Bài toán dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên có cấu trúc hình học đặc biệt (LV01183)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ————————–o0o————————– PHẠM THỊ NHÀI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ————————–o0o————————– PHẠM THỊ NHÀI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã động viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói chung và chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12, năm 2014 Phạm Thị Nhài Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian C  ( ¯ Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian C l,γ ( ¯ Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . 6 1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm bài toán Dirichlet 9 2.1 Hàm rào cản trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài . . . . . . . . . . 12 2.3 Miền lồi. Các điều kiện về cấu trúc các hệ số của phương trình . . . . . 15 2.4 Các điều kiện về độ cong của biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Đánh giá môđun liên tục đối với nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 12, năm 2014 Tác giả Phạm Thị Nhài 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một của nghiệm ở trong lân cận biên của miền. Nếu biên của miền được giả thiết là trơn thì việc đánh giá nói trên là thuận lợi. Luận văn xét một số cấu trúc hình học đặc biệt của miền sao cho khi biên không trơn mà việc đánh giá nói trên vẫn có thể thực hiện được. Trong một số trường hợp đặc biệt của biên, luận văn đã chỉ ra bài toán Dirichlet không có nghiệm. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là các chương 11, 14 quyển Elliptic Partial Differential Equations of Second Order của hai tác giả D. Gilbarg và N. Trudinger (2001). 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. 6. Những đóng góp mới Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này. 7. Kết cấu luận văn Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày một số các không gian hàm, phát biểu bài toán Dirichlet và chỉ 3 ra các điều kiện giải được của bài toán này, để kiểm tra tính giải được của bài toán ta phải đưa ra các đánh giá tiên nghiệm bên trong và trên biên. Chương 2: Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm của bài toán Dirichlet Đưa ra các đánh giá đối với nghiệm ở trên biên của miền. Để chỉ ra các đánh giá đó, luận văn đưa vào khái niệm hàm rào cản trên biên, điều kiện hình cầu ngoài, điều kiện mặt phẳng ngoài, điều kiện hình cầu trong và các điều kiện đối với độ cong của biên. Trên cơ sở khảo sát, luận văn chỉ ra các điều kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Holder 1.1.1 Không gian C  ( ¯ Ω) Cho Ω là miền bị chặn trong R n với biên Ω trơn. Cho x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ Ω và đa chỉ số α, α = (α 1 , α 2 , , α n ), α j ∈ N với |α| = α 1 + α 2 + + α n . Ta ký hiệu: D α u = D α 1 1 D α 2 2 D α n n u, D j u = ∂u ∂x j . Khi đó C( ¯ Ω) = C 0 ( ¯ Ω) là không gian các hàm số liên tục trên ¯ Ω với chuẩn: u C( ¯ Ω) = u 0;Ω = sup x∈Ω |u(x)| . (1.1) Từ đó ta cũng định nghĩa được C l ( ¯ Ω) như sau C l ( ¯ Ω) =  u(x); D α u ∈ C 0 ( ¯ Ω), ∀α : |α| ≤ l  , và được trang bị chuẩn: u C l ( ¯ Ω) = u l;Ω =  |α|≤l sup ¯ Ω |D α u(x)| . (1.2) Các không gian C l ( ¯ Ω) là các không gian Banach. 5 1.1.2 Không gian C l,γ ( ¯ Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 Trước tiên ta định nghĩa không gian C 0;γ (Ω) như sau: C 0;γ ( ¯ Ω) =    u ∈ C 0 ( ¯ Ω); [u] γ;Ω = sup ,y∈ ¯ Ω =y |u(x) − u(y)| |x − y| γ < +∞    , và được trang bị chuẩn: u γ;Ω = u 0;Ω + [u] γ;Ω, (1.3) Từ đó ta có định nghĩa của không gian C l,γ ( ¯ Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 C l,γ ( ¯ Ω) =  u ∈ C l ( ¯ Ω); [D α u] γ,Ω < +∞; ∀ |α| = l  , với chuẩn: u l,γ, ¯ Ω = u l; ¯ Ω +  |α|=l [D α u] γ, ¯ Ω (1.4) Các không gian C l,γ ( ¯ Ω) là các không gian Banach. Ta có C l,0 ( ¯ Ω) = C l ( ¯ Ω) và C 0,1 ( ¯ Ω) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz. 1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sau: Qu ≡ a ij (x, u, Du)D ij u + b(x, u, Du) = 0, x ∈ Ω, (1.5) u = ϕ trên ∂Ω. (1.6) 6 [...]... 0, (2.1) trong miền Ω ⊂ Rn Việc đánh giá đạo hàm trên biên sẽ cho lời giải của phương trình trên Những giả thuyết này là sự tổ hợp các điều kiện cấu trúc đối với các hệ số của Q và điều kiện hình học trên miền Ω Nó cho thấy đạo hàm trên biên của nghiệm phương trình elliptic có những khía cạnh khác so với đánh giá Holder trên miền với biên trơn Việc đánh giá đạo hàm trên biên buộc phải xét trong nguyên... đạo hàm cấp một Nội dung chính của Chương 2 là việc thực hiện bước 2, trình bày đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên Đây là một bước quan trọng trong việc đánh giá (1.8) và đưa tới tính giải được của bài toán Dirichlet (1.5), (1.6) 8 Chương 2 Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm bài toán Dirichlet 2.1 Hàm rào cản trên biên Ta xét phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai: ... u, Du) = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω (1.9) Nhận xét 1.2 Như vậy tính giải được của bài toán (1.5), (1.6) đưa về việc nghiên cứu đánh giá (1.8) 1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8) Để kiểm tra điều kiện (1.8) người ta thực hiện theo bốn bước: 1 Đánh giá max |u| trên toàn miền 7 2 Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên 3 Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm bên trong miền 4 Đánh giá chuẩn Holder... nếu một trong các điều kiện cấu trúc (2.24) và (2.25) được thỏa mãn thì ta có: |Du| ≤ C trên ∂Ω, trong đó C = C(n, M, µ, |ϕ|2;Ω ) ¯ 16 (2.27) Hệ quả 2.4 đặc biệt được áp dụng cho toán tử mặt cực tiểu M cho bởi: Mu = 1 + |Du|2 ∆u − Di uDj uDij u (2.28) Ở đây λ = 1, Λ = 1 + |p|2 , vì vậy việc đánh giá đạo hàm trên biên vẫn đúng trong những miền lồi cho phương trình Mu = 0 Tiếp theo ta giả sử rằng miền Ω... Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn và giả sử rằng toán tử Q thỏa mãn điều kiện cấu trúc (2.73) với R là bán kính lớn nhất của hình ¯ cầu đóng chứa trong Ω Khi đó tồn tại một hàm số ϕ ∈ C ∞ (Ω) sao cho bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω không có nghiệm Ta sử dụng trường hợp (ii) ở trên để chỉ ra sự cần thiết của sự hạn chế hình học Ta giả sử rằng khai triển (2.42) là có căn cứ khi b∞... điển đối với phương trình eliptic tuyến tính cấp hai trong định lý sau đây: 30 Định lí 2.15 ([3]) Giả sử L là elliptic tuyến tính cấp hai trong miền bị chặn Ω Giả sử rằng Lu ≥ 0(≤ 0) trong Ω, c = 0 trong Ω, (2.75) ¯ ¯ với u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) Khi đó giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của u trong Ω đạt được trên ∂Ω, nghĩa là: (2.76) sup u = sup u(inf u = inf u) Ω ∂Ω Ω ∂Ω Từ (2.74) và Định lý 2.14 ta có sup... (|z|) E với |p| ≥ µ (|z|) (2.21) Các đại lượng chắn ở mục trước có thể áp dụng với ν = µ(M ), M = sup |u| Do đó Ω ta thu được một đánh giá cho Du(x0 ) với điều kiện Qu = 0 trong Ω và u = 0 trên ∂Ω Mở rộng kết quả này cho giá trị biên ϕ khác 0, ta đòi hỏi ΛD2 ϕ và b = 0(F) phải thỏa mãn: Λ D2 ϕ + |b| ≤ µ (|z|) F với |p − Dϕ| ≥ µ (|z|), ¯ ¯ với hàm số µ không giảm nào đó Từ đó ta có đánh giá dưới đây:... x0 đối với toán tử Q và hàm số u với điều kiện u = 0 trên N ∩ Q Tương tự hàm số w− = −ψ(d) tương ứng là một chắn dưới Ở đây nếu Qu = 0 trong Ω, từ công thức (2.2) ta có đánh giá: |Du(x0 )| ≤ ψ (0) = µevM , (2.15) nếu đẳng thức xảy ra trong (2.14) 13 ¯ Bây giờ mở rộng đánh giá (2.15) cho giá trị biên khác 0 Lấy ϕ ∈ C 2 (Ω) và giả sử rằng u = ϕ trên ∂Ω Sau đó cần phải có phép biến đổi toán tử cho bởi... trong Ω và u = ϕ trên ¯ ∂Ω Giả sử rằng Ω là miền lồi đều và ϕ ∈ C 2 (Ω) Khi đó nếu điều kiện cấu trúc (2.32) hoặc (2.33) được thỏa mãn thì trên ∂Ω ta có: |Du| ≤ C, (2.34) trong đó C = C(n, M, µ(M ), |ϕ|1;Ω ) ¯ Hệ quả 2.6 đặc biệt được áp dụng cho phương trình độ cong trung bình với toán tử Mu = nH(x, u, Du)(1 + |Du|2 )3/2 , (2.35) ở đây T = 1 + (n − 1)(1 + |p|2 ), vì vậy một đánh giá đạo hàm trên biên. .. biên sẽ cho lời giải của (2.35) trong những miền lồi đều với điều kiện hàm số H thỏa mãn: |H| ≤ (n − 1) với |p| ≥ µ (|z|) nR 18 (2.36) Điều kiện cấu trúc (2.32) rõ ràng thỏa mãn khi b = 0 Trong trường hợp này Hệ quả 2.6 có thể được suy ra bởi các hàm chắn tuyến tính, từ những biên có nhiều dạng khác nhau (∂Ω, ϕ) sẽ thỏa mãn một điều kiện biên nghiêng Hơn nữa khi b = o(Λ |p|) trong (2.32), một chắn có dạng . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ————————–o0o————————– PHẠM THỊ NHÀI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC. toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sau: Qu ≡ a ij (x, u, Du)D ij u. ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.