Phương pháp lưới giải bài toán hỗn hợp với các phương trình dạng Hyperbolic, phương trình dạng Poisson

Trang 1

Khéa ludu tét nghiép 1 Gran Shi Ghu Wién

MO DAU 1 Ly do chon dé tai

Lý thuyết đạo hàm riêng là một ngành của môn giải tích toán học nghiên cứu về ph- ơng trình đạo hàm riêng và nghiệm của chúng Nó có mối liên hệ các với ngành toán học khác nh- giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số, giải tích số

Ph-ơng trình đạo hàm riêng th-ờng xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thuỷ động học, đàn dẻo, cơ học I- ợng tử, cơ học chất lỏng, điện - từ tr- ờng Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có ph- ơng pháp giải đúng Nhiều bài tốn khơng có nghiệm theo nghĩa cổ điển Mặt khác trong nhiều tr- ờng hợp, có thể tìm nghiệm của bài toán ph- ơng trình đạo hàm riêng một cách khá đơn giản và hiệu quả Trong những ph- ơng pháp giải gần đúng phong trình đạo hàm riêng, phong pháp l-ới (hay còn gọi là ph- ơng pháp sai phân) đ- ợc sử dụng phổ biến nhất

D-ới góc độ một sinh viên chuyên nghành Toán và trong khuôn khổ của một bài khoá luận tốt nghiệp đồng thời đ- ợc sự h- ớng dẫn nhiệt tình của thầy

Khuất Văn Ninh em đã chọn đề tài: ”Pb ơng pháp | ới giải bài toán hỗn

hợp với cac ph ong trinh dang hyperbolic va ph ong trinh Poisson" 2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ph- ơng pháp I- ới giải một số ph- ơng trình đạo hàm riêng Sử dụng ph- ơng pháp I-ới để tìm nghiệm của bài toán hỗn hợp đối với các ph- ơng trình dạng hyperbolic và ph- ơng trình Poisson

3.Ph ơng pháp nghiên cứu

+ Ph- ơng pháp nghiên cứu lý luận

+ Ph- ơng pháp tổng kết tài liệu 4 Đối t ợng nghiên cứu

Trang 2

5 Phạm vi nghiên cứu

Một số tính chất của ph- ơng pháp I- ới, ứng dụng ph- ơng pháp ]- ới giải bài toán hỗn hợp đối với ph- ơng trình dạng hyperbolic, ph- ơng trình Poisson

6 Cấu trúc khoá luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận

gồm 3 ch- ơng:

Ch- ơng 1: Một số công thức và khái niệm ban đầu

Ch- ơng 2: Một số tính chất cơ bản của ph- ơng pháp l- ới

Ch- ong 3: Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp với các phong trình dạng hyperbolic, ph- ơng trình Poisson

Trang 3

Ch ơng 1

MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KHÁI NIỆM BAN ĐẦU 1.1.Ph ơng pháp l ới

Ph- ong pháp l-ới là một trong các ph-ơng pháp số thông dụng để giải bài toán biên đối với các ph- ơng trình vi phân đạo hàm riêng Ý t-ởng của phong pháp I-ới đ- ợc thể hiện nh- sau: trong miễn biến thiên của các biến độc lập chúng ta tạo ra một l-ới nhờ các đ- ờng thẳng song song với hai trục

toạ độ Điểm giao nhau của các đ-ờng thẳng đó gọi là các nút I-ới (điểm

I-ới) Tại các điểm ]- ới thay đạo hàm trong ph- ơng trình kể cả điều kiện biên

bằng các biểu thức sai phân

Nghiệm của hệ ph-ơng trình này chính là các giá trị gần đúng của nghiệm bài toán ban đầu tại các điểm ]- ới

Nghiên cứu ph- ơng pháp I- ới liên quan tới việc giải các bài toán sau: 1) Lập luận khả năng giải đ- ợc của hệ ph- ơng trình nhận đ- ợc và xác định nghiệm đúng hoặc gần đúng của nó bằng một ph- ơng pháp gần đúng nào

đó

2) Đánh giá sai số của phong pháp mà sai số đ- ợc tích luỹ dần từ - ớc l-ơng sai số xấp xỈ của ph- ơng trình vi phân với các điều kiện biên

Giả sử cần tìm nghiệm của ph- ơng trình vi phân

Lu” = f" (1.1)

trong miền D với chu tuyến T

Để giải ph- ơng trình (1) bằng ph- ơng pháp l- ới trong miền D = D +T ta chọn tập điểm D,= M, (số điểm 4, đ-ợc đặc tr-ng bởi giá trị h: giá trị

h càng nhỏ càng nhiều số điểm trong tập D,) Tap D, đ-ợc gọi là l-ới, còn các điểm M, 1a nút l- ới Hàm số đ- ợc xác định trong các nút l- ới đ- ợc gọi là

Trang 4

Giả sử có ,- là nghiệm chính xác của ph- ơng trình (1.1) trong nút của I-ới D, Theo quy tắc, việc xác định ø„ là không thể Do đó ta phải tìm

hàm số l-ới ”“”= „ „ và giải toán gần đúng nghiệm của phong trình (1.2)

Lu =f", (1.2)

xấp xỉ với nghiệm của ph- ơng trình (1.1) Ph- ơng trình (1.2) đ- ợc gọi là công thức sai phân

Ta ký hiệu không gian tuyến tính định chuẩn đ- ợc hình thành bởi các

hàm số #“” là Ứ,, còn không gian tuyến tinh d- oc hinh thanh béi f 1a F,

Khi đó ta coi nh- trong không gian U, và #„ là các không gian định chuẩn Al, Nếu nh- : IM, Je ,-u®| h , >0 khi h—>0 (1.3) thì có thể nói công thức sai phân là hội tụ Nếu nh- với mọi giá trị h<h„ có bất đẳng thức: | "ụ—") š ch* (C = const) (1.4)

thì có thể nói hội tụ bậc k theo h

Tóm lại, khi giải bài toán (1.1) bằng ph- ơng pháp l- ới ta cần làm những b- 6c sau:

1) Chon 1- ới

2) Thiết lập công thức sai phân

3) Khảo sát tính hội tụ của công thức sai phân

+ Xác lập bài toán gần đúng của (1.1) bởi công thức sai phân (1.2) + Kiểm tra tính ổn định của công thức sai phân

Cho rằng công thức sai phân (1.2) gần đúng với (1.1) nếu nh- :

Lu, =f+df™,

pr ; >0 khi b—>0

Trang 5

Giá trị 6 f d- oc gọi là sai số gần đúng Nếu lo f |< Mh! thi c6 thé

nói rằng công thức sai phân (1.2) gần đúng với ph- ơng trình (1) tại nghiệm u „ với bậc Ï t-ơng ứng với h

Công thức sai phân (1.2) đ-ợc gọi là ổn định nếu nh- tồn tại giá trị

hụ >0 sao cho với mọi gid tri h<h, va f e Ƒ„ thoả mãn:

1) Công thức sai phân (1.2) có nghiệm duy nhất 2) |e” U, < KỈ/ (h) „ ; trong đó K - là hằng số không phụ thuộc vào Ù va f™ Nếu công thtic sai phan (1.2) x&p xi bai todn (1.1) v6i bac 7 theo h_ thi sẽ thoả mãn (1.4) khi k= 1.2 Công thức sai phân

Giả sử cho tr- ớc toán tử vi phân L tác động lên hàm số Thay thế các đạo hàm t-ơng ứng trong bởi các tỉ sai phân, ta thu đ-ợc biểu thức sai phân 7„'“” là tổ hợp tuyến tính của hàm số l-ới wu? trong tập hợp nút l- ới : Lự°®(@)= 3) A6), "(@), ell (x) " hoac Lu (x)= > A,G,x,)'°Œ,) (1.6) el (x;) trong đó x, là các nút ]- di

Ví dụ 1.1: Giả sử cần xây dựng công thức sai phân để xác định đạo hàm

Trang 6

Khéa ludu tét nghiép 6 Gran Shi Ghu Wién Ou(x,t) - u(x,t+7)—u (x,t) Ot T Ou(x,t) - u” (x,t) — u(x,t -7) Ot T , u(x,t) u(x,t+7)—u (x,t-7) Ot 2r > Dao ham Ou /Ox cé thể thay thế bởi một trong các tỈ sai phân sau: Ôu(x,f) - u (x+ht)— u(x,t) > Ox h Cu(x,t) u(x,t)-u (x- h,t) Ox h , Bu(x,t) uO (x+ ht) —u(x— ht) ax 2h ‘ D-ới dạng I-ới ta lấy tất cả các điểm (x, mì? (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) t,), trong do x,,= mh, t, =nt

va u(x, t,) d-oc kf hiéu la w" Thay thé (1.9) - (1.11) cho @u/ér va (1.12)

Trang 7

Khéa ludu tét nghiép 7 Gran Shi Ghu Wién ud =y(x,), m=0,+1,42, , 1=0,1,2, 5 Tập nút l-ới áp dụng vào xấp xỉ ph-ơng trình (1.7) có thể biểu diễn d-ới dạng sau: * (Xi) *Œ„sfz) N N KL ok eo ok net) (X„sf„) nt) — X„„f,) *( Xi stat) „„) — Gaertn) N KH * mm cm * À rite) Snot) (X„ f,) *Q„»f„¡)

Sử dụng (1.9) - (1.14) có thể thu đ-ợc các l-ợc đồ sai phân khác cho

ph- ơng trình (1.7) và (1.8) Ta viết ph- ơng trình (1.7) d- ới dạng: Ou dea) Cu ap Ou al- B) = a(x,0), Ou

a ôi q-#) ar af ax a(l— f) ay @(x./)

sau đó thay thế các đạo hàm theo (1.9) - (1.14) Cũng có thể thay thế các đạo hàm bởi các dạng khác mà không nhất thiết là (1.9) - (1.14)

Khi xây dựng các công thức sai phân, th- ờng sử dụng một ph- ơng pháp khác đó là ph- ơng pháp hệ số bất định Theo ph- ơng pháp này, trong lân cận của các nút l- ới ta chọn tất cả các điểm, giá trị của hàm số l- ới tại đó sẽ đ- ợc gán cho các giá trị gần đúng với nút của ph- ơng trình vi phân, của biên hoặc

điều kiện ban đầu Sau đó lập ph-ơng trình dạng (1.6), các hệ số A,(x,,y,)

đ- ợc chọn sao cho thoả mãn điều kiện:

R,@G,))=|L, ux.) —E w(x)) |—>0 khi h—>0

Trang 8

Cần I-u ý rằng việc chọn hệ số A,(x,,y,) có thể xuất hiện ẩn số có

cùng bậc t- ong ting voi h cua dai I- ong R, (u(x,)) Tit cdc I- gc đồ sai phân có

thể lựa chọn trong đó biểu thức có bậc hội tụ lớn nhất và tiện cho tính toán

Ví dụ 1.2 Trên I-ới (x,,,), trong đó x,=¡h, ?,= jr xây dựng l-ợc đồ sai phân của ph- ơng trình vi phân

Lu(x,t) = Ta" (x,t),

sử dụng tập nút l- ới II (x,f,)= Ot), Ot), Qt) Ot) -

Lời giải: Giả sử rằng

Lưu (;2t,)= AG,.t,)82¡ + BOx, tu) + C(x, ug, + DQ;.t, uz Ta tim d- gc: Ou(x;,t;) Ou(x,,t;) gg R,(MŒ,,f,)) = ar Ax ~_AQ,.f,)M(, pt) + BŒ,,f,)uŒx,,f,) + +CŒ„f,)w(x,.,„t,)+ Dt, UC tI) Sau đó sử dụng các biểu thức khai triển h Ôu(*x,,f,) + È Ê`u(x,„f,) — hÈ Ê*u(Œx,.t,) To WO) UO Bt a at Cải as 1! Ox 2! ax’ 3! Ox

Ou(x.,t, 2 u(x,t, 3 u(x,t,

Trang 9

Khéa ludu tét nghiép 9 Gran Shi Ghu Wién Ou(x,,t) R, (ut) = (A+ B+ C+ D)ulx.t) + Cat Ah— Ch) —S ——— X ? 8 u(x,.t, ag Cy el? , 2! Ox

3 Oulx.t, Ou(x,,t, 2 u(x,t,

sat Cet) Deas pry nt) Dpto wCint) my 3! ox 2 of Các hệ số A, B, C, D ta có thể chọn sao cho thoả mãn điều kiện A+B+C+D=0, Ah-Ch=a A+C=0, Dr=-1 Tir do ta tinh d-oc A=a/(2h), B=1/t, C=—a/(2h), D=-1/T Với các hệ số trên ta có: ah? Ôu(,„t,) + Ô'u(Œx,t,) R,@(,f,)) — “6 or 2 ow T O(h?) + 0Œ) (1.19) a, 1; a, 1;

Lu (xt) = apt + oui — api — aii t= P(x;,t;)

Trang 10

Khéa ludu tét nghiép 10 Gran Shi Ghu Wien

Trang 11

Khéa ludu tét nghiép 11 Gran Shi Ghu 26iŠn

Ch ong 2

MỘT SỐ TÍNH CHAT CO BAN CUA PH ONG PHAPL GOI

2.1 Sai số của phép xấp xỉ bài toán vi phan boil oc dé sai phan

Đặc tính quan trọng của I- ợc đồ sai phân là tính gần đúng nghiệm của nó với nghiệm của bài toán vi phân tại các nút I- ới Để thoả mãn các đặc tính đó,

cần đảm bảo rằng với các bài toán sai phân thu đ-ợc phải xấp xỉ bằng với bài

toán vi phân Tính "gần đúng" đ- ợc đánh giá bởi đại l- ong:

(h) — (h)

lor F | Mu J lR ?

trong d6 ø ,- là nghiệm chính xác của bài toán vi phân tại các nút l- ới

Trang 12

Khéa ludu tét nghiép 12 Gran Shi Ghu Wien Ou(x,, 5t,,) + T u(x, — gÊM(Xusf,) — ho Ute) 2 ~ X„›Í„ ,

ơi 2L ôP ax AT bf = U(X ho) —Y Xn)» m= 0,+1,+2, ,n = 0,1,2, Do Ou(x,,t,) meen? Ou(x,,t.) min! — ¢ ,t.), a ay P(X, st) u(X„„f,)=W(X„), Nên ta có: T + Ô?⁄(x„,f9 — „h.Ê xGff,t,) 2 OF “2 áp ổƒ= 0 m=0,+1,+2, ,n =0,1,2., D6i voi ham s6 |- 6i "` = a Ự/(x„),m= 0,+1,+2, Ta đ- a vào chuẩn sau : [Fl = max |Ø(x„„;í,)| + max Jự(x„) (2.1)

Gia thiét rang :

Trang 13

Ví dụ 2.2 Đánh giá sai số của phép xấp xỉ ph- ơng trình (1.7), (1.8) bởi l-ợc đồ sai phân (1.17) Lời giải Ta có —0(x„.t„), + 2h øŒ„,) (X„;fa)— W(X„), m = 0,+1,+2, n = 0,1,2, MXu 1,2 )= MỘS,2t,) —- M/„f2)— MO, ity) f” =

Giả sử rằng tồn tại các đạo hàm liên tục Ou/ét, 0°u/6t?, Ou/ Ox, O'ul Ox’,

6u !ôx` với -œ< x<+œ, >0 Khi đó ta có thể viết:

T OU(x,, st, dy 7” ô u(x Lo aN nt

U(X, str) = U(X, of, 2 (Xzsf,,¡) = HỆ " ot 2 or 2 3 ¬3 UC st,) = u(x Tưng ai h? LÒ ii hy Out) m Ox 2! ax’ = ! ox? > A 22A2 3.3

(dy yay) MQ/„,)— CO», , E ổ HA J2 E6 HO, t,) 1! Ox 2! ax’ 3! ox?

1, < fes nis Xm SM, SX pers Xp SM, Sx, m3

Trang 14

Khéa ludu tét nghiép 14 Gran Shi Ghu Wien 2.2 Su hoi tu va su 6n dinh cial oc dé sai phân Dinh nghia 1: a L-oc d6 Lu" = f" xap xi bai todn Lu=f tai nghiém u’ cha Lu = ƒ nếu: |L„~,z - r,/|, —>0 (|ñ|—>0) b L-oc d6 Lu" = f" xap xi bac k bai todn = ƒ tại nghiệm ư” |L„~,' — tf, Soe, IhỈ

Định nghĩa 2: Nghiệm của bài toán sai phân hội tụ tới nghiệm của bai toán vi phân nếu :

|z„'- “ull, —>0 (|ñ|—>0)

Hội tụ bậc k, nếu [zu —H, |, <Chị -

Dinh ly Lax: Néu l- oc d6 Lu” = ƒ” ổn định và xấp xỉ (bậc &) bài toán

Lu= f thinghiém cia L,u = ƒ” hội tụ (bậc k) tới nghiệm của Lu = f Nói vắn tắt: Xấp xỉ (bậc k ) + 6n định suy ra hội tụ ( bậc k)

Trong đó Z, và 7, là các toán tử rời rạc hoá thoả mãn điều kiện t- ơng thích chuẩn sau:

VueU, | Zr„ U, lel, Cal 9)

w/F, |m/|, ¬lf|, thịT>0) Tf

Néu chi s6 he R* thi h| là một chuẩn nào đó cia h

Giả sử trong ph- ơng trình vi phân có sự tham gia của hàm số ⁄ nào đó Chọn một điểm P tuỳ ý thuộc miền xác định của hàm số cần tìm Giả sử

Trang 15

rằng giá trị u(P) phu thudc vao gid tri y tai các điểm của tập số G„ = GŒ„(P) thuộc miền xác định của hàm số /, tức là nếu thay đổi giá trị của trong lân cận nhỏ của điểm Q bất kỳ thuộc miễn G„(P)có thể kéo theo sự

thay đổi của u(P) Giả sử rằng để xác định ta sử dụng l-ợc đồ sai phân

Lu” =f, trong d6 gid tri nghiém wu” trong lân cận của nút I-ới P đ-ợc

xác định hoàn toàn bởi giá trị của hàm số 1 trên tập Gy? = G0 (P) ụ

Để thoã mãn w“”—>w khi —>0 I-ợc đồ sai phân phải xây dựng sao

cho khi h< hụ trong lân cận tuỳ ý của điểm bất kỳ thuộc miền G„(P) có đặc tính đó đ- ợc gọi là điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi Từ các điều kiện đó có thể xác định tính không thích ứng của I- ợc đồ sai phân

Cần I-u ý rằng điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi là điều kiện cần cho

sự hội tụ cũng nh- sự ổn định của I- ợc đồ sai phân

Trang 16

Khéa ludu tét nghiép 16 Gran Shi Ghu Wien ˆ ÔN _ ÔN — tp, —œ< x<+œ, 0</<1], ot Ox u(x,0)=yw(x), 0< x<-+00 Lời giải

Nghiệm của ph- ơng trình vi phân tại điểm (x„,/„) phụ thuộc vào giá trị

của hàm số Ø(+,f) và ự/(x) tại tất cả các điểm mà đ- ờng thẳng x+t = C (C = const) xuất phát từ điểm A của trục 0x và đi qua điểm P Nh- vậy: dx du Ou Ou dx —=-l, ~=—+——=9(4,1), dt dt Ot Oxdt u(x,t, )=W(A)+ focem,nar, 0

Giả sử x„=0, /„=1 Khi đó C =l, tức là nghiệm của ph- ơng trình vi

phân phụ thuộc vào giá trị của hàm số Ø(x,/) trên đ-ờng thẳng x+/=l

(0<<]) và giá trị (I)

Dé thay u;’ thu đ-ợc theo l-ợc đồ sai phân phụ thuộc vào giá trị ⁄(x)

với —Nh<x<0 Suy ra, nếu thay đổi giá trị Ø() và giữ nguyên giá trị (x) đối với x thuộc —Wh,0 sẽ dẫn tới thay đổi nghiệm của ph- ơng trình vi

phân, giữ nguyên nghiệm của ph- ơng trình sai phân Tức là không đảm bảo

tính hội tụ

Khi khảo sát l-ợc đồ sai phân với các hệ số không đổi ta áp dụng dấu

hiệu phổ của tính ổn định Cũng giống nh- điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi, dấu hiệu phổ là điều kiện cần của tính ổn định Bản chất của nó sẽ đ- ợc

Trang 17

Theo định nghĩa về sự ổn định, nghiệm của bài toán sai phan

Lu” =f phai thoả mãn điều kiện |e” ) SKFO |, doi voi f bat kỳ

Suy ra điều kiện đó phải đ- ợc thoả mãn với

0,m = 0,+1,+2, ,n =0,1,2.,

ff? = -

e”™ m=0,£1,42,

Trong đó, ¡ - là đơn vị ảo

Bài toán sai phan Lu” = f"” d-oc viết thành dạng:

ntl

wr =ru+(-rjur, r=rth (2.2)

u? =e", m=0,+1,42, , n=0,1,2, Nghiệm của ph- ơng trình (2.2) sẽ tìm d- ới dang u” =A"e"™

Nếu \A| <1+Cr, C= const, thi nghiém của (2.2) có giới hạn và tiếp tục tiến hành khảo sát Tr- ờng hợp ng- ợc lại thì kết luận I- ợc đồ sai phân không

có tính ổn định

Trong tr- ờng hợp này „ = 4°ø”# = ø”“ thế w; vào (2.2) ta thu d- gc:

Ameen = Ar 4 arate”,

Từ đó Â = re” +(I—r) Giá trị 1 nằm trong đ-ờng tròn bán kính z với tâm (I—r,0) Nếu r<Ithì 4<1

Tr-ờng hợp r>l sẽ tìm đ-ợc các giá trị # t-ơng ứng sao cho |Aj> 1 Nh- vay khi r>1 I-ợc đồ sai phân không ổn định Khi r<1 thi thoa man

Trang 18

Khéa ludu tét nghiép 18 Gran Shi Ghu Wien 1 up ra +(—r)u,+70@(x„.f„)|< r|w„„¡| + (L— r)|H„„|+ r|øŒ„.1,) › Tức là +1 u™'|< max |u"|+7 max |p(x,,5t,,)|+ m mn Cộng 2 vế của các bất đẳng thức Un > max m =max w (x„) 1 0 max lw, max lu’, | +7 max lø(x t,) m,n m mn > 2 1

max 12|< max |u„|+z max lo(x„.:„) m m mn

max tại <max m m tạ, [+ max |Ø(x,„1,) =] > Ta thu d- oc max m urys max Ww (x,,) +7nmax |o(x„.f„) mn , Suy ra max mn Trong đó K = max(I,7), T=zN < max Jư(x„) m

ur +7N max lp(x„.t„)|< K max Jư(„)|+ max |X)

Nh- vay khi r<1 d6i véi l- gc d6 sai phan (2.2) thoa man diéu kién vé sự ổn định và do I-ợc đồ sai phân xấp xỉ với bài toán Côsi (1.7), (1.8) nên nghiệm của nó hội tụ với nghiệm của bài toán (1.7), (1.8)

Trang 19

Ch ong 3

PH ONG PHAPL GI GIAI BAI TOAN HON HOP

VOI CAC PH ONG TRINH DANG HYPERBOLIC,

PH ONG TRINH POISSON

3.1 Ph ong phap | ới giải bài toán hỗn hợp với các ph ơng trình dang

hyperbolic

Gia sit rang ta phai tim u(x,t) - nghiệm của phong trinh hyperbolic: O’u(x,t) vis _» ot 0°u(x,t) + (x,t), 3.1 ar a (x,t) ax P(Xx,0) (3.1) 0<x<lI, 0</<T, thoả mãn điều kiện biên: „(0,)=7⁄2(, u(f)=74Œ), 0<t<T (3.2) và các điều kiện ban đầu: Ou(x,0) 6t u(x,0) = @(x), =B(x), 0<x<l (3.3) Tập I- 6i chting ta lay 1 tap hợp các điểm (x„.f„) với các toạ độ x„ = mũ, t„=mt (m=0,1, M, n=0,1, ,N), h=1/M, r=T/N Sử dụng phép thay

thế các đạo hàm bậc hai bằng các hệ thức sai phân vào ph- ơng trình (3.1), ta sẽ có ph- ơng trình sai phân:

ut = stu" +21 s" un + stu" — ul! +70(Xpst,)s (3.4)

m=1, M—-1, n=1, ,.N-1

= Ta pty)

Ph-ơng trình sai phân này xấp xỉ ph- ơng trình vi phân (3.1) với sai số

Trang 20

Khéa ludu tét nghiép 20 Gran Shi Ghu Wien 2% or* Ou ox* > M.=nax| Xt |} A=maxa’(x,t) Từ các điều kiện biên (3.2), ta có: ul=y,(t,), 0ý =2), n=0,1, N (.5)

Do đó, chúng ta có thể tìm uw”! khi ø=1, ,V—1 theo ph-ơng trình

(3.4), (3.5) nếu ta đã biết Hộ, ul, khi m=1, M—-1

Dé tinh u° va w„ cần sử dụng các điều kiện (3.3) Việc này có thể làm bằng một vài ph- ơng pháp Ph ong pháp 1 Sử dụng phép biểu diễn: Ôu(x,0) _ wŒ,f,)~ wŒ;fạ) _tở „(xô ôt T 2ơ? , fạSÍf<t, mà Từ các điều kiện (3.3) ta có: u? =a(x,), u„=?7Ø(x„)+d(x„), m=, ,.M-1 (3.6) Sai số xấp xỉ của các điều kiện ban đầu (3.3) bởi ph- ơng trình (3.6) đ- ợc

đánh giá bằng gid tri (dai l- ong) 7M \” / 2, trong do: MỸ?” = max usar Ph ong phap 2 Theo cong thttc Taylor ta c6: 2 92 3 ¬ä u(t) = W(dlg)+ EE, FO UCI) I! Ot 2! Ot , FO UCAS 3! Or ty SAME t, >

Tir day suy ra:

Trang 21

O7u(X, ty) _ O°u(X,ty)

Ot ax?

Sau khi thay giá trị của nó vào ph- ơng trình (3.7), chúng ta tìm đ- ợc: a’ (x,y) + P(X,t)) = a? (x, 19)" (x) + P(X fy)

uo =a(x,), ul, =a(x,)+ Bx,) ¬ +ø(x„.0) | (3.8)

m= L, ,M —I

Sai số xấp xỉ của điều kiện ban đầu bởi ph-ơng trình (3.8) đ-ợc -ớc

l- ong bang gid tri 77M /6, trong d6 M = mạ x|Ê`u !ôt|

L-ợc đồ sai phân (3.4) - (3.6) và (3.4), (3.5), (3.8) sẽ ổn định khi thực hiện điều kiện 77 /h? <1/ A Trong tr- ờng hợp này ta có:

Uj WX ot, )| ST) S+# Me? +h?) /12],

trong đó Š - - ớc l-ơợng sai số xấp xỉ các điều kiện ban đầu

Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm của bài toán hỗn hợp đối với ph- ơng trình hyperbolic

trên l-ới (x„,í„) trong đó x„ = 0,25m, í„= 0,25n, (m,n=0, ,4) m2 6”„(x,t) _ u(x,t) ôi? ax? 1 1 u(0/)=——, u(lf)=——, iSI, t+1 t+2 u(x,0) = 1 Ou(x,0) 1 - <x<l x+l Ct (x+ 1 Lời giải:

Trang 22

Khéa ludu tét nghiép 22 Gran Shi Ghu Wien u} =0,5; uy =0,4444; uf =0,4; uj =0,3636; uf =0,3333 Từ các điều kiện biên u(x,0)=—-, CH x+1 Ot _- (x+1) va (3.6) ta tinh d- oc: u)=0,8; ul =0,6667; uf =0,5714; u) =0,5; Vi: ul, =7B(x,,)+@(x,,) do đó ta có: 1 1 '=0/25(- +——=0,64 “1 C125)2 125 =0/25 L)+- =0,5556 L5 15 1 1 = 0,25(-) + += 0,4898 L75? 1,75 =0/25 L)+ J~ 0,375 2?ˆ 2 Từ ph- ơng trình sai phân: "hs th nh, (mn=1,2,3) m m+ m Thay n=1 vaotacé: u? =u), +u)_,—-u? voi m=1,2,3, ta tinh d- oc: l Mu =u¿+u)—u) = 0,4631 us =u, tu, —ul =0,4286

Trang 24

Khéa ludu tét nghiép 24 Gran Shi Ghu Wien ô”u(x,f) _ O7u(x,t) or Ox? u(0,t)=e", ul t)=e*?, O<t<1, 4) „ 0<x<I, 0</<I, Cu(x,0) _ Ot a@=0,5k (k=—5,—4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5) Œ 3

u(x,0) = £Z”, ae, O< x1,

3.2 Ph ong phap | ới giải bài toán Dirichlet đối với các ph ơng trình

Poisson

Giả sử ta phải tim ham u(x, y), thoa man ph- ơng trình sau trong miền

D:

ô u(x,y) „ Ô”u(x, y) ay 3ˆ + ay? —“=ợ(x,y), (xy) (3.9) 3.9

con trén bién gidi han T cla mién D thoa mãn điều kiện:

uj = W(x, y) (3.10)

6 day p(x, y) va w(x, y) - là hàm cho tr- ớc

Sau khi chọn các b-d6c h va / theo x và y, chúng ta xây dựng một tập hợp các điểm (x„,y,) với toạ độ +„= xạ+nh, y„= yạ + nÌ,trong đó xạ, yạ-

toa do của điểm nào đó thuộc D+Ï” (m,n= 0,+1,+2, ) Chúng ta đ-a vào

1- 6i tap hợp các điểm (z„,y„) thuộc D+T" Khi xấp xỉ ph- ơng trình (3.9) ta

sẽ sử dụng tập I- ới Các điểm l-ới (x„,y„) thuộc D+T ma bon diém ké cing thuộc tập các điểm I- ới của D+” gọi là các điểm nút trong Những điểm I- ới

dù chỉ có một điểm ]- ới kê không thuộc tập các điểm l-ới của D+T" gọi là

các điểm nút biên

Sau khi thay thế các đạo hàm vào ph- ơng trình (3.9) bằng các hệ thức sai phân tại mỗi điểm nút trong, ta sẽ có ph- ơng trình sai phân:

Umein — QU ry + Un-in Urns — 2b nn +u

he P

m= Oxy, )s (3.11)

Trang 25

tại các điểm nút biên tạo

xấp xỉ ph- ơng trình (3.9) với sai số: on oy" đu 4 X Ms 12 (? +h’), trong do M,= ns >

Ph- ong trình (3.11) cùng với các giá trị w„„

thành hệ ph- ơng trình đại số tuyến tính Sau khi giải hệ ph- ơng trình này ta sẽ tìm đ- ợc các giá tri w„

Chúng ta xét tr- ờng hợp miền D là hình chữ nhật, nghĩa là 0< x< ø,

0< y<b Khi đó điều kiện giới hạn (3.10) có thể viết d- ới dang:

u(x,0) = &(x), u(x,b) = @&,(x), O<xSa, (3.12)

u0,y)=B(y), ulay=BQ), OS yb, (3.13)

Sau khi lay h=a/M, l=b/N, trong d6 M,N- 1a cac so nguyén d- ong, ta sẽ có đ- ợc hệ ph- ơng trình đại số tuyến tính: tu, + ƠU,„ị — 2+ Ø)M, „+ ØM ¡+ „=h 0, ,), (3.14) m= L, ,M —1,n= l, ,N —I, Hạ =0(X„), Hy = @(X„), m=0,1, ,.M, (3.15) Up = )(Y„,), Um = B\O,)> n=0,1, N, (3.16) ơ= 11

Nếu miền D có giới hạn (biên) Ï' là một đ- ờng cong thì các giá trị w„.„ tại các điểm nút biên có thể tìm đ-ợc bằng ph-ơng pháp chuyển các giá trị u(x,y) từ các điểm trên biên Ï' Sai số xấp xỉ của điều kiện (3.10) tại điểm

nút (x „›3„) sẽ bằng giá trị O(6), trong đó ở - là khoảng cách từ điểm nút này

tới điểm trên I`, mà từ điểm này ta chuyển giá trị của hàm số

Sai số xấp xỉ của điều kiện biên có thể giảm đi nếu nh- để xác định u„

tại điểm nút biên ta sử dụng giá trị w(x,y) tại một điểm nào đó của giới hạn T va tại một điểm nút bên trong gần nhất Thuận lợi hơn cả để dựng phép xấp

Trang 26

Ví dụ 3.2 Giả sử giới hạn T ca mién D 1A mot d- dng tron x7 + y”= 1, còn mang I- 6i la tap hop cdc diém (x,,,y,) c6 toa dd x, =mh, y, =nl Hay

dựngphép xấp xỉ của điều kién bién (gidi han) u(x, y)= w(x, y) tại nút điểm

(x.y,), k= VIER ii

Lời giải: Ta kí hiệu (x, y,) là điểm A, (%,,/1—22) ladiém B, (x,y, ,) là

điểm C Sử dụng phép khai triển: u(B)=u(A)+ 22M) , 9° ut BS I! Oy 2! ôy” ổ=NI—h?—kl, 2 ^2 u(C)=u(A)— L9) +hể wh I! dy 2! ay? chúng ta tim d- oc: _ lu(B)+ du(C) _ 1,5 0°u A WA) I+ô 2" Oy? Vì ở<ï, do đó: u(A)= lu(B) + Ou(C) | oj? Itổ Vì vậy ph- ơng trình: lw (%,fl-x,)+ Ou, , wu = LON ee „ 1+6

làm xấp xỉ đều với điều kiện biên tại điểm (x,,y,) với sai số là Ø7)

Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm của ph- ơng trình:

2 , 2

2m3), 2 MŒ3)— 0 0<x<0/8, 0<y<048

3x Oy

sao cho thoả mãn các điều kiện biên ( điều kiện giới hạn):

u(x,0)=x?, u(x;0,8)=2x°-0,64, O<x<0,8

Trang 27

u(0,y)=—y”, „(0,8,y)=0,64— y”, 0< y<0,8

tại mạng l-ới (x„,y„), %,,=0,2m , y, =0,2n , (m,n=0,1,2,3,4)

Lời giải: Theo các ph- ơng trình (3.14)- (3.16), bài toán biên đặt ra đ- ợc tính xấp xỉ bằng hệ ph- ơng trình đại số: tu —4u, + m,n=] m-l,n mn m+l,n u +4, 4,=0, mn=1,2,3, _ 2 _ 2 _ H„y=X„, Ugg =X, — 9,64 , m=0,1,2,3,4,

Hạy =— Y2 › U,, = 0,64— y,, n=0,1,2,3,4,

Hệ này có thể viết lại d- ới dạng: 4 2 Unt) m-11 7 Ay FU FU, m+l1 —X, m Max Ằ Hạn — ÂM; Huy; + H m‡12 0 _ — 32 _ Hạ là T Mua — ÂM; + H„,¡y = 0,64 Xn? m= 1,2,3, 42 42 2

Uy, =~ Vy > Uon =—Y2> U3 =— Y3>

Trang 28

Khéa luận tốt aghiép 28 Gein Thi Thu Fién

Để giải hệ ph- ơng trình ta áp dụng ph- ơng pháp loại trừ có tính đến dạng riêng biệt của hệ

Sau khi nhân ph- ơng trình thứ hai từ bên trái với —A, rồi cộng biểu thức thu đ- ợc với ph- ơng trình thứ nhất và ph- ơng trình thứ ba, chúng ta đ- ợc: U,+ QE-A°)U,+U,=F,-AF,+F, Từ đây ta có: (A’ -2E)U, =T,T =0,+ ®,-F + AF, -F, 15 -8 1 — 16 A?-2E= -8 16 -8|, T= 0,64 1 -8 15 _—2,88

Nh- vậy để xác định đại l-ợng u;„(w= 1,2,3) ta đi giải hệ phong trình: 15u,, — 8u,, + u,, =1,6

—8u,, + 16u,, — 8u; = 0,64

Uy, — 8u,, + 15u,, = —2,88

Trang 29

Khéa ludu tét nghiép 29 Gran Shi Ghu Wien -0,12 [ -1,08 T=_ 016 |, T, =| -0,48 | 1,16 _ 0,20 Để tính Ù, ta giải hệ ph- ơng trình: —4u,, + u,, =—0,12 Uu,, — 4u,, + u,, = 0,16 Uy, — 4u,; = 1,16

Sau đó nhân ph- ơng trình thứ hai với 4 và cộng đẳng thức thu đ- ợc với phong trình thứ nhất và thứ ba, chúng ta sẽ tìm d-oc u,,=0, u,,=—0,12 Từ ph- ơng trình thứ nhất và ph- ơng trình thứ ba ta tim d- gc u,, =—0,32

T-ơng tự, từ hệ AU; =7; ta có uy, =0,32, uy; =0,20, w;; = 0 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm của bài toán biên sau:

uCsy) , CUGY) 4 Qe ¥<0,8,0< y<0,8

Ox? éy”

sao cho thoả mãn các điều kiện biên:

u(x,0)= x’, u(x;0.8)=x”+0,64 , 0<x<0,8

u(0,y)= y”, u(0,8;y)= y`+0,64, 0<y<0,8

Tại mạng l-ới (x„,y„), x„=0,2m, y„=0,2n , ứn,n = 0,1,2,3,4) Lời giải: Theo các ph- ơng trình (3.14) - (3.16), bài toán biên đặt ra đ- ợc tính xấp xỉ bằng hệ ph- ơng trình đại số: Um Hy ly — đMuy CE Huy Ð Huy =4 CP), m.n=1,2,3 yy = Xn > Uns = Xn + 0,64, m=0,1,2,3,4 Won = Yn» May =0,64— y, 5 = 0,1,2,3,4

Trang 30

Khéa ludu tét nghiép 30 Gran Shi Ghu Wien 2 Uy) ~ Ay, + Ue) F U2 = Xp, Uy 1y + Uy, — AU y F Uys + Ue = 4 — _ +2 —

Hạ 1y T Huy — ÂM; + Huuiy = 3,3Ó— %,,5 m= 1,2,3,

Uy, =0,644+ y7, w„=0,64+ yÿ, Uy, =0,64+ ys Ta ky hiéu Uns =4 10 ox, Uy = Uno | A= 1 -4 1], F,= 4 |, m (0 1 -4 336-22 ‘y?] 70,04 (0,64+ y?] “0,68 ®,= y?|= 0,16], ®,= 0,644 y2]= 0,8 | yy; | (0,36 '064+y?| L 1 Sử dụng các kí hiệu đã cho ta có: U,+ AU,+U,=F() U, + AU, +U, = F,(2) U,+ AU,+U,= F,(3) U,=®,,U,=®,, Nhân ph- ơng trình (2) từ bên trái với —A ta d- oc: -AU,—A?U,—AU,=-AF, (4)

Cộng vế với vế của các biểu thức (1), (3) và (4) ta đ- ợc:

(A’ -2E)U, =®,+ ®, — F,— F,+ AF,

Trang 31

[ 5,76 “15 -8 1

Do đó ta tính đ-ợc7=_ -20 |, (A?-2E)= -8 16 -8|,

_—13,76 _1 =8 l§

Mặt khác (A”—2E)U,=T' do đó ta có hệ ph- ơng trình sau: 15u,, — 8u, + uy, =5,76

—8u,, + 16u,, — 8u,, = ~20 Uy, — 8u,, + 15u,, =—13,76

Trang 32

Khéa ludu tét nghiép 32 Gran Shi Ghu Wien Oru(x, y) + Ô”u(x, y) Ox? dy? u(x,0) = x’,u(0, y)=ay’,0S x,y<1 =2(1+a) ull =(l-a@)x’ +a, T- 1a phan cia hinh tron x7? + y?=1 v6i x>0,y>0; z =0,3k,k = 1,2,3, ,10 2) Hay tim nghiệm của các bài toán Dirichlet tại các điểm (0,2m;0,2n)eŒ: 6 ”uŒ, ẨMŒ,y) 6”u(x, Ou(x,y) a) — + = 0, x + <1, uM) ă= 2G7—T), Ox Oy u(x, Our y) u(x, y) u(x, b) ae ay =4,x +y <1, w(M)|.-=2y 2 2

cy) HŒ,3) HŒ,3) „ Z HỢ, y) Ox MOY) 4 Py? <1, UM) | yor = 2x9 ey

3.3 Ph ong phap truc tiép giai hé ph ong trinh dai s6 tuyén tinh dang dac biét

Khi tính xấp xỉ các bài toán cho các ph- ơng trình vi phan dang eliptic thì th-ờng phải giải hệ ph-ơng trình đại số, hệ này th-ờng đ-ợc viết d-ới dạng:

A,V„i— B,V„+C„V„¡=F„, m=2,3 ,M—I, (3.17)

-BYV,+CV,=F,, AyVy-1 — ByVy = Fy > (3.18) Trong dé: A,,C, - ma trận đ-ờng chéo; B - ma tran ba đ-ờng chéo bậc N; #„,V„- véctơ N chiéu Để giải ph- ơng trình (3.17), (3.18) ng- di ta sir dụng ph-ơng pháp lặp hoặc ph-ơng pháp trực tiếp Sơ đồ tính toán ph-ơng pháp lặp để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) giống với sơ đồ mô tả trong ch- ơng 2 Các ph- ơng pháp trực tiếp cho phép cải biên hệ cần giải có tính đến dạng riêng của hệ ph- ơng trình Trong phần này chúng ta sẽ dừng lại ở phần mô tả các sơ đồ tính toán của một vài ph- ơng pháp trực tiếp

Trang 33

Ph ong pháp khử lặp ma trận Khi giải bài toán (3.17), (3.18) bằng ph- ơng pháp này thì đầu tiên ng- ời ta tìm hệ số quét X,„,Z„:

X,=B'C, X,, =(B,- A,X) 'C, › (3.19)

Z4=B,H, Z4=(B,—A,X„i) (ApZini~ Fn)

m= 2,3, M—-1

Giá trị tim d- oc cho phép tinh V,, :

Vi, = (By — Ay Xp) (Ay Zara — Fy) > (3.20) Sau đó ta tính tiếp Vj,_,,Vy_55-5V, :

V„= X„zV„¡ + Z2

Trong công thúc (3.19), (3.20) giả sử rằng detB #0,

det(P,„— A„X„,)#0 (m= 2,3, M ) Các điều kiện này sẽ đ-ợc thực hiện

nếu bất đẳng thức sau là đúng:

B,A,

Ngoài ra, cho dù với một ø thì bất đẳng thức thứ hai là bất đẳng thức

đet B„ #0, +|B,,C,, -1 <1, m=1, M

thuc su (6 day gia thiét la A, =C,, =0)

Ph- ơng pháp khử lặp ma trận đòi hỏi phải thực hiện khoảng CMN” phép toán số học (C - hằng số phụ thuộc vào ph- ơng pháp tìm ma trận nghịch đảo)

và khoảng #MN” ổ nhớ để ghi các ma trận X„ và các véctơ Z„ Về chỉ số thì

ph- ơng pháp khử lặp ma trận thua kém xa so với các ph- ơng pháp lặp khác Đối với các bài toán dạng:

V,_, -BV,+V,,, =F Tu = đậy, m= I, ,M — 1, (3.21)

V, =F, Vi = Fy (3.22)

Trang 34

Ph ong phap quét ma tran đặc biệt Khi sử dụng ph- ơng pháp này để giải bài toán (3.21), (3.22) ở giai đoạn quét trực tiếp chúng ta sẽ tìm đ- ợc và

ghi nhớ các véctơ Y,,Y,, ,Y„_, , theo công thức sau: Y =F, Y„=P,Œ„T— F„) m= 1, ,M —1 (3.23) Trong giai đoạn quét ng- ợc cho tr-ớc W„ = #j„ và theo hệ thức truy hồi ta CÓ: V„=P,V„ị + Ÿ„ (3.24) Tiếp theo xác định W„ ,,V,; ¿ , Vị Trong công thức (3.23), (3.24) ta sử dụng ma trận P„ cho phép biểu diễn: P„=U„'(B1!2)U,„.(B/2), Trong do: U,, (x) - da thitc Cheb- sev loai hai bac m

Phép biểu diễn này cho phép dựng thuật toán tiết kiệm phép tính tích (phép nhân) của ma trận p„ với véctơ W Phép tinh vécto S = Ð W có thể tiến

hành theo sơ đồ sau:

a) Tim W,- giai hệ ph- ơng trình: lx (B-2Ecos m+] )WM.=W, = 1=1, ,m, (3.25) b) Xác định véctơ $ theo cong thttc: i 2 It S=) aw,, a= sin > ' 'm+1l— m+1

Nếu B- là ma trận ba đ-ờng chéo, thì để giải hệ (3.25) có thể sử dụng một

trong các ph-ơng pháp quét sai phân Vì vậy để giải bài toán (3.21), (3.22) theo ph- ơng pháp quét ma trận đặc biệt đòi hỏi phải thực hiện CŒM”N phép toán số học

Trang 35

Ph ong phap giảm toàn phần Ph- ơng pháp này đ- ợc áp dụng để giải hệ phong trinh (3.21), (3.22) trong tr-Ong hop M = 2”, trong đó 7 là một số nguyên d- ơng Sơ đồ tính toán của ph- ơng pháp này nh- sau: a) Chiing ta cho tr-6c p\” =0, gi =F,, (j=1, M -1); b) Do khi k=0,1, ,7 —2 theo cong thitc: BENS = gO 4 pO 4 +p jk (k+l) _ (k) ® Pi =P) +8; git? = _ 2p + đ + qs Chúng ta tính po"? gS? (j= 211 =1,3, 2-°"' - Ds c) Chúng ta cho tr- 6c V, = Fy,V,, = F, sau đó khi k=7—I,7— 2, ,0,ta sử dụng hệ thức: Br, =V, 4 4+V, -q1, V,=r,— p”,

chúng ta tìm véctơ V,( j= 2!1,I= I,3, ,2'“* —1)

Ma trận B8“) cho phép biểu diễn 8“)=27!(B/2), trong đó Tj(x)- đa

thức Cheb- sev loại một bậc ï Do đó đối với nghiệm Q cia hé B’Q=W thi đẳng thức @Q= Ø„ là xác đáng, trong đó véctơ Ở,tìm đ- ợc nhờ nghiệm của dãy hệ ph- ơng trình:

G 2Eco| TC" zÌÌ- Q.,, 1=1, ,2"

Để giải các hệ này có thể sử dụng ph- ơng pháp quét sai phân Vi vay khi thực hiện ph-ơng pháp giảm toàn phần yêu cầu thực hiện khoảng

Trang 36

KET LUAN

Trong quá trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em đã b-ớc đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học hiệu quả Qua đó, em có nét hình dung đầu tiên về toán học hiện đại chuyên ngành ph- ơng trình đạo hàm riêng, đồng thời thấy đ- ợc sự phong phú lý thú của toán học Đặc biệt trong khoá luận này

em đã nghiên cứu tìm nghiệm gần đúng của bài toán hỗn hợp với các ph- ơng

trình dạng hyperbolic và bài toán Dirichlet đối với các ph- ơng trình Poisson bang phong pháp l- ới, đó cũng có thể xem nh- là một tài liệu tham khảo tốt cho những ng- ời quan tâm về vấn đề tìm nghiệm của phong trinh hyperbolic, ph- ơng trình Poisson nói riêng và ph- ơng trình đạo hàm riêng nói chung Đó

cũng chính là thành công của đề tài

Nh- vậy có thể nói đề tài đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra Để hồn thành khố luận tốt nghiệp này em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô trong khoa Toán Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong các thầy cô cùng bạn đọc đóng góp ý

kiến trao đổi để khố luận hồn thiện tốt hơn

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, Tháng 5 năm 2011

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	4,44 MB