Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - THÂN NGỌC THÀNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Mở đầu 4 7 8 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian hàm Lp (Ω), ≤ p < ∞ 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Không gian C(Ω), C l (Ω) 1.2.2 Không gian C 0,γ (Ω) 1.2.3 Không gian C l,γ (Ω) 1.3 Định lý Leray-Schauder 1.3.1 Định lý Arzelá-Ascoli 1.3.2 Đánh giá Schauder nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.3.3 Định lý Leray-Schauder điểm bất động họ ánh xạ 1.4 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 10 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1.2 Bài toán Dirichlet 2.2 Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp l nghiệm qua độ lớn đạo hàm cấp 2.3 Đánh giá chuẩn Holder ẩn hàm 2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm biên 2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm toàn miền 2.6 Định lý tồn nghiệm toán Dirichlet 12 12 12 12 13 14 17 19 22 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Mục tiêu Luận văn trình bày mở rộng kết tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả hoàn thành luận văn với đề tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Sobolev, Holder, Định lí Leray-Schauder để làm sở chứng minh định lí tồn nghiệm cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Chương - nội dung Luận văn, trình bày toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Xây dựng chứng minh đánh giá tiên nghiệm cho hệ Cuối tồn nghiệm hệ cách áp dụng Định lí Leray-Schauder Tài liệu tham khảo cho luận văn tài liệu [2] Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình tìm hiểu đề tài Sự nhiệt tình động viên em nhiều để hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2016 Tác giả Thân Ngọc Thành Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian hàm Lp (Ω), 1≤p 0, tồn δ > cho |f (x) − f (y)| < với x, y ∈ X thỏa mãn d(x, y) < δ với f ∈ F Họ F gọi bị chặn tồn số M cho |f (x)| ≤ M với x ∈ X, f ∈ F Định lý 1.1 (Định lý Arzelá-Ascoli) Giả sử (X, d) không gian compact Tập F C(X) tập compact tương đối F bị chặn liên tục đồng bậc 1.3.2 Đánh giá Schauder nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong phần trình bày Định lý Schauder đánh giá chuẩn |u|2,γ,Ω với u(x) nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Cụ thể ta xét định lý sau Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Chương Các kiến thức chuẩn bị Định lý 1.2 (Định lý Schauder) Giả sử Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn có biên S ∈ C 2,γ với γ ∈ (0, 1) Xét toán tử L xác định Lu = aij (x)uxi xj + bi (x)uxi + c(x)u từ sau gặp số lặp biểu thức, ta hiểu lấy tổng theo số lặp ta giả thiết hệ số thỏa mãn aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn , λ = const > 0; |aij |0,γ,Ω , |bi |0,γ,Ω , |c|0,γ,Ω ≤ µ, µ = const > Giả sử f ∈ C γ (Ω) φ ∈ C 2,γ (Ω) Khi đó, nghiệm u(x) ∈ C 2,γ (Ω) toán Dirichlet Lu = f, u S = φ thỏa mãn đánh giá |u|2,γ,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |φ|2,γ,Ω + |f |0,γ,Ω ), C số phụ thuộc n, γ, λ, µ, Ω không phụ thuộc vào u 1.3.3 Định lý Leray-Schauder điểm bất động họ ánh xạ Dưới trình bày định lý điểm bất động Leray-Schauder để chứng minh tồn nghiệm Trước tiên ta trình bày định nghĩa liên quan Định nghĩa 1.8 Cho B1 , B2 hai không gian Banach Ánh xạ Φ : B1 → B2 gọi hoàn toàn liên tục liên tục biến tập bị chặn B1 thành tập compact tương đối B2 Định lý 1.3 (Định lý Leray-Schauder) Giả sử H không gian Banach đầy đủ M tập mở, bị chặn H Đặt M1 = M × [0, 1] Khi phương trình u = Φ(u, t) (1.1) có nghiệm M với t ∈ [0, 1] điều kiện sau thỏa mãn (1) Φ(u, t) xác định hoàn toàn liên tục M1 , (2) Φ(u, t) liên tục theo t M1 , (3) Với t ∈ [0, 1] phương trình (1.1) nghiệm biên M, (4) Phương trình (1.1) có nghiệm với t = Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.4 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong phần trình bày toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Với x ∈ Ω ⊂ Rn , xét phương trình dạng bảo toàn Lu ≡ d (ai (x, u, ux )) + a(x, u, ux ) = dxi (1.2) với điều kiện biên u S = ϕ(x) (1.3) S Khi đó, toán Diriclet toán tìm hàm u(x) thỏa mãn (1.2), (1.3) Để nghiên cứu tính giải toán, ta nhúng vào họ toán sau Lτ u = d (ai (x, u, ux , τ )) + a(x, u, ux , τ ) = 0, dxi u S = τ ϕ, (τ ∈ [0, 1]), (1.4) (x, u, ux , τ ), a(x, u, ux , τ ) hàm trơn τ [0, 1] thỏa mãn (x, u, ux , 1) = (x, u, ux ), a(x, u, ux , 1) = a(x, u, ux ) Ta giả sử thêm điều kiện sau hệ số với x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] p λ(1 + |p|2 ) m−2 |a(x, u, p, τ )|+ m−2 ∂ai (x, u, p, τ ) ξi ξj ≤ µ(1 + |p|2 ) |ξ|2 ∂pj (1.5) m ∂ai ∂ai ≤ µ(1 + |p|2 ) +|ai | (1 + |p|2 ) + ∂u ∂xj (1.6) |ξ|2 ≤ λ, µ số dương m > Khi đó, ta có đánh giá tiên nghiệm n max |∇u(x, τ )| ≤ M1 , Ω |uxi |β,Ω ≤ M2 (1.7) i=1 với số M1 , M2 β xác định từ đại lượng n, M, m, λ, µ (1.5), (1.6) Xét định lý tồn nghiệm cho toán (1.4) Định lý 1.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (a) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] p bất kỳ, (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) hàm đo được, (x, u, p, τ ) khả vi theo x, u, p thỏa mãn điều kiện (1.4), (1.5); (b) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] |p| ≤ M1 (M1 số đánh giá (1.7)), ∂ai ∂ai ∂ai , , , a hàm liên tục theo x, u, p, τ thỏa mãn điều ∂pj ∂u ∂xi kiện Holder theo x, u, p với số mũ α > theo τ ∈ [0, 1]; hàm , 10 Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 Chương Các kiến thức chuẩn bị ∂ai ∂ai ∂ai , , phần tử thuộc C 0,γ {x ∈ ∂pj ∂u ∂xi Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M1 } liên tục theo tham số τ ∈ [0, 1] (c) Các hàm (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) (d) S ∈ C 2,γ , ϕ ∈ C 2,γ Đồng thời, giả sử nghiệm u(x, τ ) thỏa mãn max |u(x, τ )| ≤ M Ω ∀τ ∈ [0, 1] Khi đó, với τ = 0, toán (1.4) có nghiệm (1.4) có nghiệm u(x, τ ) ∈ C 2,γ (Ω) ∀τ ∈ [0, 1] Ta viết lại phương trình (1.2) dạng Lu ≡ aij (x, u, ux )uxi xj + A(x, u, ux ) = aij (x, u, p) = A(x, u, p) = a(x, u, p) + ∂ai (x, u, p) ∂pj ∂ai (x, u, p) ∂ai (x, u, p) + ∂u ∂xi Giả sử thêm A(x, u, 0) ≤ −b1 |u|2 + b2 , b1 = const > 0, b2 ≥ aij (x, u, 0)ξi ξj ≥ (1.8) (1.9) Khi đó, với kết Định lý 1.4, ta có định lý tồn nghiệm toán (1.2), (1.3) Định lý 1.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (a) Với x ∈ Ω u, p bất kỳ, hàm (x, u, p), a(x, u, p) hàm đo được, (x, u, p) khả vi theo x, u, p bất đẳng thức (1.8), (1.9) thỏa mãn; (b) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M = max{max |ϕ|, Ω b2 } p bất kỳ, hàm (x, u, p), a(x, u, p) b1 thỏa mãn đánh giá (1.5), (1.6); (c) Các hàm , ∂ai ∂ai ∂ai , , , a liên tục Holder với số mũ γ > theo x, u, p ∂pj ∂u ∂xi tập {x ∈ Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M1 }; M1 có từ đánh giá tiên nghiệm max |∇u| ≤ M1 Ω (d) S ∈ C 2,γ ϕ ∈ C 2,γ (Ω) Khi đó, toán biên (1.2), (1.3) có nghiệm thuộc C 2,γ (Ω) 11 Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer [2] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California 27 Footer Page 13 of 126  ... 1.4 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 10 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài toán Dirichlet... trình bày mở rộng kết tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác... tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai