn

Nhận xét:

 Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

 Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy đủ

Định nghĩa 1.6.5 Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường

K, MX Khi đó toán tử A: M  Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy {x n } M, n = 1, 2… sao cho x n x thì Ax n  Ax

1.7 Sai số và số gần đúng

1.7.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng Ta nói a là số gần đúng của a, nếu a không sai khác a nhiều Đại lượng    : a a gọi là sai số thật sự của a Do không biết a nên ta cũng không biết  Tuy nhiên, ta có thể tìm được  a 0, gọi là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện:

aa  a

hay a  a a   a a

Đương nhiên, a thỏa mãn điều kiện trên càng nhỏ càng tốt Sai số tương đối của a là a: a

   hay b10a Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác

hơn hẳn phép đo b mặc dù a  b Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối

1.7.2 Chữ số chắc

Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác "0" và cả "0", nếu nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Ví dụ a 0.0030140 Ba chữ số "0" đầu không có nghĩa

Mọi chữ số có nghĩa i của a p10p p s10p s 



chắc, nếu   a  10i

trong đó  là tham số cho trước Tham số  được chọn để một chữ số vốn

đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc Giả sử chữ số chắc cuối cùng của

a trước khi thu gọn là i Để i1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có

Chương 2

Định lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn

2.1 Định lý điểm bất động

Định nghĩa Cho ( , )X  là không gian metric Ánh xạ A X: X được

gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số  thỏa mãn 0  1 sao cho với bất

kỳ hai điểm x y, X ta có

(Ax Ay, )( , )x y (2.1)

Hiển nhiên ánh xạ co là liên tục đều Điểm *x X được gọi là điểm bất động của A nếu ta có Ax* x* Nói cách khác, điểm bất động của ánh xạ A chính

là nghiệm của phương trình Axx

Định lý 2.1 (Banach) Nếu A là ánh xạ co, đi từ không gian metric

đủ( , )X  vào chính nó thì A có duy nhất một điểm bất động và điểm đó có thể nhận được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ ban đầu tùy ý

Từ đó ( , x x n m)0 khi m n, 0 Vì X đủ nên { } x có giới hạn là * n x X

nên ( *, *) 0x y  (do  1) hay là x* y*

Chú ý 2.1 Ánh xạ A thỏa mãn điều kiện

ánh xạ nửa đường thẳng 1, vào chính nó và thỏa mãn (2.2) nhưng không

có điểm bất động trên nửa đường thẳng đó

Thông thường người ta xét các ánh xạ co xác định trên toàn không gian

X hoặc trong hình cầu S X Trong trường hợp ánh xạ co được xét trong hình cầu S , định lý 2.1 thường được phát triển dưới dạng sau đây

Định lý 2.2 Giả sử A là ánh xạ co trong hình cầu đóng

Ay y0, 0  1 r

(2.3)

Khi đó trong S tồn tại duy nhất một điểm bất động của A

Để chứng minh định lý 2.2 ta chỉ cần kiểm tra ASS Vì với xS ta có

 x ( ,x Ax)

  Gọi  x n là dãy cực tiểu nào đó của  x , khi đó

Tính duy nhất được chứng minh tương tự như trên

Chú ý 2.2 Trong chú ý 2.1 ta đã thấy nếu A chỉ thỏa mãn điều kiện

(2.2) thì định lý 2.1 chưa chắc đúng Tuy vậy nếu miền giá trị của A là tập

compact thì định lý vẫn đúng

Định lý 2.3 Giả sử A ánh xạ tập đóng M của không gian metric đủ

X vào tập compact M và thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi đó ánh xạ A có điểm bất động duy nhất trong M

Chứng minh Để chứng minh ta lại xét phiếm hàm

 x ( ,x Ax)

 

Vì đó là phiếm hàm liên tục, không âm nên tại một điểm x* nào đó trong tập

compact M nó sẽ đạt giá trị cực tiểu Giá trị cực tiểu đó bằng 0, vì nếu ngược

điều đó vô lý Bởi vậy  x* 0 và do đó x* là điểm bất động của ánh xạ

A Tính duy nhất được chứng minh tương tự như ở định lý 2.2

Chú ý 2.3 Ánh xạ A thỏa mãn điều kiện của định lý 2.3 không nhất

thiết là ánh xạ co trên M cũng như trên A M  Có thể thấy điều đó qua ví dụ đơn giản sau đây:

Dưới đây ta nêu lên mà không chứng minh một định lý quan trọng về

sự tồn tại của điểm bất động, định lý Schauder

Định lý 2.4 Giả sử ánh xạ liên tục A ánh xạ tập đóng, lồi M của

không gian Banach X vào chính nó và A M là compact Khi đó ánh xạ A có điểm bất động duy nhất trong M

Trong nhiều trường hợp việc đưa vào một tham biến mới làm đơn giản cách giải bài toán và sau đó nghiệm của phương trình xuất phát được xem như

là một giá trị của nghiệm bài toán mới ứng với một giá trị cố định của tham

biến Vì thế việc xét tính liên tục của nghiệm phụ thuộc vào tham biến trong trường hợp này rất quan trọng Khái niệm về ánh xạ co đều có lợi cho việc xét các vấn đề trên

Giả sử có hai không gian Banach X , X và S là hình cầu 1 x x0 r

trong X và S là hình cầu 1 zz0 r1 trong X Toán tử 1 A x z( ; ) tác dụng

trong không gian X và phụ thuộc vào tham biến zS1 được gọi là ánh xạ co

đều nếu với mọi zS1 ta có

có trong hình cầu S nghiệm duy nhất x*x* ( )z liên tục theo z

Chứng minh Định lý 2.1 đã khẳng định sự tồn tại và duy nhất của

nghiệm đó Ta chỉ cần chứng minh tính liên tục theo z Thực vậy, theo (2.4)

Vì A liên tục theo z với mỗi x cố định nên ta suy ra x*( )z liên tục tại điểm

0 1

z S Định lý được chứng minh

Dưới đây ta sẽ chứng minh định lý tổng quát hơn trong không gian

metric Giả sử X là không gian metric với metric ( , )x y , ánh xạ A được gọi

là ánh xạ co suy rộng nếu

(Ax Ay, )q  ,  ( , )x y ,   ( , )x y 

(2.6) trong đó 0   và q , 1

(2.7) Chẳng hạn, nếu A thỏa mãn bất đẳng thức

(Ax Ay, )( , )x y   ( , )x y 

(2.8) với ( )u là một hàm liên tục, dương khi u0 thì A là ánh xạ co suy rộng

Ta có định lý sau đây

Định lý 2.6 Giả sử ánh xạ co suy rộng A ánh xạ không gian metric đủ

X vào chính nó Khi đó phương trình

 ( *, * 1)m( * 1)

N m q

Điều đó mâu thuẫn, do đó n 0 Giả sử cho số  0, chọn N sao cho

Hai metric ( , )x y và 1( , )x y trong không gian X được gọi là tương đương

nếu mỗi dãy cơ bản theo metric này cũng là dãy cơ bản theo metric kia

Định lý 2.7 iả sử A ánh xạ không gian metric đủ X đường kính hữu

hạn với metric 0( , )x y vào trong nó iả sử A có trong X điểm bất động duy nhất và dãy (2.10) hội tụ đều tương ứng với các xấp xỉ ban đầu x0X về điểm đó

Khi đó trong X có thể đưa vào metric tương đương ( , )x y sao cho khi chuyển sang metric đó A trở thành ánh xạ co:

(Ax Ay, )q( , ), (0x y  q 1) (2.11)

Định lý này quan trọng, vì như vậy khi biết nghiệm của phương trình nào đó có thể thu được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp thì có thể tìm được một metric tương đương sao cho khi sử dụng metric đó ta có thể áp dụng nguyên lý ánh xạ co

Bây giờ giả sử rằng A là liên tục, ánh xạ không gian metric đủ, giới nội vào trong nó và có trong X một điểm bất động duy nhất x* Giả thiết rằng

n

x  A x hội tụ về x* với bất kỳ x0X Có phải dãy đó luôn luôn hội tụ đều về x* tương ứng với x0X hay không?

Câu trả lời là phủ định ngay cả khi X là compact Có thể xét ví dụ: X

là vòng tròn đơn vị trên đó tọa độ là góc cực ,(0  2 ) với ánh xạ A đặt

tương ứng mỗi điểm 0 với giá trị của nghiệm của phương trình vi phân

với toán tử A tác dụng trong không gian metric đủ X Giải phương trình

(2.12) có nghĩa là tìm phần tử xD A( ) bất động với toán tử A

2.2.1 Phương pháp lặp, miền hội tụ

Phương pháp đơn giản để xác định các nghiệm gần đúng của phương trình (2.12) là xuất phát từ một phần từ (t y ý) x0D A( ) xác định liên tiếp các phần tử gần đúng theo x x1, 2,,x n theo công thức

x   Ax n  (2.13) Các vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên và xét xem với điều kiện nào

của toán tử A quá trình lặp có thể tiến hành vô hạn và dãy { } x n hội tụ tới nghiệm của phương trình (2.12), đồng thời xét tốc độ của sự hộ tụ đó

Nói chung sự hội tụ phụ thuộc vào cách chọn phần tử ban đầu x Với 0

điểm bất động x*, tập hợp tất cả các phần tử x0, mà dãy { }x n tương ứng hội

tụ về phần tử x*, được gọi là miền hội tụ của điểm x* Điểm x* được gọi là hút nếu có một lân cận nào đó của x* nằm hoàn toàn trong miền hội tụ của

nó Nếu như tồn tại một lân cận nào đó của điểm bất động x* không chứa

một điểm nào đó của miền hội tụ trừ chính điểm x* thì x* được gọi là điểm bất động đẩy

Trong trường hợp A là ánh xạ co, D A( ) đóng và D A( )D thì theo định lý 2.1 dãy xấp xỉ liên tiếp (2.13) với giá trị t y ý x0D A( ) hội tụ về nghiệm duy nhất x*của phương trình (2.12) và dĩ nhiên trong trường hợp đó điểm x* là điểm bất động hút Tốc độ hội tụ được đặc trưng bằng bất đẳng thức

A A

1 1

với ||A1|| 1 , trở về trường hợp của phương trình (2.15)

Nhận x t 2.3 Giả sử A ( , )X X trong đó là một không gian Hilbert Nếu toán tử A có nghịch đảo tuyến tính bên trái A t1 thì phương trình

A là toán tử liên hợp của A

Quả vậy, r ràng nghiệm (2.18) là nghiệm của (2.19) Ta còn cần

chứng minh điều ngược lại Giả sử x là nghiệm của phương trình (2.19) úc

* * * 2 2 * 2

( (A x x ), (A x x )) || ( A x x ) || m ||x x ||

x x Đó là điều phải chứng minh

Như vậy trong trường hợp đó để giải phương trình (2.18), ta có thể giải phương trình (2.19) Mặt khác d dàng thấy phương trình (2.19) tương đương với phương trình loại 2 sau đây:

n T n

x   x  y

cho dãy { }x n sẽ hội tụ về nghiệm của phương trình (2.20) hay của (2.19) cũng vậy

2.2.2 Phương pháp lặp để giải phương tr nh đại số và phương tr nh siêu việt

a) Giả sử phải giải phương trình

( ) 0

trong đó f là hàm số xác định trên đoạn a,b

Bằng một cách nào nó ta đưa phương trình (2.21) về một dạng tương đương

với hằng số K 1 và ánh xạ đoạn [a,b] vào trong nó Khi đó ( )x là một ánh

xạ co và theo định lý 2.1 dãy các giá trị

Với phương trình (2.21) ta giả thiết ( ) ( ) 0f a f b  và 0k1 f x( )k

trên [a,b] Khi đó nói chung có thể xét hàm

Ví dụ Tìm nghiệm của đa thức

  , thay các giá trị của x x0, ,1  ta có

* 2

2.2.3 Phương pháp lặp để giải phương tr nh vi ph n thường

a) ét phương trình vi phân thường

( , )

dy

f x y

với điều kiện ban đầu

Giả sử hàm f x y( , )xác định và liên tục trong một miền phẳng G nào đó

chứa điểm ( ,x y0 0) và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y trong miền đó

1 2 1 2

| ( ,f x y ) f x y( , ) || y y |.Định lý Picard khẳng định rằng với những điều kiện đó trong một khoảng |xx0 |d nào đó tồn tại duy nhất nghiệm y( )x của phương trình (2.23) thỏa mãn điều kiện (2.24)

Để chứng minh định lý đó chú ý rằng bài toán Cauchy(2.23), (2.24) tương đương với phương trình tích phân

Ld  đóng vai trò số  trong ánh xạ co Từ đó suy ra phương trình   A,

tức là phương trình (2.25), có nghiệm duy nhất trong *

C Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard cho phép xác định liên tiếp các giá trị gần đúng của nghiệm của phương trình (2.25) hay của bài toán Cauchy xuất phát cũng vậy:

trong đó f i xác định và liên tục trong miền n 1

2.2.4 Phương pháp xấp x liên tiếp để giải phương tr nh tích ph n

Trước khi xét cụ thể cho từng loại tích phân ta xét một loại mở rộng nguyên lý ánh xạ co, ta có mệnh đề sau:

iả sử A là ánh xạ liên tục biến không gian metric đủ X vào trong nó

sao cho một lũy thừa nào đấy của A B:  A n là ánh xạ co, khi đó A có duy nhất một điểm bất động (hay phương trình x Ax có nghiệm duy nhất)

Thực vậy, giả sử x* là điểm bất động của toán tử B nghĩa là * *

|K x y( , ) |M Ta sẽ chứng tỏ rằng một lũy thừa nào đấy của A sẽ là toán tử

co Giả sử  1, 2C a b[ , ], khi đó

( )

n i

cả hai vế theo x ta được:

2.2.5 Phương pháp lặp đơn đề giải hệ phương tr nh đại số tuyến tính

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính

Trong đó ký hiệu T biểu thị đó là vectơ cột

ét ba cách khác nhau xác định metric trong n

R : a) Với cách đặt:

a  

toán tử A sẽ là toán tử co

Như vậy, nếu một trong ba điều kiện (2.41) - (2.43) được thỏa mãn thì

hệ phương trình đại số tuyến tính (2.40) có duy nhất một nghiệm với véctơ b

với vectơ gần đúng ban đầu (x i(0)) tùy ý thuộc R n

Các điều kiện (2.41) - (2.43) đều là những điều kiện đủ để A là toán tử

co (theo metric tương ứng), với điều kiện (2.40) có thể chứng tỏ rằng đó cũng

là điều kiện cần để A là toán tử co theo metric tương ứng Không một điều kiện nào trong ba điều kiện nói trên là điều kiện cần cho việc áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Với hệ phương trình đại số tuyến tính, rất nhiều dạng của phương pháp lặp đã được xét

D dàng kiểm tra lại các điều kiện đủ nói trên đều thỏa mãn

Lấy x(0) (0,0,0) ta được lần lượt

(1) (1) (1) 1

(6) (6) (6) 1

2.3 Một số phương pháp lặp để giải hệ phương tr nh đại số tuyến tính

Ngoài phương pháp lặp được nêu trong 2.3.5 để giải hệ phương trình đại số tuyến tính, người ta đã xây dựng một lớp khá phong phú các phép lặp khác nhau Trong mục này trình bày một số phương pháp lặp thường dùng

Cụ thể, các xấp xỉ tiếp theo được xác định từ hệ phương trình sau:

thì phương pháp Zeidel được viết dưới dạng:

Vì tất cả mọi nghiệm của phương trình:



 (2.47)

đều bé hơn 1 theo modul

Miền hội tụ của phương pháp lặp đơn và phương pháp Zeidel là giao nhau Điều đó có nghĩa là có những ma trận mà phương pháp Zeidel áp dụng cho nó sẽ hội tụ nhưng phương pháp lặp đơn lại không hội tụ và ngược lại

Ta có điều kiện đủ sau đây để phương pháp Zeidel hội tụ

Định lý 2.8 Giả sử với mọi i,1, 2,,n

n T

Chú ý 2.2 D dàng thấy sự hội tụ của phương pháp Zeidel được bảo

toàn khi nhân các hàng hoặc các cột của ma trận A với những số nào đó Điều nhận xét đó trong nhiều trường hợp làm đơn giản việc xét tính hội tụ của phương pháp

Để hiểu r hơn bản chất của phương pháp ta thử hình dung ý nghĩa hình học của nó Ký hiệu π1 là siêu phẳng

1

0

n j j

1

)

,,x ik ,x i k ,,x n k )chính là việc dịch chuyển song song theo trục xi cho đến lúc gặp siêu phẳng πi

Đặc biệt trong trường hợp ma trận A đối xứng ta có:

Định lý 2.9 Giả sử ma trận A thực, đối xứng và xác định dương Khi

đó phương pháp Zeidel hội tụ

Có thể chứng minh định lý 2.9 nhờ một kết quả quen thuộc của đại số được phát biểu dưới dạng bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Gọi F và G là những ma trận, trong đó F không suy biến

sao cho F + G , F – G* là những ma trận Hermit (Hermite) xác định dương Khi đó các giá trị riêng của F -1 đều năm trong vòng tròn đơn vị

Áp dụng bổ đề này với G = C và F = B Theo giả thiết của định lý ta có F = B

= C* + D trong đó D là ma trận đường chéo của A cũng xác định dương Từ

B C có tất cả các giá trị riêng nằm trong vòng tròn đơn vị và do đó phương pháp Zeidel áp dụng cho phương trình (2.44) hội tụ