Phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

Phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Các kiến thức cơ bản 4 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian L P (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz. Định lý nhúng . . 7 1.1.5 Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm H −1 (Ω) và H −1/2 (∂Ω) 10 1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . 12 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . 14 1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử . . . . . 17 2 Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 2 20 2.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 31 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.2 Mô hình thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Mô hình thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 Các sơ đồ lặp dựa trên chia miền . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5 Một số kết quả thực nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Các ký hiệu L Toán tử elliptic. R n Không gian Euclide n chiều. Ω Miền giới nội trong không gian R n . ∂Ω Biên trơn Lipschitz. C k (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục. L 2 (Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích. W 1,p (Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p. H 1/2 (∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2. H 1 0 (Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω. H −1 (∂Ω) Không gian đối ngẫu với H 1 0 (Ω). H −1/2 (∂Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω).  .  V Chuẩn xác định trên không gian V . (.) V Tích vô hướng xác định trên không gian V . C γ (Ω) Hằng số vết. C Ω Hằng số Poincare. E Ma trận đơn vị. 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, qua việc mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic cấp hai với các hệ điều kiện biên khác nhau. Trong trường hợp khi môi trường đang xét đối với các bài toán thực tế là môi trường đồng nhất thì ta thường nhận được các dạng phương trình elliptic với hệ số là các hàm liên tục. Đối với các dạng phương trình này, đã có nhiều phương pháp của các tác giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn với tư tưởng là chuyển bài toán vi phân về bài toán sai phân trong không gian hữu hạn chiều và từ đó xác định nghiệm xấp xỉ bằng các thuật toán trên cơ sở giải các hệ đại số tuyến tính. Tuy nhiên trong trường hợp khi môi trường đang xét là các môi trường không đồng nhất thì ta sẽ gặp bài toán biên elliptic với hệ số là các hàm số gián đoạn trong miền đang xét. Bài toán này thường gặp trong các mô hình truyền dẫn nhiệt, khuyếch tán hoặc tĩnh điện trong môi trường phân lớp không đồng nhất. Năm 2006, các tác giả Z.Muradoglu Seyidmamedo và Ebsu Ozbilge đã mô tả mô hình bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn qua mặt phân cách trong môi trường không đồng nhất và đưa ra phương pháp sai phân trên lưới không đều. Việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn cũng có thể xác định được bằng việc xây dựng các sơ đồ lặp trên cơ sở của lý thuyết chia miền. Nội dung chính của luận văn là mô tả mô hình toán học của bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn trong môi trường không thuần nhất trong hai mô hình, mối quan hệ giữa hai mô hình cơ bản, khái niệm về nghiệm 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 yếu của các bài toán và xây dựng các sơ đồ lặp xác định nghiệm gần đúng của bài toán trên tư tưởng chia miền. Tiến hành thực nghiệm tính toán và so sánh với phương pháp sai phân trên lưới không đều . Luận văn được viết gồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sự hội tụ của sơ đồ lặp. Các kiến thức này là cơ sở để trình bày các nội dung quan trọng trong chương 2. Chương 2: Luận văn đưa ra 2 sơ đồ chia miền dựa trên hai tư tưởng hiệu chỉnh hàm và hiệu chỉnh đạo hàm trên biên phân cách đối với bài toán biên elliptic với hệ số là liên tục cùng với việc chứng minh sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Các kết quả này đã được các tác giả công bố trong những năm trước đây. Đây chính là các sơ đồ lặp quan trọng làm cơ sở cho việc mở rộng các kết quả tương ứng trong trường hợp khi hệ số là gián đoạn. Chương 3: Luận văn đưa ra mô hình toán học của bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn trong môi trường không đồng nhất, mối quan hệ giữa các mô hình, khái niệm nghiệm yếu của bài toán với hệ số gián đoạn. Trên cơ sở các kết quả trong chương 2 và mô hình bài toán elliptic với hệ số gián đoạn đã được đưa ra, luận văn đề xuất hai sơ đồ lặp chia miền trên tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm hoặc đạo hàm trên biên phân cách để chuyển bài toán trong miền không đồng nhất về hai bài toán trong miền đồng nhất. Tiến hành tính toán thử nghiệm trên các ví dụ cụ thể, từ đó so sánh tốc độ và độ chính xác của hai sơ đồ lặp cũng như so sánh kết quả với phương pháp sai phân trên lưới không đều do tác giả đã đưa ra trong tài liệu [1]. Từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của phương pháp chia miền. Các kết quả số trong luận văn được lập trình trên môi trường Matlab version 7.0 Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Các kiến thức cơ bản Trong chương này, chúng tôi trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử Những kiến thức cơ sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu [ 2, 3, 4, 10, 11, 12]. 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R n và Ω là bao đóng của Ω. Ta ký hiệu C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn ||u|| C k (Ω) =  |α|=k max x∈Ω |D α u(x)|, (1.1) trong đó α = (α 1 , , α n ) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ nguyên không âm, |α| = α 1 + + α n , D α u = ∂ α 1 + +α n u ∂x α 1 1 ∂x α n n Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) là một không gian Banach. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 1.1.2 Không gian L P (Ω) Giả sử Ω là một miền trong R n và p là một số thực dương. Ta ký hiệu L P (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho  Ω |f(x)| p dx < ∞ (1.2) Trong L P (Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như vậy các phần tử của L P (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω. Vì |f(x) + g(x)| p ≤ (|f(x) + g(x)|) p ≤ 2 p (|f(x)| p + |g(x)| p ) nên rõ ràng L P (Ω) là một không gian vectơ. Ta đưa vào L P (Ω) phiếm hàm ||.|| p được xác định bởi ||u|| p = {  Ω |u(x)| p dx} 1/p (1.3) Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Hoder) . Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ L P (Ω), v ∈ L P (Ω) thì uv ∈ L P (Ω) và  Ω |u(x)v(x)|dx ≤ ||u|| p ||v|| p  (1.4) trong đó p  = p/(p − 1), tức là 1/p + 1/p  = 1, p  được gọi là số mũ liên hợp đối với p. Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski) . Nếu 1 < p < ∞ thì ||f + g|| p ≤ ||f|| p + ||g|| p (1.5) Định lí 1.3 Không gian L P (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ là một không gian Banach. 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1 Cho Ω là miền trong R n . Hàm u(x) được gọi là khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm trong Ω và với mỗi x 0 ∈ Ω 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Nguyên 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 bài toán biên elliptic với điều kiện biên Dirichlet của các tác giả Nhật Bản và phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm của các tác giả Việt Nam Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 2 được đưa ra ở trong chương này là cơ sở quan trọng để nghiên cứu các bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn sẽ được đưa ra ở chương 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại... trường hợp khi hệ số k(x) của phương trình là hàm số liên tục trong miền đang xét thì bài toán trở thành bài toán biên elliptic với điều kiện biên Dirichlet Bài toán này đã được xem xét nhiều trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng bởi nhiều tác giả Bây giờ chúng ta xét trong trường hợp khi k(x) là hàm số gián đoạn qua một mặt phân cách trong miền đang xét Do tính chất gián đoạn của hệ số phương trình,... trong đó γ1 , γ2 là các tham số gia tốc không âm thỏa mãn γ1 + γ2 ≥ 0 Xuất phát từ cơ sở của phương pháp chia miền cùng các sơ đồ lặp cơ bản, nhiều tác giả trên thế giới đã đề xuất hàng loạt phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic Phần tiếp theo của luận văn trình bày hai phương pháp khác nhau tiếp cận đến việc giải bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên Dirichlet của 2 nhóm tác... đây 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh hàm Với tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm trên biên phân chia, năm 2001, hai tác giả Nhật Bản là Norikazu Saito và Hiroshi Fujita dựa trên cơ sở sơ đồ lặp Dirichlet - Neumann đã đề xuất một phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên Dirichlet Các kết quả được tham khảo từ tài liệu [2] Cho Ω là miền trong R2 với biên Lipschitz ∂Ω Xét bài toán (2.1)... đồ lặp trên là hội tụ Như vậy, trong phương pháp Saito-Fujita trình bày ở trên, mỗi lần lặp cần giải quyết một bài toán Dirichlet (2.7) trong Ω1 , sau đó giải một bài toán Neumann (2.8) trong Ω2 2.3 Phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm Xuất phát từ tư tưởng hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân chia, năm 2004, các tác giả Việt Nam đã đề xuất một phương pháp chia miền mới Nội dung chính của phương pháp. .. liên tục nên tồn tại hằng số C sao cho 1 ||w||H0 (Ω) ≤ C||ϕ||H 1/2 (Ω) Kết hợp các điều trên ta suy ra 1 ||u||H0 (Ω) ≤ C1 ||f ||L2 (Ω) + C2 ||ϕ||H 1/2 (∂Ω) 1.3 1.3.1 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản Phương pháp lặp giải phương trình toán tử Lược đồ lặp hai lớp Xét bài toán Au = f, (1.21) trong đó A : H → H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực N chiều H với tích vô hướng (, ) và... liệu – Đại học Thái Nguyên 35 http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chương 3 Bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 3.1 Đặt vấn đề Khi nghiên cứu các bài toán trong vật lý và kỹ thuật, đặc biệt là các mô hình truyền dẫn nhiệt, khuyếch tán hoặc tĩnh điện, trong môi trường phân lớp không đồng nhất, chúng ta thường gặp dạng bài toán biên elliptic Au = − (k(x) u) = F (x), x = (x1 , x2 ) ∈ Ω ∈ R2 , u(x) = 0,... Phương trình này có dạng (1.31) với toán tử B ≡ E, A = E + S1 S2 Do đó (k+1) e1 |Γ = (E − θA)ek |Γ 1 (2.21) (2.23) chính là sơ đồ lặp đối với sai số Trong [3], các tác giả đã chứng minh sơ đồ lặp trên là hội tụ Kết luận chương 2 Nội dung chương 2 đã giới thiệu phương pháp chia miền, phương trình Steklov-Poincare, toán tử Steklov-Poincare, phương pháp chia miền giải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –... là toán tử đối xứng, các định dương, f ∈ H là vectơ tùy ý trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y0 bất kỳ thuộc H , người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y1 , y2 , , yk , của phương trình (1.22) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2, Bản chất của những phương pháp này là giá trị yk+1 có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước : yk , yk+1 , Phương pháp. .. các bài toán biên Bài toán Dirichlet Xét bài toán − u = f, u = ϕ, x∈Ω x ∈ ∂Ω (1.11) trong đó f ∈ L2 (Ω) Hàm u ∈ H 1 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.11) nếu 1 u − w ∈ H0 (Ω) (1.12) trong đó w là hàm thuộc H 1 (Ω), có vết bằng ϕ và u v dx = Ω f v dx, 1 ∀v ∈ H0 (Ω) (1.13) Ω Nhận xét 1.2 -Nghiệm yếu của bài toán (1.11) là nghiệm yếu của phương trình − u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương . ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại. đồng nhất, mối quan hệ giữa các mô hình, khái niệm nghiệm yếu của bài toán với hệ số gián đoạn. Trên cơ sở các kết quả trong chương 2 và mô hình bài toán elliptic với hệ số gián đoạn đã được đưa