Luận văn phương pháp đơn điệu đối với phương trình elliptic phi tuyến

Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ P hương pháp đơn điệu đối với phương trìn h ellip tic phi tu y ế n ” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thâ

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN ĐIỆU ĐỐI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

M ã ngành: 60460102

LUẬN YĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS N guyễn Hữu Thọ

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ bảo nghiêm khắc của TS Nguyễn Hữu Thọ Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy

Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy giáo, Cô giáo trong Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội II - Khoa Toán, cũng như các Thầy Cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2014-2016, những người đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho chúng tôi nhiều kiến thức quý báu

Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên Trường THCS Nam Sơn nơi tôi công tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học cũng như quá trình làm luận văn Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết những người luôn động viên chia sẻ, giúp tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ, luận

văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ P hương pháp đơn

điệu đối với phương trìn h ellip tic phi tu y ế n ” được hoàn thành bởi

nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

N g u y ễn T h ị H ằng

8

9 9

10 10

10 10

1 1

2.1 N guyên lí cực đại

2.2 Phương pháp nghiêm trên, nghiêm dưới

2.3 Tính ổn đinh của nghiêm

2.4 Nghiêm cưc đai, nghiêm cưc tiểu

2.5 Một số định lý về tính duy nhất nghiệm

3 M ột số ứng dụng

3.1 Nghiệm phân rã đối với £ > 0

Tài liệu th am khảo

12

142530363637

40

4246

49

M ở đầu

1 Lí d o ch ọn đ ề tà i

Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đề hết sức cần thiết của giải tích hiện đại Trong các mô hình của bài toán thực

tế nhiều trường hợp yêu cầu chúng ta cần phải nghiên cứu các phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng Elliptic (thường là phi tuyến) Có nhiều phương pháp tiếp cận nghiệm của các bài toán đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến như phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng, đồng d ạ n g và các phương pháp đó đã góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu định tính cho các lớp phương trình đó Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về định tính của phương trình Elliptic phi tuyến, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tài cho luận văn

của mình về : P hương pháp đơn điệu đối với phương trìn h ellip tic

phi tu yến

2 M ụ c đ ích n g h iên cứ u

Trình bày phương pháp đơn điệu đối với phương trình elliptic phi tuyến

Cụ thể, luận văn trình bày về phương pháp nghiệm dưới - nghiệm trên, đây là một trong các công cụ chính trong giải tích phi tuyến trong việc tìm nghiệm của nhiều lớp các bài toán biên Luận văn cũng quan tâm tới tính ổn định của nghiệm và một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, xem xét điều kiện đủ cho sự tồn tại của nghiệm duy nhất phân rã tới các giá trị khác nhau tại vô cực

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

- Tổng quan về phương pháp đơn điệu

- Trình bày về tính ổn định của nghiệm

- Một số định lý về sự tồn tại và tính duy nhất

- Một số áp dụng

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iền cứu

- Phương trình elliptic

- Bài toán biên cho phương trình elliptic phi tuyến

- Phương pháp đơn điệu

5 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứ u

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để nhận được một nghiên cứu tổng quan về phương pháp đơn điệu đối với phương trình elliptic phi tuyến

6 Đ ó n g g óp củ a đ ề tà i

Trình bày một cách có hệ thống về phương pháp đơn điệu đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến dạng elliptic

C hương 1

Trong chương này, luận văn dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các nội dung trong các chương sau Những kiến thức trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ các tài liệu [lj, [2J và [3J

1.1.1 K hông gian B anach

Cho X là không gian tuyến tính thực.

Ánh xạ ||.|| : X —¥ [0, oo) được gọi là chuẩn nếu

(i) \\u + u|| < IMI + IMI, Vu, V E X.

(ii) Ị|Àií|| = IÀI ||wỊỊ , Vu e I , Ầ Ẽ l

(iii) IMI = 0 4=r> u = 0.

Bất đẳng thức (i) gọi là Bất đẳng thức tam giác Không gian tuyến

Ta nói dãy {uk}™=1 c X hội tụ đến U E X nếu

lim IIUỵ — u II = 0,

00

và ký hiệu Uỵ — > u.

(i) Dãy {uk}™=1 c X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi £ >

0, 3 N > 0 sao cho IIuk — Mị II < £, VẢ;, ỉ > N.

(ii) X là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ, có nghĩa là với {uk}™=1 c X là dãy Cauchy, tồn tại u £ X sao cho {u k}™=1 hội

tụ đến u.

(iii) Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ.

tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.

Ta nói X tách được nếu X chứa một tập con đếm được trù m ật trong

X

1.1.2 K hông gian ư

Cho một không gian E và một độ đo ỊJL trên một ơ - đại số T trên các tập con của E Họ tấ t cả các hàm số / (X) có luỹ thừa bậc p , (1 < p < oo), của mô đun khả tích trên E, tức là

Ị \f\pdịi < 00,

được gọi là không gian L p (E, /i).

Khi E là tập đo được Lebesgue trong Mfe, và n là độ đo Lebesgue, thì

ta viết Lp (E).

Không gian Lp (E,/x), trong đó ta không phân biệt các hàm tương

đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian véc

tơ định chuẩn, với chuẩn xác định bởi:

11/11 = ( / I/I ■ > ) '■

Giả sử ÍỈ c Mn là một tập mở trong Mn, 1 < p < 0 0 Hàm / : íỉ —> c được gọi là thuộc ư (íĩ) nếu nó đo được Lebesgue và có chuẩn

Trường hợp p = oo, hàm / thuộc L°° (íĩ) nếu nó đo được và bị chặn

cốt yếu, nghĩa là

ll/ lli-u i) = esssup I/ (a;)| < 00,

xen

trong đó esssup^gQ I/ (a:)| được định nghĩa cận dưới đúng của tập các

hằng số M sao cho I/ (x)\ < M hầu khắp X ỄÍ1.

Đặc biệt L 1 (íĩ) là không gian các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối

Tập tấ t cả các đa chỉ số n — chiều ký hiệu là Nq.

Cho đa chỉ số o¡, ß € Nq và X = (xi, x 2, x n) € Mn, khi đó:

Oí ± ß — (ai ± ß i , 0¿2 ± ß2, •••, Oín ± ßn)

a < ß ai < ßi,\/i G {ï = 1 , n}

I o: I = Oi 1 + Ữ2 + + OLn.

Đạo hàm riêng cấp cao:

da = ỡ1“1^ a ỡ“"

1.1.4 K hông gian H õlder

Giả sử ri là một miền trong R d Nhắc lại rằng, với k = 1, 2, ta kí hiệu Cịoc (íỉ) là tập tấ t cả các hàm số u = u ( x ) mà đạo hàm của U là D “ với

\a\ < klà liên tục trong Q Đặt

hàm u € Cịoc (rỉ) với chuẩn sau

k

3 = 0

là hữu hạn Nếu 0 < ỗ < 1, ta nói rằng hàm u liên tục Hỏlder với số mũ

ỗ trong rỉ nếu nửa chuẩn

H;íĩ = supx,y€ÍÌ \u{x) - u ( y ) I

Khi ô = 1, nếu vế phải là hữu hạn, hàm u được gọi là liên tục Lipschitz

Cho 0 < ổ < 1 và k — 0,1, 2 không gian Hổlder c k+s (rỉ) là không

gian Banach của tấ t cả các hàm u € c k (rỉ) với chuẩn

là hữu hạn

Để đơn giản, ta có thể bỏ qua chỉ số dưới n nếu n = R d

1.1.5 K hông gian w k,p (íĩ)

Với Ả; e N, 1 < p < +oo đặt

w k’p{íl) = {u(x) <E w * ( íĩ) ;D au G L p(fi)V a : H < Jfe}

| a | < f c

Nhận xét: Nếu kị < k 2 thì w k2,p c w kl,p.

1.1.6 K hông gian W q ,p(ri)

Không gian Banach W q ’ p ( ũ ) là bao đóng của c k(ũ) trong t v fc,p(rỉ) Để

ý rằng w k,p(fì) và W q ’ p (Ũ) không trùng nhau đối với miền íỉ bị chặn

Đặc biệt, khi p — 2 các không gian w k,2(íì) và W q ’2( ũ ), (đôi khi kí hiệu

là H k(íl), H q ( í ì )) là các không gian Hilbert với tích vô hướng:

Một chuẩn tương đương là:

Miền D trong m ặt phẳng được gọi là miền đơn liên nếu mọi đường cong

biên của nó cũng được chứa hoàn toàn trong miền D

Miền có lỗ thủng có hai thành phần biên, thành phần biên bên ngoài

là r 0, thành phần biên bên trong là Ti ta gọi đó là miền nhị liên Miền

có hai lỗ thủng có ba thành phần biên được gọi là miền "tam liên ", ,

miền có n — 1 "lỗ thủng" được gọi là miền n — liên.

Giả sử D là miền bị chặn trong m ặt phẳng xOy với biên r Khi đó ta

với m ặt phẳng xOy rồi đi theo chiều đó thì thấy phần của miền D ở lân

cận mình ở phía bên tay trái

trơn từng khúc, p ( x , y ) và Q ( x , y ) là hai hàm số khả vi liên tục trong

Một cách tương đương / là nửa liên tục dưới nếu

f ( x ) < lim inf f ( x a), \/x Ễ X

và (xa) là một dãy trong X hội tụ tới X

C hương 2

P hư ơn g pháp đơn đ iệu đối với

phương trìn h e llip tic phi tu y ế n

Những kết quả trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ tài liệu tham khảo [ị].

rằng: nếu u : íỉ —»• R là một hàm trơn sao cho

—A u > 0 trong íì

u > 0 trên ỡíỉ

(2.1)

thì u > 0 trên Omega Một dạng mạnh hơn của nguyên lý cực đại được

suy ra bởi Hopf năm 1952 Mệnh đề Hopf khẳng định rằng trong tình

huống trên, có thể xảy ra các khả năng sau: hoặc u là hằng số trong ri hoặc u là số dương và khác hàm hằng trong íỉ; và trong tường hợp này, nếu u = 0 tại điểm biên trơn nào đó, khi đó đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài d u / d v tại điểm đó là âm Đặc biệt, nguyên lý cực đại mạnh

Hopf khẳng định rằng nếu u E c 2(fỉ) n C(fỉ) là hàm siêu điều hòa trong

fỉ, và u — 0 trên ô íỉ thì khi đó hoặc u = 0 trong Q hoặc u > 0 trong

và trên d u / d v < 0 trên ỡíỉ (với giả thiết ỡíỉ có tính chất hình cầu trong

tại điểm bất kỳ)

Qua nhiều năm, nhiều phép biến đổi và nhiều cách tiếp cận ứng dụng nguyên lý cực đại được nghiên cứu nhằm chứng minh ước lượng hoặc đưa

ra các tính chất định tính của nghiệm Stampacchia chỉ ra rằng nguyên

lý cực đại mạnh vẫn còn đúng nếu ta thay toán tử Laplace bởi một toán

tử cưỡng bức (coercive operator) Cụ thể là, với a € L°°(fỉ) sao cho, với

Nói riêng, giả thiết của nguyên lý cực đại Stampacchia thỏa mãn

nếu a(x) = 1 Hơn nữa, ta có thể thay toán tử cưỡng bức tuyến tính

—A + I bởi các toán tử tổng quát cùng giả thiết đơn điệu Cụ thể, cho / : [0, 0 0] —»• R là một hàm liên tục, không giảm sao cho /(0 ) = 0 và

/g1 (F{t))~ll2dt = +oo với F ( t ) = f(s) ds Với các giả thiết đó người

ta đã chứng minh rằng nếu u e c 2(fì) u C (íỉ) và thỏa mãn

A u + f (ù) > 0 trong íĩ

u > 0 trong Q

(2.4)

thì khi đó hoặc u = 0 hoặc u > 0 trong íì Giả thiết về độ tăng

/g1 (F (t))_1/2dt = +oo chỉ ra rằng nguyên lý cực đại có thể áp dụng

đối với những hàm phi tuyến ; ví dụ, hàm phi tuyến f ( u ) = up với p > 1

thỏa mãn giả thiết trên

Cho íỉ là một miền trơn, bị chặn trong M>N và xét một hàm liên tục

f ( x , u ) : n x l 4 l

sao cho f i là một hàm thuộc lớp c 1 theo biến u

Xét bài toán giá trị biên Dirichlet phi tuyến

trong đó g : díì —> R là hàm liên tục Trong trường hợp / = 0, người ta

đã chứng minh được rằng bài toán (2.6) có nghiệm với mọi g e C(dft)

khi và chỉ khi mọi điểm biên của ri là chính quy Đó là lí do tại sao trong

mọi điểm của dfì là chính quy.

Đ ịn h n g h ĩa 2.1 Một hàm ụ_ e c 2(íì) n C(Q) được gọi là nghiệm dưới

của bài toán (2.5) nếu

Aụ_ < f { x , u ’) trong íỉ

u < 0 trên dfì.

(2.7)

Nếu đảo ngược lại dấu trong bất đẳng thức trên, ta thu được định

Đ ịn h lý 2.1 Cho ụ_ (t.ư u ) là một nghiệm dưới (hoặc một nghiệm

trên) của bài toán (2.5) sao cho ụ_ < u trong íĩ Khi đó các tính chất sau đây luôn đúng:

(i) Tồn tại một nghiệm u của (2.5) thỏa mãn ụ_< u < u .

(ii) Tồn tại nghiệm cực tiểu u và nghiệm cực đại u của bài toán (2.5) tương ứng trong đoạn ịu_, Ư]

C h ú ý 2.1 Sự tồn tại của nghiệm trong định lí này, cũng như tính cực đại (t.ư cực tiểu) của nghiệm được xác định bởi (ii), được hiểu với cáccặp nghiệm dưới và nghiệm trên đã biết Rất có thể (2.5) có các nghệm không nằm trong đoạn [ĩ/, Ư] hoặc (2.5) không có nghiệm cực đại hoặc

C h ú ý 2.2 Giả thiết ụ_ < u không thỏa mãn một cách tự động đốivới nghiệm dưới và nghiệm trên tùy ý của (|2.5|) Hơn nữa, có thế xảy ra

ụ_> ư trên toàn bộ miền Ta sẽ minh họa bởi ví dụ cơ bản sau đây: Xét bài toán giá trị riêng

—Au = ÀiM trong

M = 0 trên díì

Ta biết rằng tấ t cả các nghiệm của bài toán này có dạng M = Cei, ở

e i ( x) > 0 , với X e Í Ỉ Chọn ụ_ = e i và u = — ẽ Ị Khi đó ụ_ (t.ư u ) là

(2.8)

nghiệm dưới (t.ư nghiệm trên ) của bài toán (2.5), nhưng ụ_ > u

C h ứ n g m in h [Chứng minh Định lý 2.1 Chúng ta sẽ sử dụng phương

pháp lặp đơn điệu để chứng minh

(i) Xét g(x, ù) := f ( x , ù) + au, trong đó a là một hằng số thực Ta có thể chọn a > 0 đủ lớn để ánh xạ

R 3 u —> g(x, u ) là tăng trên [u_(x), u (x)] ,

với mọi X G fỉ Để đạt được điều này ta chỉ cần a > 0 và

a > m a x { - / u( x , « ) , x e í ] , i ( G ịụ_(x), u (x)]} (2.9)

Với sự lựa chọn này của a, ta xác định dãy các hàm un € ơ 2( rĩ)n ơ (íỉ)

như sau:

u0 = u

và với mọi n > 1, un là nghiệm duy nhất của bài toán tuyến tính

- A u n + aun = g(x, Mn_i) trong Q

un = 0 trên ôíỉ

Y êu c ầ u 1: ụ_ < < un + 1 < un < < u0 = u

Chứng minh yêu cầu 1: Chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý cực đại Để

chứng minh Mi < u , từ định nghĩa của Mi, ta thấy

—A ( u — Ui) + a ( u — Mi) > g(x, u ) — g(x, u ) = 0 trong n

u — Uị > 0 trên ôíỉ

Do — A + a i là toán tử cưỡng bức, theo đó u > Uị trong n Để chứng minh u < Mi, ta để ý rằng ụ_ < 0 = Mi trên dCt và từ tính đơn điệu của

g khi đó với mọi X € íỉ ta có

- A{U - Ml) + a(U - Ml) < f ( x , U) + a U - g{x, u ) < 0 (2.12)

Nguyên lý cực đại suy ra ụ_ < Mi Bây giờ ta giả thiết rằng :

ụ_< < un < Mn_i < < u 0 = u (2.13)Chúng ta sẽ chứng minh:

u ^ Un-|_l ^ un (2.14)

Do phương trình thỏa mãn với un và Mn+1, nên từ đó ta thu được

- A ( u n - Mn+i) + a(Mn - Mn_|_i) = g ( x , Mn_i) - g ( x , Mn) > 0 trong n

và định nghĩa của un+!, ta có

- A (un+1 - u_) + a{un+1 - ư ) > g{x, un) - #(a;, f/) > 0 trong

Iín + 1 — ụ_ > 0 trên ỡíỉ.

(2.17)

Lặp lại nguyên lý cực đại, ta suy ra t/ < un + 1 trong ri, như vậy yêu cầu

đã được chứng minh

Theo đó sẽ tồn tại một hàm u sao cho, với mỗi X E ri cố định thì

un(x) \ u(x) với n —> oo (2-18)Chúng ta sẽ thấy rằng ta có thể cho qua giới hạn trong (2.10) Đặt

gn(x) := g(x, un(x)) , khi đó dãy (gn) bị chặn trong L°°(rỉ), và do đó

cũng bị chặn trong Lp(rĩ) với 1 < p < oo Từ (2.10) và ước lượng Schauder ta kiểm tra được rằng dãy (un)) bị chặn trong w 2,p(ri) với

1 < p < oo Nhưng không gian w 2,p(rĩ) bị nhúng liên tục trong không gian Hõlder ơ 1,a(rỉ), với a = 1 — N / (2p) khi p > N / 2 Điều này kéo theo

(un) bị chặn trong c 1,a(rỉ) Bằng các đánh giá trong không gian Hỏlder,

ta suy ra (un) bị chặn trong ứ 2’“ (ri) Do c 2,a(rỉ) bị nhúng compact trong

ơ 2(rỉ), nên thông qua dãy con, ta có

un —ì u trong c 2,0i (rỉ) (2.19)

Do tính đơn điệu, nên dãy sẽ hội tụ đến u trong c 2 Bằng cách cho qua giới hạn trong (2.10) khi n —> oo ta suy ra u là nghiệm của bài toán

© ■

u0 = u Ta sẽ khẳng định ũ là nghiệm cực đại tương ứng với (t/, u ).

T hật vậy, với u E [ỉ/, £/] là một nghiệm tùy ý Với lập luận tương tự

được đưa ra như trong chứng minh (i) nhưng đối với cặp nghiệm dưới

và nghiệm trên (u , u), ta thu được u < un, với n > 0, từ đó kéo theo

với mọi (f G ơ 0°°(ft) thỏa mãn tp > 0 trong ri.

Một hàm u E C(íì) được gọi là nghiệm trên yếu của bài toán (2.5) nếu u > 0 trên ỡíỉ và

với mọi tp G C^° (íỉ) thỏa mãn tp > 0 trong ri

Trong trường hợp này, khái niệm tương ứng của nghiệm cho bài toán(2.5) như sau được định nghĩa như sau:

Đ ịn h n g h ĩa 2.3 Một hàm u G ơ (rỉ) được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (^5) nếu u = 0 trên dQ và

In lu ( ~ A(P) - / ( z , u)ip\ dx = 0 (2.22)

Đ ịn h lý 2.2 Cho f : íì X R —> R ỉà một hàm liên tục sao cho ánh xạ

u !->■ / ( , ù) + au

là tăng với số thực a nào đó Giả sửụ_ (t.ư u ) là nghiệm dưới yếu(t.ư.

sao cho ụ _ < u trong fỉ Khi đó các tính chất sau đây luôn đúng:

nghiệm trên yếu) của bài toán (2.5

(i) Tồn tại một nghiệm yếu u của (2.5) thỏa mãn ụ_ < u < u và

u E wf,p{ũ) với mọi p€ [1, oo)

(ũ) Tồn tại nghiệm yếu cực tiểu u và nghiệm yếu cực đại u của bài toán (2.5) tương ứng trong đoạn [ t/,ũ ]

Chứng minh của Định lý |2.2| cũng có các bước tương tự như trong

cách chứng minh mà không cần sử dụng phép lặp đơn điệu

nhất thiết khả vi ở đây chúng ta cũng không xét giả thiết ánh xạ

u I—^ / ( , ù) + au là tăng, với a là số thực.

Dưới những giả thiết tổng quát đó, chúng ta sẽ trình bày một cách chứng minh của Định lý |2.2| theo một cách khác Xét

E (u ) = \ ỉ n |Vw|2cfo - f n F(x, u)dx (2.23)

là phiếm hàm năng lượng tương ứng của bài toán (2.5), trong đó

f ( x , t ) nếu U ị x ) < t < U (x ),x e ÍỈ,

f 0(x,t) = < f { x , ư { x ) ) nếu t > U ( x ) , x G ÍỈ, (2.24)

f { x iỉL(x )) nếu i < u_(x),x E ri.

Khi đó /o : ÍỈ X R —>• R là hàm liên tục và bị chặn Phiếm hàm năng lượng tương ứng là:

E ữ(u) = 2 fn |V u |2d:z- f n F0(x, u)dx (2.25)

với một định nghĩa thích hợp đối với Fữ.

Chú ý rằng:

(i) E 0 hoàn toàn xác định trên FỈ1(Q) , do /o là bị chặn,nên Fữ có độ

tăng dưới tuyến tính

(ii) E 0 là hàm nửa liên tục dưới yếu.

(iii) Thừa số đầu tiên của E 0 hội tụ trội tại +oo, nghĩa là: