Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4 (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ HỒNG VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ HOÀNG VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 846 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN, 10/2018 Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình vẽ, đồ thị Lời nói đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Một số kiến thức phương pháp lưới 1.1.1 Lưới sai phân 1.1.2 Hàm lưới 1.1.3 Đạo hàm lưới 1.1.4 Quy ước viết vô bé 1.1.5 Công thức Taylor 1.1.6 Liên hệ đạo hàm hàm lưới 1.2 Phương pháp số giải toán Cauchy 1.2.1 Phương pháp Euler 1.2.2 Phương pháp Euler 1.2.3 Thuật toán RK4 1.3 Phương pháp số giải tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp với độ xác cấp cao 1.3.1 Thuật toán truy đuổi đường chéo 1.3.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác bậc cao 1.3.3 Lược đồ sai phân giải toán biên cho phương trình cấp hai với độ xác bậc cao 9 9 10 10 10 11 12 13 13 14 15 15 17 21 Chương Phương pháp lặp giải toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 26 2.1 Mơ hình tốn phi tuyến tổng qt 26 2.2 Mô hình tốn phi tuyến cấp với hệ điều kiện biên 27 2.2.1 Sự tồn nghiệm 2.2.2 Phương pháp lặp xây dựng dãy lặp đơn điệu 2.3 Mơ hình toán phi tuyến cấp với hệ điều kiện đầu 2.3.1 Mơ hình tốn 2.3.2 Sự tồn nghiệm 27 31 33 33 33 Chương Một số kết thực nghiệm 41 3.1 Mô hình tốn cấp phi tuyến với giá trị biên 41 3.2 Mơ hình tốn cấp phi tuyến với giá trị ban đầu 47 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Phần phụ lục 57 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt N Ωk ρ(h) hα ∆x RK4 A Pn (x) Lk (x) v G(x, t) B[O, M ] R+ Lưới sai phân Không gian lưới Vô bé so với h Vô bé bậc α Số gia hàm Phương pháp Runge-Kutta Ma trận Aij cấp n × n Đa thức bậc n Nhân tử Lagrange bậc k Chuẩn khơng gian Rn Hàm Green Hình cầu tâm O, bán kính M Nửa dương đường thẳng thực Danh mục bảng Bảng 1.1: Sai số ε lưới điểm c0 = 1; c1 = 2; d0 = 2; d1 = Bảng 1.2: Sai số ε lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = Bảng 3.1: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.1) Bảng 3.2: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.2) Bảng 3.3: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.3) Bảng 3.4: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.4) Bảng 3.5: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.5) Bảng 3.6: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.6) Bảng 3.7: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.7) Bảng 3.8: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.8) Danh mục hình vẽ, đồ thị Hình 3.1: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.1) Hình 3.2: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.2) Hình 3.3: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.3) Hình 3.4: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.4) Hình 3.5: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.5) Hình 3.6: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.6) Hình 3.7: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.7) Hình 3.8: Đồ thị nghiệm dương (Bài tốn 3.8) Lời nói đầu Bài tốn học mơ tả phương trình vi phân phi tuyến tính với hệ điều kiện biên đầy đủ toán khó, tác giả giới nước quan tâm Đã có nhiều tài liệu đề cập tới việc chứng minh tồn nghiệm toán, nhiên việc xác định nghiệm toán phương pháp giải tích khó thực hiện, người ta ý đến việc nghiên cứu phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ toán phương pháp chuyển toán phi tuyến dãy toán tuyến tính thơng qua sơ đồ lặp, từ dựa phương pháp chuyển toán vi phân tuyến tính tốn sai phân mơ tả hệ phương trình đại số sau xây dựng phương pháp giải hệ đại số tuyến tính Có hai vấn đề cần quan tâm sở toán học việc xây dựng sơ đồ lặp với hội tụ sơ đồ thuật tốn giải hệ phương trình sai phân với độ xác cao Mục tiêu luận văn tìm hiểu sở tốn học việc xây dựng sơ đồ lặp dựa dãy lặp đơn điệu phương pháp dựa phương trình tốn tử, tìm hiểu thuật tốn xây dựng giải hệ phương trình lưới từ cài đặt chương trình tìm nghiệm xấp xỉ tốn phi tuyến tính cấp mơ tả sơ đồ lặp thơng qua ví dụ cụ thể Luận văn “Phương pháp lặp giải toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4” gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Một số kiến thức Trong chương luận văn trình bày số kiến thức phương pháp lưới, thuật toán truy đuổi giải hệ phương trình lưới phương pháp số giải tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp với độ xác cấp cao Chương 2: Phương pháp lặp giải toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Chương này, luận văn giới thiệu số phương pháp lặp để tìm nghiệm gần cho số mơ hình mơ tả phương trình vi phân phi tuyến bậc bao gồm lý thuyết phương pháp nghiệm nghiệm dưới, phương pháp lặp dựa phương trình toán tử áp dụng cho trường hợp tổng quát Chương 3: Một số kết thực nghiệm Trong chương luận văn đưa số kết số để khẳng định tính đắn lý thuyết hội tụ sơ đồ lặp đưa Chương Mơ hình tốn tham khảo tài liệu [5, 6] Các kết số thực chương trình mơi trường MATLAB máy tính PC Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hồn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K10A; Nhà trường phịng chức trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình bạn đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Hà Hoàng Việt 47 Hình 3.4: Đồ thị nghiệm dương 3.2 Mơ hình toán cấp phi tuyến với giá trị ban đầu Chúng ta xét toán (2.1) Chương Nhận xét: Khi phân rã toán u(4) = f (x, u, u , u , u ); < x < 1, u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = (3.4) Bằng cách đặt ϕ = f (x, u, u , u , u ), ta chuyển toán (3.4) hai toán cấp v = ϕ, v(1) = v (1) = u (3.5) = v, u(0) = u (0) = Chúng ta dễ thấy hai tốn cấp hai hai toán với hệ điều kiện ban đầu, tốn tìm nghiệm xấp xỉ với độ 48 xác cấp bốn lược đồ sai phân sử dụng phương pháp tính đạo hàm với độ xác bậc cao theo kết Chương 1, việc tìm nghiệm xấp xỉ thực bới lược đồ tính tốn dạng Runge-Kutta tìm nghiệm gần toán cấp hai (3.5) Để kiểm tra độ xác phương pháp lặp tìm nghiệm tốn (3.3), sử dụng lược đồ tính tốn Runge-Kutta với độ xác O(h4 ) lưới điểm với bước lưới h = để xác định nghiệm gần N tốn cấp (3.4) Để kiểm tra độ xác lược đồ xây dựng, kí hiệu uk nghiệm xấp xỉ thu áp dụng lược đồ RK4, ε = uk+1 − uk ∞ sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ toàn lưới sai phân Sau xét số toán cụ thể: Bài toán 3.5  3u u (u )2 x 95  (4) u (x) = − + + + , 1152 576 4  u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = 0 < x < 1, Trong ví dụ f (x, u, y, v, z) = − 3yz v2 x 95 + + + 1152 576 4 Miền xác định hàm nằm [0, 1] ×R3+ ×R− →R+ Sử dụng kết Định lý 2.5 2.6 Chương 2, tốn có nghiệm phương pháp lặp hiệu cho việc tìm nghiệm Thật vậy, DM ta có: |f (x, u, y, v, z)| M2 95 M M+ + + 1152 2304 4 Bởi vậy, lựa chọn M = 25 đảm bảo f (x, u, y, v, z) ≤ M DM Thì miền D25 , M M , |fz | 576 2304 25 25 25 ta lấy hệ số Lipschitz: c0 = 0, c1 = , c2 = , c1 = 384 576 2304 c0 c1 c2 25 Thì q = + + + c3 = ≈ 0, 043 < Tất điều kiện Định 576 |fu | = 0, fy 3M , |fv | 1152 49 lý 2.2 thỏa mãn Bởi tốn có nghiệm phương pháp lặp hội tụ Các kết số thực chương trình Q_X_2.m Bảng 3.5: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N = 100 Số bước lặp Sai số Số bước lặp Sai số 1 3.0 × e−10 1.5 × e−7 2.9 × e−10 1.5 × e−8 2.8 × e−10 3.3 × e−10 2.7 × e−10 3.1 × e−10 10 2.6 × e−10 Có thể kiểm chứng tất điều kiện Định lý 2.6 thỏa + mãn D25 nghiệm Bài tốn 3.5 khơng âm Hơn nữa, sử dụng Định lý 2.6, dễ dàng thấy dãy xấp xỉ thành lập phương pháp lặp tăng dần u0 u1 uk Đồ thị nghiệm xấp xỉ mơ tả Hình 3.5 Hình 3.5: Đồ thị nghiệm dương 50 Bài toán 3.6   u(4) (x) = u(x) (u(x) + u (x) + u (x) − u (x)) + 1, < x < 1,  u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = Trong tốn này, ta có f (x, u, y, v, z) = u (u + y + v − z) + Miền xác định hàm nằm miền: [0, 1] ×R3+ ×R_ →R+ Tương tự Bài tốn 3.5, ta chọn M = Vì hệ số Lipschitz 23 Bổ đề 2.1 c0 = , c1 = c2 = c3 = Khi ta nhận được, 36 24 q ≈ 0, 15 < Tất điều kiện Định lý 2.5 thỏa mãn Vì vậy, tốn có nghiệm phương pháp lặp hội tụ Có thể thấy tất điều kiện Định lý 2.6 thỏa mãn D2+ , nghiệm tốn khơng âm Hơn nữa, sử dụng Định lý 2.6 dãy xấp xỉ thành lập phương pháp lặp tăng dần u0 u1 uk Các kết số thực chương trình Q_X_2.m Bảng 3.6: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N = 100 Số bước lặp Sai số Số bước lặp Sai số 1 1.7 × e−12 4.4 × e−9 3.6 × e−14 8.7 × e−11 7.5 × e−16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ mơ tả Hình 3.6 51 Hình 3.6: Đồ thị nghiệm dương Bài toán 3.7 Xem xét toán giá trị biên  u(x) + u (x)  u(4) (x) = −u2 + e , < x < 1, + u2 + u + u + u  u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = Trong toán f (x, u, v, y, z) = 1+ u2 u+y + e−u 2 +y +v +z Là ánh xạ [0, 1] ×R3+ ×R_ →R+ Tương tự toán trên, chọn M = 2, hệ số Lipschitz Bổ đề 2.1 c0 = 0, 666, c1 = 0, 166, c2 = 0, 0306, c3 = 0, 061 Khi đó, q = 0, 187 < Tất điều kiện Định lý 2.5 thỏa mãn Vì vậy, tốn có nghiệm phương pháp lặp hội tụ Có thể thấy tất điều kiện Định lý 2.6 thỏa mãn D2+ Bởi vậy, nghiệm tốn khơng âm Các kết số thực chương trình Q_X_2.m 52 Bảng 3.7: Giá trị sai số sau bước lặp, số điểm lưới N = 100 Số bước lặp Sai số Số bước lặp Sai số 1 1.7 × e−12 4.6 × e−9 3.6 × e−14 8.7 × e−11 7.5 × e−16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ mơ tả Hình 3.7 Hình 3.7: Đồ thị nghiệm dương Bài toán 3.8   u(4) (x) = − u + uu + u + , < x < 1, 24  u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = z y + uv + + 24 Tương tự tốn trên, chọn M = Vậy q = 0, 1875 < Tất điều kiện Định lý 2.6 thỏa mãn Vì vậy, tốn có nghiệm phương pháp lặp hội tụ Có thể xác thực tất điều kiện Định lý 2.6 thỏa mãn D1+ , vậy, nghiệm Bài tốn 3.8 khơng âm Trong toán f (x, u, y, v, z) = − 53 dãy xấp xỉ xây dựng phương pháp lặp tăng dần u0 u1 uk Các kết số thực chương trình Q_X_2.m Bảng 3.8: Giá trị sai số ε sau bước lặp, số điểm lưới N = 100 Số bước lặp Sai số Số bước lặp Sai số 1 8.1 × e−13 2.1 × e−9 1.6 × e−14 4.1 × e−11 3.3 × e−16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ mơ tả Hình 3.8 Hình 3.8: Đồ thị nghiệm dương 54 Kết luận Với mục tiêu tìm hiểu sở toán học vấn đề xây dựng sơ đồ lặp dựa dãy lặp đơn điệu phương pháp lặp, tìm hiểu thuật tốn xây dựng, giải hệ phương trình lưới từ cài đặt chương trình tìm nghiệm xấp xỉ tốn phi tuyến tính cấp mơ tả sơ đồ lặp Luận văn đạt số kết Cụ thể: Tìm hiểu lý thuyết sở phương pháp lưới, nghiên cứu thuật tốn truy đuổi giải hệ phương trình lưới, thuật tốn số giải tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp với độ xác cấp cao Nghiên cứu sở lý thuyết ánh xạ co nguyên lý điểm bất động để xây dựng số phương pháp lặp giải toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với hệ điều kiện đầu hệ điều kiện biên, lý thuyết phương pháp lặp dựa phương trình toán tử áp dụng cho trường hợp tổng quát Tiến hành cài đặt tất thuật toán ngơn ngữ lập trình MATLAB test thử nghiệm nhiều ví dụ cụ thể để khẳng định đắn sơ đồ lặp nghiên cứu Hướng nghiên cứu luận văn: Tiếp tục nghiên cứu tốn liên quan đến phương trình vi phân phi tuyến bậc n(n > 4) với điều kiện biên phức tạp hơn./ 55 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Tạ Văn Đĩnh (2005), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thanh Hường (2017), “Lược đồ sai phân giải tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến cấp cao”, Hội nghị Quốc gia FAIR’ 10 Tiếng Anh [4] Z.B Bai, W Ge and H.Y Wang (2004), “The method of lower and upper solutions some fourth-order equations”, J Inequal Pure and Appl Math., 5, pp 120-128 [5] Z.B Bai (2000), “The method of lower and upper solutions for a bending of an elastic beam equation”, J Math Anal Appl., 248, pp 195-202 [6] Z.B Bai and H.Y Wang (2002), “On the prositive solutions of some nonlinear fourth-order beam equations”, J Math Anal Appl., 270, pp 357-368 [7] A.A Samarskij and E.S Nikolaev (1989), Numerical Methods for Grid Equations, Vol 2, Birkhauser, Basel [8] G.I Marchuk (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [9] A.R Aftabizadeh (1986), “Existence and uniqueness theorems for fourth-order boundary value problems”, J Math Anal Appl., 116, pp 415-426 56 [10] R.Y Ma, J.H Zhang and S.M Fu (1997), “The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary value problems”, J Math Anal Appl., 215, pp 415-422 57 Phần phụ lục Các chương trình nguồn MATLAB Chương trình Q_X_1.m % Chuong trinh kiem tra so lap giai phuong trinh cap bon tong quat % Ngay lap 5/4/2018 % Do chinh xac cap % u =F(x,u,u ) % u(a)=0;u(b)=0; % u (a)=0;u (b)=0; % Cac tham so truyen vao chuong trinh % a,b - doan [a,b] % n - So diem chia doan [a,b] % k - So buoc lap can dung lai % Truong hop tong quat khong biet nghiem dung % Da kiem tra chinh xac function q_v_1_xx=q_v_1_xx(a,b,n,k) clc; h=(b-a)/n; A=0;B=0;C=0;D=0; % Các giá tri dieu kien bien y cua bai toan X=linspace(a,b,n+1); % Khoi tao vecto X - luoi sai phan doan [a,b] % Buoc 0: Khoi dong cac gia tri ban dau phi=f(X,0,0); v=zeros(1,n+1);uluu=zeros(1,n+1); ss1=10;count=0;saiso=h∧ 6;s1luu(1)=1; % Buoc lap while and(ss1>saiso,countsaiso,count