Bài toán cauchy neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ MINH THỦY BÀI TOÁN CAUCHY-NEUMANN Đối VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Hà Nội, 2015 NGUYỄN THỊ MINH THỦY BÀI TOÁN CAUCHY-NEUMANN Đối VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng , người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Nguyễn Thị Minh Thủy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Nguyễn Thị Minh Thủy Mục lục Mở đầu Nội dung Kiến thức chuẩn bị Chương 1.1 Các kí hiệu 4 1.2 Đạo hàm suy rộng 1.3 Không gian Sobolev 1.4 Một số bất đẳng thức 10 1.4.1 Bất đẳng thức Cauchy với £ 10 1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 11 1.4.3 Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng 11 Bài toán Cauchy-Neumann phương trình Chương parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn 2.1 Đặt toán 2.2 Tính nghiệm suy rộng 2 Bất đẳng thức lượng Định lý nghiệm 2 Sự tồn nghiệm suy rộng Ví dụ 2.3 Kết luận 2.4 Tài liệu tham khảo 14 14 16 16 18 24 33 36 37 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng phận quan trọng toán học, nghiên cứu lần vào kỷ 18 công trình nhà toán học Euler, Dalembert, Lagrange Laplace, công cụ quan trọng để mô tả mô hình vật lý học Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thường chia thành loại: phương trình loại elliptic, phương trình loại parabolic, phương trình loại hyperbolic Các toán biên phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính dạng elliptic, parabolic, hay hyperbolic miền có biên trơn nghiên cứu đạt kết tương đối hoàn chỉnh Lý thuyết toán biên miền không trơn lĩnh vực quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại, nghiên cứu phát triển cách hệ thống từ năm 60 kỷ 20 Các toán biên phương trình, hệ phương trình không dừng miền có biên không trơn nghiên cứu nhiều công trình với loại phương trình khác nhau, loại miền không trơn khác cách tiếp cận khác Trong công trình nhận kết tồn nghiệm suy rộng kết tính trơn biểu diễn tiệm cận nghiệm Với mong muốn hiểu sâu toán miền không trơn, nhờ giúp đỡ GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng chọn nghiên cứu đề tài Bài toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu tính giải toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn, định lý tồn nghiệm toán trụ với đáy không trơn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức sở không gian hàm, không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, kiến thức liên quan Từ áp dụng vào nghiên cứu tính giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiệm suy rộng toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm Sobolev Đóng góp đề tài Các kết luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết cách hệ thống trường hợp đặc biệt toán tổng quát giải miền không trơn Nội dung Luận văn bao gồm chương: Chương : Giới thiệu số kiến thức bổ trợ Chương 2: Trình bày cách đặt toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, tồn nghiệm suy rộng toán Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu M" không gian Euclide n— chiều, X = (xi,x , ■■■,x n ) G M" Xét íì miền bị chặn M", n > với díì biên íì = íì u dũ Giả sử < T < 00 Kí hiệu: Qrp = Í7 X (0, X1) = : X G Í7, t G (OỊT1)} trụ Mn+1 Mặt xung quanh là: S T = d í ì X (0, T ) = { { x , t ) : X e d í ì , t G (0, T)} Với u hàm véc tơ phức với thành phần Uị , U 2, u n Ta kí hiệu: u = (Ui,u , u n) D p = p f P Ì Vn đạo hàm suy rộng cấp p theo biến o X ^ • • • o X Tị X = (si, x n ) , Uịk = d k u / d t k đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t , p = (pi, ,p n) kí hiệu đa số với Pi số nguyên không âm, \p\ = p + +p n c%° (fi) không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact n Giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác không kí hiệu supp Kí hiệu ơfc(íì) tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k miền £}, < k < 00, ơ° (íĩ) = c (íĩ), c k (íĩ) = c (íĩ) n c k (íĩ), c k tập hợp tất hàm liên tục íì có giá compact thuộc íì Lp (íì): Cho íì miền không gian M" cho < p < 00 Khi Lp (íì) không gian bao gồm tất hàm u (a;) khả tổng cấp p theo Lebesgue íì với chuẩn: L (íì) không gian hàm khả tổng bình phương íì với chuẩn: \Mỉ2 (íì) = J \u{x)\ dx n L >2 (íír) không gian hàm khả tổng bình phương ÍÌ T với chuẩn : IMIỈa(nr) = J \u{x,t)\ dxdt n 'Ị' Một hàm số / đo Mn gọi bị chặn tồn số k cho I/ (s)| < k hầu khắp nơi Mn Cận lớn số k gọi essential supremun \ f\ Mn Kí hiệu esssup I/ (s)| XẼĨ" LQO (ÍÌ) không gian bao gồm tất hàm u (s) đo theo Lebesgue bị chặn hầu khắp nơi với chuẩn : IMIL^U) = esssuP \ u (z)l ■ xen Cho X không gian Banach với chuẩn II-11^- Kí hiệu Lao (0,T]X) không gian bao gồm tất hàm u (., t) nhận giá trị không gian X, xác định (0,T) cho T-X) = esssu P IMIx < °°- ’ ’ [...]... 0, Vớ e [ t o , T ) to Chng 2 Bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Trong chng ny lun vn trỡnh by v s tn ti v duy nht nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn, ta nhn c kt qu v tớnh gii c ca bi toỏn trong tr vi ỏy khụng trn 2.1 t bi toỏn Gi s ớỡ l mt min b chn trong > 2 vi biờn dớỡ khụng trn Gi s 0... suy rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Tớnh duy nht ca nghim suy rng c khng nh qua nh lớ sau: nh lý 2.2.2 Gi s rng h s ca toỏn t L ( x , t , d ) tho mn iu kin (2.4) v: sup (ặ,ẻ) Khi ú bi toỏn (2.2) (2.4) cú khụng quỏ mt nghim suy rng trong w l , ỡ (e-7i, r) vi 7 > 0 Chng minh Gi s bi toỏn (2.1) (2.3) cú hai nghim suy rng U \ v U 2 trong w 11 (e_7ớ,... toỏn trờn c gi l bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Bi toỏn ta ang xột l Parabolic mnh, tc l vi ( G r\ {0} v (x, t) Ê èQO, tn ti Ă = const > 0, ta luụn cú bt ng thc sau: n a > Arỡ KI2 M ớ , i =1 (2-4) nh ngha nghim suy rng: Cho / Ê L 2 (è) Khi ú hm u(x,t ) c gi l nghim suy rng ca bi toỏn (2.1) (2.3) trong khụng gian w 1,1 (e_7ớ, è T ) nu u (X , t ) Ê w... Vè b tu ý nờn ta cú Ui (X , t ) = u 2 (X , t ) nh lý c chng minh 2.3.S tn ti ca nghim suy rng Mc ny dnh cho trỡnh by vic phỏt biu v chng minh s tn ti ca nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn S tn ti ca nghim suy rng c khng nh qua nh lớ sau: nh lý 2.3.1 G i s r n g ( i ) f e L ( 0, T , L 2( è ) ) ( i i ) sup ^ ] \ a \ \ < 1 ] 1 < i ,... n ằ,j = l Trong b sau ta s xột bt ng thc nng lng Bt ng thc ny l mt trong cỏc c s quan trng trong cỏc chng minh cỏc phn sau B 2.2.1 G i s i u k i n (2.4) t h o m n K h i ú t n t i 2 h n g s i Q > 0, Ao > 0 s a o c h o v i m i h m U = u ( x , t ) G W 1 ' 1 (e_7i, ớỡr) t a cú bt ng thc sau: B (u,u) (t ) > Ho IMIwqn) Ao |Mli2(n) Chng minh T iu kin (2.4) v t bt ng thc Cauchy ta cú:... cú o hm suy rng trong min tỡ l hm v(x ) v tp (a;) l mt hm bt kỡ 0 thuc c (T), T l min con ca tỡ Khi coi tp (a;) = 0 vi X Ê tỡ\tỡ' ta nhn c ip Ê c (T) Ta cú h thc: / u ( x ) v < p [ % ) d x = u ( x ) D i p ( x ) d x 0' n (-ir v(X)ớp(X)dX=(-ir v(X)v(X)dX n 0' T ú ta nhn c u(x) cú o hm suy rng trong min tỡ' cng chớnh l hm v(x) o hm suy rng trong min tỡ' c gi l thu hp ca o hm suy rng trong tỡ vo tỡ'... mt min trong khụng gian M n Ta nh ngha w l (ớỡ) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm u (s) e L 2 (ớỡ) ,x Ê tỡ tớ \Dpu\2 dx p|< Khụng gian w1 (ớỡ) nh ngha 1.3.2 Gi s ớỡ l mt min trong khụng gian M" Ta nh ngha W 1 (ớỡ) l khụng gian bao gm tt c cỏc hm u (a;) G L 2 (ớỡ), 0 X G ớỡ vi chun : Khụng gian W 1 (ớỡ) nh ngha 1.3.3 Gi s ớỡ l mt min trong khụng gian M" Ta nh 0 o 1 ngha W (ớỡ) l bao úng ca c trong chun... hm u(x) cú o hm suy rng trong khong ( 1,1) Tht vy, Gi s v(x) l o hm suy rng ca u(x) = \x\ ,x Ê (1,1) Khi ú ta cú: Tuy nhiờn, hm ny khụng cú o hm thụng thng ti im X = 0 Mt hm cú o hm suy rng -1 J V ( x ) i p (ổ) d x , Ê c (1,1) -1 1 = J signx.tp (x) dx -1 Vy V (ổ) = s i g n x l o hm suy rng ca u ( x ) = \ x \ , x Ê ( 1,1) cp p trong min ớỡ thỡ nú cng cú o hm suy rng cp p trong min T c ớỡ Tht vy,... T)} l tr trong Mn+1 Mt xung quanh ca nú l S T = d X (0, T ) = { { x , t ) : X e d ớ ỡ , t Ê (0, T ) } Xột toỏn t vi phõn cp 2 õy j = j (X, t ) l hm phc kh vi vụ hn trờn j = óji (,j = 1,n) v a = a (X, t ) l hm thc kh vi vụ hn trờn è T - Hn na gi s rng Cbj (i,j = 1,n) l liờn tc u vi X Ê Ê} theo bin t G (0, T) Kớ hiu N {x, t, d) = ^2 O {x, t ) cos (X, v) Bi toỏn trờn c gi l bi toỏn Cauchy- Neumann i... 7 Nhõn c hai v ca bt ng thc trờn vi e~ 2 j T , ri ly tớch phõn 2 v theo \\ uN 2 f T) 0 ch ph thuc vo H o, i v 7 Vỡ {U N } b chn trong khụng gian IV1 1 (e_7i, è T ) nờn ta trớch ra mt dóy con ca dóy {U N (X, t)} hi t yu ti u (X, t ) G IV1 , 1 (e_7i, ớỡr)Ta s chng minh u (X, t ) l nghim suy rng ca bi toỏn (2.1)- (2.3) Do {U N (X, t)} hi t yu trong IV1