Phương pháp đơn điệu đối với phương trình elliptic phi tuyến (LV01897)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HẰNG NGUYỄN THỊ HẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƠN ĐIỆU ĐỐI VỚI PHƯƠNG PHƯƠNGTRÌNH PHÁP ELLIPTIC ĐƠN ĐIỆUPHI ĐỐITUYẾN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã ngành: 60460102 Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã ngành: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Hữu Thọ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Hữu Thọ HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc TS Nguyễn Hữu Thọ Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, Cô giáo Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội II - Khoa Toán, Thầy Cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2014-2016, người đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức quý báu Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên Trường THCS Nam Sơn nơi công tác giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học trình làm luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết người động viên chia sẻ, giúp suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Hằng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ Phương pháp đơn điệu phương trình elliptic phi tuyến” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Hằng Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp 1.1.3 Đa số 1.1.4 Không gian H¨older 1.1.5 Không gian Wk,p (Ω) 1.1.6 Không gian W0k,p (Ω) Bổ đề Fatou 10 1.2.1 Định lý tính hội tụ đơn điệu 10 1.2.2 Bổ đề Fatou 10 1.3 Công thức Green 10 1.4 Tính nửa liên tục 11 1.2 Một số không gian hàm Phương pháp đơn điệu phương trình elliptic phi tuyến 12 i 2.1 Nguyên lí cực đại 12 2.2 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm 14 2.3 Tính ổn định nghiệm 25 2.4 Nghiệm cực đại, nghiệm cực tiểu 30 2.5 Một số định lý tính nghiệm 36 2.5.1 Định lý Krasnoselski 36 2.5.2 Định Lý Brezis - Oswald 37 Một số ứng dụng 40 3.1 Nghiệm phân rã >0 42 3.2 Nghiệm phân rã =0 46 Tài liệu tham khảo 49 ii Mở đầu Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng vấn đề cần thiết giải tích đại Trong mô hình toán thực tế nhiều trường hợp yêu cầu cần phải nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng Elliptic (thường phi tuyến) Có nhiều phương pháp tiếp cận nghiệm toán phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng, đồng dạng phương pháp góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu định tính cho lớp phương trình Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết định tính phương trình Elliptic phi tuyến, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài cho luận văn : Phương pháp đơn điệu phương trình elliptic phi tuyến Mục đích nghiên cứu Trình bày phương pháp đơn điệu phương trình elliptic phi tuyến Cụ thể, luận văn trình bày phương pháp nghiệm - nghiệm trên, công cụ giải tích phi tuyến việc tìm nghiệm nhiều lớp toán biên Luận văn quan tâm tới tính ổn định nghiệm số kết tồn tính nghiệm, xem xét điều kiện đủ cho tồn nghiệm phân rã tới giá trị khác vô cực Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng quan phương pháp đơn điệu - Trình bày tính ổn định nghiệm - Một số định lý tồn tính - Một số áp dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương trình elliptic - Bài toán biên cho phương trình elliptic phi tuyến - Phương pháp đơn điệu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu tổng quan phương pháp đơn điệu phương trình elliptic phi tuyến Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống phương pháp đơn điệu phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến dạng elliptic Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn dành cho việc trình bày số kiến thức cần thiết cho nội dung chương sau Những kiến thức chương trích dẫn trực tiếp từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Banach Cho X không gian tuyến tính thực Ánh xạ : X → [0, ∞) gọi chuẩn (i) u + v ≤ u + v , ∀u, v ∈ X (ii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, λ ∈ R (iii) u = ⇔ u = Bất đẳng thức (i) gọi Bất đẳng thức tam giác Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Ta nói dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X hội tụ đến u ∈ X lim uk − u = 0, k→∞ ký hiệu uk → u (i) Dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X gọi dãy Cauchy với ε > 0, ∃N > cho uk − ul < ε, ∀k, l ≥ N (ii) X đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ, có nghĩa ∞ với {uk }∞ k=1 ⊂ X dãy Cauchy, tồn u ∈ X cho {uk }k=1 hội tụ đến u (iii) Không gian Banach X không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Ta nói X tách X chứa tập đếm trù mật X 1.1.2 Không gian Lp Cho không gian E độ đo µ σ - đại số F tập E Họ tất hàm số f (x) có luỹ thừa bậc p , (1 ≤ p < ∞), mô đun khả tích E, tức |f |p dµ < ∞, E giảm Khi toán (2.67) có nghiệm Ví dụ 2.1 Nếu f hàm lõm, ánh xạ f (u)/u giảm Do đó, theo kết trước nghiệm ổn định Chẳng hạn, xét toán −∆u = λu − up Ω u = ∂Ω (2.80) u > Ω với p > λ > λ1 , có nghiệm nhất, nghiệm ổn định Chứng minh (Chứng Minh Định lý 2.6) Giả sử u1 , u2 hai nghiệm (2.67) Ta giả sử u1 ≤ u2 Ta nhân đẳng thức −∆u1 = f (u1 ) Ω (2.81) −∆u2 = f (u2 ) Ω tương ứng với u2 , u1 lấy tích phân Ω, ta nhận Ω (f (u1 )u2 − f (u2 )u1 ) = (2.82) Hệ thức viết lại sau: Ω u1 u2 f (u1 ) f (u2 ) − =0 u1 u2 (2.83) Vì vậy, < u1 ≤ u2 nên ta suy f (u1 )/u1 = f (u2 )/u2 Ω Sau từ (2.79) ta suy u1 = u2 35 2.5 2.5.1 Một số định lý tính nghiệm Định lý Krasnoselski Trong mục xét tính nghiệm toán Dirichlet phi tuyến −∆u = f (u) Ω u = ∂Ω (2.84) u > Ω trường hợp mà tính phi tuyến không thỏa mãn điều kiện độ tăng trưởng kiểu (2.69) (2.72) Krasnoselsk đạt kết trường hợp định lý sau: Định lý 2.7 Giả sử hàm phi tuyến f thỏa mãn (2.79) Khi toán (2.84) có nghiệm Chứng minh Để chứng minh tính ta giả sử u1 u2 hai nghiệm thỏa mãn u1 ≤ u2 Xét A = {t ∈ [0, 1] ; tu1 ≤ u2 } (2.85) Khi dễ thấy ∈ A Tiếp theo, ta tồn ε0 > cho với ε ∈ (0, ε0 ) ta có ε ∈ A Thật vậy, ta có u2 > Ω (2.86) ∂u2 < ∂Ω ∂ν Đặt t0 = max A Giả sử (phản chứng) t0 < 1, t0 u1 ≤ u2 Ω Ta chứng tỏ tồn ε > cho (t0 + ε)u1 ≤ u2 , 36 dẫn tới mâu thuẫn với cách chọn t0 Thật vậy, cách sử dụng nguyên lý cực đại ta có −∆(u2 − t0 u1 ) + a(u2 − t0 u1 ) = f (u2 ) + au2 − t0 (f (u1 ) + au1 ) (2.87) Bây ta chọn a > cho ánh xạ u → f (u) + au tăng Vì vậy, −∆(u2 − t0 u1 ) + a(u2 − t0 u1 ) ≥ f (t0 u1 ) + at0 u1 − t0 f (u1 ) − at0 u1 = f (t0 u1 ) − t0 f (u1 ) ≥ (2.88) Điều suy (i) u2 − t0 u1 ≡ 0, (ii) u2 − t0 u1 > Ω ∂(u2 − t0 u1 )/∂v < ∂Ω Trường hợp xảy từ kéo theo t0 f (u1 ) = f (t0 u1 ), điều vô lý f liên tục f (Cx) = Cf (x) với x khoảng không trống f tuyến tính 2.5.2 Định Lý Brezis - Oswald Tiếp theo, mục trình bày kết đề xuất Brezis Oswald đóng vai trò quan trọng phân tích định tính lớp rộng toán giá trị biên phi tuyến Dirichlet Cho Ω ⊂ RN miền bị chặn với biên trơn giả thiết g(x, u) : Ω × [0, ∞) → R hàm đo thỏa mãn điều kiện sau: 37 (i) Với (2.89) x ∈ Ω hầu khắp nơi, hàm [0, ∞) ∈ u → g(x, u) liên tục ánh xạ u → g(x, u) giảm (0, ∞); u (ii) Với u ≥ 0, hàm x → g(x, u) thuộc L∞ (Ω) (2.90) (iii) ∃C > cho g(x, u) ≤ C(u + 1), x ∈ Ω hầu khắp nơi, ∀u ≥ (2.91) Đặt g(x, u) , u a0 (x) = lim u (2.92) g(x, u) , u→∞ u từ −∞ < a0 (x) ≤ +∞ −∞ ≤ a∞ (x) < +∞ a∞ (x) = lim Với hàm đo a : Ω → R cho a(x) ≤ C a(x) ≥ −C hầu khắp nơi Ω (với số dương C), đại lượng [ϕ=0] aϕ (2.93) xác định, ϕ ∈ L2 (Ω) Trong trường hợp vậy, ta định nghĩa giá trị riêng toán tử −∆ − a(x) với điều kiện Dirichlet zero sau: λ1 (−∆ − a(x)) = ( |∇ϕ|2 − inf ϕ∈H01 (Ω), ϕ L2 (Ω) =1 38 [ϕ=0] aϕ ) (2.94) Từ cách đặt chúng ta, a∞ (x) g(x; 1) a0 (x) g(x; 1) với x ∈ D hầu khắp nơi Do đại lượng λ1 (−∆ − a0 (x)) λ1 (−∆ − a∞ x) Xét toán giá trị biên Dirichlet −∆u = g(x, u) Ω, u > Ω, (2.95) u = ∂Ω Một nghiệm toán (2.95) hàm u ∈ H10 (Ω) ∩ L∞ (Ω) thỏa mãn (2.95) Khi đó, từ giả thiết (2.89) - (2.91) suy rằng: u thỏa mãn (2.95) − |g(x, u L∞ )| ≤ g(x, u(x)) ≤ C(|u(x)| + 1) (2.96) Do vậy, g(x, u) ∈ L∞ (Ω) ước lượng Schauder suy u ∈ W 2,p (Ω) với p < ∞ Dưới kết tồn tính nghiệm toán (2.95) Chứng minh định lý (được hoàn thiện Brezis Oswald năm 1986) phức tạp, chia thành nhiều bước cần số kết phụ trợ không trình bày phần chứng minh đây, mà xin phép nêu nội dung định lý Định lý 2.8 Giả sử ta có giả thiết (2.89) - (2.91) Khi toán (2.95) có nhiều nghiệm Hơn nghiệm toán (2.95) tồn λ1 (−∆ − a0 (x)) < 0, (2.97) λ1 (−∆ − a∞ (x)) > (2.98) 39 Chương Một số ứng dụng Những kết chương trích dẫn trực tiếp từ tài liệu tham khảo [4] Trong chương xét số áp dụng cho phương trình elliptic tuyến tính môi trường không đẳng hướng Xét phương trình elliptic tuyến tính điều kiện vô cực −∆u = ρ(x)uα RN , N ≥ (3.1) N < α < 1, ρ ∈ L∞ loc (R ), ρ ≥ ρ ≡ Chúng ta thấy toán phi tuyến (3.1) có nghiệm u > 0, bị chặn toán tuyến tính −∆u = ρ(x) RN có nghiệm bị chặn 40 (3.2) Trước hết ta xét toán −∆u = ρ(x)f (u) RN u> u(x) → N ≥ RN (3.3) khi|x| → ∞, số thực không âm Trong suốt mục giả thiết hàm vị ρ(x) N thỏa mãn ρ ∈ L∞ loc (R ), ρ ≥ ρ ≡ Trong kết thứ ta giả sử độ tăng trưởng vô cực vị dị hướng ρ(x) cho bởi: (ρ1) ∞ rΦ(r)dr < ∞, Φ(r) := max|x|=r ρ(x) 0,α Hàm phi tuyến f : (0, ∞) → (0, ∞) thỏa mãn f ∈ Cloc (0, ∞) (0 < α < 1) có độ tăng tuyến tính theo nghĩa: (f 1) ánh xạ u → f (u)/u giảm (0, ∞) limu→∞ f (u)/u = Ta để ý điều kiện (f 1) không yêu cầu f trơn gốc tọa độ Một ví dụ cho phi tuyến f (u) = up , −∞ < p < Mục đích phần xét trường hợp = > 0, giả thiết tự nhiện ánh xạ u → f (u)/u giảm (0, ∞) Với giả thiết (ρ1) (f 1), ta nhận kết liên quan đến trường hợp > Định lý 3.1 Giả sử > Khi toán (3.3) có nghiệm cổ điển Tiếp theo, xét trường hợp 41 = Ta thay điều kiện ρ1 điều kiện sau: (ρ2) ∞ N −1 Φ(r)dr r < ∞ Ngoài giả sử (f 2) f hàm tăng (0, ∞) limu f (u)/u = +∞ Một ví dụ hàm phi tuyến thỏa mãn (f 1) (f 2) f (u) = up , với < p < Kết trường hợp Định lý 3.2 Giả sử = phát biểu định lý sau = giả thiết (ρ2), (f 1), (f 2) thỏa mãn Khi toán (3.3) có nghiệm cổ điểnduy 3.1 Nghiệm phân rã >0 Để chứng minh tồn nghiệm cho toán (3.3), ta áp dụng Định lý 2.2 Xét toán giá trị biên −∆uk = ρ(x)f (uk ) |x| < k uk > uk (k) = |x| < k, n (3.4) |x| = k k số số nguyên dương tùy ý Bài toán Dirichlet viết cách tương đương sau: −∆vk = ρ(x)f (vk + ) |x| < (3.5) vk (x) = |x| = k Để thu nghiệm toán (3.5), ta cần kiểm tra giả thiết Định lý 2.2 42 (i) Do f ∈ C(0, ∞) > 0, suy ánh xạ v → ρ(x)f (v + ) liên tục [0, ∞) (ii) Từ đẳng thức ρ(x)(f (v + )/v) = ρ(x)(f (v + )/(v + ))((v + )/v), với tính dương ρ (f 1) ta suy hàm v → ρ(x)((v+ )/v) giảm (0, ∞) N ∞ (iii) Với v ≥ 0, từ ρ ∈ L∞ loc (R ), ta thu ρ ∈ L (B(0, k)), điều kiện (2.90) thỏa mãn (iv) Do limv→∞ f (v + )/(v + 1) = f ∈ C(0, ∞), nên tồn M > cho f (v + ) ≤ M (v + 1) với v ≥ Vì ρ(x)f (v + ) ≤ ||ρ||L∞ (B(0,k)) M (v + 1) với v ≥ (v) Ta có ρ(x)f (v + ) = +∞, v v ρ(x)f (v + ) f (v + ) v+ a∞ (x) = lim = lim ρ(x) v = v→∞ v→∞ v v+ a0 (x) = lim (3.6) Do đó, theo Định lý 2.2, toán (3.5) có nghiệm vk , theo nguyên lý cực đại, vk dương |x| < Khi uk = vk + thỏa mãn (3.4) Đặt uk = với |x| > k Nguyên lý cực đại suy ≤ uk ≤ uk+1 RN Giờ ta kiểm tra tồn hàm liên tục v : RN → R, v > , cho uk ≤ v RN Trước hết ta xây dựng hàm đối xứng dương w cho −∆w = Φ(r); (r = |x|) RN 43 limr→∞ w(r) = Tính toán trực tiếp ta có r w(r) = K − ζ ζ 1−N σ N −1 Φ(σ)dσdζ, (3.7) K= ∞ 1−N ζ ζ σ N −1 Φ(σ)dσdζ (3.8) tích phân hữu hạn Lấy tích phân phần nhận r ζ 1−N ζ r d 2−N ζ N −1 Φ(σ)dσdζ dζ ζ σ r r −r2−N σ N −1 Φ(σ)dσ + ζΦ(ζ) ∞ ζΦ(ζ) < +∞ σ N −1 Φ(σ)dσdζ = − N1−2 = N −2 < N −2 (3.9) Hơn nữa, w giảm thỏa mãn < w(r) < K với r ≥ Lấy v > hàm cho v(r)− −1 w(r) = m (t/f (t + ))dt m > chọn cho Km ≤ m (t/f (t + ))dt Tiếp theo, sử dụng quy tắc L’Hoopital cho trường hợp /∞ ta có lim x (t/f (t + ))dt x x→∞ x x+ x = lim = +∞ x→∞ f (x + ) x→∞ f (x + ) x + (3.10) = lim Điều nghĩa tồn x1 > cho x ≥ x1 Theo với m ≥ x1 ta có Km ≤ x (t/f (t)) ≥ Kx m (t/f (t))dt với Do w giảm, ta thu v hàm giảm Khi v(r)− t dt ≤ f (t + ) v(0)− t dt = mw(0) = mK ≤ f (t + ) m t dt f (t + ) (3.11) Từ v(r) ≤ m + với r > Dựa vào w(r) → r → ∞ ta suy v(r) → r → ∞ 44 Theo cách chọn v, ta có ∇w = v− ∇v, m f (v) ∆w = v− v− ∆v + m f (v) m f (v) |∇v|2 (3.12) Vì ánh xạ u → f (u)/u giảm (0, ∞), nên ∆v < m m f (v)∆w = − f (v)Φ(r) ≤ −f (v)Φ(r) v− v− (3.13) Từ (3.4), (3.13), giả thiết (f 1), ta thu uk (x) ≤ v(x) với |x| ≤ k với x ∈ RN Như u1 ≤ u2 ≤ ≤ uk ≤ uk+1 ≤ ≤ v, với v(x) → (3.14) |x| → ∞ Từ đó, tồn hàm u ≤ v cho uk (x) → u(x) k → ∞, với x ∈ RN Đặc biệt, điều u > RN u(x) → |x| → ∞, từ u nghiệm cổ điển toán (3.3) Ta phải chứng tỏ nghiệm tìm Giả sử u v nghiệm (3.3) Để chứng minh tính ta cần chứng tỏ u ≤ v (một cách tương đương) ln(u(x)) ≤ ln(v(x)), với x ∈ RN Giả sử ngược lại, tồn x ∈ RN cho u(x) > v(v) Vì lim|x|→∞ (ln(u(x)) − ln(v(x))) = nên maxRN (ln(u(x)) − ln(v(x))) tồn dương Tạị điểm đạt max, chẳng hạn x0 , ta có ∇(ln(u(x0 )) − ln(v(x0 ))) = 0, (3.15) ∇u(x0 ) ∇v(x0 ) = u(x0 ) v(x0 ) (3.16) f (u(x0 )) f (v(x0 )) < u(x0 ) v(x0 ) (3.17) Từ (f 1), ta thu 45 Vì vậy, từ (3.14) (3.16) ≥ ∆(ln u(x0 ) − ln v(x0 )) 1 1 = ∆u(x0 ) − ∆v(x0 ) − |∇u(x0 )|2 + |∇v(x0 )|2 u(x0 ) v(x0 ) u (x0 ) v (x0 ) ∆u(x0 ) ∆v(x0 ) f (u(x0 )) f (v(x0 )) = − = −ρ(x0 )( − ) > 0, u(x0 ) v(x0 ) u(x0 ) v(x0 ) (3.18) điều dẫn tới mâu thuẫn Do u ≤ v chứng minh hoàn thiện 3.2 Nghiệm phân rã =0 Vì f hàm dương tăng (0, ∞), nên giới hạn limu f (u) tồn hữu hạn, từ tính liên tục gốc tọa độ suy f thác triển Xét toán Dirichlet −∆uk = ρ(x)f (uk ) |x| < k, (3.19) uk (x) = |x| = k Lập luận tương tự chứng minh trường hợp > 0, ta suy điều kiện (2.89) (2.90) thỏa mãn Trong việc kiểm chứng giả thiết (2.91) ta sử dụng hai giả thiết (f 1) (f 2) Từ f (u) ≤ f (1) u ≤ f (u)/u ≤ f (1) u ≥ 46 Do f (u) ≥ f (1)(u + 1) với u ≥ 0, điều chứng minh (3.19) Sự tồn nghiệm (2.97) suy từ (2.97) (2.98) Điều kiện hệ trực tiếp giả thiết limu→∞ f (u)/u = limu f (u)/u = +∞ Do đó, theo Định lý 2.8, toán (3.19) có nghiệm Đặt uk (x) = với |x| > k Chứng minh tương tự trường hợp > 0, ta thu uk ≤ uk+1 RN Cũng tương tự trường hợp trên, ta khẳng định rằng: tồn hàm liên tục v : RN → R cho uk ≤ v RN ta đạt dãy biến tăng u1 ≤ u2 ≤ ≤ uk ≤ uk+1 ≤ ≤ v (3.20) với v triệt tiêu vô cực Và chứng tỏ u nghiệm cổ điển toán (3.3) Sau thông qua bước với bước lập luận gần tương tự trường hợp > (tuy nhiên phức tạp dài dòng hơn) ta chứng minh nghiệm u tìm 47 Kết luận Luận văn nhằm trình bày cách có hệ thống phương pháp nghiên cứu định tính phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic: phương pháp đơn điệu Cụ thể + Luận văn trình bày phương pháp nghiệm - nghiệm trên, công cụ giải tích phi tuyến việc tìm nghiệm nhiều lớp toán biên + Luận văn quan tâm tới tính ổn định nghiệm số kết tồn tính nghiệm + Trong luận văn xem xét tới điều kiện đủ cho tồn nghiệm phân rã tới giá trị khác vô cực Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý Thầy Cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để thân tác luận văn hoàn thiện hơn! Tác giả xin chân thành cảm ơn 48 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy(2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Đức Vân (2003), Lý thuyết phương trình Vi phân Đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] H Brezis (2011), Functional Analysis Sobolev spaces and Partial Differential Equations, Springer [4] Vicentiu D Rawdulescu (2008), Qualitative Analysis of Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations, Hindawi Publishing Corporation, 2008 49 [...]... ∂y D Tính nửa liên tục dưới Ta nói một hàm f : X → [−∞, +∞] là nửa liên tục dưới nếu với mọi α ≥ R tập {x ∈ X; f (x) ≤ α} luôn đóng Một cách tương đương f là nửa liên tục dưới nếu f (x) ≤ lim inf f (xα ), ∀x ∈ X và (xα ) là một dãy trong X hội tụ tới x 11 Chương 2 Phương pháp đơn điệu đối với phương trình elliptic phi tuyến Những kết quả trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ tài liệu tham khảo... chỉ ra rằng nguyên lý cực đại có thể áp dụng đối với những hàm phi tuyến ; ví dụ, hàm phi tuyến f (u) = up với p ≥ 1 thỏa mãn giả thiết trên 2.2 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới Cho Ω là một miền trơn, bị chặn trong RN và xét một hàm liên tục f (x, u) : Ω × R → R sao cho f1 là một hàm thuộc lớp C1 theo biến u Xét bài toán giá trị biên Dirichlet phi tuyến −∆u = f (x, u) trong Ω (2.5) u = 0 trên... là nghiệm của bài toán (2.5) (ii) Ta ký hiệu nghiệm thu được với phương pháp trên là u và chọn u0 = U Ta sẽ khẳng định u là nghiệm cực đại tương ứng với (U , U ) 18 Thật vậy, với u ∈ U , U là một nghiệm tùy ý Với lập luận tương tự được đưa ra như trong chứng minh (i) nhưng đối với cặp nghiệm dưới và nghiệm trên (u, U ), ta thu được u ≤ un , với n ≥ 0, từ đó kéo theo u ≤ u Khái niệm nghiệm dưới và nghiệm... (2.38) trong đó  1   log |x| 2π Γ(x) = 1  |x|2−N  (2 − N )ωN 23 nếu N = 2, x = 0, (2.39) nếu N ≥ 3, x = 0 là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace Trong định nghĩa của Γ, ωN độ đo Lebesgue của hình cầu đơn vị trong RN Kết quả trong lý thuyết về phương trình elliptic tuyến tính đã chỉ ra rằng w ∈ C 1 (Ω) và ánh xạ h → w từ C(Ω) đến C 1 (Ω) là liên tục, trong đó C 1 (Ω) được cho bởi chuẩn u C1 =... quả sau đưa ra một điều kiện đủ là tính phi tuyến có dạng tăng dưới tuyến tính Xét bài toán −∆u = f (x, u) + g(x) trong Ω (2.60) u = 0 trên ∂Ω Định lý 2.4 Giả sử rằng g ∈ C 0,α (Ω), với α ∈ (0, 1), và tồn tại a < λ1 sao cho với mọi (x, u) ∈ Ω × R ta có f (x, u)sign u ≤ a |u| + C 30 (2.61) Khi đó tồn tại một nghiệm cực tiểu toàn cục u (t.ư cực đại toàn cục u) đối với bài toán (2.60) Chứng minh Không mất... ta trình bày một cách chứng minh mà không cần sử dụng phép lặp đơn điệu Chứng minh Xét f : Ω × R → R là một hàm liên tục, và không nhất thiết khả vi Ở đây chúng ta cũng không xét giả thiết ánh xạ u → f (., u) + au là tăng, với a là số thực Dưới những giả thiết tổng quát đó, chúng ta sẽ trình bày một cách chứng minh của Định lý 2.2 theo một cách khác Xét E(u) = 1 2 2 Ω |∇u| dx − Ω F (x, u)dx là phi m... chứng minh U ≤ u1 , ta để ý rằng U ≤ 0 = u1 trên ∂Ω và từ tính đơn điệu của g khi đó với mọi x ∈ Ω ta có −∆(U − u1 ) + a(U − u1 ) ≤ f (x, U ) + aU − g(x, U ) ≤ 0 (2.12) Nguyên lý cực đại suy ra U ≤ u1 Bây giờ ta giả thiết rằng : U ≤ ≤ un ≤ un−1 ≤ ≤ u0 = U (2.13) Chúng ta sẽ chứng minh: U ≤ un+1 ≤ un (2.14) Do phương trình thỏa mãn với un và un+1 , nên từ đó ta thu được −∆(un − un+1 ) + a(un − un+1... chẳng hạn e1 (x) > 0, với x ∈ Ω Chọn U = e1 và U = −e1 Khi đó U (t.ư U ) là nghiệm dưới (t.ư nghiệm trên ) của bài toán (2.5), nhưng U > U Chứng minh [Chứng minh Định lý 2.1] Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lặp đơn điệu để chứng minh (i) Xét g(x, u) := f (x, u) + au, trong đó a là một hằng số thực Ta có thể chọn a ≥ 0 đủ lớn để ánh xạ R u → g(x, u) là tăng trên U (x), U (x) , với mọi x ∈ Ω Để đạt... rằng W k,p (Ω) và W0k,p (Ω) không trùng nhau đối với miền Ω bị chặn Đặc biệt, khi p = 2 các không gian W k,2 (Ω) và W0k,2 (Ω), (đôi khi kí hiệu là H k (Ω), H0k (Ω)) là các không gian Hilbert với tích vô hướng: Duα Dvα dx (u, v)k = Ω |α|≤k Khi đó W0k,p (Ω) = u(x); u(x) ∈ Wk,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0, |α| ≤ k − 1 9 1.2 1.2.1 Bổ đề Fatou Định lý về tính hội tụ đơn điệu Nếu 0 ≤ fn f thì fn → A 1.2.2 f A Bổ đề...  f (x, U (x)) nếu t ≤ U (x), x ∈ Ω (2.24) Khi đó f0 : Ω × R → R là hàm liên tục và bị chặn Phi m hàm năng lượng tương ứng là: E0 (u) = 1 2 2 Ω |∇u| dx− Ω F0 (x, u)dx (2.25) với một định nghĩa thích hợp đối với F0 Chú ý rằng: (i) E0 hoàn toàn xác định trên H 1 (Ω) , do f0 là bị chặn,nên F0 có độ tăng dưới tuyến tính (ii) E0 là hàm nửa liên tục dưới yếu (iii) Thừa số đầu tiên của E0 hội tụ trội tại