Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)

Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Kiều Thu i LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học Trường ĐHSP Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trong, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Kiều Thu ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Không gian 𝐿𝑚 (Ω) 1.1.2 Bất đẳng thức Holder 1.1.3 Không gian𝑊𝑚1 (Ω) 1.1.4 Định lý nhúng 1.1.5 Định lý vết 1.1.6 Cơng thức tích phân phần 1.1.7 Bất đẳng thức Cauchy suy rộng 1.2 Đạo hàm Frechet cấp 1.2.1 Định nghĩa đạo hàm Frechet 1.2.2 Các ví dụ 1.2.3 Các tính chất 1.3 Đạo hàm Frechet cấp hai 1.3.1 Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai 10 1.3.2 Các ví dụ 11 1.3.3 Vi phân cấp hai phiếm hàm 12 1.3.4 Phân tích Taylor phiếm hàm 12 1.4 Điểm dừng phiếm hàm 13 1.4.1 Khái niệm 13 1.4.2 Điều kiện cần cực trị phiếm hàm 13 1.5 Điều kiện đủ cực trị 14 1.5.1 Điều kiện đủ cực tiểu địa phương 14 1.5.2 Điều kiện đủ cực tiểu toàn cục 15 iii Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE NGUYÊN LÍ DIRICHLET 17 2.1 Phiếm hàm lượng 17 2.1.1 Phiếm hàm lượng sinh hàm Lagrange 17 2.1.2 Điều kiện hàm Lagrange 17 2.1.3 Miền xác định phiếm hàm lượng 17 2.2 Phương trình Euler-Lagrange 18 2.3 Sự tồn cực tiểu toàn cục phiếm hàm lượng 21 2.3.1 Điểm cực tiểu phiếm hàm lượng 21 2.3.2 Đạo hàm cấp hai hàm số 𝐽(𝑡) 21 2.3.3 Sự tồn cực tiểu địa phương phiếm hàm lượng 22 2.3.4 Sự tồn cực điểm toàn cục phiếm hàm lượng 22 2.4 Nghiệm yếu tốn biên lớp phương trình elipptic tuyến tính cấp hai Nguyên lí Dirichlet 23 2.4.1 Phương trình Euler - Lagrange 23 2.4.2 Nghiệm yếu toán (2.16) (2.17) 23 2.4.3 Nguyên lý Dirichlet 23 2.4.4 Ví dụ 25 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 iv MỞ ĐẦU Từ lâu lĩnh vực Giải tích điều hòa, nhà toán học Dirichlet nguyên lý biến phân quan trọng, là: nghiệm tốn biên thứ phương trình Laplace cực tiểu phiếm hàm lượng Nguyên lý gọi Nguyên lý Dirichlet Nhằm mở rộng phạm vi nguyên lý biến phân này, tìm cực tiểu phiếm hàm lượng sinh hàm gọi hàm Lagrange hệ vật chất miền hữu hạn khơng gian nhiều chiều, Euler Lagrange nhận điều kiện cần cho cực tiểu, hàm cực tiểu phiếm hàm cần phải thỏa mãn phương trình đạo nhàm riêng tuyến tính cấp hai, mà mang tên ơng: Phương trình Euler-Lagrange Luận văn trình bày ngun lý Dirichlet mơ tả mối quan hệ nghiệm toán cực tiểu phiếm hàm lượng nghiệm toán biên thứ phương trình Euler-Lagrange, lớp quan trọng số phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Nội dung luận văn gồm 29 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống phép tính vi phân không gian banach, không gian hàm , đạo hàm frechet cấp , đạo hàm frechet cấp hai, điều kiện đủ cực trị Chương 2: Áp dụng kiến thức chuẩn bị vào chương để kháo sát toán cực tiểu phiếm hàm lượng trình bày ngun lý Dirichlet tốn biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Luận văn viết chủ yếu tài liệu tham khảo [1] [3] Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Không gian 𝑳𝒎 (Ω) Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 miền giới nội với biên 𝜕Ω Giả sử m ≥ Không gian 𝐿𝑚 (Ω) bao gồm hàm 𝑢(𝑥) cho |𝑢(𝑥)|𝑚 ∈ 𝐿𝑚 (Ω) Tức 𝐿𝑚 (Ω) = {𝑢(𝑥), ∫Ω|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥 < +∞} Đại lượng ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω) = ‖𝑢‖𝑚,Ω = ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)𝑚 (1.1) chuẩn hàm 𝑢(𝑥) Nhân xét: + Lm (Ω) không gian Banach + Khi m = 2, không gian L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) = ∫Ω 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + Khi m = ∞, không gian L∞ (Ω) gồm hàm bị chặn miền Ω với chuẩn sau ‖𝑢‖𝐿∞(Ω) = vrai sup u( x) x 1.1.2 Bất đẳng thức Holder Định lý 1.1 Bất đẳng thức Holder Giả sử 𝑢 ∈ 𝐿𝑚 (Ω), v ∈ 𝐿𝑚′ (Ω) Khi  u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖ v ‖𝐿𝑚′ (Ω) với  𝑚 + 𝑚′ =1 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức 𝑋𝑌 ≤ 𝑋𝑚 𝑚 ′ + 𝑌𝑚 , 𝑋 ≥ 0, 𝑌 ≥ 𝑚′ Thật , xét hàm 𝑋𝑌 − 𝑋𝑚 𝑚 (1.2) biến X [0; ∞) Hàm đạt giá trị lớn điểm 𝑋 = 𝑌 𝑚−1 giá trị lớn ′ 𝑌𝑚 𝑚′ Do 𝑋𝑌 − 𝑋𝑚 𝑚 ′ ≤ 𝑌𝑚 𝑚′ Vậy (1.2) chứng minh −1 Đặt 𝑋 = |𝑢| ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) 𝑚 , 𝑌 = |𝑣| ∫Ω( ′ |𝑣(𝑥)|𝑚 −1 𝑚′ 𝑑𝑥) Từ (1.2) ta có |𝑢||𝑣| ∫ (|𝑢(𝑥)|𝑚 −1 −1 ′ ′ 𝑚 𝑚 𝑚 𝑑𝑥) ∫ (|𝑣(𝑥)| 𝑑𝑥) Ω ≤ 𝑚 Ω |𝑢|𝑚 ∫Ω ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)−1 + 𝑚 ′ −1 𝑣 𝑚 ∫Ω(|𝑣(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) ′ Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức ta nhận  u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖𝑣‖𝐿𝑚′ (Ω)  Chú ý: Bất đẳng thức Horder suy rộng □ Giả sử 𝑢𝑖 ∈ 𝐿𝑚𝑖 (Ω), 𝑖 = 1, … , 𝑘 Khi bất đẳng thức Holder suy rộng định nghĩa công thức |∫ 𝑢1 (𝑥) 𝑢2 (𝑥) … 𝑢𝑘 (𝑥)𝑑𝑥| ≤ ‖𝑢1 ‖𝐿𝑚 (Ω)‖𝑢2 ‖𝐿 𝑚 (Ω) … ‖𝑢𝑘 ‖𝐿𝑚 (Ω), với 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯+ 𝑚𝑘 𝑘 = 1, 𝑚𝑖 > 1.1.3 Không gian 𝑾𝟏𝒎 (Ω) Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 miền giới nội với biến 𝜕Ω Giả sử m ≥ Không gian Wm (Ω) không gian bao gồm tất hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω) định nghĩa công thức sau : 𝑊𝑚1 (Ω) = {𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω); 𝑢𝑥𝑖 (𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω)| với 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 } Chuẩn 𝑢(𝑥) ∊ 𝑊𝑚1 (Ω) xác định bới công thức: ‖𝑢‖𝑊𝑚1 (Ω) = ‖𝑢‖𝐿𝑚 (Ω) + ∑𝑛𝑖=1‖𝑢𝑥𝑖 ‖ 𝐿𝑚 (Ω) (1.3) 1.1.4 Định lý nhúng Định lý 1.2 Các phép nhúng sau liên tục a) 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐿𝑞 (Ω), 𝑚 ≤ 𝑛, 𝑞 = b) (𝑛−1)𝑚 𝑛−𝑚 𝑣à 𝑞 > 𝑙à 𝑚 = 𝑛 ̅ ), 𝑚 > 𝑛 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐶(Ω 1.1.5 Định lý vết Định lý 1.3 Hạn chế hàm 𝑢(𝑥) biên Ω xác định toán tử vết liên tục sau 𝜕Ω Ω ... kháo sát toán cực tiểu phiếm hàm lượng trình bày nguyên lý Dirichlet toán biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Luận văn viết chủ yếu tài liệu tham khảo [1] [3] Chương KIẾN THỨC...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành:... nghiệm toán cực tiểu phiếm hàm lượng nghiệm toán biên thứ phương trình Euler-Lagrange, lớp quan trọng số phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Nội dung luận văn gồm 29 trang, có phần mở đầu, hai