Một số phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ ÁNH HỒNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Các kiến thức 1.1 Các kiến thức không gian hàm ¯ 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian Lp (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Khái niệm vết hàm 1.2 Lý thuyết phương trình elliptic 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 1.2.2 Phát biểu toán biên 1.3 Phương pháp lặp sơ đồ lặp 4 5 10 10 12 13 Một số phương pháp giải toán elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic cấp với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1.1 Cơ sở phương pháp 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp 2.2 Phương pháp lặp giải toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp 2.2.1 Mô hình toán 2.2.2 Phương pháp lặp 15 Bài toán Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho toán song điều hòa với điểm đứt gãy kì dị 3.1.1 Mô hình toán 3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị 27 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 15 17 22 22 22 27 28 30 MỤC LỤC 3.2 3.1.3 Kết số Phương pháp chia miền giải toán crack 3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền 3.2.2 Các kết thực nghiệm Tài liệu tham khảo ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 37 37 39 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Vũ Vinh Quang Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS Vũ Vinh Quang, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Chu Văn An - Thái Nguyên bạn lớp Cao học K4A, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Khi nghiên cứu toán học vật lý kỹ thuật, thông qua việc mô hình hóa, toán thường dẫn đến dạng phương trình elliptic cấp dạng phương trình song điều hòa với hệ số điều kiện biên khác Trong trường hợp điều kiện biên toán xét không tồn điểm kì dị có nhiều phương pháp tác giả giới tìm nghiệm gần toán tương ứng phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, trường hợp biên tồn điểm kì dị điểm phân cách loại điều kiện biên hàm đạo hàm, điều thường xảy mô hình toán học vật liệu đàn hồi gặp toán elliptic toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị Khi phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn Đối với toán này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng phương pháp phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dạng khai triển thông qua hệ hàm sở Một hướng nghiên cứu thứ hai xây dựng sơ đồ lặp dựa tư tưởng chia miền Mục đích luận văn tìm hiểu toán vết nứt hay gọi toán crack tác giả giới đưa Mô hình toán học toán toán song điều hoà với điều kiện biên kì dị Trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải toán đồng thời xây dựng sơ đồ lặp dựa tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ toán Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận hội tụ phương pháp lặp so sánh tính hiệu hai phương pháp đưa Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, bất đẳng thức quan trọng, khái niệm nghiệm yếu, lý thuyết sơ đồ lặp hai lớp định lý hội tụ sơ đồ lặp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Chương 2: Trình bày sở phương pháp chia miền để giải toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sở phương pháp lặp giải toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp Chương 3: Nghiên cứu mô hình toán vết nứt, trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải toán Trên sở phương pháp chia miền giải phương trình cấp phương pháp lặp giải phương trình cấp 4, luận văn đưa sơ đồ lặp giải toán vết nứt, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đắn phương pháp đưa Từ đưa kết luận so sánh hai phương pháp Trong luận văn, chương trình thực nghiệm lập trình ngôn ngữ Matlab chạy máy tính PC Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Thầy, Cô bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Trong chương này, luận văn trình bày kết lý thuyết quan trọng không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu định lý tồn nghiệm, bất đẳng thức Poincare, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình toán tử 1.1 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 ¯ Không gian C k (Ω) ¯ Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω ¯ bao đóng Ω Ta kí hiệu C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ) tập hàm có đạo ¯ Ta đưa vào C k (Ω) ¯ chuẩn hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω max |Dα u(x)|, ||u||C k (Ω) ¯ = |α|=k ¯ x∈Ω (1.1) α = (α1 , α2 , , αn ) gọi đa số véc tơ với tọa độ nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + + αn , ∂ α1 + +αn u D u = α1 ∂x1 ∂xαn n α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức ¯ hàm tất Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω ¯ với chuẩn đạo hàm chúng đến cấp k kể k Rõ ràng tập C k (Ω) (1.1) không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp(Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta kí hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho |f (x)|p dx < ∞ (1.2) Ω Trong Lp (Ω ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì |f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian véc tơ Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm || · ||p xác định ||u||p =    1.1.3 |u(x)|p dx Ω 1/p  (1.3)  Không gian W 1,p(Ω) Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm Ω với x0 ∈ Ω tồn lân cận ω x0 để u(x) khả tích Ω Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω miền Rn Giả sử u(x), v(x) hai hàm khả tích địa phương Ω cho ta có hệ thức Ω ∂kϕ u k1 dx = (−1)k kn ∂x1 ∂xn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vϕdx, Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + + kn , ki ≤ 0(i = 1, 2, , n) Khi đó, v(x) gọi đạo hàm suy rộng cấp k u(x) Kí hiệu ∂ku v(x) = k1 ∂x1 ∂xknn Định nghĩa 1.1.3 Giả sử p số thực, < p < ∞, Ω miền Rn Không gian Sobolev W 1,p (Ω) định nghĩa sau: W 1,p (Ω) = {u|u ∈ Lp (Ω), ∂u ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, , n}, ∂xi đạo hàm đaọ hàm suy rộng Với p = 2, ta kí hiệu W 1,p (Ω) = H (Ω), nghĩa H (Ω) = {u|u ∈ L2 (Ω), ∂u ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, , n} ∂xi Bổ đề 1.1.4 i) Không gian W 1,p (Ω) không gian Banach với chuẩn n ||u||W 1,p (Ω) = ||u||Lp (Ω) + || i=1 ∂u ||Lp (Ω) ∂xi ii) Không gian H (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng n (u, v)H (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + i=1 1.1.4 ∂u ∂v , ∂xi ∂xi , ∀u, v ∈ H (Ω) L2 (Ω) Khái niệm vết hàm Định nghĩa 1.1.5 Không gian Sobolev W 1,p (Ω) định nghĩa bao đóng không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω tương ứng với chuẩn W 1,p (Ω) Không gian H01 (Ω) định nghĩa H01 (Ω) = W01,2 (Ω) Định lý 1.1.6 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi đó: i) Nếu ≤ p < n W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) là: 1 - Nhúng compact q ∈ [1, p∗ ), ∗ = − p p n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức - Nhúng liên tục với q = p∗ ii) Nếu p = n W01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) nhúng compact q ∈ [1, +∞) ¯ nhúng compact iii) Nếu p > n W01,p (Ω) ⊂ C (Ω) Định lý 1.1.7 (Định lý vết) Giả sử Ω tập mở Rn với biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục γ : H (Ω) → L2 (∂Ω) ¯ ta có γ(u) = u|∂Ω Hàm γ(u) cho với u ∈ H (Ω) ∩ C (Ω) gọi vết u ∂Ω Định nghĩa 1.1.8 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Không gian H 1/2 (∂Ω) gọi miền giá trị ánh xạ vết γ, tức H 1/2 (∂Ω) = γ(H (Ω)) Định lý 1.1.9 i) Kí hiệu H 1/2 (∂Ω) không gian Hilbert với chuẩn ||u||2H 1/2 (∂Ω) |u(x) − u(y)|2 dSx dSy |x − y|n+1 |u(x)| dSx + = ∂Ω ∂Ω ∂Ω ii) Tồn số Cγ (Ω) cho: ||γ(u)||H 1/2 (∂Ω) ≤ Cγ (Ω)||u||H (Ω) , ∀u ∈ H (Ω) Khi đó, Cγ (Ω) gọi số vết Bổ đề 1.1.10 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Không gian H 1/2 (∂Ω) có tính chất sau: i) Tập {u|∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trù mật H 1/2 (∂Ω) ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) compact iii) Tồn ánh xạ tuyến tính liên tục g ∈ H 1/2 (∂Ω) → ug ∈ H (Ω) với γ(ug ) = g tồn số C1 (Ω) phụ thuộc vào miền Ω cho ||u||H (Ω) ≤ C1 (Ω)||g||H 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω) Bổ đề 1.1.11 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi H01 (Ω) = {u|u ∈ H (Ω), γ(u) = 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sở phương pháp lặp giải toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp Chương 3: Nghiên cứu mô hình toán vết nứt, trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm... 10 12 13 Một số phương pháp giải toán elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic cấp với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1.1 Cơ sở phương pháp ... hội tụ phương pháp 2.2 Phương pháp lặp giải toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp 2.2.1 Mô hình toán 2.2.2 Phương pháp lặp