Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I HC KHOA H¯C TÜ NHI N ? L×ÌNG MINH PH×ÌNG PH×ÌNG TR NH ELIPTIC TUY N T NH C PHAID NGB OTO N Chuyản ng nh: ToĂn GiÊi Tch M s : 60460102 LU NV NTH CS KHOAH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C PGS.TS H TI N NGO N H Nºi - N«m 2016 Mưc lưc Mð ƒu C¡c ki‚n thøc cƒn chu'n bà ‘ Khæng gian Sobolev Wm ( ) Khæng gian Holder 1.1 1.2 1.3 Khæng gian Bm( ; M; ; ; 1.4 nh lỵ Leray-Shauder Nghi»m suy rng ca phữỡng trnh elliptic Ă tuyn tnh cĐp hai d⁄ng b£o to n 2.1 Ph÷ìng tr…nh elliptic ¡ tuy‚n t‰ suy rºng bà ch°n 2.2 T‰nh nh§t nghi»m cıa b i t 2.3 ¡nh gi¡ b¶n miãn i vợi gra 2.4 2.5 2.6 (ess: max0 jruj) Ănh giĂ trản to n miãn i vợi grad ⁄o h m c§p hai cıa nghi»m suy r ¡nh gi¡ chu'n Holder Łi vỵi ⁄o h 2.7 2.8 rºng ( juj‘; ; ; ‘ ) º lỵn ca nghiằm suy rng trản to Tnh giÊi ữổc ca b i to¡n Diri K‚t lu“n T i li»u tham khÊo M u L thuyt vã phữỡng trnh elliptic tuyn tnh  ữổc nhiãu nh khoa hồc nghiản cứu rĐt cử th, chi tit v y  ữa v o nh nghắa lợp nghiằm suy rng ca phữỡng trnh gỗm cĂc h m cõ o h m cĐp mt v thoÊ mÂn flng thức tch phƠn miãn C¡c ph÷ìng tr…nh elliptic ¡ tuy‚n t‰nh sau â cơng  cõ mt lch sò phĂt trin lƠu d i, nõ cõ sỹ khĂc biằt so vợi phữỡng trnh tuyn t‰nh l c¡c sŁ cıa h» ph÷ìng tr…nh phư thuºc v o 'n h m th“m ch‰ l ⁄o h m c§p mºt cıa 'n h m V… v“y kh¡i ni»m nghi»m suy rºng ÷ỉc ÷a v o câ mºt sŁ c¡ch kh¡c bi»t Lu“n v«n n y nh‹m mưc ch trnh by lỵ thuyt nghiằm suy rng b chn ca phữỡng trnh elliptic Ă tuyn tnh cĐp hai dng bÊo to n B cửc ca lun vôn bao gỗm phƒn Mð ƒu, hai ch÷ìng nºi dung ch‰nh, K‚t lu“n v T i li»u tham kh£o Ch÷ìng Chu'n bà c¡c ki‚n thøc cì b£n v• c¡c khỉng gian Banach, cư th” l , khỉng gian Sobolev, khỉng gian Holder, nh lỵ Leray-Schauder v mt s kt quÊ cn thit kh¡c cơng ÷ỉc tr…nh b y ch÷ìng n y ” l m cì sð cho vi»c ph¡t tri”n chữỡng Chữỡng Giợi thiằu lợp cĂc phữỡng trnh ¡ tuy‚n t‰nh c§p hai d⁄ng b£o to n v nghi»m suy rºng cıa chóng T‰nh nh§t nghi»m cıa b i to¡n Dirichlet mi•n ı nhä Ti‚p theo s nghiản cứu cĂc Ănh giĂ miãn v trản to n miãn i vợi gradient ca ngiằm suy rºng bà ch°n ¡nh gi¡ chu'n Holder Łi vỵi ⁄o h m c§p mºt v ⁄o h m c§p cao cıa nghi»m suy rºng º lỵn cıa nghi»m suy rºng CuŁi cịng, t‰nh gi£i ÷ỉc cıa b i to¡n Dirichlet cụng ữổc nghiản cứu Ni dung chnh ca lun vôn ữổc trnh b y dỹa theo cun " Linear and Quasilinear Elliptic equations" cıa Ladyzhenskaya, Olga A and Ural’tseva, Nina N, (1968) Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin chƠn th nh b y tọ lặng knh trồng v bit ỡn sƠu sc tợi Thy hữợng dÔn PGS.TS H Tin Ngon, ngữới  giúp ù, ch o tn tnh, chu ¡o cho t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p, nghiản cứu v ho n th nh bÊn lun vôn n y T¡c gi£ xin ch¥n trång c£m ìn Ban lÂnh o Trữớng i hồc Khoa Hồc Tỹ Nhiản, Phặng Sau ⁄i håc, c¡c thƒy cỉ gi¡o cịng to n th cĂn b, cổng nhƠn viản Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc  giÊng dy v to mồi iãu ki»n thu“n lỉi cho t¡c gi£ suŁt thíi gian hồc ti trữớng TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn v rĐt mong nhn ữổc nhng ỵ kin âng gâp, ph¶ b…nh cıa thƒy cỉ, v c¡c b⁄n cho bÊn lun vôn n y Chữỡng CĂc ki‚n thøc cƒn chu'n bà Trong ch÷ìng n y, cung c§p mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n ” phưc vư cho viằc xƠy dỹng ni dung chnh chữỡng sau Dữợi Ơy l cĂc k hiằu thữớng dũng lun v«n N = f1; 2; :::g l t“p hỉp c¡c sŁ tü nhi¶n, Z+ = f0; 1; 2; :::g l hổp cĂc s nguyản khổng Ơm, R l c¡c sŁ thüc, C l t“p c¡c sŁ phøc n E : Khỉng gian Euclid n chi•u, n N; x = (x1; :::; xn) k‰ hi»u i”m n thuºc E : n : k‰ hi»u mºt mi•n bà ch°n E ; cö th” l mºt t“p mð liản thổng tũy ỵ, ữổc chứa mt hnh cu câ b¡n k‰nh S : k‰ hi»u bi¶n cıa : k‰ hi»u bao ı lỵn : âng cıa ; tøc l = [ S: : k‰ hi»u mºt mi•n thüc sü n‹m ; â kho£ng c¡ch giœa v S ln d÷ìng n K : k‰ hi»u h…nh cƒu b¡n k‰nh E ; n = mesK1: =K\ : x = (x1; :::; xn); chu'n jxj = TĐt cÊ cĂc h m v cĂc ữợc lữổng lun vôn n y ãu l thỹc, tr ữổc ã cp cử th GiÊ sò u(x) l mºt h m cıa x; â ru(x) = ux(x) = (ux1 (x); :::; uxn (x)); jruj = ; ; "; ; k; ; k‰ hi»u cho c¡c h‹ng sŁ d÷ìng (t); (t) lƒn l÷ỉt k‰ hi»u cho mºt h m liản tửc khổng tông, khổng giÊm i vợi t 0: Mºt h m u(x) ÷ỉc gåi l câ gi¡ compact nu nõ triằt tiảu mt lƠn cn ca biản ca : GiĂ ca h m o ữổc u(x) ữổc nh nghắa bi suppu = fx j8 > mfy K (x) \ ju(y) 6= 0g > 0g: iãu kiằn (A) Chúng ta nõi rng biản S cıa mi•n cıa nâ) thäa i•u ki»n (A) n‚u tỗn ti hai s dữỡng a0 v (hoc mt phn S1 cho, Łi vỵi måi h…nh cƒu tịy ỵ cõ tƠm trản S (tữỡng ứng, trản S1), bĂn knh mt phn liản thổng bĐt k ^ ^ 1.1 a0 v vợi ca = K \ ; bĐt flng thøc sau ¥y x£y mes (1 0)mesK : ‘ Khæng gian Sobolev Wm ( ) 1.1.1 Khæng gian Lm( ); m 1; q nm m; q=n ca phữỡng trnh (2.1) v giÊ sò rng ess: max juj = M0 < 1: S Gi£ sß cĂc iãu kiằn (2.32); (2.33) ữổc thọa cho cĂc ai(x; u; p) v a(x; u; p); v r‹ng c¡c b§t flng thøc â, c¡c tham sŁ " v i(i = 1; 2; 3) v c¡c h m ’i(i = 1; 2; 3) thäa c¡c i•u ki»n (1)-(3) Khi â, ess: max juj bà ch°n bði mºt bi”u thøc theo kukLq( ); M0; 1; "; i; k’kLri ( ); i = 1; 2; 3; mes : Nhữ  ã cp, nh lỵ 2:7:1 cho php Ăp dửng tĐt cÊ cĂc nh lỵ cĂc phn 2.1-2.6 cho mt nghiằm suy rng tũy ỵ W m ( ) \ Lq( ): °c bi»t, n‚u c¡c gi£ thi‚t ca nh lỵ 2:7:1 ữổc thọa mÂn v nu v a thọa mÂn cĂc bĐt flng thức (2.13) v (2.14), õ nh lỵ vã tnh nhĐt kho£ng nhä cơng óng cho c¡c nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (2.1) lỵp Wm ( ) \ Lq( ): Chúng ta i tợi kt quÊ sau: nh lỵ 2.7.2 Gi£ sß c¡c h m u(x); v a thäa mÂn cĂc iãu kiằn nh l 2:7:1, õ u(x) liản tửc theo nghắa Holder vợi mụ > miãn , s mụ n y ữổc xĂc nh theo c¡c ⁄i l÷ỉng giŁng nh÷ ess: max juj nh lỵ 2:7:1: Vợi miãn túy ỵ khoÊng cĂch t 35 thuºc lỵp C ; th… juj ; ; vỵi ; l kiằn ca nh lỵ 2:7:1, cĂc hng s a0 kuk Lq( ) bà ch°n theo c¡c h‹ng sŁ c¡c i•u v , ; mes v c¡c chu'n juj ;S v : Gi¡ trà cıa khflng ành n y ÷ỉc trüc ti‚p suy tł c¡c ành lỵ 2:7:1 v 2:1:1 trữớng hổp cĂc h m ’ i; i = 1; 2; 3; (trong c¡c i•u kiằn ca nh lỵ 2:7:1) l b chn Trong trữớng hỉp tŒng qu¡t, chóng mỵi ch¿ chøng minh r‹ng u câ ess: max juj bà ch°n Tuy nhi¶n, b‹ng c¡c l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ chøng minh cıa nh lỵ 2:1:1; cõ th d d ng chøng tä r‹ng u thuºc lỵp B m( ; M; ; ; q 1 ) vỵi q1 = minfmr1; mr2; "r3g > n: Tr¶n cì sð cıa c¡c ành lỵ 2:6:1 v 2:7:1; iãu n y chứng minh giĂ tr ca cĂc khflng nh nh lỵ 2:7:2: 2.8 T‰nh gi£i ÷ỉc cıa b i to¡n Dirichlet Trong phƒn n y, nghiản cứu vĐn ã vã tnh giÊi ữổc ca b i toĂn Dirichlet i vợi cĂc phữỡng trnh dng d Lu mt miãn túy ỵ dxi : C¡c nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (2.34) m chóng ta ang tm phÊi thọa trản biản S ca miãn i•u ki»n sau ujs = ’(x)jS: 36 X†t b i to¡n n L0 u i=1 X @ j @u @xi @xi @xi jm @u =0 (2.35) ujS = h» sŁ, = j B i to¡n (2.35) ÷ỉc ch l luổn tỗn ti hu hn nghiằm Xt ph÷ìng tr…nh Lu (1 )L0u + Lu; [0; 1] — ¥y, ai(x; u; ux; ) = (1 )ai + a(x; u; ux; ) = a T÷ìng øng b i to¡n Dirichlet L (u) = ujS = ’jS; [0; 1] Ta s‡ chøng minh b i to¡n (2.36) câ nghi»m vỵi måi [0; 1]: Vi»c ch¿ iãu kiằn tỗn ti nghiằm ca b i toĂn (2.36) dỹa v o nguyản lỵ Leray-Schauder Trong Leray-Schauder, trữợc h‚t ta i x¥y düng ¡nh x⁄ (v; ): X†t b i to¡n tuy‚n t‰nh 37 vỵi A(x; v; vx; ) = a(x; v; vx; ) + T…m ¡nh x⁄ (v; ) b‹ng c¡ch tł mºt h m v(x) ¢ bi‚t ta i t…m w(x) l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (2.37) T…m w(x) b‹ng c¡ch gi£i b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr…nh (2.37) B i to¡n tuy‚n t‰nh (2.37)  ữổc ch l cõ tỗn ti nghiằm ( Theo ch÷ìng cıa [1] ) Nâ x¡c ành mºt to¡n tß phi tuy‚n (v; ) = w(x); C¡c i”m bĐt ng tữỡng ứng vợi Ănh x (2.36): B i to¡n (2.36)t÷ìng (v; ) l c¡c nghi»m cıa b i toĂn ữỡng vợi viằc xĂc nh nghiằm ca phữỡng trnh u = (v; ): CĂc nh lỵ 2:4:1 v 2:6:1 chứng tọ rng, i vợi cĂc chn tiản nghiằm nhữ v“y cho u(x; ), chóng ta cƒn y¶u cƒu r‹ng c¡c h m ai(x; u; p; ) v a(x; u; p; ) thäa c¡c b§t flng thøc sau cho x ; juj M; [0; 1] v p tòy þ: (1 + jpj ) 2 i ; (2.39) Ơy v l cĂc hng s dữỡng v m > 1: Khi cĂc iãu kiằn n y ữổc thọa mÂn, theo cĂc nh lỵ 2:4:1 v 2:6:1 câ 38 max jru(x; )j M1; ð ¥y c¡c h‹ng sŁ M1; M2 v v ch¿ ÷ỉc x¡c ành bði c¡c ⁄i l÷ỉng n; M; m; (2.39) ành lỵ 2.8.1 GiÊ sò cĂc iãu kiằn sau Ơy ữổc thọa mÂn: (a) Vợi x ; juj a(x; u; p; ) o ữổc v cĂc bĐt flng thức (2.39): (b) Vợi x ; juj (2.40)), ữổc xĂc nh bi nh lỵ 2:4:1), cĂc h m a i; @a @a @a i; i; i; v a @pj @u @xj l liản tửc theo x; u; p v , ỗng thới thọa mÂn iãu kiằn Holder theo x; u; p vợi mụ > ãu theo [0; 1]: (c) CĂc h m vợi tữ cĂch l tham s [0; 1]: (d) S C C¡c i•u ki»n n y £m b£o cho c¡c ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m b¶n trản Ăp dửng ữổc 39 Nguyản lỵ Leray- Shauder Chồn khæng gian Banach Chån M H nh x⁄ w(x) = (v; ) C Khi â, (1) (2) (v; ) l ho (3) Ta mð rºng max jv(x)j M+"; M2+" vợi " > 0, õ biản ca M khổng chứa nghiằm ca phữỡng trnh (2.38): (4) Vợi = b i to¡n (2.35) luæn câ hœu h⁄n nghi»m nh x (v; ) thọa mÂn cĂc iãu kiằn ca nh lỵ Ledray - Shauder Do õ, Theo Nguyản lỵ Leray- Shauder B i to¡n (2.36) câ ‰t nh§t mºt nghi»m u(x; ) C Khi = ta s‡ câ nghi»m cıa b i to¡n ban 40 ƒu K‚t lun Lun vôn  trnh b y cĂc nghiản cứu vã phữỡng trnh elliptic cĐp hai, c biằt l lợp c¡c ph÷ìng tr…nh ¡ tuy‚n t‰nh d⁄ng b£o to n Chữỡng 1, chu'n b cĂc kin thức cỡ bÊn vã c¡c khỉng gian Banach, cư th” l , khỉng gian Sobolev , khæng gian Holder, khæng gian B m( ; M; ; ; q ), nh lỵ Leray-Schauder v c¡c k‚t qu£ cƒn thi‚t ” l m cì sð cho vi»c ph¡t tri”n ch÷ìng Ch÷ìng 2, tr…nh b y cĂc kt quÊ vã tnh giÊi ữổc ( àa ph÷ìng) cıa ph÷ìng tr…nh elliptic ¡ tuy‚n t‰nh d⁄ng b£o to n C¡c k‚t qu£ ÷ỉc lƒn l÷ỉt tr…nh by mửc 2.1 n 2.7, vợi cĂc nh lỵ vã tnh nhĐt nghiằm miãn nhọ, cĂc Ănh giĂ vã bin thiản ca nghiằm miãn v trản biản ca miãn Bản cnh õ, lun vôn cụng ữa cĂc Ănh giĂ i vợi ⁄o h m c§p cao hìn cıa nghi»m, tł â dÔn n tnh giÊi ữổc ca b i toĂn Lun vôn  trnh b y nhng l thuyt v kt quÊ quan trồng nhĐt vã phữỡng trnh Ă tuyn tnh cĐp hai dng bÊo to n Tuy nhiản, cõ mt s kt quÊ vÔn chữa ữổc ã cp ht lun vôn iãu n y, mt phn v lữổng tri thức vã phữỡng tr nh Ă tuyn tnh cĐp hai dng bÊo to n l khĂ lợn, m khÊ nông cıa em th… câ h⁄n Phƒn nœa, ” £m b£o t‰nh ng›n gån, sóc t‰ch cıa lu“n v«n, em ch¿ chồn lỹa trnh b y nhng vĐn ã quan trồng v cĂc kt quÊ ni bt nhĐt Mc dũ  c gng ht sức, lun vôn vÔn cõ th cặn nhiãu sai sõt Em rĐt mong 41 nhn ữổc sỹ gõp ỵ ca thy cổ v cĂc bn lun vôn 42 ữổc ho n thiằn hỡn T i li»u tham kh£o [1] Ladyzhenskaya, Olga A and Ural’tseva, Nina N, (1968) Linear and quasilinear elliptic equations Academic Press, New York and London [2] Leray J and Schauder J Topologie et equations fonctionnelles Ann Ec N Sup., 51, 45-78 (1934) [3] Ladyzhenskaya, O A and N N Ural’tseva The variational problems and quasilinear elliptic equations with several independent variables Doklady Akad Nauk, USSR, 135, No.6, 1330-1334 (1960) [4] Ladyzhenskaya, O A and N N Ural’tseva Quasilinear elliptic equations variational problems with several independent variables Upekhi matematicheskikh nauk, XVI, No.1 (97), 19-90 (1961) [5] Ural’tseva, N N The regularity of solutions of many- dimensional elliptic equations and variational problems Doklady Akad Nauk, USSR, 130, No.6, 1206-1209 (1960) [6] Sobolev, mathematical S L Applications physics Providence, Mathematical Society (1963) 43 of functional Rhore analysis Island, in American [7] Smirnov, V I A course of higher mathematics Vol 5, Reading, Mass., Addison and Wesley (1964) 44 ... ; 1.4 nh lỵ Leray-Shauder Nghi»m suy rºng cıa ph÷ìng tr…nh elliptic ¡ tuy‚n t‰nh c§p hai d⁄ng b£o to n 2.1 Ph÷ìng tr…nh elliptic ¡ tuy‚n t‰ suy rºng bà ch°n 2.2 T‰nh nh§t nghi»m... ‰ch tr…nh bƒy lỵ thuyt nghiằm suy rng b chn ca phữỡng trnh elliptic ¡ tuy‚n t‰nh c§p hai d⁄ng b£o to n B cửc ca lun vôn bao gỗm phn M u, hai ch÷ìng nºi dung ch‰nh, K‚t lu“n v T i li»u tham kh£o... Nghi»m suy rºng cıa ph÷ìng tr…nh elliptic ¡ tuy‚n t‰nh c§p hai d⁄ng b£o to n Trong phƒn n y, s trnh b y cĂc nghiản cứu vã mt dng c biằt ca phữỡng trnh Ă tuyn tnh cĐp hai, gåi l d⁄ng b£o to n d dxi