Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - THÂN NGỌC THÀNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Mở đầu 4 7 8 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian hàm Lp (Ω), ≤ p < ∞ 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Không gian C(Ω), C l (Ω) 1.2.2 Không gian C 0,γ (Ω) 1.2.3 Không gian C l,γ (Ω) 1.3 Định lý Leray-Schauder 1.3.1 Định lý Arzelá-Ascoli 1.3.2 Đánh giá Schauder nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.3.3 Định lý Leray-Schauder điểm bất động họ ánh xạ 1.4 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 10 Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài tốn Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1.2 Bài toán Dirichlet 2.2 Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp l nghiệm qua độ lớn đạo hàm cấp 2.3 Đánh giá chuẩn Holder ẩn hàm 2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm biên 2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm toàn miền 2.6 Định lý tồn nghiệm toán Dirichlet 12 12 12 12 13 14 17 19 22 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 MỞ ĐẦU Mục tiêu Luận văn trình bày mở rộng kết tính giải tốn Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả hoàn thành luận văn với đề tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị khơng gian Sobolev, Holder, Định lí Leray-Schauder để làm sở chứng minh định lí tồn nghiệm cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Chương - nội dung Luận văn, trình bày tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Xây dựng chứng minh đánh giá tiên nghiệm cho hệ Cuối tồn nghiệm hệ cách áp dụng Định lí Leray-Schauder Tài liệu tham khảo cho luận văn tài liệu [2] Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy ln tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình tìm hiểu đề tài Sự nhiệt tình động viên em nhiều để hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin, thầy tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2016 Tác giả Thân Ngọc Thành Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian hàm Lp (Ω), 1≤p 0, tồn δ > cho |f (x) − f (y)| < với x, y ∈ X thỏa mãn d(x, y) < δ với f ∈ F Họ F gọi bị chặn tồn số M cho |f (x)| ≤ M với x ∈ X, f ∈ F Định lý 1.1 (Định lý Arzelá-Ascoli) Giả sử (X, d) không gian compact Tập F C(X) tập compact tương đối F bị chặn liên tục đồng bậc 1.3.2 Đánh giá Schauder nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong phần trình bày Định lý Schauder đánh giá chuẩn |u|2,γ,Ω với u(x) nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Cụ thể ta xét định lý sau Chương Các kiến thức chuẩn bị Định lý 1.2 (Định lý Schauder) Giả sử Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn có biên S ∈ C 2,γ với γ ∈ (0, 1) Xét toán tử L xác định Lu = aij (x)uxi xj + bi (x)uxi + c(x)u từ sau gặp số lặp biểu thức, ta hiểu lấy tổng theo số lặp ta giả thiết hệ số thỏa mãn aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn , λ = const > 0; |aij |0,γ,Ω , |bi |0,γ,Ω , |c|0,γ,Ω ≤ µ, µ = const > Giả sử f ∈ C γ (Ω) φ ∈ C 2,γ (Ω) Khi đó, nghiệm u(x) ∈ C 2,γ (Ω) toán Dirichlet Lu = f, u S = φ thỏa mãn đánh giá |u|2,γ,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |φ|2,γ,Ω + |f |0,γ,Ω ), C số phụ thuộc n, γ, λ, µ, Ω khơng phụ thuộc vào u 1.3.3 Định lý Leray-Schauder điểm bất động họ ánh xạ Dưới trình bày định lý điểm bất động Leray-Schauder để chứng minh tồn nghiệm Trước tiên ta trình bày định nghĩa liên quan Định nghĩa 1.8 Cho B1 , B2 hai không gian Banach Ánh xạ Φ : B1 → B2 gọi hồn tồn liên tục liên tục biến tập bị chặn B1 thành tập compact tương đối B2 Định lý 1.3 (Định lý Leray-Schauder) Giả sử H không gian Banach đầy đủ M tập mở, bị chặn H Đặt M1 = M × [0, 1] Khi phương trình u = Φ(u, t) (1.1) có nghiệm M với t ∈ [0, 1] điều kiện sau thỏa mãn (1) Φ(u, t) xác định hoàn toàn liên tục M1 , (2) Φ(u, t) liên tục theo t M1 , (3) Với t ∈ [0, 1] phương trình (1.1) khơng có nghiệm biên M, (4) Phương trình (1.1) có nghiệm với t = Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.2 Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp l nghiệm qua độ lớn đạo hàm cấp Trong phần ta xét hệ phương trình tổng quát hệ (2.1) aij (x, u)ulxi xj + al (x, u, ux ) = 0, l = 1, 2, , N (2.4) u hàm véc tơ N phần tử u1  u2    u=  ,  uN aij (x, u) al (x, u, p) hàm vô hướng thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi ta có định lí Định lý 2.1 Giả sử u(x) nghiệm thuộc C 2,0 (Ω) hệ (2.4) aij (x, u) khả vi theo xk ul miền R{x ∈ Ω, |u| ≤ M = max |u(x)|, p ≤ max |∇u|} Ω Ω ∂aij ∂aij l , , a (x, u, p) hàm đo bị chặn M2 ∂xk ∂ul miền Khi đó, tồn γ ≥ cho chuẩn |uxl |γ,Ω với l = 1, 2, , n; Ω ⊂ Ω đồng thời aij (x, u), đánh giá số phụ thuộc vào đại lượng n, M1 , M2 , λ khoảng cách từ Ω tới biên S Nếu thêm điều kiện u ∈ C 2,0 (Ω), u|S = S ∈ C chuẩn |uxl |γ,Ω với l = 1, 2, , n bị chặn số phụ thuộc vào n, N, M, M1 , M2 , λ S Hằng số γ xác định giá trị n, N, M, M1 , M2 , λ tính chất biên S Chứng minh Do aij (x, u) hàm khả vi theo xk ul nên ta viết lại hệ (2.4) dạng bảo toàn ∂ (aij (x, u)ulxj ) + Al (x, u, ux ) = 0, ∂xi l = 1, 2, , N (2.5) Al (x, u, ux ) = al (x, u, ux ) − ∂aij (x, u) l uxj ∂xi Từ giả thiết tiên nghiệm M = max |u(x)| M1 = max |∇u| ta thu đánh giá Ω Ω max |Al (x, u, ux )| ≤ c(M, M1 ) x∈Ω 13 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Khi phương trình hệ (2.5) phương trình dạng bảo tồn Theo Định lí 15.1, Chương 3, [2] với ul (x), l = 1, 2, , N ta đánh giá chuẩn |ul (x)|1,γ,Ω Ω ∈ Ω theo đại lượng M, M1 , c(M, M1 ), max x∈Ω,|u(x)|≤M |aij (x, u), ∂aij (x, u) ∂aij (x, u) , , A(x, u, ux )|, ∂xk ∂ul số elliptic λ(M ) xác định từ bất đẳng thức λ(|u|)|ξ|2 ≤ aij (x, u)ξi ξj ≤ µ(|u|)|ξ|2 (2.6) Bây ta xét hệ phương trình (2.4) theo phương trình độc lập Theo kết Định lí 12.1, Chương 3, [2] ta có đánh giá |u(x)|k,α,Ω (k ≥ 2) với l = 1, 2, , N Ta phát biểu kết cho hệ (2.4) sau Định lý 2.2 Giả sử u(x) nghiệm hệ phương trình (2.4) thuộc lớp C k+2,0 (Ω) (k ≥ 0) hệ (2.4) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) Hơn nữa, aij (x, u), al (x, u, p) ∈ C k,γ (R), với R mô tả phát biểu Định lí 2.1 Khi chuẩn |u|k+2,γ,Ω với Ω ⊂ Ω đánh giá theo đại lượng n, N, M, M1 , |u|1,γ,Ω” (Ω ⊂ Ω” ⊂ Ω), khoảng cách từ Ω tới biên Ω” chuẩn |aij (x, u)|k,γ,R , |al (x, u, p)|k,γ,R Nếu thêm điều kiện u(x) ∈ C k+2,γ (Ω), u|S = 0, S ∈ C k+2,α chuẩn |u|k+2,γ,Ω khơng vượt số xác định n, N, M, M1 , |u|1,γ,Ω , |aij (x, u)|k,γ,R , |al (x, u, p)|k,γ,R biên S 2.3 Đánh giá chuẩn Holder ẩn hàm Trong phần để đánh giá chuẩn |u|γ,Ω với u(x) nghiệm hệ (2.1) ta cần phải giả sử điều kiện sau với x ∈ Ω, |u| ≤ M p λ(M )|ξ|2 ≤ aij (x, u)ξi ξj ≤ µ(M )|ξ|2 , (2.7) |bi (x, u, p)| ≤ µ(M )(1 + |p|), (2.8) |b(x, u, p)| ≤ [ (M ) + P (p, M )](1 + |p|2 ), (2.9) ∂aij (x, u) ∂aij (x, u) ; ≤ µ(M ) ∂xk ∂ul (2.10) 14 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai b(x, u, p) = (b1 (x, u, p), b2 (x, u, p), , bN (x, u, p)); (M ) đại lượng đủ bé xác định n, N, M, λ(M ) µ(M ) (2.7) (2.8); P (p, M ) → |p| → ∞ Ta xét định lí sau Định lý 2.3 Giả sử u(x) ∈ C (Ω) nghiệm hệ (2.1) với giả thiết kèm (2.7) − (2.10) với x ∈ Ω, |u| ≤ M p bất kì, đồng thời ta có (2M + 10N ) (M ) < λ Khi với Ω ⊂ Ω bất kì, tồn đánh giá cho chuẩn |u|γ,Ω phụ thuộc vào n, N, M, λ(M ), µ(M ), (M ), P (p, M ) Nếu giả thiết thêm u ∈ C 0,1 (Ω) biên S thỏa mãn : Tồn hai số dương a0 θ0 cho với hình cầu Kρ có tâm nằm S bán kính ρ ≤ a0 với phần Ωρ miền giao Ωρ ≡ Kρ × Ω ta có mes Ωρ ≤ (1 − θ0 ) mes Kρ tồn đánh giá cho |u|γ,Ω theo đại lượng n, N, M, λ(M ), µ(M ), (M ), P (p, M ), |u|β,S , a0 , θ0 Chỉ số γ xác định từ n, N, M, λ(M ), µ(M ), (M ), P (p, M ), β, a0 , θ0 Chứng minh Để có đánh giá cho |u|γ,Ω theo số trên, ta cần q Khơng tính tổng qt, để đơn giản ta giả sử ≤ ul ≤ với l = 1, 2, , N nghiệm u(x) thuộc lớp hàm BN Ω, M1 , δ1 , δ2 , δ3 , γ, δ, Đặt N ϕl+ (u) l (ur )2 , = 10N u + r=1 N ϕl− (u) (ur )2 , l = 10N (1 − u ) + l = 1, , N r=1 l (x) = ϕl (u(x)) với l = 1, 2, , N Xét tích Để tiện trình bày, ta ký hiệu hàm số w± ± vô hướng hệ phương trình (2.1) với véc tơ −η(x) ∈ W01,2 (Ω) Lấy tích phân hai vế miền Ω áp dụng cơng thức tích phân phần cho vế trái ta thu aij (x, u)uxi ηxj + ∂aij − bi uxi η − bη dx = ∂xj (2.11) Ω Chọn hàm η(x) = (2u + 10N el )Φ(x), Φ(x) ∈ W01,2 (Ω) el véc tơ đơn vị không gian véc tơ N − chiều có thành phần thứ l khác 15 Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Khi (2.11) trở thành l 2aij uxi uxj Φ(x) + aij w+ xi Φxj (x) Ω l l +ci w+ xi Φ(x) + c+ Φ(x) dx = 0, (2.12) ci = ∂aij m ∂aij − bi , u + ∂um xj ∂xj cl+ = −2bu − 10N bl Tiếp tục chọn Φ(x) = ζ (x) max{2(w − k)ζ ; 0}, với k số ζ(x) hàm trơn có giá compact nhận giá trị thuộc [0; 1] hình cầu Kρ ⊂ Ω Khi ta có l l l 2aij uxi uxj (w+ − k)ζ + aij w+ xi w+ xj ζ dx Ak,ρ l l l l (w+ − k) 2aij w+ xi ζζxj + ci w+ xi ζ + c+ ζ dx =− (2.13) Ak,ρ l Ak,ρ = {x ∈ Kρ × Ω|w+ (x) > k} Sử dụng điều kiện elliptic (2.7) ta có đánh giá vế trái (2.13) l l l 2aij uxi uxj (w+ − k)ζ + aij w+ xi w+ xj ζ dx Ak,ρ l l 2 2|∇u|2 (w+ − k)ζ + |∇w+ | ζ dx ≥λ (2.14) Ak,ρ Để đánh giá vế trái, ta sử dụng điều kiện (2.3) thu |cl+ ζ | ≤ (2M + 10N )[ (M ) + P (p, M )](1 + |p|2 ) kết hợp với giả thiết định lí (M ) ta có |cl+ ζ | ≤ λ|p|2 + c1 , c1 số xác định theo P (p, M ) Sử dụng đánh giá ta thu bất đẳng thức λ Ak,ρ l 2 |∇w+ | ζ dx ≤ γ l l l (w+ − k)2 |∇ζ|2 + |∇w+ | (w+ − k)ζ + dx, Ak,ρ 16 Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai γ xác định từ số giả thiết Chọn k thỏa mãn l l −k ≤δ = − k = max w+ max w+ Kρ Ak,ρ λ 2γ ta thu bất đẳng thức sau l 2 |∇w+ | ζ dx ≤ γ Ak,ρ l (w+ − k)2 |∇ζ|2 dx + mes Ak,ρ (2.15) Ak,ρ với l = 1, 2, , N Bất đẳng thức (2.15) chứng tỏ u(x) ∈ BN Ω, M1 , , δ, q định nghĩa [1] Khi đó, theo Định lí 8.2, Chương 2, [2], ta đánh giá |u|γ,Ω với Ω ⊂ Ω số phụ thuộc vào n, N, M, λ(M ), µ(M ), (M ), P (p, M ) Tương tự (2.13), ta chọn Kρ hình cầu giao với biên S Khi đó, đánh giá (2.15) với k thỏa mãn điều kiện k ≥ max w(x), k ≥ max w(x) − k Kρ ∩S Kρ ∩S Điều chứng tỏ u ∈ BN Ω, M1 , , δ, q nên |u|γ,Ω bị chặn đại lượng xác định từ số nêu định lí 2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm biên Để đánh giá max |∇u| ta cần giả thiết biên S ∈ O2 Ta xét định lí sau S Định lý 2.4 Giả sử u(x) nghiệm hệ phương trình (2.1) khơng gian C (Ω) ∩ C (Ω) thỏa mãn u|S = Đồng thời hệ phương trình (2.1) thỏa mãn giả thiết (2.7), (2.8) (2.9) Khi max |∇u| bị chặn số phụ S thuộc vào n, N, M = max |u|, λ(M ), µ(M ), (M ), P (p, M ) giả thiết Ω biên S Chứng minh Do u(x) triệt tiêu biên S nên ta có ∂ul | , |∇u | = | ∂ν S S l ∂ đạo hàm theo véc tơ pháp tuyến ν biên S ∂ν Chọn x0 ∈ S r = 1, 2, , N cho ∂ur ∂ν x0 = max i=1,2, ,N 17 max S ∂ul ≡ M1 ∂ν Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Khơng tính tổng quát, ta giả sử ∂ur ∂ν x0 Suy wxr i = φ vxr i ; wxr i xj = φ vxr i xj + φ vxr i xj r Thế vào (2.16) ta nhận phương trình aij (x, u)vxr i xj + φ aij vxr i vxr j − aij uxi uxj + bi vxr i + cr = φ φ φ ⇔ −aij (x, u)vxr i xj − φ aij vxr i vxr j + aij uxi uxj = bi vxr i + cr φ φ φ Áp dụng giả thiết (2.8), (2.9) cho hàm cr , bi ta có đánh giá −aij (x, u)vxr i xj − φ aij vxr i vxr j + aij uxi uxj φ φ ≤ (|∇u| + 1)|∇v r |µ(M ) + Chọn (1 + |∇u|2 )( + P )(2M + 1) φ (2.17) cho (2M + 1) ≤ λ, từ (2.17), thu bất đẳng thức −aij vxr i xj − φ aij vxr i vxr j ≤ c[φ |∇v r |2 + 1], φ 18 (2.18) Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai c số biết Từ chọn φ(y) = λ(M ) ln(1 + y) ta có c −aij vxr i xj ≤ c (2.19) Ta xét hàm chặn ψ(x) = me−νΦ(x) Φ(x) hàm nhận giá trị dương Ω, triệt tiêu x0 thỏa mãn điều kiện |∇Φ(x)| ≥ υ > Ω Với số m, υ ta chọn đủ lớn cho −aij (x, u)ψxi xj < −c, max φ(x) = ψ(x0 ) S Khi với hàm v r (x) + ψ(x), theo (2.19) ta có −aij (x, u)(v r + ψ)xi xj < Do đó, đạt giá trị lớn biên S Mặt khác max(v r + ψ) = max ψ = ψ(x0 ), S S nên ta có ∂(v r + ψ) ∂ν ≥ 0, x0 ∈S Suy ∂ψ ∂ν (do ∂v r ∂ν = S ∂wr φ (v r ) ∂ν = S ≥− x0 ∈S ∂ur c λ(M ) ∂ν c ∂ur λ(M ) ∂ν S ) S Từ giả thiết ban đầu chứng minh, ta có đánh giá max i=1,2, ,N max | S ∂ul ∂ur |=− ∂ν ∂ν ≤ x0 λ(M ) ∂(ψ) c ∂ν x0 Vậy ta có điều phải chứng minh 2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm toàn miền Trong phần trước ta đánh giá max |∇u| biên S Ta tiếp tục tìm đánh giá cho miền Ω Xét định lí 19 Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Định lý 2.5 Giả sử u(x) ∈ C (Ω) nghiệm hệ (2.1) với giả thiết kèm (2.7) − (2.10) với x ∈ Ω, |u| ≤ M p bất kì, đồng thời ta có (2M + 10N ) (M ) < λ Khi với Ω ⊂ Ω bất kì, max bị chặn đại lượng phụ Ω thuộc vào số n, N, M, λ(M ), µ(M ), (M ) P (p, M ) mes Ω Nếu giả thiết thêm u ∈ C (Ω), S ∈ O2 u S = max |∇u| bị chặn số Ω phụ thuộc vào n, N, M = max |u|, λ(M ), µ(M ), (M ), mes Ω biên S Ω Chứng minh Trong đẳng thức (2.11), ta chọn hàm ζ(x) = −(uxk ξ)xk (k = 1, 2, , n), ξ(x) hàm khả vi liên tục cấp hai Ω ξ(x) đạo hàm riêng cấp triệt tiêu biên S Khi lấy tổng n phương trình áp dụng cơng thức tích phân phần, thu đẳng thức Ω + ∂aij aij uxk xi uxk xj ξ + aij Vxi ξxj + ux ux x ξ ∂xk i k j ∂aij ∂aij uxi uxk ξxj − ux − bi uxi − b (∆uξ + uxk ξxk ) dx = 0, ∂xk ∂xj i (2.20) V = |∇u|2 Chọn ξ(x) = 2V s ζ với ζ(x) hàm trơn, có giá compact nhận giá trị thuộc đoạn [0, 1] hình cầu Kρ ⊂ Ω V s lũy thừa bậc s hàm V (x) (s = 0, 1, 2, ) Sử dụng giả thiết cho hệ số (2.7) - (2.10) ta thu đánh giá sau từ (2.20) n |∇uxk |2 V s ζ + sV s−1 |∇V |2 ζ dx λ k=1 Kρ V s+1 |∇ζ|2 + V s+2 ζ + |∇ζ|2 dx, ≤ c(s) (2.21) Kρ với c(s) số xác định theo s Mặt khác, n V s+2 ζ dx = Kρ V s+1 ζ uxk uxk dx k=1 Kρ (u − u0 )[V s+1 ζ ∆u + (s + 1)V s ζ uxk 2(uxp uxp xk ) + V s+1 2ζζxk ]dx = Kρ n ≤ max |u − u0 |c(s) Kρ Kρ [V s+2 ζ +V s |∇uxk |2 ζ + V s+1 |∇ζ|2 ]dx k=1 20 (2.22) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Chọn u0 giá trị hàm u(x) tâm hình cầu Kρ , theo Định lí 2.3, ta có max |u − u0 | ≤ cρα Kρ (α > 0) Lấy ρ đủ nhỏ cho cc(s)ρα < Khi từ bất đẳng thức (2.22) ta nhận n V s+2 ζ dx ≤ c1 ρ α Kρ [V Kρ |∇uxk |2 ζ + V s+1 |∇ζ|2 ]dx, s (2.23) k=1 số c1 xác định từ c, c(s), ρα Từ bất đẳng thức (2.23) (2.21) ta có đánh giá n λ |∇uxk |2 V s ζ + V s+2 ζ dx ≤ c1 (s) Kρ k=1 (V s+1 + 1)|∇ζ|2 dx (2.24) Kρ Các bất đẳng thức (2.23) (2.24) với s = 0, 1, 2, Kết hợp với việc |∇u|2 dx bị chặn, thu Kρ ∩Ω V s+1 dx ≤ c(s, Ω ) (2.25) Ω với Ω ⊂ Ω, s = 0, 1, Đặt w(x) = V (x)ζ = |∇|2 ζ ζ(x) hàm xác định hình cầu Kρ ⊂ Ω bất kì.Xét phương trình Lu ∂ [(w − θ)ζ uxk ]dx = 0, ∂xk Aθ Lu vế trái hệ phương trình (2.1) Aθ tập điểm x ∈ Ω thỏa mãn w(x) > θ ≥ Theo Định lí 3.1, Chương 4, [2] ta có đánh giá |∇w|2 dx ≤ c( ) mes1−s Aθ , (2.26) Aθ lớn 0, nhỏ tùy ý c( ) → ∞ → Áp dụng Bổ đề 5.2, Chương 2, [2], hàm w(x) bị chặn miền Ω số xác định , c w L1 (Ω ) Theo Định lí 4.1, ta đặt M2 = max |∇u| S Tiếp tục ta chứng minh (2.25) với phần giao hình cầu Kρ miền Ω Với s ≥ 1, (2.20) thay ξ(x) xác định ξ(x) = 2(V (x) − M22 )s ζ (x), 0, 21 V (x) ≥ M22 V (x) ≤ M22 (2.27) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai ta thu đánh giá từ (2.21) đến (2.24), từ chứng minh (2.25) Với s = 0, đặt  V (x) ≥ M22 0, (2.28) ξ(x) = 2(V (x) − M22 )s ζ (x), M22 ≤ V (x) ≤ M22 +  2 V (x) ≥ M2 + 2ζ , tương tự ta chứng minh (2.25) Như ta chứng minh đánh giá V s+1 dx ≤ c(s), s = 0, 1, Ω max |∇u| ≤ const Ω 2.6 Định lý tồn nghiệm toán Dirichlet Trên sở đánh giá tiên nghiệm thu mục trước, ta xem xét tồn nghiệm toán Dirichlet hệ (2.1) Lu ≡ aij (x, u)ulxi xj + bi (x, u, ux )ulxi + bl (x, u, ux ) = 0, (2.1) u = (u1 , u2 , , uN )t ẩn hàm,aij , bi bl đại lượng vô hướng, aij thỏa mãn điều kiện (2.2) Ta xem hệ trường hợp đặc biệt họ hệ phương trình sau với τ =1: Lτ (u) ≡ (1 − τ )L0 (u) + τ L(u) = 0, (2.29) tham số τ ∈ [0, 1] L0 = ∆u − u, ∆ toán tử Laplace Với họ hệ (2.29), ta giả sử điều kiện sau thỏa mãn bu ≡ bl (x, u, p)ul ≤ −c1 |u|2 + c2 , c1 = const > 0, c2 ≥ (2.30) Khi đó, xét tích vơ hướng (2.29) với véc tơ 2u, ta thu biểu diễn [(1 − τ )δij + τ aij (x, u)] +τ bi ∂ 2v − 2uxi uxj ∂xi ∂xj ∂v − 2[(1 − τ )v − τ bu] = ∂xi v = |u(x, τ )|2 , δij = 22 0, 1, i=j i=j (2.31) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Giả sử v(x) đạt giá trị lớn điểm x0 Ω Khi đó, ta có [(1 − τ )δij ∂ 2v + τ aij (x, u)] − 2uxi uxj ∂xi ∂xj τ bi ∂v ∂xi ≤ 0, x0 = x0 Suy (1 − τ )v − τ bu ≤ Theo giả thiết (2.30), ta có (1 − τ )v + τ c1 v − τ c2 ≤ 0, Do v≤ c2 min(1; c1 ) Như vậy, với giả thiết (2.30), nghiệm cổ điển u(x, τ ) (2.29) bị chặn τ ∈ [0, 1] Cụ thể ta có max |u(x, τ )| ≤ M = max{max |u|, Ω S c2 } min(1; c1 ) (2.32) Bây ta xét toán Dirichlet (2.1), (2.3) với ϕ = Ta viết lại họ hệ phương trình (2.29) dạng Aij (x, u, τ )uxi xj + Bi (x, u, ux , τ )uxi + B(x, u, ux , τ ) = 0, u S = (2.33) Aij (x, u, τ ) = (1 − τ )δij + τ aij (x, u), Bi (x, u, ux , τ ) = τ bi (x, u, ux ), B(x, u, ux , τ ) = (1 − τ )u + τ b(x, u, ux ) Xét Aij (x, u, τ )ξi ξj = (1 − τ )ξi ξj + τ aij (x, u)ξi ξj Theo (2.7), ta có (1 − τ )|ξ|2 + τ λ|ξ|2 ≤ Aij (x, u, τ )ξi ξj ≤ (1 − τ )|ξ|2 + τ µ|ξ|2 Do đó, ta suy λ1 |ξ|2 ≤ Aij (x, u, τ )ξi ξj ≤ µ1 |ξ|2 , λ1 = − τ + τ λ, Theo (2.8) − (2.9), ta có (2.34) µ1 = − τ + τ µ |Bi (x, u, p, τ )| = |τ bi (x, u, p)| ≤ |bi (x, u, p)| ≤ µ(1 + |p|), 23 (2.35) Chương Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai |B(x, u, p, τ )| = |(1 − τ )u + τ b(x, u, ux )| ≤ (1 − τ )M + τ [ + P (p, M )](1 + |p|2 ), ≤[ + P1 (p, M )](1 + |p|2 ) ∂Aij (x, u, τ ) ; ∂xk (2.36) ∂Aij (x, u, τ ) ≤ µ ∂ul (2.37) Từ đánh giá (2.32) (2.34) − (2.37), theo Định lí 2.5, ta thu max |∇u(x, τ )| ≤ M1 , Ω ∀τ ∈ [0, 1] (2.38) Dưới định lý tồn nghiệm cổ điển toán Dirichlet (2.1), (2.3) với ϕ = Định lý sau mở rộng Định lý 2.5 sang hệ phương trình Định lý 2.6 Giả sử bất đẳng thức (2.30) với x ∈ Ω, u, p Đồng thời bất đẳng thức (2.7) − (2.10) với (M )(2M + 10N ) < λ với x ∈ Ω, |u| ≤ M (với M cho đánh giá (2.32)) p Ta giả sử hàm bi (x, u, p) b(x, u, p) liên tục Holder với số mũ β tập R{x ∈ Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M1 }, M1 cho đánh giá (2.38) Khi đó, S ∈ C 2,β u S = hệ phương trình (2.1) có nghiệm thuộc C 2,β (Ω) Nếu thêm điều kiện aij , bi , b thuộc lớp C k,β (R) với k ≥ S ∈ C k+2,β nghiệm u(x) ∈ C k+2,β (Ω) Chứng minh Từ giả thiết Định lý đánh giá (2.32), (2.38), theo Định lý 2.1, tồn γ ∈ (0, 1) số M2 cho |ux (x, τ )|γ,Ω ≤ M2 ∀τ ∈ [0, 1] (2.39) Với hàm véc tơ v(x) cố định, ta xét hệ phương trình tuyến tính tương ứng với (2.33) sau Aij (x, v, τ )wxl i xj + Bi (x, v, vx , τ )wxl i + B l (x, v, vx , τ ) = 0, với l = 1, 2, , N, w(x) = (w1 (x), w2 (x), , wN (x)) ẩn hàm Xét ánh xạ tương ứng với phương trình thứ l Φl (v, τ ) : M × [0, 1] → C 2,γβ (Ω) (v, τ ) → wl (x) 24 w S= (2.40) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai M tập hợp hàm v(x) thỏa mãn bất đẳng thức max |v(x)| ≤ M + , Ω max |∇v(x)| ≤ M1 + , Ω |vx |γ,Ω ≤ M2 + , (2.41) với số thực dương Do v(x) ∈ M ⊂ C 1,γ (Ω) nên vx ∈ C γ (Ω) Kết hợp với giả thiết hệ số hệ phương trình (2.1), ta có Aij (x) = Aij (x, v, τ ), Bi (x) = Bi (x, v, vx , τ ), B l (x) = B l (x, v, vx , τ ) hàm thuộc lớp C γβ (Ω) Biên S ∈ C 2,β ⊂ C 2,γβ nên theo định lý tồn nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, phương trình thứ l hệ (2.40) có nghiệm wl (x) ∈ C 2,γβ Do đó, ánh xạ Φl (v, τ ) hoàn toàn xác định Áp dụng đánh giá Schauder cho phương trình thứ l hệ (2.40) thu |wl (x)|2,γβ,Ω ≤ C(max |w| + |B l (x)|γβ,Ω ), Ω (2.42) C = const Các số hạng vế phải bị chặn đánh giá giả thiết hệ số định lý Do |wl (x)|2,γβ,Ω bị chặn Theo định lý Arzelá-Ascoli, tập hàm wl (x) C 2,γβ (Ω) compact tương đối không gian C 1,γ hay Φl (v, τ ) hoàn toàn liên tục tập M × [0, 1] Bất đẳng thức (2.42) Φl (v, τ ) liên tục theo τ Đặt Φ(v, τ ) = Φ1 (v, τ ), Φ2 (v, τ ), , ΦN (v, τ ) với Φl (v, τ ), l = 1, 2, , N định nghĩa Nghiệm toán biên (2.33) điểm bất động ánh xạ Φ Theo kết vừa trình bày, Φ(v, τ ) thỏa mãn điều kiện (1), (2) định lý Leray-Schauder Xét phương trình Φ(u, τ ) = u(x) (2.43) Do đánh giá tiên nghiệm u(x, τ ) cách chọn miền M (2.41) phương trình (2.42) khơng thể có nghiệm biên M Cuối cùng, với τ = 0, tốn xét phương trình Poisson nên (2.43) có nghiệm Theo Định lý Leray-Schauder, phương trình (2.42) có nghiệm với τ ∈ [0, 1] Nói riêng, với τ = 1, ta có kết luận Định lý 2.6 25 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau - Các khơng gian Sobolev, Holder, định lí Leray-Schauder, khái niệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai - Xét lớp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, xây dựng chứng minh đánh giá tiên nghiệm loại hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai này, từ chứng minh tồn nghiệm toán Dirichlet loại hệ phương trình xét 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer [2] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California 27 ... cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài tốn Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Với x ∈ Ω ⊂ Rn , xét hệ phương. .. 1.4 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 10 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1 Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài tốn... tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài tốn Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai