Một số phương pháp lặp giải bài toán biên hỗn hợp

®¹i häc th¸I nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc ®inh tõ s¬n Mét sè ph-¬ng ph¸p lỈp gi¶i bµi to¸n biªn hçn hỵp ln v¨n th¹c sÜ khoa häc m¸y tÝnh Th¸i nguyªn, n¨m 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ®¹i häc th¸I nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc ®inh tõ s¬n Mét sè ph-¬ng ph¸p lỈp gi¶i bµi to¸n biªn hçn hỵp Chuyªn ngµnh: To¸n øng dơng M· sè : 60 46 01 12 ln v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS. Vò Vinh Quang Th¸i nguyªn, n¨m 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC MỤC LỤC 1 Mở đầu 1 Chương 1 Các kiến thức cơ bản 3 1.1 Các kiến thức cơ bản về khơng gian hàm 3 1.1.1 Khơng gian   k C  3 1.1.2 Khơng gian () P L  3 1.1.3 Khơng gian 1, W ( ) p  4 1.1.4 Khái niệm vết của hàm 5 1.1.5 Khơng gian Sobolev với chỉ số âm   1 H   và   1/2 H   7 1.1.6 Nghiệm yếu của phương trình 8 1.2 Lý thuyết về sơ đồ lặp 9 1.3 Phương pháp sai phân 11 1.3.1 Phương pháp lưới 11 1.3.2 Bài tốn sai phân 11 1.3.3 Thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn 13 Chương 2 Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài tốn cấp hai và cấp bốn 20 2.1 Phương pháp chia miền 20 2.1.1 Cơ sở của phương pháp 20 2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp 21 2.2 Phương pháp lặp song song giải bài tốn biên hỗn hợp mạnh. 26 2.2.1 Bài tốn 26 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp 27 2.3 Phương pháp xấp xỉ biên giải phương trình song điều hòa 30 Chương 3 Mơ hình bài tốn biên hỗn hợp 35 3.1 Mơ hình tốn học 35 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài tốn biên hỗn hợp 38 3.2.1 Phương pháp lặp tuần tự 39 3.2.2 Phương pháp lặp song song 43 3.2.3 Phương pháp lặp đối với bài tốn biên hỗn hợp mạnh 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Phần phụ lục 51 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Các ký hiệu L Tốn tử Elliptic n  Khơng gian Euclid n chiều  Miền giới nội trong khơng gian n   Biên trơn Lipschitz   k C  Khơng gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục   2 L  Khơng gian các hàm đo được bình phương khả tích   1,p W  Khơng gian Sobolev với chỉ số p   1/2 H  Khơng gian Sobolev với chỉ số 1 / 2   1 0 H  Khơng gian các hàm có vết bằng 0 trên    1 H   Khơng gian đối ngẫu với   1 0 H    1/2 H   Khơng gian đối ngẫu với   1/2 H  . V Chuẩn xác định trên khơng gian V   . V Tích vơ hướng xác định trên khơng gian V   C   Hằng số vết C  Hằng số poincare E Ma trận đơn vị Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Trong thực tế, các bài tốn cơ học và vật lý thường được mơ tả bằng các bài tốn biên với phương trình đạo hàm riêng dạng cấp hai và cấp bốn trong đó phương trình Elliptic và phương trình song điều hòa là các phương trình được các nhà khoa học kỹ thuật rất quan tâm bởi các phương trình đó liên quan đến các bài tốn mơ tả độ uốn, dao động của các tấm và màng mỏng. Đại đa số các trường hợp, các bài tốn thực tế thường được mơ hình hóa bằng chỉ một loại phương trình. Tuy nhiên khi nghiên cứu mơ hình chuyển dịch ngang của một tấm đàn hồi được cấu thành bởi hai thành phần khác nhau, một là màng mỏng và phần còn lại là bản cứng, thơng qua mơ hình tốn học, dao động của hệ hỗn hợp trên sẽ được mơ tả bởi bài tốn biên tiêu biểu dạng hỗn hợp giữa phương trình cấp hai và cấp bốn với các điều kiện biên hỗn hợp hoặc hỗn hợp mạnh. Trong tài liệu [5], tác giả đã mơ tả bài tốn, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm và đồng thời và đưa ra một phương pháp lặp xác định nghiệm gần đúng của bài tốn hỗn hợp trên cơ sở sơ đồ chia miền Dirichle-Neumann. Tuy nhiên trên cơ sở phương pháp phân rã bài tốn cấp bốn về hai bài tốn cấp hai kết hợp với phương pháp chia miền cùng phương pháp tốn tử biên, ta có thể xây dựng một số phương pháp lặp khác để giải bài tốn trên. Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu mơ hình tốn học của bài tốn hỗn hợp, trên cơ sở các kết quả về phương pháp phân rã, phương pháp xấp xỉ biên và phương phương pháp chia miền xây dựng một số phương pháp lặp để tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn, khảo sát sự hội tụ và tính tốn tử nghiệm trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Cấu trúc của luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các khơng gian hàm, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu của phương trình Elliptic, lý thuyết về sơ đồ lặp, phương pháp sai phân, thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn giải hệ phương trình vectơ 3 điểm. Đây là những kiến thức quan trọng làm cơ sở nghiên cứu về mơ hình bài tốn được mơ tả ở các chương tiếp theo của luận văn. Chương 2: Đưa ra các kết quả đã biết về phương pháp chia miền dưới dạng tuần tự và song song để giải các bài tốn biên hỗn hợp mạnh, phương pháp xấp xỉ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 biên giải bài tốn song điều hòa. Đây là cơ sở lý thuyết chính để đề xuất các sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn biên hỗn hợp trình bày trong chương 3. Chương 3: Mơ tả mơ hình tốn học của các bài tốn biên hỗn hợp giữa phương trình cấp hai và phương trình cấp bốn. Trên cơ sở các phương pháp đã trình bày trong chương 2, luận văn xây dưng một số phương pháp lặp xác định nghiệm xấp xỉ của bài tốn hỗn hợp, tiến hành tính tốn kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của các phương pháp. Các kết quả số trong luận văn được thực hiện trong mơi trường MATLAB. Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn khơng thể tránh được những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy Cơ giáo, đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hồn thiện. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn em trong suốt q trình làm luận văn. Em cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cơ giáo, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã ln giúp đỡ, động viên em trong suốt q trình học tập và nghiên cứu. Thái Ngun, tháng 8 năm 2013 Học viên ĐINH TỪ SƠN Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Chương 1 Các kiến thức cơ bản Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về các khơng gian hàm, đặc biệt là khơng gian Sobolev, khái niệm về nghiệm yếu của phương trình, các kiến thức về các sơ đồ lặp và đặc biệt là phương pháp sai phân và thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn. Các kiến thức trên được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 6, 7]. 1.1 Các kiến thức cơ bản về khơng gian hàm 1.1.1 Khơng gian   k C  Giả sử  là miền bị chặn trong khơng gian Euclid n chiều n  và có  là bao đóng của  . Ta kí hiệu     , 1,2, 3 k Ck là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong  , liên tục trong  . Ta đưa vào   k C  chuẩn     max k C k u D u x       (1.1) Trong đó 1 ( , , ) n    được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ ngun khơng âm, 1 n      , 1 1 1 n n n u Du xx        . Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong  của các hàm và tất cả các đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k . Rõ ràng tập   k C  với chuẩn (1.1) là một khơng gian Banach. 1.1.2 Khơng gian () P L  Giả sử  là một miền trong n  và p là một số thực dương. Ta kí hiệu () P L  là lớp các hàm đo được f xác định trên  sao cho Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4   p f x dx    . (1.2) Trong () P L  ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên  . Như vậy các phần tử của () P L  là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên  . Vì   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) p p p p p f x g x f x g x f x g x             nên rõ ràng () P L  là một khơng gian vectơ. Ta đưa vào () P L  phiếm hàm . p xác định bởi 1/ () p p p u u x dx             . (1.3) Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Hoder). Nếu 1 p   và () P uL , () P vL thì () P uv L và ' ( ) ( ) pp u x v x dx u u    (1.4) trong đó ' / ( 1)p p p tức là 1/ 1/ ' 1pp , 'p được gọi là số mũ liên hợp với p . Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu 1 p   thì pp f g f g   . (1.5) Định lí 1.3 Khơng gian () P L  với 1 p   là một khơng gian Banach. 1.1.3 Khơng gian 1, W ( ) p  Định nghĩa 1.1 Cho  là miền trong của n  . Hàm ()ux được gọi là khả tích địa phương trong  nếu ()ux là một hàm trong  và với mỗi 0 x  đều tồn tại một lân cận  của 0 x để ()ux khả tích trong  . Định nghĩa 1.2 Cho  là miền trong của n  . Giả sử ( ), ( )u x v x là hai hàm khả tích địa phương trong  sao cho ta có hệ thức Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5   1 1 1 n k k kk n u dx v dx xx        đối với mọi   1 ( ) , , 0( 1,2, , ) k o n i x C k k k k i n        . Khi đó, ()vx được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của ()ux . Kí hiệu 1 1 () n k kk n u vx xx    . Định nghĩa 1.3 Giả sử p là một số thực, 1 p   ,  là miền trong của n  . Khơng gian Sobolev 1, W ( ) p  được định nghĩa như sau: 1, W ( ) ( ), ( ), 1,2, , . p p p i u u u L L i n x                 trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng. Với 2p  , ta kí hiệu 1, 1 W ( ) ( ) p H   , nghĩa là 1 2 2 ( ) ( ), ( ), 1,2, , i u H u u L L i n x                 . Bổ đề 1.1 i) Khơng gian 1, W ( ) p  là khơng gian Banach với chuẩn       1, 1 pp p n WL i i L u uu x        . ii) Khơng gian 1 ()H  là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng 12 2 1 ( ) ( ) 1 () ( , ) ( , ) , , , ( ) n HL i ii L uv u v u v u v H xx                       . 1.1.4 Khái niệm vết của hàm Định nghĩa 1.4. Khơng gian Sobolev 1, W ( ) p  được định nghĩa như các bao đóng của khơng gian các hàm khả vi vơ hạn có giá compact trong  tương ứng với chuẩn của 1, W ( ) p  . Khơng gian 1 0 ()H  được định nghĩa bởi 1 1,2 00 ( ) W ( )H    . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 Chương 2 Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài tốn cấp hai và cấp bốn Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu về các phương pháp lặp giải bài tốn cấp hai và cấp bốn, các kết quả được tham khảo trong các tài liệu [8, 9, 10, 11] 2.1 Phương pháp chia miền 2.1.1 Cơ sở của phương pháp Cho   2 là miền với biên Lipschitz  , xét bài tốn u x   f x... lý về sự hội tụ của phương pháp lặp như sau: Định lý 2.2 Lược đồ lặp (2.24) hội tụ trong L2  nếu 0    2 B 2.3 Phương pháp xấp xỉ biên giải phương trình song điều hòa Phương trình song điều hòa là một lớp phương trình quan trọng trong cơ học Để giải bài tốn này, phương pháp thơng thường là tìm cách phân rã bài tốn, đưa về hai bài tốn cấp hai Tuy nhiên khi điều kiện biên của bài tốn song điều hòa... (2.1) - (2.3) hội tụ nếu tham số lặp  thỏa mãn điều kiện (2.8) Giá trị tối ưu của tham số lặp được cho bởi (2.9) và khi đó ước lượng cho các sai số được xác định bởi (2.10) 2.2 Phương pháp lặp song song giải bài tốn biên hỗn hợp mạnh 2.2.1 Bài tốn Cho   2 là miền với biên Lipschitz  , xét bài tốn biên hỗn hợp mạnh có dạng:  Lu  f x , x  ,     u    x , x  N ,      u  g x... , yk , của phương trình (1.11) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k  1, 2, Bản chất của những phương pháp này là giá trị yk 1 có thể được tính thơng qua các giá trị lặp trước: yk , yk 1, Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ yk 1 có thể tính được thơng qua một hoặc hai giá trị trước đó Dạng chính tắc của lược đồ lặp 2 lớp...   H 1/2  Ta xét trường hợp tổng qt khi điều kiện biên lu x   g x  là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là tốn tử hàm) và Neumann (l là tốn tử đạo hàm hướng) Ta áp dụng phương pháp chia miền để xác định nghiệm của bài tốn biên hỗn hợp mạnh n d Giả sử  cho bởi 1  1 2 2 Hình 2.1 Xét bài tốn u  f , x  ,   ... tới việc khơng xác định được điều kiện biên của hai bài tốn cấp hai thì việc giải bài tốn gặp khó khăn Một trong những hướng nghiên cứu giải quyết Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 31 khó khăn là xác định xấp xỉ giá trị biên thơng qua phương pháp lặp dựa trên lý thuyết tốn tử trong các khơng gian hàm Ta xét mơ hình bài tốn sau (Hình 2.3): Bài tốn 2u  f , x  ,     u ... hk (1.19) Ta được bài tốn sai phân hồn chỉnh: Tìm hàm lưới u tại các nút (i, j ) thoả mãn hệ phương trình sai phân (1.18) với điều kiện biên (1.19) Như vậy việc tìm Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 13 nghiệm xấp xỉ của bài tốn vi phân (1.17) với độ chính xác cấp hai được đưa về việc giải bài tốn sai phân (1.18) với điều kiện (1.19) bằng các phương pháp đại số 1.3.3 Thuật tốn... k Trong đó u     u1   u2     (2.15) và  là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn  2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp Để nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp lặp song song, ta đưa vào tốn tử biên B xác định trên L2  bởi cơng thức: Bh     (2.16) Trong đó    1  2 , 1 và 2 là các nghiệm của bài tốn    Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 28  L... lượng tính tốn giải bài tốn biên thứ nhất và bài tốn biên thứ hai Trong các tài liệu của Samaski - Nicolaev đã chứng minh độ phức tạp của các thuật tốn là O(M  N log N ) Xuất phát từ thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn trên, ta có thể xây dựng thư viện mẫu gồm các hàm để xác định nghiệm số đối với các bài tốn biên elliptic cấp hai với các loại điều kiện biên khác nhau (Xem [3, 4]) Số hóa bởi trung... ei Số hóa bởi trung tâm học liệu k  H i  1  C k e1 1  H 2  (2.10) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 26 Ở đây các hằng số dương C 21,C 31,C 22,C1,C chỉ phụ thuộc vào i và  Ta phát biểu kết quả thu được ở trên về sự hội tụ của phương pháp bởi định lý sau đây Định lý 2.1 Với giả thiết (2.7), phương pháp lặp (2.1) - (2.3) hội tụ nếu tham số lặp  thỏa mãn điều kiện (2.8) Giá trị tối ưu của tham số . học của bài tốn hỗn hợp, trên cơ sở các kết quả về phương pháp phân rã, phương pháp xấp xỉ biên và phương phương pháp chia miền xây dựng một số phương pháp lặp để tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn,. 2 Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài tốn cấp hai và cấp bốn 20 2.1 Phương pháp chia miền 20 2.1.1 Cơ sở của phương pháp 20 2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp 21 2.2 Phương pháp. pháp lặp song song giải bài tốn biên hỗn hợp mạnh. 26 2.2.1 Bài tốn 26 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp 27 2.3 Phương pháp xấp xỉ biên giải phương trình song điều hòa 30 Chương 3 Mơ hình bài