Luận văn phương pháp đơn điệu đối với phương trình elliptic phi tuyến

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN TH HNG PHNG PHP N IU I VI PHNG TRèNH ELLIPTIC PHI TUYN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch M ó ngnh: 60460102 LUN YN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Hu Th H NI, 2016 Li cm n Lun ny c hon thnh di s hng dn tn tỡnh v s ch bo nghiờm khc ca TS Nguyn Hu Th Tụi xin gi li cm n chõn thnh v sõu sc n thy Tụi cng xin kớnh gi li cm n chõn thnh n cỏc Thy giỏo, Cụ giỏo Trng i hc S Phm H Ni II - Khoa Toỏn, cng nh cỏc Thy Cụ giỏo tham gia ging dy khúa hc cao hc 2014-2016, nhng ngi ó em ht tõm huyt v s nhit tỡnh ging dy v trang b cho chỳng tụi nhiu kin thc quý bỏu Tụi xin cm n th giỏo viờn Trng THCS Nam Sn ni tụi cụng tỏc ó giỳp , to iu kin thun li cho tụi sut khúa hc cng nh quỏ trỡnh lm lun Cui cựng tụi xin chõn thnh cm n gia ỡnh, bn bố thõn thit nhng ngi luụn ng viờn chia s, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi N guyn T h H ng Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Hu Th, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Phng phỏp n iu i vi phng trỡnh ellip tic phi tu yn c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi N guyn T h H ng M c lc M u 1 K in th c chun b 1.1 1.2 Mt s khụng gian hm 1.1.1 Khụng gian Banach 1.1.2 Khng gian 1.1.3 Da ch sl 1.1.4 Khụng gian Hlder 1.1.5 Khụng gian w k,p (ớ) 1.1.6 Khng gian W qp( ) B F a t o n 10 1.2.1 nh lý v tớnh hi t n iu 10 1.2.2 B F ato u l 10 1.3 Cụng thc Green 10 1.4 Tớnh na liờn tc di 11 Phng phỏp n iu i vi phng trỡnh ellip tic phi tuyn 12 2.1 N guyờn lớ cc i 12 2.2 Phng phỏp nghiờm trờn, nghiờm di 14 2.3 Tớnh n inh ca nghiờm 25 2.4 Nghiờm cc ai, nghiờm cc tiu 30 2.5 Mt s nh lý v tớnh nht nghim 36 2.5.1 36 2.5.2 nh lý Krasnoselski nh Lý Brezis - Oswald 37 M t s ng dng 40 3.1 Nghim phõn ró i vi Ê > 42 3.2 Nghim phõn ró i vi l = 46 49 Ti liu tham kho i M u Lớ chn t i Vic nghiờn cu phng trỡnh phi tuyn núi chung v phng trỡnh vi phõn o hm riờng phi tuyn núi riờng ó v ang l mt ht sc cn thit ca gii tớch hin i Trong cỏc mụ hỡnh ca bi toỏn thc t nhiu trng hp yờu cu chỳng ta cn phi nghiờn cu cỏc phng trỡnh vi phõn o hm riờng dng Elliptic (thng l phi tuyn) Cú nhiu phng phỏp tip cn nghim ca cỏc bi toỏn i vi phng trỡnh vi phõn o hm riờng phi tuyn nh phng phỏp tỏch bin, bin i Legendre, tớch phõn ton phn, lý thuyt c trng, ng d n g v cỏc phng phỏp ú ó gúp phn lm phong phỳ lnh vc nghiờn cu nh tớnh cho cỏc lp phng trỡnh ú Vi mong mun c tip cn ti lý thuyt v nh tớnh ca phng trỡnh Elliptic phi tuyn, c s hng dn ca Tin s Nguyn Hu Th, tụi chn ti cho lun ca mỡnh v : Phng phỏp n iu i vi phng trỡnh elliptic phi tuyn M c ớch n gh iờn cu Trỡnh by phng phỏp n iu i vi phng trỡnh elliptic phi tuyn C th, lun trỡnh by v phng phỏp nghim di - nghim trờn, õy l mt cỏc cụng c chớnh gii tớch phi tuyn vic tỡm nghim ca nhiu lp cỏc bi toỏn biờn Lun cng quan tõm ti tớnh n nh ca nghim v mt s kt qu v s tn ti v tớnh nht nghim, xem xột iu kin cho s tn ti ca nghim nht phõn ró ti cỏc giỏ tr khỏc ti vụ cc N h i m v n gh iờn cu - Tng quan v phng phỏp n iu - Trỡnh by v tớnh n nh ca nghim - Mt s nh lý v s tn ti v tớnh nht - Mt s ỏp dng i t n g v p h m v i n gh in cu - Phng trỡnh elliptic - Bi toỏn biờn cho phng trỡnh elliptic phi tuyn - Phng phỏp n iu P h n g p h ỏp n gh iờn cu Nghiờn cu lý thuyt, thu thp ti liu, c v phõn tớch, tng hp nhn c mt nghiờn cu tng quan v phng phỏp n iu i vi phng trỡnh elliptic phi tuyn ú n g gúp c a t i Trỡnh by mt cỏch cú h thng v phng phỏp n iu i vi phng trỡnh vi phõn o hm riờng phi tuyn dng elliptic Chng K in th c chun b Trong chng ny, lun dnh cho vic trỡnh by mt s kin thc c bn cn thit cho cỏc ni dung cỏc chng sau Nhng kin thc chng ny c trớch dn trc tip t cỏc ti liu [lj, [2J v [3J 1.1 1.1.1 M t s k h ụn g gian h m K hụng gian Banach Cho X l khụng gian tuyn tớnh thc nh x ||.|| : X Ơ [0, oo) c gi l chun nu (i) \\u + u|| < IMI + IMI, Vu, V E X (ii) |iớ|| = II ||w , Vu e I , l (iii) IMI = 4=r> u = Bt ng thc (i) gi l Bt ng thc tam giỏc Khụng gian tuyn tớnh trang b chun c gi l khụng gian tuyn tớnh nh chun Ta núi dóy {uk}=1 c X hi t n U E X nu lim IIU u II = 0, 00 v ký hiu U >u (i) Dóy {uk}=1 c X c gi l mt dóy Cauchy nu vi mi Ê > 0, N > cho IIuk M II < Ê, V;, > N (ii) X l y nu mi dóy Cauchy X u hi t, cú ngha l vi {uk}=1 c X l dóy Cauchy, tn ti u Ê X cho {uk}=1 hi t n u (iii) Khụng gian Banach X l khụng gian tuyn tớnh nh chun y Ta núi X tỏch c nu X cha mt m c trự mt X 1.1.2 K hụng gian Cho mt khụng gian E v mt o JLtrờn mt - i s T trờn cỏc ca E H t t c cỏc hm s / (X) cú lu tha bc p , (1 v d u Ă d v < trờn dớỡ Ta chỳ ý rng, khụng th xaye u = c > S dng k thut tng t nh chng minh nh lý 2.l|(c th l t d u / d v < trờn ụớ), l tỡm c Ê > nh cho Êif no ú, ú nghim nht l u = Sau nhõn vi (fii (2.67) v ly tớch phõn, ta c a ( - A u ) Vl = / n ô A < * = A /n ô V = J n f ( u ) Vl < A /n ô * (2.77) iu ny dn ti mõu thun C h ỳ ý 2.4 Ta cú th thay th yờu cu (2.72) bi iu kin / Ô, 0 ) v /'(0 + ) = +oo Thc vy, vỡ /(0 ) = nờn tn ti c > 0, cho vi mi < Ê < c, /(eyi) _ /(eyi)-/(0) > ^ rineipi e Q vi p > v > Ai, cú nghim nht, nghim ny cng l n nh C h n g m in h (Chng Minh nh lý 2.6) Gi s U,u2 l hai nghim ca (2.67) Ta cú th gi s rng U < u2 Ta nhõn cỏc ng thc A ui = f ( u i ) (2.81) A u2 = f ( u 2) Q tng ng vi u2,U ri ly tớch phõn trờn ớ, ta nhn c J {f{ui)u2 - /( 2)i) = (2.82) H thc ny cú th c vit li nh sau: r J f f ( u i) /M \ ) = \ U u2 / (2.83) Vỡ vy, vỡ < Ui < u2 nờn ta suy f ( u i ) / u i = f ( u 2) / u n Sau ú t (2.79) ta suy U = u 35 2.5 2.5.1 M t s n h lý v tớn h d u y n h t n gh im n h lý K sn o se lsk i Trong mc ny chỳng ta s xột tớnh nht nghim ca bi toỏn Dirichlet phi tuyn A u = f { u ) fỡ u trờn dớỡ (2.84) u > ớỡ trng hp m ú tớnh phi tuyn khụng tha bt k s iu kin v tng trng no kiu nh (2.69) hoc (2.72) Krasnoselsk ó t c kt qu trng hp nh nh lý sau: n h lý 2.7 Gi s hm phi tuyn f tha (2.79) Kh ú bi toỏn (2.84) cú mt nghim nht C h n g m in h chng minh tớnh nht ta cú th gi s l hai nghim tha U U v u2 < Iớ2 Xột A {t e [0,1]; tui < u2} (2.85) Khi ú d thy rng A Tip theo, ta s ch rng tn ti Êo > cho vi mi Ê e (0, Ê0) ta cú Ê e A T ht vy, ta cú u2 > u2 < trờn fi du t t0 m a x A Gi s (phn chng) rng ri Ta s chng t rng tn ti Ê > < 1) ú t U < u2 no ú cho {to + z)u l ^ u ỡ 36 ( 86) v dn ti mõu thun vi cỏch chn t T ht vy, bng cỏch s dng nguyờn lý cc i ta cú - A (u2 - t 0U i ) + a ( u - oî) = f { u 2) + a u - t 0( f ( u i ) + a u i) (2.87) Bõy gi ta chn a > cho ỏnh x - A ( u - o ^ i) + a ( u - t QU ) u I^ f (lớ) T a u l tng Vỡ vy, > f { t U ) + a t U i - t Qf ( u ) - a t QU = f{toU l) - ớo /(w i) > ( 8 ) iu ny suy (i) hoc (ii) u t 0Ui = u t U 0, hoc > v d ( u t U ) / d v < trờn f Trng hp u tiờn l khụng th xy vỡ t ú kộo theo t0f ( u i ) = f ( t 0Ui), iu ny l vụ lý vỡ nu / l liờn tc v f ( C x ) = C f ( x ) vi bt k X 2.5.2 mt khong khụng trng thỡ / l tuyn tớnh n h L ý B rezis - O sw ald Tip theo, mc ny chỳng ta s trỡnh by mt kt qu c bn c xut bi Brezis v Oswald v nú úng vai trũ quan trng s phõn tớch nh tớnh ca lp rng ca cỏc bi toỏn giỏ tr biờn phi tuyn Dirichlet Cho n c g(x, ự) : X l mt b chn vi biờn trn v gi thit rng [0, oo) ằ M l hm o c tha cỏc iu kin sau: 37 (i) Vi X hu khp ni, hm [0, 00) G i / g(x, ự) l liờn tc v ỏnh x ô H } u (2.89) u ^ l gim trờn (0, 0 ); (ii) Vi mi u > 0, hm X !-> g(x, u) thuc L(ớ) (2.90) (hi) 3C > cho g(x , u ) < (7(14 + ), X E hu khp ni, V ii > (2.91) t 0(a;,u) a0m = lim : , ii\o li (2.92) g{x,u) aO(x) = lim u t ú oo < a0(x) < +oo v oo < ô00(3;) < +00 Vi hm o c a : f > M cho hoc a(x) < c hoc a(x) > c hu khp ni trờn Q (vi hng s dng C), i lng (2-93) luụn xỏc nh, ú If e L 2(Q) Trong trng hp nh vy, ta cú th nh ngha giỏ tr riờng u tiờn ca toỏn t A a(x) vi iu kin Dirichlet zero nh sau: Ai(A a(x)) = inf ( / | v r f - J + , dtp2) VH'0 ( n ) , M L m = i 38 (2.94) v ' T cỏch t ca chỳng ta, oo^) ^ g(x; 1) v a(x) ^ g(x\ 1) vi X ED hu khp ni Do vy cỏc i lng i(A a0(a:)) v Ai(A a^x) Xột bi toỏn giỏ tr biờn Dirichlet Au = g(x,u) ri, u > ớ, (2.95) u = trờn dfỡ Mt nghim ca bi toỏn (2.95) l mt hm u Hj(ri) n L(Q) tha (2.95) Khi ú, t cỏc gi thit (2.89) - (2.91) suy rng: nu u tha (2.95) thỡ - \g(x, M |Ê0.)| < g{x,u{x)) < C(\u(x)\ + 1) Do vy, g(x, ự) L(Q) v c lng Schauder suy rng u vi mi p < (2.96) w 2,p(fỡ) 00 Di õy l kt qu v s tn ti v tớnh nht nghim ca bi toỏn (|2.95|) Chng minh ca nh lý (c hon thin bi Brezis v Oswald nm 1986) rt phc tp, c chia thnh nhiu bc v cn mt s kt qu ph tr ú chỳng tụi khụng trỡnh by phn chng minh õy, m ch xin phộp nờu ni dung ca nh lý n h lý 2.8 Gi s ta cú cỏc gi thit (2.89) - (2.91) Khi ú bi toỏn (2.95) cú nhiu nht mt nghim Hn na nghim ca bi toỏn (2.95) tn ti v ch A i(-A - a0(a;)) < 0, (2.97) A i(-A - oo(a;)) > (2.98) 39 Chng M t s ng dng Nhng kt qu chng ny c trớch dn trc tip t ti liu tham kho [] Trong chng ny chỳng ta s xột mt s ỏp dng cho phng trỡnh elliptic di tuyn tớnh mụi trng khụng ng hng Xột phng trỡnh elliptic di tuyn tớnh khụng cú iu kin ti vụ cc Alt = p(x)ua MN, N > (3.1) ú < a < 1, p e L ^ C(M.N), p > v p ^ Chỳng ta s thy rng bi toỏn phi tuyn (3.1) cú mt nghim u > 0, b chn nu v ch nu bi toỏn tuyn tớnh A u = p{x) cú nghim b chn 40 (3.2) Trc ht ta xột bi to ỏn A u = p ( x ) f ( u ) MN u > Ê R N (3.3) u(x) >Ê khix > 0 , õy N > v Ê l mt s thc khụng õm Trong sut mc ny chỳng ta luụn gi thit rng hm th v p(x) luụn tha p e Lfoc(RN), p > v p ^ Trong kt qu th nht ta gi s rng tng trng ti vụ cc ca th v d hng p(x) c cho bi: (pl) J r$(r)dr < 00, ú (r) := maXx=rp(x) Hm phi tuyn / : (0, 0 ) > (0,oo) tha / 00) (0 < a < 1) v cú tng di tuyn tớnh theo ngha: (/1 ) ỏnh x u > f ( u ) / u l gim trờn (0, oo) v lim ôo f ( u ) / u = Ta ý rng iu kin (/1 ) khụng yờu cu / l trn ti gc ta Mt vớ d cho mt phi tuyn nh vy l f ( u ) = up, ú oo 0, di gi thit t nhiờn rng ỏnh x u i-> f ( u ) / u l gim trờn (0, oo) Vi gi thit (pl) v (/1 ), ta nhn c kt qu u tiờn liờn quan n trng hp Ê > n h lý 3.1 Gi s Ê > Khi ú bi toỏn (3.3) cú nghim c in nht Tip theo, chỳng ta xột trng hp Ê = Ta s thay iu kin pl 41 bng iu kin sau: (p2) / rN~1$(r)dr < 00 Ngoi gi s rng (/2 ) / l hm tng (0, 0 ) v lim ^ o { ự ) / u = +oo Mt vớ d v hm phi tuyn tha c (/1 ) v (/2 ) ú l {ự) = up, vi chng minh s tn ti ca nghim cho bi toỏn (3.3), ta ỏp dng nh lý 2J2 Xột bi toỏn giỏ tr biờn -A u * = p ( x ) f ( u k) U> Uk(k) ú k = t nu |rc| < k nu |a:| < k , n nu \x\ = (3.4) k l s mt s nguyờn dng tựy ý Bi toỏn Dirichlet trờn cú th vit mt cỏch tng ng nh sau: A v k = p ( x ) f( v k + Ê) nu \x\ < (3.5) vk{%) = nu \x\ = k thu c mt nghim ca bi toỏn (3.5), ta ch cn kim tra cỏc gi thit ca nh lý ^ 42 (i) Do / E C (0, oo) v Ê > 0, suy ỏnh x J p (x )f(v + Ê) l liờn tc [0, oo) (ii) T ng thc p(x)(f(v + Ê)/v) = p(x)(f(v + Ê)/(v + Ê))((v + Ê)/v), cựng vi tớnh dng ca p v (/1 ) ta suy hm V !-ằ p(x)((v+Ê)/v) l gim trờn (0, oo) (iii) Vi mi V > 0, t p ta thu c p L (B(0,k)), vỡ vy iu kin (2.90) c tha (iv) Do lim^ôo f ( v + Ê)/(v + 1) = v / (0, oo), nờn tn ti M > cho f ( v + Ê) < M (v + 1) vi mi V > Vỡ vy p{x)f{v + Ê) < ||p ||Êco(B(oifc))M (v + 1) vi mi V > (v) Ta cú t A {x)f{v + Ê) _ , a0{x) = lim -= Too, \0 p(x)f{v + Ê) anc,(x) = lim - = lim p(x) V+ Ê V (3.6) v+ i _ Q Do ú, theo nh lý 2.2, bi toỏn (3.5) cú nghim nht vk, v theo nguyờn lý cc i, V l dng |rc I < Ê Khi ú U = V + Ê tha (3.4) t U Ê vi \x\ > k Nguyờn lý cc i suy rng Ê Ê, cho uk < V M>N Trc ht ta xõy dng mt hm i xng dng w cho A w = $ (r); (r = \x\) R N 43 v limôo w ir) = Tớnh toỏn trc tip ta cú (3.7) w (r) = K - / ; c1_w J ú K = ~ ('-ằ t i a -'H*)dvdầ (3.8) nu tớch phõn l hu hn Ly tớch phõn tng phn nhn c /; c1-" f aN-^(a)dadi = - jpL /; A?-ằ Ê = s h ( - r 2- " / ; ^ -'$ (< )^ + / ; c*(0 ) < T Jo cđ(0 < + (3.9) Hn na, w l gim v tha < w(r) < K vi mi r > Ly V >Ê l mt hm cho p v ( r ) i w(r) = m -1 / (t / f ( t + Ê))dt J0 ú m > c chn cho K m < / Q m (t / f ( t + Ê))t Tip theo, s dng quy tc LHoopital cho trng hp /oo ta cú Ă i m + m XẽOC = Iim X X + Ê X lim = lim - . - = Too f ( x T Ê) /( x T Ê) X T Ê X (3.10) iu ny ngha l tn ti X > Do X\ w > Theo ú vi mi m > X1 l gim, ta thu c v ( r ) Ê f JC X t v ( ) i < /c / ( + Q " " J0 dt V cho /gX(//()) > K x vi mi ta cú K m < J(t/f(t))dt cng l hm gim Khi ú t ( t + t) dt = m w (0) = m K < t dt ' f ( t + Ê) (3.11) T ú v(r) < m + Ê vi mi r > Da vo w(r) >0 r ằ oo ta suy v(r) -T Ê r > oo 44 Theo cỏch chn ca V, ta cú V Ê _ VW = -V f m f( v ) Aw = V Ê m f(v) (/ V - Ê \\ ' ' + - ( V y ) Vn v + m \ f fiv) (v)J ,2 , 3.12 Vỡ ỏnh x u -> /(^ớ)/^ gim trờn (0, oo), nờn m Av < m f{v)A w V Ê (3.13) V Ê T (3.4), (3.13), v gi thit (/1 ), ta thu c uk(x) < v(x) vi mi |:r| < A; v ú vi mi X Nh vy ô1 < u2 < oo T ú, tn ti mt hm u < V cho uk(x) > u(x) > 0 , vi mi k rng u > Ê X e c bit, iu ny ch v u(x) > Ê |x| > 0 , v t ú u l mt nghim c in ca bi toỏn (3.3) Ta ch cũn phi chng t rng nghim tỡm c trờn l nht Gi s u v V l cỏc nghim ca (3.3) chng minh tớnh nht ta ch cn chng t u < vi mi X V hoc (mt cỏch tng ng) hi(u(x)) < ln(f(a;)), Gi s ngc li, tn ti X e cho u(x) > v(v) Vỡ lim la,1^00 (ln(w(a:)) ln(r;(a:))) = nờn maxRjv(ln(w(a:)) ln(r;(a:))) tn ti v l dng T im t c max, chng hn l x 0, ta cú V(ln(M(xo)) - - ln(v(a;o))) = 0, (3.15) Vw(x0) _ V n(x0) u(x0) v(x0) (3.16) f{ u{x o)) ^ f { v {x o)) u(x0) v(đo) (3.17) vy T (/1 ), ta thu c 45 Vỡ vy, t (3.14) v (3.16) > A(ln u(x0) ln v(x0)) = ) ' A,i(:ỡ:o) = Au(x) u(x0) ) - M itl) Av(x) = v(x0) + f ( u ( x )) P[X)[ u(x0) f ( v ( x o)) v(x0) (3.18) iu ny dn ti mõu thun Do ú lớ < V v chng minh c hon thin 3.2 N g h im p h õn ró i vi i = Vỡ / l mt hm dng tng trờn (0,oo), nờn gii hn liniuôf { u ) tn ti v hu hn, ú t tớnh liờn tc ti gc ta suy / cú th thỏc trin c Xột bi toỏn Dirichlet - A uk = p ( x ) f ( u k) nu |x| < k, (3.19) Ujk(x) = nu \x\ = k Lp lun tng t nh chng minh trng hp > 0, ta suy rng cỏc iu kin (2.89) v (2.90) tha Trong vic kim chng gi thit (2.91) ta s dng c hai gi thit (/1 ) v (/2 ) T ú f ( u ) < /(1 ) nu u < v f ( u ) / u < /(1 ) nu u > 46 Do vy f{u) > / ( ! ) ( ô + 1) vi mi u > 0, v iu ny chng minh (3.19) S tn ti mt nghim i vi (2.97) suy t (2.97) v (2.98) iu kin ny l h qu trc tip ca gi thit lim u_>oo/(u)/u = v \imu^ f { u ) / u = +oo Do ú, theo nh lý 2.8, bi toỏn (3.19) cú nghim nht t uk(x) = vi |x| > k Chng minh tng t trng hp i > 0, ta thu c uk R cho uk < V M.N v ta cng t c mt dóy bin tng Wl < 12 < < uk (tuy nhiờn phc v di dũng hn) ta chng minh c rng nghim u tỡm c nh trờn l nht 47 K t lu õ n Lun nhm trỡnh by mt cỏch cú h thng mt nhng phng phỏp nghiờn cu nh tớnh v phng trỡnh vi phõn o hm riờng dng elliptic: ú l phng phỏp n iu C th + Lun trỡnh by v phng phỏp nghim di - nghim trờn, õy l mt cỏc cụng c chớnh gii tớch phi tuyn vic tỡm nghim ca nhiu lp cỏc bi toỏn biờn + Lun cng quan tõm ti tớnh n nh ca nghim v mt s kt qu v s tn ti v tớnh nht nghim + Trong lun cng xem xột ti iu kin cho s tn ti ca nghim nht phõn ró ti cỏc giỏ tr khỏc ti vụ cc Do iu kin v thi gian v trỡnh nghiờn cu cũn hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút, kớnh mong quý Thy Cụ v bn bố úng gúp ý kin v b sung bn thõn tỏc gi cng nh bn lun ny c hon thin hn! Tỏc gi xin chõn thnh cm n 48 [...]... là nghiệm của bài toán © ■ (ii) Ta ký hiệu nghiệm thu được với phương pháp trên là ũ và chọn u0 = u Ta sẽ khẳng định ũ là nghiệm cực đại tương ứng với (t/, u ) 18 T hật vậy, với u E [ỉ/, £/] là một nghiệm tùy ý Với lập luận tương tự được đưa ra như trong chứng minh (i) nhưng đối với cặp nghiệm dưới và nghiệm trên (u , u), ta thu được u < un, với n > 0, từ đó kéo theo u < ũ Khái niệm nghiệm dưới và nghiệm... rằng nguyên lý cực đại có thể áp dụng đối với những hàm phi tuyến ; ví dụ, hàm phi tuyến f ( u ) = up với p > 1 thỏa mãn giả thiết trên 2.2 P h ư ơ n g p h áp n gh iệm trên , n gh iệm dưới Cho íỉ là một miền trơn, bị chặn trong M>N và xét một hàm liên tục f(x, u ) : n x l 4 l sao cho fi là một hàm thuộc lớp c 1 theo biến u Xét bài toán giá trị biên Dirichlet phi tuyến —A u = f ( x , u) trong n (2.5)... liên tụ c dưới Ta nói một hàm / : X —> [—0 0 , + 0 0 ] là nửa liên tục dưới nếu với mọi a > M tập {x € X; f ( x ) < cc} luôn đóng Một cách tương đương / là nửa liên tục dưới nếu f ( x ) < lim inf f ( x a), \/x Ễ X và (xa) là một dãy trong X hội tụ tới 11 X Chương 2 P hư ơng pháp đơn điệu đối với phương trìn h ellip tic phi tu y ến Những kết quả trong chương này được trích dẫn trực tiếp từ tài liệu... (2.38) trong đó r(z) = ì r l° z \ x \ 2ĩr 1 \x\2~N (2 —N ) lún 23 nếu N = 2, X Ỷ 0, (2.39) nếu N > 3, X Ỷ 0 là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace Trong định nghĩa của r, ÙJN độ đo Lebesgue của hình cầu đơn vị trong MN Kết quả trong lý thuyết về phương trình elliptic tuyến tính đã chỉ ra rằng w G ơ 1(n) và ánh xạ h !-»■ w từ ơ (íỉ) đến ơ 1(n) là liên tục, trong đó ơ 1(n) được cho bởi chuẩn IHICi... sau đưa ra một điều kiện đủ là tính phi tuyến có dạng tăng dưới tuyến tính Xét bài toán -A u — f ( x , u) + g(x) trong íĩ (2.60) u = 0 trên dfì Đ ịnh lý 2.4 Giả sử rằng g E c ữ,a(fì), với a E (0,1), và tồn tại a < Ai sao cho với mọi (x, ù) £ íỉ X R ta có f ( x , ư)sign u < a \u\ + 30 c (2.61) Khi đó tồn tại một nghiệm cực tiểu toàn cục u (t.ư cực đại toàn cục u) đối với bài toán (2.60) C h ứ n g m in... sau để có thể mở rộng và giải được bài toán elliptic phi tuyến tổng quát hơn dưới dạng —A u = f ( x , u) trong íỉ u = g trên ôíỉ 14 (2 6 ) trong đó g : díì —>R là hàm liên tục Trong trường hợp / = 0, người ta đã chứng minh được rằng bài toán (2.6) có nghiệm với mọi g e C(dft) khi và chỉ khi mọi điểm biên của ri là chính quy Đó là lí do tại sao trong suốt luận văn này, chúng ta chỉ xét íỉ là một miền bị... hạn ei(x) > 0, với X e ÍỈ Chọn ụ_ = ei và u = — ẽỊ Khi đó ụ_ (t.ư nghiệm dưới (t.ư nghiệm trên ) của bài toán (2.5), nhưng u ) là ụ_ > u C h ứ n g m in h [Chứng minh Định lý 2.1 Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lặp đơn điệu để chứng minh (i) Xét g(x, ù) := f ( x , ù) + au, trong đó a là một hằng số thực Ta có thể chọn a > 0 đủ lớn để ánh xạ R 3 u —>g(x, u ) là tăng trên [u_(x), u (x)] , với mọi X G fỉ... chứng minh u < Mi, ta để ý rằng ụ_ < 0 = Mi trên dCt và từ tính đơn điệu của g khi đó với mọi X € íỉ ta có - A{U - Ml) + a(U - Ml) < f ( x , U) + a U - g{x, u ) < 0 (2.12) Nguyên lý cực đại suy ra ụ_ < Mi Bây giờ ta giả thiết rằng : ụ_< < un < Mn_i < < u 0 = u (2.13) Chúng ta sẽ chứng minh: (2.14) u ^ Un-|_l ^ un Do phương trình thỏa mãn với un và Mn+1 , nên từ đó ta thu được - A ( u n - Mn+i) + a(Mn... n F(x, u)dx là phi m hàm năng lượng tương ứng của bài toán (2.5), trong đó (2.23) Đặt f(x,t) nếu U ịx ) < t U (x ),x G ÍỈ, (2.24) f { x iỉL(x )) nếu i < u_(x),x E ri Khi đó /o : ÍỈ X R —>• R là hàm liên tục và bị chặn Phi m hàm năng lượng tương ứng là: E ữ(u) = 2 fn |V u|2d:z- f n F0(x, u)dx (2.25) với một định nghĩa thích hợp đối với Fữ Chú ý rằng:... rằng w k,p(fì) và W q’p (Ũ) không trùng nhau đối với miền íỉ bị chặn Đặc biệt, khi p — 2 các không gian w k,2(íì) và W q’2(ũ ), (đôi khi kí hiệu là H k(íl), H q(í ì )) là các không gian Hilbert với tích vô hướng: (« «)* = / E D °,D °dx h M