Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Kiều Thu i LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học Trường ĐHSP Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trong, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Kiều Thu ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Không gian 𝐿𝑚 (Ω) 1.1.2 Bất đẳng thức Holder 1.1.3 Không gian𝑊𝑚1 (Ω) 1.1.4 Định lý nhúng 1.1.5 Định lý vết 1.1.6 Cơng thức tích phân phần 1.1.7 Bất đẳng thức Cauchy suy rộng 1.2 Đạo hàm Frechet cấp 1.2.1 Định nghĩa đạo hàm Frechet 1.2.2 Các ví dụ 1.2.3 Các tính chất 1.3 Đạo hàm Frechet cấp hai 1.3.1 Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai 10 1.3.2 Các ví dụ 11 1.3.3 Vi phân cấp hai phiếm hàm 12 1.3.4 Phân tích Taylor phiếm hàm 12 1.4 Điểm dừng phiếm hàm 13 1.4.1 Khái niệm 13 1.4.2 Điều kiện cần cực trị phiếm hàm 13 1.5 Điều kiện đủ cực trị 14 1.5.1 Điều kiện đủ cực tiểu địa phương 14 1.5.2 Điều kiện đủ cực tiểu toàn cục 15 iii Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE NGUYÊN LÍ DIRICHLET 17 2.1 Phiếm hàm lượng 17 2.1.1 Phiếm hàm lượng sinh hàm Lagrange 17 2.1.2 Điều kiện hàm Lagrange 17 2.1.3 Miền xác định phiếm hàm lượng 17 2.2 Phương trình Euler-Lagrange 18 2.3 Sự tồn cực tiểu toàn cục phiếm hàm lượng 21 2.3.1 Điểm cực tiểu phiếm hàm lượng 21 2.3.2 Đạo hàm cấp hai hàm số 𝐽(𝑡) 21 2.3.3 Sự tồn cực tiểu địa phương phiếm hàm lượng 22 2.3.4 Sự tồn cực điểm toàn cục phiếm hàm lượng 22 2.4 Nghiệm yếu tốn biên lớp phương trình elipptic tuyến tính cấp hai Nguyên lí Dirichlet 23 2.4.1 Phương trình Euler - Lagrange 23 2.4.2 Nghiệm yếu toán (2.16) (2.17) 23 2.4.3 Nguyên lý Dirichlet 23 2.4.4 Ví dụ 25 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 iv MỞ ĐẦU Từ lâu lĩnh vực Giải tích điều hòa, nhà toán học Dirichlet nguyên lý biến phân quan trọng, là: nghiệm tốn biên thứ phương trình Laplace cực tiểu phiếm hàm lượng Nguyên lý gọi Nguyên lý Dirichlet Nhằm mở rộng phạm vi nguyên lý biến phân này, tìm cực tiểu phiếm hàm lượng sinh hàm gọi hàm Lagrange hệ vật chất miền hữu hạn khơng gian nhiều chiều, Euler Lagrange nhận điều kiện cần cho cực tiểu, hàm cực tiểu phiếm hàm cần phải thỏa mãn phương trình đạo nhàm riêng tuyến tính cấp hai, mà mang tên ơng: Phương trình Euler-Lagrange Luận văn trình bày ngun lý Dirichlet mơ tả mối quan hệ nghiệm toán cực tiểu phiếm hàm lượng nghiệm toán biên thứ phương trình Euler-Lagrange, lớp quan trọng số phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Nội dung luận văn gồm 29 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống phép tính vi phân không gian banach, không gian hàm , đạo hàm frechet cấp , đạo hàm frechet cấp hai, điều kiện đủ cực trị Chương 2: Áp dụng kiến thức chuẩn bị vào chương để kháo sát toán cực tiểu phiếm hàm lượng trình bày ngun lý Dirichlet tốn biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Luận văn viết chủ yếu tài liệu tham khảo [1] [3] Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Không gian 𝑳𝒎 (Ω) Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 miền giới nội với biên 𝜕Ω Giả sử m ≥ Không gian 𝐿𝑚 (Ω) bao gồm hàm 𝑢(𝑥) cho |𝑢(𝑥)|𝑚 ∈ 𝐿𝑚 (Ω) Tức 𝐿𝑚 (Ω) = {𝑢(𝑥), ∫Ω|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥 < +∞} Đại lượng ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω) = ‖𝑢‖𝑚,Ω = ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)𝑚 (1.1) chuẩn hàm 𝑢(𝑥) Nhân xét: + Lm (Ω) không gian Banach + Khi m = 2, không gian L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) = ∫Ω 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + Khi m = ∞, không gian L∞ (Ω) gồm hàm bị chặn miền Ω với chuẩn sau ‖𝑢‖𝐿∞(Ω) = vrai sup u( x) x 1.1.2 Bất đẳng thức Holder Định lý 1.1 Bất đẳng thức Holder Giả sử 𝑢 ∈ 𝐿𝑚 (Ω), v ∈ 𝐿𝑚′ (Ω) Khi  u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖ v ‖𝐿𝑚′ (Ω) với  𝑚 + 𝑚′ =1 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức 𝑋𝑌 ≤ 𝑋𝑚 𝑚 ′ + 𝑌𝑚 , 𝑋 ≥ 0, 𝑌 ≥ 𝑚′ Thật , xét hàm 𝑋𝑌 − 𝑋𝑚 𝑚 (1.2) biến X [0; ∞) Hàm đạt giá trị lớn điểm 𝑋 = 𝑌 𝑚−1 giá trị lớn ′ 𝑌𝑚 𝑚′ Do 𝑋𝑌 − 𝑋𝑚 𝑚 ′ ≤ 𝑌𝑚 𝑚′ Vậy (1.2) chứng minh −1 Đặt 𝑋 = |𝑢| ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) 𝑚 , 𝑌 = |𝑣| ∫Ω( ′ |𝑣(𝑥)|𝑚 −1 𝑚′ 𝑑𝑥) Từ (1.2) ta có |𝑢||𝑣| ∫ (|𝑢(𝑥)|𝑚 −1 −1 ′ ′ 𝑚 𝑚 𝑚 𝑑𝑥) ∫ (|𝑣(𝑥)| 𝑑𝑥) Ω ≤ 𝑚 Ω |𝑢|𝑚 ∫Ω ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)−1 + 𝑚 ′ −1 𝑣 𝑚 ∫Ω(|𝑣(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) ′ Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức ta nhận  u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖𝑣‖𝐿𝑚′ (Ω)  Chú ý: Bất đẳng thức Horder suy rộng □ Giả sử 𝑢𝑖 ∈ 𝐿𝑚𝑖 (Ω), 𝑖 = 1, … , 𝑘 Khi bất đẳng thức Holder suy rộng định nghĩa công thức |∫ 𝑢1 (𝑥) 𝑢2 (𝑥) … 𝑢𝑘 (𝑥)𝑑𝑥| ≤ ‖𝑢1 ‖𝐿𝑚 (Ω)‖𝑢2 ‖𝐿 𝑚 (Ω) … ‖𝑢𝑘 ‖𝐿𝑚 (Ω), với 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯+ 𝑚𝑘 𝑘 = 1, 𝑚𝑖 > 1.1.3 Không gian 𝑾𝟏𝒎 (Ω) Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 miền giới nội với biến 𝜕Ω Giả sử m ≥ Không gian Wm (Ω) không gian bao gồm tất hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω) định nghĩa công thức sau : 𝑊𝑚1 (Ω) = {𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω); 𝑢𝑥𝑖 (𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω)| với 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 } Chuẩn 𝑢(𝑥) ∊ 𝑊𝑚1 (Ω) xác định bới công thức: ‖𝑢‖𝑊𝑚1 (Ω) = ‖𝑢‖𝐿𝑚 (Ω) + ∑𝑛𝑖=1‖𝑢𝑥𝑖 ‖ 𝐿𝑚 (Ω) (1.3) 1.1.4 Định lý nhúng Định lý 1.2 Các phép nhúng sau liên tục a) 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐿𝑞 (Ω), 𝑚 ≤ 𝑛, 𝑞 = b) (𝑛−1)𝑚 𝑛−𝑚 𝑣à 𝑞 > 𝑙à 𝑚 = 𝑛 ̅ ), 𝑚 > 𝑛 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐶(Ω 1.1.5 Định lý vết Định lý 1.3 Hạn chế hàm 𝑢(𝑥) biên Ω xác định toán tử vết liên tục sau 𝜕Ω Ω Thật vậy, từ Định lý 1.8 suy 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥 𝑜 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 )(ℎ, ℎ) + 𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ), (1.17) 𝑙𝑖𝑚 ‖ℎ‖𝑥 →0 |𝛼(𝑥 ,ℎ)| ‖ℎ‖2𝑋 = Khi với 𝜀 > 0, tồn 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, với ℎ ∈ 𝑋, ‖ℎ‖𝑥 < 𝛿 ta có |𝛼(𝑥 , ℎ)| < 𝜀‖ℎ‖2 , (1.18) 𝛽 ta chọn 𝜀 = Từ (1.16) (1.18) ta có 𝛽 𝛽 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 )(ℎ, ℎ) + 𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ) ≥ ( − ) ‖ℎ‖2 = 0, 2 nên từ (1.17) suy điều phải chứng minh □ 1.5.2 Điều kiện đủ cực tiểu toàn cục Định lý 1.12 Giả sử phiếm hàm 𝑓(𝑥) xác định khả vi hai lần tập lồi 𝑈 không gian Banach 𝑋 (𝑓 ′′ (𝑥))(ℎ, ℎ) ≥ 0,với 𝑥 ∈ 𝑈, ℎ ∈ 𝑋 (1.19) Khi 𝑥 𝑜 ∈ 𝑈 cực tiểu địa phương cực tiểu tồn cục Chứng minh Xét hàm 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑡ℎ): ℝ → ℝ Ta có 𝑔′ (𝑡) = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 + 𝑡ℎ)(ℎ), (1.20) 𝑔′′ (𝑡) = 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 + 𝑡ℎ)(ℎ, ℎ) (1.21) 15 Do 𝑥 𝑜 cực địa phương 𝑓(𝑥) nên điểm dừng 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) = 0, 𝑡𝑜 = điểm dừng 𝑔(𝑡) Từ (1.19) (1.21) suy 𝑔(𝑡) hàm lồi theo t ℝ Do 𝑡𝑜 = cực tiểu toàn cục 𝑔(𝑡) 𝑥 𝑜 cực tiểu toàn □ cục 𝑓(𝑥) 16 Chương PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE NGUN LÍ DIRICHLET 2.1 Phiếm hàm lượng 2.1.1 Phiếm hàm lượng sinh hàm Lagrange Định nghĩa 2.1 Xét phiếm hàm: 𝐼(𝑢) =  𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝑑𝑥,  ̅ × 𝑅 × 𝑅𝑛 →ℝ gọi hàm Lagrange (2n+1) 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝): Ω biến 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑧 𝑝 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 ), 𝐷𝑢(𝑥) = (𝑢𝑥1 (𝑥), … , 𝑢𝑥𝑛 (𝑥)) véctơ gradient Phiếm hàm 𝐼(𝑢) gọi phiếm hàm lượng sinh hàm Lagrange 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) 2.1.2 Điều kiện hàm Lagrange Ta giả thiết độ tăng 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) sau: 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≥ 𝜗|𝑝|𝑚 + 𝜓1 (𝑥), 𝜗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 > 0, (2.1) 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓2 (𝑥) + |𝑢|𝑞 + |𝑝|𝑚 ] , (2.2) 𝜓1 (𝑥), 𝜓2 (𝑥) ∈ 𝐿1 (Ω), 𝑚 > 𝑚𝑛 , < 𝑚 < 𝑛 𝑞 = { 𝑛−𝑚 > 1, 𝑚 ≥ 𝑛 (2.3) 2.1.3 Miền xác định phiếm hàm lượng Mệnh đề 2.1 Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn điều kiện (2.1) (2.2) Khi phiếm hàm 𝐼(𝑢) xác định khơng gian 𝑊𝑚1 (Ω) Chứng minh 17 Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) Ta chứng minh 𝐼(𝑢) xác định Thật 𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥)) ≥ 𝜗|𝐷𝑢(𝑥)|𝑚 + 𝜓(𝑥), ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝑑𝑥 ≥ 𝜗  |𝐷𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥 +   𝜓2 (𝑥)𝑑𝑥 > (−∞) + (−∞) > −∞  Mặt khác, từ (2.2) ta có 𝜇[𝜓2 (𝑥) + |𝑢|𝑞 + |𝐷𝑢|𝑚 ], 𝐹 = (𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢) ≤ { 𝜇[𝜓(𝑥) + |𝐷𝑢|𝑚 ], 1𝑛 Theo định lý nhúng 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑞 (Ω) Mặt khác 𝜓(𝑥) ∈ 𝐿1 (Ω), ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝑑𝑥 < +∞ Vì phiếm hàm 𝐼(𝑢) xác định 𝑊𝑚1 (Ω) 2.2 Phương trình Euler-Lagrange Ta mô tả điểm dừng phiếm hàm lượng sau 𝐼(𝑢) =  𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢 (𝑥)𝑑𝑥,  hàm 𝑢(𝑥) nhận giá trị 𝑔(𝑥) cho trước biên 𝜕Ω 𝑢|𝜕Ω = 𝑔(𝑥) Ký hiệu 𝑀 = {𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω); 𝑢|𝜕Ω = 𝑔(𝑥)} Ta có nhận xét: Giả sử 𝜂(𝑥) ∈ W m (Ω) Khi đó, với 𝑢(𝑥) ∈ 𝑀, ∀𝜂(𝑥) ∈ 𝑡 ∈ 𝑅, ta có 𝑢(𝑥) + 𝑡𝜂(𝑥) ∈ 𝑀 18 W m (Ω) với Định lý 2.1 Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) cực tiểu địa phương 𝐼(𝑢) Khi 𝑢(𝑥) nghiệm phương trình Euler –Lagrange sau đây: − ∑𝑛𝑖=1 𝜕 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝐹(𝑥,𝑢(𝑥),𝐷𝑢(𝑥)) ( 𝜕𝑝𝑖 )+ 𝜕𝐹(𝑥,𝑢(𝑥),𝐷𝑢(𝑥)) 𝜕𝑧 = (2.4) Chứng minh Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑀 cực tiểu địa phương 𝐼(𝑢) Khi 𝑡 = cực tiểu địa phương hàm số sau đây: 𝐽(𝑡) = 𝐼(𝑢 + 𝑡𝜂) 𝜂(x) hàm thuộc W (Ω) m Bổ đề 2.1 Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑝) thỏa mãn điều kiện (2.1) (2.2) |𝑝|𝑚−1 𝐹𝑢 (𝑥, 𝑢, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓3 (𝑥) + |𝑢|𝑞−1 𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓4 (𝑥) + |𝑢| + |𝑝| 𝑞(𝑚−1) 𝑚 𝑚(𝑞−1) 𝑞 ], (2.5) + |𝑝|𝑚−1 ] (2.6) Trong 𝜓3 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−1 (Ω), 𝜓4 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑚 𝑚−1 (Ω) Với 𝜇 > 𝑚 > 𝑣à 𝑞 > xác định (2.3) Khi ta có công thức sau 𝑑 𝑑𝑡 𝐽(𝑡) = ∫[𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂𝑥𝑖 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑢 + 𝜂𝑡, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂]𝑑𝑥 (2.7) Chứng minh Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau 𝑚 𝑚 |𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂𝑥𝑖 | ≤ 𝑐 [|𝜓2 |𝑚−1 + |𝑢|𝑞 + |𝜂|𝑞 + |∇𝑢 |𝑚 + |∇𝜂 | ] (2.8) Thật vậy: Áp dụng bất đẳng Cauchy (2.6) ta có 19 |𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂𝑥𝑖 |  𝑚−1 𝑚 (1.5)  𝑚−1 (2.6) 𝑚 ≤  |𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂𝑥𝑖 | 𝜇 [𝜓4 (𝑥) + |𝑢 + 𝑡𝜂| 𝑚−1 𝑚 𝑚−1 (1.6) 𝑚 𝑞(𝑚−1) 𝑚 𝜇 [𝜓4 (𝑥) + [|𝑢| + 𝑡|𝜂|] 𝜇 [𝜓4 (𝑥) + + |𝜂 | 𝑚 𝑥𝑖 𝑚 + |𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 |𝑚−1 ] 𝑞(𝑚−1) 𝑚 [|𝑢| 𝑚 𝑚−1 + |𝜂 | 𝑚 𝑥𝑖 𝑚 𝑚−1 + [|𝑢𝑥 | + 𝑡|𝜂𝑥 |]𝑚−1 ] 𝑞(𝑚−1) 𝑚 + (𝑡|𝜂|) 𝑞(𝑚−1) 𝑚 𝑚 + |𝜂 | 𝑚 𝑥𝑖 𝑚 ] + 2𝑚−1 [|𝑢𝑥 |𝑚−1 + 𝑚 𝑡|𝜂𝑥 |𝑚−1 ]] + 𝑞(𝑚−1) −1 𝑚 𝑚 𝑚−1 |𝜂 | 𝑚 𝑥𝑖 Áp dụng bất đẳng thức (1.6) số hạng thứ biểu thức ta nhận (2.8) Tiếp theo ta chứng minh tương tự bất đẳng thức sau |𝐹𝑧 𝜂| ≤ 𝑐 [|𝜓3 | 𝑞 𝑞−1 𝑚 + |𝑢|𝑞 + |𝜂|𝑞 + |∇𝑢 |𝑚 + |∇𝜂 | ] (2.9) Do 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω), từ Định lý nhúng (2.8), (2.9) suy đạo hàm 𝑑𝐼(𝑢+𝑡𝜂) thực tồn tích phân vế phải (2.7) 𝑑𝑡 Khi hàm 𝐼(𝑢 + 𝑡𝜂) có cực tiểu địa phương 𝑡 = 𝑑𝐼(𝑢+𝑡𝜂) 𝑑𝑡 | 𝑡=0 = ∫Ω[𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂𝑥𝑖 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂]𝑑𝑥 = (2.10) Ta áp dụng cơng thức tích phân phần n số hạng vế phải (2.10) với 𝜂(𝑥) ∈ W (Ω) nhận m 𝜕 𝜕𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 ) [ ] 𝜂(𝑥)𝑑𝑥 𝜕𝑝𝑖 Ω 𝜕𝑥𝑖 ∫ 𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂𝑥𝑖 𝑑𝑥 = − ∫ Ω Từ (2.10) suy 20 𝜕 ∫Ω [− ∑𝑛𝑖=1 𝜕𝑥 ( 𝜕𝐹(𝑥,𝑢,𝑢𝑥 ) 𝜕𝑝𝑖 )+ 𝜕𝐹(𝑥,𝑢,𝑢𝑥 ) 𝜕𝑧 ] 𝜂(𝑥)𝑑𝑥 = 0 Do 𝜂(𝑥) ∈ W (Ω) nên ta suy phương trình (2.4) m □ 2.3 Sự tồn cực tiểu toàn cục phiếm hàm lượng 2.3.1 Điểm cực tiểu phiếm hàm lượng Ta nhận thấy hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) cực tiểu địa phương (cực tiểu toàn cục) 𝐼(𝑢), điểm t = điểm cực tiểu địa phương (cực tiểu toàn cục) hàm số: 𝐽(𝑡) = 𝐼(𝑢 + 𝑡𝜂), 𝜂(𝑥) ∈ W m (Ω) cố định 2.3.2 Đạo hàm cấp hai hàm số 𝑱(𝒕) Bổ đề 2.2 Giả sử hàm 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn thêm điều kiện sau: |𝐹𝑧𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓5 (𝑥) + |𝑧|𝛼1 + |𝑝|𝛼2 ] , (2.11) |𝐹𝑝𝑘 𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓6 (𝑥) + |𝑧|𝛽1 + |𝑝|𝛽2 ], (2.12) |𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘 (𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓7 (𝑥) + |𝑧|𝛾1 + |𝑝|𝛾2 ], (2.13) đó: 𝜓5 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−2 (Ω), 𝜓6 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑚𝑞 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 𝛼1 = 𝑞 − 2, 𝛼2 = 𝛽1 = 𝑚𝑞 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 𝛾1 = 𝑞(𝑚−2) 𝑚 , 𝛽2 = (Ω), 𝜓7 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑚(𝑞−2) 𝑞 , 𝑚2 𝑞 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 , 𝛾2 = 𝑚 − Khi ta có công thức sau 21 , 𝑚 𝑚−2 (Ω), 𝑛 𝑑2 d I(u + tη) = [∑ 𝐽𝑗 ( 𝑢 + 𝑡𝜂) + 𝐽𝑜 (𝑢 + 𝑡𝜂)] 𝑑𝑡 dt 𝑗=1 𝑛 𝑛 = ∑ ∫[∑ 𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂𝑥𝑘 𝜂𝑥𝑗 + 𝐹𝑝𝑘 𝑢 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂𝑥𝑗 𝜂]𝑑𝑥 𝑗=1 𝑘=1 + ∫[∑𝑛𝑘=1 𝐹𝑢𝑝𝑘 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂𝑥𝑘 𝜂 + 𝐹𝑢𝑢 (𝑥, 𝑢 + 𝑡𝜂, 𝑢𝑥 + 𝑡𝜂𝑥 )𝜂2 ]𝑑𝑥 (2.14) Chứng minh Việc chứng minh Bổ đề suy từ việc áp dụng công thức(2.7) Bổ đề 2.1 2.3.3 Sự tồn cực tiểu địa phương phiếm hàm lượng Định lý 2.2 (Định lý 6.5 [1]) Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn điều kiện (2.1) hàm lồi theo 𝑝 ∈ ℝ𝑛 x, z cố định Khi phiếm hàm I(u) có cực tiểu địa phương 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) 2.3.4 Sự tồn cực điểm toàn cục phiếm hàm lượng Định lý 2.3 (Định lý 6.6 [1]) Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) điểm dừng 𝐼(𝑢), 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn điều kiện (2.1), (2.2), (2.5), (2.6) điều kiện sau: 𝑛 𝑛 ∑ 𝐹𝑝𝑖 𝑝𝑗 (𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝜉𝑖 𝜉𝑗 + 2𝜉0 ∑ 𝐹𝑝𝑗𝑧 (𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝜉𝑗 𝑖,𝑗=1 𝑗=1 +𝐹𝑧𝑧 (𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝜉0 ≥ 𝛽(𝑥) ∑𝑛𝑗=1 𝜉𝑗 , ̅ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝛽(𝑥) ≠ 0, 𝛽(𝑥) ≥ 0, với 𝜉 ∈ ℝ𝑛 , 𝜉0 ∈ ℝ𝑛 ,và 𝑥 ∈ Ω Khi u(x) cực tiểu tồn cục I(u) 22 ( 2.15) 2.4 Nghiệm yếu tốn biên lớp phương trình elipptic tuyến tính cấp hai Ngun lí Dirichlet 2.4.1 Phương trình Euler - Lagrange ̅ × ℝ × Ω𝑛 Xét phương Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑝) hàm Lagrange xác định Ω trình tuyến sau đây: − ∑𝑖(𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥))𝑥𝑖 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)) = 0, 𝑥 ∈ Ω (2.16) Xét toán biên Dirichlet 𝑢|∂Ω = 𝑔(𝑥), (2.17) 𝑔(𝑥) hàm số cho trước thuộc 𝑊𝑚1 (Ω), 𝑚 > 2.4.2 Nghiệm yếu toán (2.16) (2.17) Định nghĩa 2.2 Hàm số 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) gọi nghiệm yếu toán (2.16), (2.17) 1) 𝑢(𝑥) − 𝑔(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω), 2) ∫[∑𝑖 𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝐷𝑖 𝜂 + 𝐹𝑢 (𝑥, 𝑢, 𝐷𝑢)𝜂]𝑑𝑥 = , (2.18) ∀𝜂 ∈ W m (Ω) 2.4.3 Nguyên lý Dirichlet Nguyên lí Dirichlet sau khẳng định tương đương toán Dirichlet (2.16), (2.17) với toán tìm cực tiểu địa phương phiếm hàm lượng 𝐼(𝑢) Định lý 2.4 (Nguyên lý Dirichlet) Giả sử 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑝) thỏa mãn điều kiện sau: 1) 𝜗|𝑝|𝑚 + 𝜓1 (𝑥) ≤ 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓2 (𝑥) + |𝑢|𝑞 + |𝑝|𝑚 ]; 2) 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓3 (𝑥) + |𝑧|𝑞−1 3) 𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ 𝜇[𝜓4 (𝑥) + |𝑧| + |𝑝| 𝑞(𝑚−1) 𝑚 𝑚(𝑞−1) 𝑞 ]; + |𝑝|𝑚−1 ]; 23 4) |𝐹𝑧𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓5 (𝑥) + |𝑧|𝛼1 + |𝑝|𝛼2 ]; 5) |𝐹𝑝𝑘 𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓6 (𝑥) + |𝑧|𝛽1 + |𝑝|𝛽2 ]; 6) |𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘 (𝑥, 𝑧, 𝑝)| ≤ 𝜇[𝜓7 (𝑥) + |𝑧|𝛾1 + |𝑝|𝛾2 ]; 7) Điều kiện (2.14) hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) điểm dừng 𝐼(𝑢) Trong 𝑚 > 1, 𝜇 > 0, 𝜗 > 0, 𝜓3 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−1 (Ω), 𝜓4 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑚 𝑚−1 𝐿 𝑚 1 1− − 𝑚 𝑞 (Ω), 𝜓5 (𝑥) ∈ 𝐿 (Ω), 𝜓7 (𝑥) ∈ 𝐿 𝑚 𝑚−2 𝛼1 = 𝑞 − 2, 𝛼2 = 𝛽1 = 𝑞 𝑞−2 𝑚𝑞 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 𝛾1 = 𝑞(𝑚−2) 𝑚 , 𝛽2 = (Ω), 𝜓6 (𝑥) ∈ (Ω), 𝑚(𝑞−2) 𝑞 , 𝑚2 𝑞 𝑚𝑞−𝑚−𝑞 , , 𝛾2 = 𝑚 − Khi hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) nghiệm yếu toán Dirichlet (2.16), (2.17), cực tiểu địa phương phiếm hàm lượng 𝐼(𝑢) ngược lại Chứng minh a) Giả sử 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) nghiệm yếu Bài tốn (2.16), (2.17) Khi (2.17) thỏa mãn Ta chứng minh 𝑢(𝑥) cực tiểu địa phương 𝐼(𝑢) 𝑊𝑚1 (Ω) Xét hàm số 𝐽(𝑡) = 𝐼(𝑢 + 𝑡𝜂), 𝐼(𝑢) = ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥), 𝐷𝑢(𝑥 )𝑑𝑥 Ω Từ (2.15), giả thiết Định lý Bổ đề 2.2, 2.1 ta suy khẳng định sau: i) Hàm 𝐽(𝑡) khả vi cấp cấp hai 𝑡 = 0, 24 ii) 𝐽′ (0) = 𝑑𝐼(𝑢+𝑡𝜂) 𝑑𝑡 | 𝑡=0 = ∫Ω[𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂𝑥𝑖 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂]𝑑𝑥 = Vì 𝑡 = điểm dừng 𝐽(𝑡) Mặt khác từ (2.14) suy 𝐽′′ (0) = 𝑑 𝐼(𝑢+𝑡𝜂) 𝑑𝑡 | 𝑡=0 Từ (2.13 ) ∫[∑𝑛𝑘=1 𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂𝑥𝑘 |𝜂𝑥𝑗 | +2𝐹𝑝𝑘 𝑧 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂𝑥𝑘 𝜂 + 𝐹𝑧𝑧 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂2 ]𝑑𝑥 ≥ 𝛽 ∫Ω ∑𝑛𝑗=1 |𝜂𝑥𝑗 | 𝑑𝑥 > 0, 𝜂(𝑥) ≠ Và 𝑡 = điểm cực tiểu địa phương 𝐽(𝑡) 𝑢(𝑥) cực tiểu điah phương phiếm hàm 𝐼(𝑢) Khẳng định a) chứng minh b) Giả sử 𝑢(𝑥) cực tiểu địa phương phiếm hàm 𝐼(𝑥) Khi 𝑡 = điểm cực tiểu địa phương hàm 𝐽(𝑡) Do 𝐽′(0) = Mặt khác 𝐽′(0) = ∫Ω[∑𝑖 𝐹𝑝𝑖 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝐷𝑥𝑖 𝜂 + 𝐹𝑢 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜂]𝑑𝑥 Vì 𝑢(𝑥) nghiệm yếu Bài tốn (2.15) (2.16) □ 2.4.4 Ví dụ Xét tốn Dirichlet sau với 𝑚 > − ∑𝑛𝑗=1 𝜕 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑢 (|D𝑢|𝑚−2 𝜕𝑥 ) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ Ω, 𝑗 𝑢|𝜕Ω = 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿 𝑞 𝑞−1 (Ω) 𝑔(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) hàm cho trước Ω, 𝑚 > 𝑞 > xác định (2.3) Ta chọn hàm Lagrange 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) cho: 25 𝐹𝑝𝑗 (𝑥, 𝑧, 𝑝) = |𝑝|𝑚−2 𝑝𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 { 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑝) = 𝑓(𝑥) Giải hệ phương trình ta nhận hàm Lagrange sau: 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) = |𝑝|𝑚 − 𝑓(𝑥)𝑢 𝑚 Phiếm hàm lượng tương ứng là: 𝐼(𝑢) = ∫Ω [ |D𝑢(𝑥)|𝑚 − 𝑓(𝑥)𝑢] 𝑑𝑥 𝑚 Do 𝐹𝑝𝑖 𝑝𝑗 = (𝑚 − 2)|𝑝|𝑚−4 𝑝𝑖 𝑝𝑗 − |𝑝|𝑚−2 𝛿𝑖𝑗 , 𝐹𝑝𝑖 𝑢 = 0, 𝐹𝑢𝑢 = 0, Kiểm tra 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.4 1) 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) = 𝑚 |𝑝|𝑚 − 𝑓(𝑥)𝑧, 𝑞−1 𝑞 𝑞 |𝑓(𝑥)𝑧| ≤ |𝑧|𝑞 + 𝑞−1 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) ≤ [ 𝑞 𝑞 |𝑓(𝑥)|𝑞−1 , |𝑓(𝑥)| 𝑞 𝑞−1 1 𝑞 𝑚 + |𝑧|𝑞 + |𝑝|𝑚 ] Ta chọn 𝜓2 (𝑥) = 𝑞 𝑞−1 |𝑓(𝑥)| , 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) = | 𝑞−1 1 𝜇 = 𝑚𝑎𝑥 [ , , ] 𝑞 𝑞 𝑚 1 |𝑝|𝑚 − 𝑓(𝑥)𝑧| ≥ |𝑝|𝑚 − |𝑓(𝑥)𝑧| 𝑚 𝑚 ≥ 𝑚 𝑞−1 𝑞 𝑞 |𝑝|𝑚 − |𝑧|𝑞 − Ta chọn 1 𝑚 𝑞 𝜗 = , 𝜓2 (𝑥) = − |𝑢(𝑥)|𝑞 − 𝑞−1 𝑞 |𝑓(𝑥)| 26 𝑞 𝑞−1 𝑞 |𝑓(𝑥)|𝑞−1 2) 𝐹𝑍 = −𝑓(𝑥) ≤ |𝑓(𝑥)|, 𝜓3 (𝑥) = |𝑓(𝑥)|, 𝑚 = 3) |𝐹𝑝𝑗 (𝑥, 𝑧, 𝑝)| = ||𝑝|𝑚−2 𝑝𝑗 | ≤ |𝑝|𝑚−2 |𝑝𝑗 | ≤ |𝑝|𝑚−2 |𝑝| = |𝑝|𝑚−1 Chọn 𝜓4 (𝑥) = 4)| 𝐹𝑧𝑧 | = 0, 𝜓5 (𝑥) = 5) |𝐹𝑝𝑗 𝑝𝑘 | = 6) |𝐹𝑝𝑗𝑝𝑘 | ≤ (𝑚 − 2)|𝑝|𝑚−4 |𝑝|2 + |𝑝|𝑚−2 = (𝑚 − 1)|𝑝|𝑚−2 ≤ 𝜇[𝜓6 (𝑥) + |𝑢|𝛾1 + |𝑝|𝑚−2 ], 𝜓7 = Hơn nữa, ta có 𝑛 ∑ 𝐹𝑖𝑗 (𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥 )𝜉𝑖 𝜉𝑗 = (𝑚 − 2)|𝑝|𝑚−4 ∑ 𝑝𝑖 𝑝𝑗 𝜉𝑖 𝜉𝑗 + |𝑝|𝑚−2 ∑ 𝜉𝑖2 𝑖,𝑗 𝑖,𝑗=1 𝑖 = (𝑚 − 2)|𝑝|𝑚−4 (∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 𝜉𝑖 )2 + |𝑝|𝑚−2 |𝜉|2 ≥ |𝑝|𝑚−2 |𝜉|2 Trong 𝑝 = 𝐷𝑢(𝑥) Do 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn điều kiện (2.15),với 𝛽 (𝑥) = |𝐷𝑢(𝑥)|𝑚−2 Ta chứng minh 𝛽(𝑥) ≠ Ω Giả sử 𝛽(𝑥) ≠ Ω Khi 𝐷𝑢(𝑥) ≡ Ω 𝑢(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Ω kéo theo 𝑢(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜕Ω Do 𝐷𝑢(𝑥) ≡ Ω nên 𝑓(𝑥) = Khi 𝑔(𝑥) ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 trêm 𝜕Ω Ta nhận định vô lý Vậy 𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑝) thỏa mãn Định lý (2.15) Vậy tốn có nghiệm 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω) 27 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: - Trình bày tổng quan hệ thống không gian hàm, đạo hàm frechet cấp một, đạo hàm frechet cấp hai, điều kiện đủ cực trị - Xét toán cực tiểu phiếm hàm lượng sinh hàm Lagrange Đưa điều kiện đủ hàm số Lagrange để hàm lượng có cực trị địa phương tồn cục - Kết luận văn ngun lí Dirichlet cho tốn biên thứ lớp phương trình elipptic tuyến cấp hai, nguyên lý Dirichlet mô tả mối quan hệ nghiệm toán cực tiểu phiếm hàm lượng nghiệm toán biên thứ phương trình Euler-Lagrange, lớp quan trọng số phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Ladyzhenskaya and N N Ural’tseva (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Academic Press, New York and London R Akerkar (1999), Nonlinear Functional Analysis, Narola Publishing House, New Dehli, London; Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 29 ... kháo sát toán cực tiểu phiếm hàm lượng trình bày nguyên lý Dirichlet toán biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Luận văn viết chủ yếu tài liệu tham khảo [1] [3] Chương KIẾN THỨC...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành:... nghiệm toán cực tiểu phiếm hàm lượng nghiệm toán biên thứ phương trình Euler-Lagrange, lớp quan trọng số phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Nội dung luận văn gồm 29 trang, có phần mở đầu, hai