Luận văn bài toán cauchy neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

B GIO DC V O TO TRNG I H NI HC s PHM V TH HOI PHNG BI TON c A U C H Y -N EU M A N N I V I PH N G TR èN H H Y PER BO LIC CP H AI TRO NG TR V I Y K H ễ N G TRN Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng H NI, 2015 Li cm n Lun c hon thnh ti Trng i Hc S Phm H Ni di s hng dn ca GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng Tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh, sõu sc ti GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng, ngi ó luụn quan tõm ng viờn v tn tỡnh hng dn tỏc gi quỏ trỡnh thc hin lun Tỏc gi cng xin c gi lũi cm n chõn thnh túi Ban Giỏm Hiu Trng i Hc S Phm H Ni 2, Phũng Sau i Hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii Tớch ó to iu kin thun li quỏ trỡnh tỏc gi hc v nghiờn cu Tỏc gi xin by t lũng bit n ti gia ỡnh, ngi thõn ó ng viờn v to mi iu kin tỏc gi hon thnh bn lun ny H Ni, thng 12 nm 2015 V Th Hoi Phng Li cam oan Tụi xin cam oan Lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vúi s trõn trng v bit n H Ni, thng 12 nm 2015 V Th Hoi Phng Mc lc M u Ni d u n g Chng Kin thc chun b 1.1 Cỏc kớ hiu 1.2 o hm suy r n g 1.3 Khụng gian Sobolev 1.4 Mt s bt ng thc c b n 10 1.4.1 Bt ng thc Cauchy vi Ê 10 1.4.2 Bt ng thc Cauchy- Schwarz 10 1.4.3 Bt ng thc Gronwall - Belman m rng 11 Chng Bi toỏn Cauchy-Neumann i vi phng trỡnh hyperbolc cp hai tr vri ỏy khụng tr o n 14 2.1 t bi toỏn 14 2.2 Tớnh nht ca nghim suy rng 16 2.2.1 Bt ng thc nng lng 16 2.2.2 nh lý nht nghim 18 2.3 S tn ti ca nghim suy rng 25 2.4 Vớ d 35 Kt lu n 38 Ti liu tham kho 39 M u L ý chn ti Phng trỡnh o hm riờng l mt b phn quan trng ca toỏn hc, nú c nghiờn cu ln u tiờn vo gia th k 18 cỏc cụng trỡnh ca cỏc nh toỏn hc nh Euler, Dalembert, Lagrange v Laplace nh l mt cụng c quan trng mụ t cỏc mụ hỡnh ca vt lý v c hc Cỏc bi toỏn biờn i vúi phng trỡnh v h phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh cỏc trn ó c nghiờn cu gn nh hon thin vo gia th k XX Tuy nhiờn cỏc kt qu ny ch dng li l cỏc bi toỏn c xột cỏc vi biờn trn Mt t cn nghiờn cu cỏc bi toỏn cỏc khụng trn, tc l biờn ca cha im kỡ d Cỏc phng phỏp nghiờn cu truyn thng nh phộp bin i Fourier hoc Laplace a bi toỏn khụng dng v bi toỏn dng ch thu c kt qu i vi phng trỡnh v h phng trỡnh cú cỏc h s khụng ph thuc vo bin thi gian Khi ú mt c bn cn gii quyt: nghiờn cu c bi toỏn vi h s ca phng trỡnh ph thuc vo c bin thi gian khụng nhng cho vi bin khụng n m cho c vi bin trn Cỏc ny n ang tip tc c nghiờn cu Vi mong mun c hiu sõu hn v cỏc bi toỏn khụng trn, nh s giỳp ca GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng tụi chn nghiờn cu ti: BI TON CAUCHY- NEUMANN I VI PHNG TRèNH HYPERBOLIC CP HAI TRONG TR VI Y KHễNG TRN thc hin lun tt nghip ca mỡnh M c ớch nghiờn cu Mc ớch nghiờn cu ca lun l tỡm hiu v tớnh gii c ca bi toỏn Cauchy-Neumann i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai tr vi ỏy khụng trn, ú l cỏc nh lý tn ti v nht nghim ca bi toỏn trờn tr vi ỏy khụng trn Nhim y nghiờn cu Nghiờn cu cỏc kin thc c s ca khụng gian hm, khụng gian Sobolev, cỏc bt ng thc c bn, cỏc kin thc liờn quan T ú ỏp dng vo nghiờn cu tớnh gii c ca bi toỏn i tng v phm v nghiờn cu i tng nghiờn cu ca lun l nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy-Neumann i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai tr vúi ỏy khụng trn Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp c s dng ong lun l phng phỏp xp x Galerkin, phng phỏp ỏnh giỏ bt ng thc, phng phỏp khụng gian hm Sobolev úng gúp m i ca ti Cỏc kt qu ca lun gúp phn hon thin lớ thuyt mt cỏch h thng cỏc trng hp c bit ca nhng bi toỏn tng quỏt ó c gii ong khụng trn Ni dung Lun bao gm chng: Chng 1: Gii thiu mt s kin thc b tr Chng 2: Trỡnh by cỏch t bi toỏn Cauchy-Neumann i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai tr vi ỏy khụng trn, trỡnh by nghim suy rng, s tn ti v nht nghim suy rng ca bi toỏn Chng Kin thc chun b 1.1 Cỏc kớ hờu Mn l mt khụng gian Euclide n- chiu, x={x , x 2, , xn) E Mn Xột fỡ l mt b chn Mn , n > vi s = dớỡ l biờn ca nú v ớỡ = ớỡ u dớỡ Gi s < T < 00 Kớ hiu ớlT = l X (0,T) = {(x, t): X e n, t e (0, r)} l tr ]Rn+1 Mt xung quang ca nú l: ST = d, X ( 0,T ) = {(x,ty.x G dớỡ, t G ( 0,r)} Vỏi lớ l hm vộc t phc vúi cỏc thnh phn u 1,u2 un- Ta kớ hiu: q \p \ u = (ul f u 2, Un) v Dp = l o hm suy rng cõp p theo bin X = {x1 , xn ), u tk = dku /d tk l o hm suy rng cp k theo bin t õy p = (p1, ,pn) l kớ hiu a ch s vi Pi l cỏc s nguyờn khụng õm, \p\ =Pi + +pn C0 (fỡ) l khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn vi giỏ compact n Giỏ ca mt hm l bao úng ca hp tt c cỏc im m hm ú khỏc khụng v kớ hiu l supp Kớ hiu c k { fỡ } l hp tt c cỏc hm cú o hm liờn tc n cp k ong fỡ, < k < 00, c (fl) = c (ớl) v t k (ớl) = (ớl) n ck (fl), ú k l hp tt c cỏc hm liờn tc ớỡ v cú giỏ compact thuc n nh ngha khụng gian Lp (ớỡ): Cho fỡ l mt khụng gian Mn v cho < p )II2 l 2(ớ1) - 2C(/ Zl|Vớ (x' t)l|2 L2(n)dtj + 2C( / Z l|Vi(Xj0)l|2 L2(n)d tj (ớ = 2C | I > IIVi ( x ,t)||2 L2(n)d t ] + 2fcC||vi ,fc )||2 L2(n) I M *' i: 0*0 - 2fcc) > Oc.b) ||2 L2(n) < c | i=l i=l (x ,t)||2 L2(n)d t t: n /0 = ^ 1 ^ , II2 Lz(n) i=l Khi ú : 0*0 2>c)7() < 2C Q J(t)dt, Tc l: < Ci J*7(t)dt, Vớ> s (0, tt,/ 4C), õy c = const >0 ch ph thuc vo i, jUV /l0 Do ú theo bt ng thc Gronwall - Bellman ta suy / (Jjỡ) = V [0, jU0/ 4C] Vỡ vy u (x, Ê>) = vi mi b e [0, /z0/ 4C] Lp lun tng t nh trờn, ta chng minh c u (pc, b) = Vb E [iQ/ 2c, i/ c] Tng t , sau mt s bc hu hn ta thu c u (X, b) = vi b E [0, t] 24 Vỡ b tựy ý nờn ta cú Ui (x, t) = u (x, t ) nh lý c chng minh 2.3 S tn ta ca nghờm suy rụng o V o Mc ny dnh cho trỡnh by phỏt biu v chng minh s tn ti ca nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh Hyperbolic cp hai tr vi ỏy khụng trn S tn ti ca nghim suy rng c khng nh qua nh lý sau : nh lý 2.3.1 Gi s rng ( Q / e (0,T,L2m (il) sup (x,t)ớlT dj dt \a\ < i,j < n , n = const > Khi ú tn ti s Yo c nh cho vi mi > Yo bi toỏn (2.1)- (2.3) cú nghim suy rng u(pc, t) G w 11(e-yt, fớr ) tha món: IN |wi,i(e-ytnr) < C ||/||L00(0,r,L2(n)) ú c const > khụng ph thuc vo h,u,f Chng minh Ta chng minh s tn ti nghim suy rng bng cỏch s dng phng phỏp xp x Galerkin Gi s { ; II L z ( n ) T ú suy ||uw(.,0 )||2^ 1(ớ) = ,yB(uN, u N) (0) = Vỡ atj = ếJ[, ly tớch phõn tng phõn inh phn th nht ca ng thc (2.14) ta c : B(uN, un X t ) + 2Re (auN,u?)aT - 2Re\\u ( , t ) ||2l ( + ((.atjOtUxj^xi)IT i,j= = 2R e{f,v)aT DoAollu^C.OH = 2Re{0u ? , u N)nr ,A0 c xỏc inh t (2.6), tasuy L2(nJ : | K ( , t ) | | 2è2(ớ0 - B(uN, " + 0\\uN (.,T)\\2L2W = ^ {(atj\u*.,u".)ĩT + 2Re{auN,*)- 2Re(0u " , u N)ợif i,j = - R e , u ? ) aT (2.15) S dng B 2.2.1, t (2.15) ta nhn c bt ng thc: |K (.,T )| | 2è2(ớl70 +/*olluJVC,'OH2wl(n) < ^ {{aij)tuxj>uxaT + 2ặe {auN, U ) T 2Re(0u",UN)nT (2.16) -2 R e (f,u ? K S dng gi thit (ii) v bt ng thc Cauchy, ta thu c bt ng thc sau 27 2\\u*(.,T-)\\2L^ + H 0\\uN(.,T)\\2wrw < w ^ ô ,".) + n (uN, UN ) i,j= ^ + s ỡ (uN t , UN )nT ' ' + Ê (/-< > n T < (f> u t )aT + / + p)2 V n + S J J I I K ( ,T ) ||2tớ(nrt + ^ V O + ^ ; (ju + 0) + n.s ^ (2.17) ^ W1(H) t n/ớ Qi + O (s) = , Ê > i_ n V xột Ê0 = max {0, fQ (n2f2/ èi + 0) }, ú = (e) > S(eq) > v : n 2fi2 (ò + Ao)2 + n.8 + )2 rijU = i - Ê T* Ê Vi mi Ê> Ê0 Do ú, t (2.17) ta cú : | K ( , t )||2,L2(nr) + Oo v#* - Ê)||u4,T)||2wlrm -711- V i- ^i(n) oo ta s thu c ng nht thc tớch phõn ỳng V}6 MN, r N MN = ' ^ d l(f) ,3wE(%, t) C(2T) ) cho: IIv(*, t) - we(x, Ollwi.i(e-yt^T) < I Khai trin Fourier hm wÊ(x, t) ieo h {ijk (*)}=1 ta cú: N wÊ(x, t) = ^ ck (t))kO) , t e [0, r] fc=1 ú ck(t) = e [0,r] Vi mi t G [0, r ] ta cú: N w, 0 1 ^ ,, = k=1 v 32 N , n -ằ oo w, , t) - ^ C k( t ) ^ kO ) k=l w^Cò) t: N sn(x,t) = ^ ck(t)ifjk(x) k=1 GnW = \\wE(x, t) Sn(x, t)\\w i(n) => Gn (t) > 0, 71 -> 00 Ta cú: s n (pc, t) e M*v |Gn(t)|2 = \\we(pc, t) - sn(x, )||^ 1() < 2(|| wÊ(x, t)ll^i(ò) + ll^nGr, |& ()) < 4||wÊ( ^ t ) | | ^ i (ò) Vỡ wÊ(x, t) G " (/2) => IlwÊ(x, t) II l hm bỡnh phng kh tớch trờn [0,T] Do Gn (t) -> 0, n -ằ co, |Gn (t)| < 2||wÊ0 , ||^ (), \\we(x, t) ||W1 (/) l hm bỡnh phng kh tớch, nờn theo nh lớ Lebesgue v s hi t b chn: lim [ n-> 00 J Q Gn(t)d t = (2.19) lim Gn (t)dt J Q n-> 00 Mt khỏc ta cú: dCk (t) _ rdwe(x,t) 33 dwE(pc, t) dt dsn dt w1() dwÊ(x, t) dt Wg{x, t ) , ), dt fc = x , w^Cò) 71 * 00 rTacn rT acn dt = I lim dt = 71 XX3 J0 dt J0 n->00 dt lim I T õy v t (2.19) suy ra: l|wÊ0 , t ) - s n (% ,t)||^i,i(e-yt) - > , -> Suy tn ti N ln cho: Ê ||we(x, t) - s n(x, t) ||wi,i(e-yt) < , V n > N Vy: ||v (* ,t) - s n(*,011^1,1^-1*^ < Vi ln v 5n (x, t) M* Tc l M* trự mt khụng gian W 1'1(e~t, T) Ta cú ng thc tớch phõn ỳng vi mi hm th thuc trự mt khụng gian W (e~Yt, èT) nờn nú cng ỳng cho mi hm th thuc W1,1(e-yt,/37.) Tc l ta s nhn c: 71 - tJ1^-2fJ w **+2f ** +è 34 =è Hay 71 ^ {Q-iHx!Vxỡ^ớỡT "Iij=1 1" ^Vt^ớT ( f tV^ớỡT Do ú u l nghim suy rng ca bi toỏn (2.1)-(2.3) khụng gian ỡ/1,1 (e~Yt, èT) hn na: nh lý c chng minh 2.4 Vớ d Gi s ớỡ l b chn IRn, T = ớỡ X (0, r ) ,S T = dớỡ X (0, r ) Xột bi toỏn: u - u tt = f , (pc, t) G èT Z 9*u a2x t' Au i = (2.20) a,i 11 , i = j to, i * j ' vi iu kin ban u l: u(x, 0) = u t (pc, 0) = 0, X E ớỡ, (2.21) vi iu kin biờn Neumann l: du _ _ du ^ j \ S T = =2_i j - c o s ( v , x i), i = õy V l vector phỏp tuyn ngoi i vi mt xung quanh ST 35 , (2.22) Hm u(x, t) c gi l nghim suy rng ca bi toỏn (2.20)-(2.22) khụng gian vv1,1(e-yt, ớlj ) nu v ch nu u(x, t ) vv1'1(e_yt, ớỡ-p), u(x, 0) = v tha ng nht thc tớch phõn : n (2.23) Vi mi hm th ](x, i) E w 1,1(^e Yt, n TXv(.x >0 = vi t Ê ( r j ) , < T< T Nghim u(x, t) nh th s tha phng trỡnh (2.20), iu kin ban u (2.21), iu kin biờn (2.22) ong ng nht thc tớch phõn (2.23) v iu kin u ( x , t ) e W 1-1(e~Yt,T) Tht vy, nu u(x, t) l nghim ca bi toỏn thỡ t phng trỡnh (2.20) ta cú: p dng cụng thc tớch phõn tng phn i vi thnh phn th nht ca v trỏi, ta c : UttV = Suy r a : 36 frj dxdt n n -'Yj&xi.Vxihr+ ^ ^ V C o s ( v , X i ) d s - u fj\l~ i=i 5- t=i a T ur]t dt)dx dxdt = n n - ( u Xi, X iK + i= i ^^cosớy.Xi) ds + (u X t - uf\Tdx St- i = i n = < /^ > n r T õy ta thy cỏc iu kin (2.21), (2.22) v iu kin |6 W 1'1(e~Yt, fớT),r](x, ) = nờn d dng suy ng nht thc (2.23) p dng cho cỏc kt qu trờn ta cú cỏc kt lun sau: Tnh nht nghim: Cỏc h s ca phng trỡnh tha iu kin (2.4) v Khi ú bi toỏn (2.20)-(2.22) nht mt nghim suy rng 1(_ , ) vi > S ton ti nghim: Khi ú tn ti s 0c nh cho vi mi > bi toỏn (2.20)-(2.22) cú nghim suy rng u(x, t ) W 1'1( e~Yt, 1T) tha món: \\U\\w11(e~Yt,nT') ^,|l/llL00(o,T,L2Cò)), Trong ú = const > khụng ph thuc vo h, u, f 37 Kt luõn Ni dung chớnh ca lun l trỡnh by v tớnh gii c ca bi toỏn CauchyNeumann i vi phng trỡnh Hyperbolic cp hai tr vi ỏy khụng n Nhng kt qu chớnh tụi ó trỡnh by õy l : nh ngha nghim suy rng ca bi toỏn Chng minh s tn ti ca nghim suy rng Chng minh v tớnh nht ca nghim suy rng Mt s m cú th phỏt trin tip : Nghiờn cu tớnh trn ca bin thũi gian v khụng gian theo nghim suy rng Nghiờn cu v dỏng iu ca nghim suy rng ca bi toỏn c xột lun Do kh nng v thi gian nghiờn cu cú hn nờn lun cú th cha y v khú ỏnh sai sút Tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n! 38 [...]... v t [to>70 to 13 Chng 2 Bi toỏn Cauch - Neumann i vi phng trỡnh heyperpoic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Trong chng ny lun vn trỡnh by v s tn ti v duy nht nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy - Neumann i vi phng trỡnh heyperpolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn, ta nhn c kt qu v tớnh gii c ca bi toỏn trong tr vi ỏy khụng trn 2.1 t bi toỏn Gi s fớ l mt min b chn trong Mn, n > 2, vi biờn fỡ khụng n Gi s... t,d) = 2 , a ij (x >0 cos(%Ê, v) Xy ij= 1 õy V l vector phỏp tuyn ngoi ca mt ST Xột trong min tr fỡT phng trỡnh: L(x, t, d)u u tt = f(pc, t) ờn fỡr (2.1) Vi iu kin ban u : (2 2) w|t=o=^t lt=o=Otrờnn V iu kin biờn: N O ,t,d )u |Sr = 0 (2.3) Bi toỏn trờn c gi l bi toỏn Cauchy Neumann i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Bi toỏn ta ang xột l Hypebolic mnh, tc l vi { 6 Mn \ {0} v... bi toỏn Cauchy - Nemann i vi phng trỡnh Hypepolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Tớnh duy nht ca nghim suy rng c khng nh qua hai nh lý sau : nh lý 2.2.2 Gi s rng h s ca toỏn t L(x,t,d) tha món iu kin (2.4) v : sup (3e,t)eớlr dj dt \a\ < .) 1 < i,j < n,i = const > 0 Khi ú bi toỏn (2.1) (2.3) cú khụng quỏ mt nghim suy rng trong l/K11(e_yt, n T) V > 0 Chng minh Gi s bi toỏn (2.1) - (2.3) cú hai nghim... rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh Hyperbolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn S tn ti ca nghim suy rng c khng nh qua nh lý sau : nh lý 2.3.1 Gi s rng ( Q / e (0,T,L2m (il) sup (x,t)ớlT dj dt \a\ < i,j < n , n = const > 0 Khi ú tn ti s Yo c nh sao cho vi mi > Yo bi toỏn (2.1)- (2.3) cú nghim suy rng u(pc, t) G w 11(e-yt, fớr ) tha món: IN |wi,i(e-ytnr) < C ||/||L00(0,r,L2(n)) trong ú c const... min trong khụng gian Mn Ta nh ngha w l (fỡ) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm u(x) 6 L2(fỡ), x E è vi chun: 8 INIwl{a) = ( / \D>u\2dx Vlplsi t Khụng gian W1 (fỡ) nh ngha 1.3.2 Gi s fớ l mt min trong khụng gian Mn Ta nh ngha w 1 (fỡ) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm u(x) e L2(fi), x G ớl vi chun: IM L hỡ = ( ) I \Dpu\2dx \w1(n') IDpu Vlplsi n Khụng gian W1(fỡ) nh ngha 1.3.3, Gi s n l mt min trong. .. , t))n ớj Trong b sau ta s xột bt ng thc nng lng Bt ng thc ny l mt trong cỏc c s quan trng trong cỏc chng minh cỏc phn sau B 2.2.1 Gi s iu kin (2.4) tha món Khi ú tn ti 2 hng s Ho >0, o >0 sao cho vi mi hm c nh = u(x,t) 6 w 1,1(e~yt, n T )ta cú bt ng thc sau : -B(u,ự))>i\\u\\2wớm -^11\2() Chng minh T iu kin (2.4) v t bt ng thc Cauchy ta cú : n n i2(n) ^i=j=l i=1 B(u,ự)(t') (aijUXj >^X)o 1 v) i vi u, V e (//) ta cú bt ng thc Cauchy- Schwwarz:... nhn c (e t 00( ) Ta cú h thc: ô c * ) ^ c * ) d r = ô ( * ) D ằ ,c * ) d r ớl! n = ( - 1)M [ ô = ( - 1)'-' / n / T ú ta nhn c u(x) cú o hm suy rng trong min ớl' cng chớnh l hm v(x) o hm suy rng trong min ớỡ' c gi l thu hp ca o hm suy rng trong ớỡ vo ' òa+òv = Da { p òv),aD av1 + bDav 2 = + bv2), ú a, b l cỏc hng s tựy ý T nh ngha ca o hm suy rng thy ngay c o hm suy rng khụng ph thuc vo th... 1(0,T),dl ( r ) = 0 ^=l Ta chng minh tp: 00 - N =1 trự mt trong IV1'1 (e~tJ/2T) 31 1N Tht vy, bng phng phỏp trc giao húa Gramm-Schmith, t {(pk (X) } =1 ta cú tỡi xõy dng mt h trc chun {)k 00 }=! trong 'Wỡ (12) m bao tuyn tớnh l W1 (/2) t: ( N M* = ' ^ d , ( W l(x')-,dl (t) W 1(0,T)-, d (T) = 0 W=1 m N M = u M'n N =1 Vic chng minh M trự mt trong IV1'1 (e-yt, èT) tng ng vi vic chng minh M* trự mt... , X E (1,1) D kim a c hm u(x) cú o hm suy rng trong khong (1,1) Tuy nhiờn, hm ny khụng cú o hm thụng thng ti im cú X = 0 Tht vy, Gi s v(pc) l o hm suy rng ca u(x) = I X I , X e (1,1) Khi ú ta cú: X I (p'(pc)dx = T=