Về một bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính trong không gian một chiều

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ .4 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.2 Phương pháp chỉnh hóa 1.3 Bất đẳng thức Gronwall 11 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính khơng gian chiều 13 2.1 Phương trình parabolic tuyến tính khơng gian chiều 13 2.2 Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính khơng gian chiều 21 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 LỜI NÓI ĐẦU Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic thuộc lĩnh vực tốn ngược Nó mơ hình tốn học tốn xác định nguồn gây nhiễm khơng khí hay mơi trường nước để từ người điều khiển nguồn gây nhiễm bảo vệ mơi trường sống Do tính ứng dụng thực tiễn cao nên toán nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Cannon, Ewing, Yamamoto, Hasanov, Pektas, Chu-Li Fu, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Như biết, mơ hình toán học toán ngược tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm tốn khơng phải tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện toán Điều làm cho tốn đặt khơng chỉnh khó giải nhiều so với tốn đặt chỉnh Thơng thường, nhà tốn học phải đề xuất phương pháp chỉnh hóa để giải tốn đặt khơng chỉnh Để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu việc giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược, sở báo [9] tài liệu tham khảo [1, 2, 4, 10], lựa chọn đề tài cho Luận văn : "Về tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính khơng gian chiều" Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu tốn xác định nguồn không gian chiều sở tham khảo báo [9] Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, phương pháp chỉnh hóa số ví dụ minh họa Sau chúng tơi trình bày bất đẳng thức Gronwall để làm sở cho việc trình bày chương Chương 2: Trong chương này, chúng tơi trình bày phương trình parabolic tuyến tính khơng gian chiều Sau chúng tơi trình bày tốn xác định nguồn dựa báo [9] Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán học cảm ơn thầy, giáo mơn Giải tích, khoa Sư Phạm Tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 22 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày Chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1, 2, 4] 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Xét ánh xạ d : X×X → R thỏa mãn tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi mêtric X không gian (X, d) lập thành không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y A ánh xạ đơn ánh từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X gọi nghiệm phương trình A(x) = f A(x0 ) = f Đặt R(A) = {y ∈ Y : tồn x ∈ X thỏa mãn A(x) = y} Khi tồn ánh xạ R : R(A) −→ X xác định công thức R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi việc tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f dựa vào kiện ban đầu f ∈ Y thường xem xét dạng phương trình x = R(f ) 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian mêtric Bài tốn tìm nghiệm x = R(f ) phương trình A(x) = f gọi ổn định cặp không gian (X, Y ) (hay gọi liên tục theo kiện toán) ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε 1.1.4 Định nghĩa Bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi toán đặt chỉnh cặp không gian metric (X, Y ) i) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X; ii) nghiệm x nhất; iii) Bài tốn ổn định cặp khơng gian (X, Y ) Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn tốn tìm nghiệm gọi tốn đặt khơng chỉnh Đơi người ta gọi tốn đặt khơng quy tốn thiết lập khơng đắn 1.1.5 Ví dụ 1) Xét tốn Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y u(x, 0) = f (x), ∂u ∂y = ϕ(x), −∞ < x < ∞, y=0 f (x) ϕ(x) hàm cho trước Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ ϕ(x) = ϕ1 (x) = a sin(ax), nghiệm tốn u1 (x, y) = sin(ax)sh(ay), a2 a > Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0, nghiệm tốn u2 (x, y) ≡ Với khoảng cách hàm cho trước nghiệm xét độ đo đều, ta có dC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = x dC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = a x Với a lớn khoảng cách hai hàm ϕ1 ϕ2 lại nhỏ Trong đó, khoảng cách nghiệm dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup | x,y x,y 1 sin(ax)sh(ay)| = sh(ay) a2 a2 Với y > cố định lại lớn Chính vậy, tốn khơng ổn định 2) Xét phương trình parabolic ngược thời gian ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ε (1.1) với toán tử dương, tự liên hợp, khơng bị chặn A có sở gồm vectơ riêng trực chuẩn {φi }i không gian Hilbert H với chuẩn · , tương ứng với giá trị riêng {λi }i < λ1 λ2 ., cho lim λi = +∞ i→+∞ ε > cho Ta thấy (t) = −λn (t−T ) φn , λn e t T nghiệm phương trình vt + Av = 0, v(T ) = λ1n φn v(t) = 0, t < t < T, T nghiệm phương trình vt + Av = 0, v(T ) = Rõ ràng (T ) − v(T ) = λn φn < t < T, = λn φn = λn → n → +∞ với t ∈ [0, T ) ta có (t) − v(t) = −λn (t−T ) λn (T −t) e φn = e → +∞ n → +∞ λn λn Điều chứng tỏ lời giải tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện thời điểm cuối t = T 3) Xét chuỗi Fourier ∞ f1 (t) = an cos(nt), n=0 với hệ số (a0 , a1 , , an , ) ∈ l2 cho xấp xỉ cn = an + nε , n ≥ c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng ∞ f2 (t) = cn cos(nt), n=0 có hệ số (c0 , c1 , , cn , ) ∈ l2 Và khoảng cách chúng ∞ (cn − an )2 ε1 = ∞ =ε n=0 n=1 n2 =ε π2 Do khoảng cách hai hệ số làm nhỏ ε lấy nhỏ tùy ý Trong đó, ∞ f2 (t) − f1 (t) = ε n=1 cos(nt) n làm cho lớn Ví dụ t = chuỗi phân kỳ Điều nói lên khoảng cách hai hàm f1 f2 xét khơng gian hàm với độ đo tốn tính tổng chuỗi Fourier khơng ổn định hệ số chuỗi có thay đổi nhỏ Tuy nhiên xét không gian L2 [0, π],  π 1  π 1 ∞  2  2 [f2 (t) − f1 (t)]2 dt = | (cn − an ) cos(nt)|2 dt     n=0 ∞ = n=0 = ε1 π (cn − an )2 π 2 Như vậy,bài toán lại ổn định, tức liệu ban đầu an cho xấp xỉ cn với sai số nhỏ, chuỗi Fourier tương ứng sai khác không nhiều L2 [0, π] 1.2 Phương pháp chỉnh hóa 1.2.1 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0 , với A toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y , nằm tập compact M X f0 ∈ Y Giả x0 nghiệm phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X gọi tốn tử hiệu chỉnh cho phương trình A(x) = f0 , i) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử R(f, α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với f ∈ Y : dY (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); ii) Tồn phụ thuộc α = α(f, δ) cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 : ∀f ∈ Y, dY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 , dX (xα , x0 ) ≤ ε, xα ∈ R(f, α(f, δ)) Trong định nghĩa trên, α chọn khơng phụ thuộc f ta gọi cách chọn tiên nghiệm Nếu α chọn phụ thuộc f δ ta gọi cách chọn hậu nghiệm 1.2.2 Nhận xét Trong định nghĩa khơng địi hỏi tính đơn trị tốn tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ , α) gọi nghiệm hiệu chỉnh phương trình A(x) = f0 , α = α(fδ , δ) = α(δ) gọi tham số hiệu chỉnh Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải phương trình A(x) = f0 gồm bước i) Tìm toán tử hiệu chỉnh R(f, α) ii) Xác định giá trị tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin tốn phần tử fδ sai số δ Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc gọi phương pháp hiệu chỉnh 1.2.3 Ví dụ 1) Tính giá trị z = df (t) dt mêtric C, f (t) cho xấp xỉ Đạo hàm z tính dựa vào tỷ sai phân R(f, α) = f (t + α) − f (t) α Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ fδ (t) = f (t) + g(t), |g(t)| ≤ δ với t, đó, R(fδ , α) = f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t) + α α Cho α → 0, f (t + α) − f (t) → z α Số hạng thứ hai đánh giá 2δ g(t + α) − g(t) ≤ α α Nếu chọn α cho α = δ , η(δ) với η(δ) → δ → 0, 2δ α = 2η(δ) → Vì vậy, với α = α1 (δ) = δ , η(δ) R(fδ , α1 (δ)) → z 2) Giả sử ϕk (t) hệ trực chuẩn đầy đủ có sup |ϕk (t)| ≤ C0 t∈[a,b] hệ số Fourier a = (a1 , a2 , ) hàm ∞ f (t) = ak ϕk (t) k=1 cho xấp xỉ c = (c1 , c2 , ) cho ∞ (ak − ck )2 ≤ δ k=1 10 Khi khơng thể coi ∞ f˜(t) = ck ϕk (t) k=1 xấp xỉ f (t) Để tìm giá trị xấp xỉ f điểm t0 , tức tìm f (t0 ), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với R(c, n) n = η(δ) δ2 , k=1 ck ϕk (t0 )(α = n1 ), n = n(δ) = [ η(δ) δ2 ] phần nguyên δ, η(δ) → 0, n(δ) → ∞ Thật vậy, n(δ) |f (t0 ) − n(δ) ck ϕk (t0 )| ≤ | k=1 ∞ (ak − ck )ϕk (t0 )| + | k=1 n(δ)+1 ∞ ∞ ak ϕk (t0 ) → 0, ak ϕk (t0 ) hội tụ nên phần dư Vì chuỗi ak ϕk (t0 )| k=1 k=n(δ)+1 n(δ) → ∞ Ngoài ra, n(δ) n(δ) (ak − ck )ϕk (t0 ) ≤ k=1 |ak − ck ||ϕk (t0 )| k=1 ≤   n(δ)  n(δ) |ak − ck |2 k=1 ≤ C0   |ϕk (t0 )|2 |ak − ck |2 n(δ)   k=1 n(δ) k=1 ≤ C0 n(δ)δ = C0 [ 1 2 1 2  η(δ) ]→0 δ2 δ → 1.2.4 Nhận xét Trường hợp α = δ, định nghĩa toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau: Tốn tử R(f, δ) tác động từ Y vào X gọi toán tử hiệu chỉnh, nếu: 16 Đầu tiên ta tìm nghiệm phương trình đơn giản Cụ thể, ta tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt ut = a2 uxx , < x < l, < t ≤ T, (2.6) u(x, 0) = ϕ(x), ≤ x ≤ l, (2.7) u(0, t) = u(l, t) = 0, ≤ t ≤ T (2.8) Ta tìm u(x, t) thỏa mãn (2.6)-(2.7) có dạng tách biến u(x, t) = X(x)T (t) (2.9) với X(x) hàm phụ thuộc vào x T (t) phụ thuộc vào t Thay (2.9) vào (2.6) sau chia hai vế cho a2 XT ta X 1T = = −λ a2 T X với λ số (vì T T phụ thuộc vào t (2.10) X X phụ thuộc vào x) Từ (2.10) ta có phương trình sau X + λX = 0, (2.11) T + a2 λT = (2.12) X(0) = X(l) = (2.13) Từ (2.6) ta có Vì X(x) thỏa mãn phương trình X + λX = 0, X(0) = X(l) = (2.14) Giải phương trình vi phân (2.14) ta tìm πn λ = λn = l , n = 1, 2, (2.15) hàm X(x) tương ứng X(x) = Xn (x) = sin πn x l (2.16) 17 Với giá trị λ = λn xác định theo công thức (2.15) ta tìm T (t) tương ứng có dạng T (t) = Tn (t) = cn e−a λn t (2.17) với cn) số xác định cụ thể sau Ta thấy công thức un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cn e−a λn t Xn (x) (2.18) nghiệm phương trình (2.6) thoả mãn điều kiện biên (2.28) Để thỏa mãn thêm điều kiện ban đầu (2.7), ta xét chuỗi hình thức ∞ cn e−( u(x, t) = πn 2 ) a t l sin( n=1 πn x) l (2.19) Nếu u(x, t) thoả mãn điều kiện đầu (2.7) ∞ ϕ(x) = u(x, 0) = cn sin( n=1 πn x) l (2.20) Vì vậy, cn hệ số Fourier cuả ϕ(x) xác định theo công thức l c n = ϕn = l ϕ(ξ) sin( πn ξ)dξ l (2.21) Chuỗi (2.19) xác định đầy đủ Chúng ta tìm điều kiện để đảm bảo chuỗi hội tụ lấy đạo hàm chuỗi (2.19) hai lần theo biến x lần theo biến t Chúng ta chứng minh chuỗi ∞ n=1 ∞ n=1 ∂un ∂t ∂ un ∂x2 18 với t ≥ t > (t cố định) hội tụ Cho ϕ hàm bị chặn M |ϕ(x)| < M Khi l |cn | = | || l ϕ(ξ) sin( πn ξ)dξ| < 2M l Ta có πn 2 πn 2 ∂un π π πn = −cn ( )2 a2 n2 e−( l ) a t sin( x) < |cn |( )2 a2 n2 e−( l ) a t ∂t l l l Do | πn 2 π ∂un | < 2M ( )2 a2 n2 e−( l ) a t , ∂t l π 2 −( πn )2 a2 t ∂ un < 2M ( ) n e l , ∂x2 l t ≥ t, t ≥ t Tổng quát ∂ k+1 u π 2k+1 2l+1 2k −( πn )2 a2 t < 2M ( ) n a e l , l ∂tk ∂xl t ≥ t Xét chuỗi hàm trội ∞ αn (2.22) n=1 với αn = Anq e−( πn 2 ) a t l (2.23) A số dương Chuỗi số dương (2.22) chuỗi hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert π αn+1 n + q e−( l ) a2 (n2 + 2n + 1)t lim = lim ( ) π 2 n→∞ αn n→∞ n e−( l ) a n t π 2 = lim (1 + )q e−( l ) a (2n+1)t = < n→∞ n 19 Vì vậy, chuỗi (2.19) với t ≥ t > khả vi vơ hạn Vì t tuỳ ý nên u(x, t) hoàn toàn xác định với t > thỏa mãn (2.6)–(2.28) Từ (2.19) ta có ∞ cn e−( u(x, t) = πn 2 ) a t l sin( n=1 l  ∞ = n=1  2 l ϕ(ξ) sin( πn 2 πn πn ξ)dξ  e−( l ) a t sin( x) l x l l = πn x)|| l ∞ e−( πn 2 ) a t l sin( n=1 πn πn x) sin( ξ) ϕ(ξ)dξ x l Ta thay đổi trật tự phép lấy tổng phép lấy tích phân với t > chuỗi ∞ e−( πn 2 ) a t l sin( n=1 πn πn x) sin( ξ) x l với t > hội tụ theo ξ Đặt G(x, ξ, t) = l ∞ e−( n=1 πn 2 ) a t l sin( πn πn x) sin( ξ) x l (2.24) Khi G(x, ξ, t) gọi hàm Green u(x, t) viết dạng l u(x, t) = G(x, ξ, t)ϕ(ξ)dξ (2.25) Bây ta xét phương trình truyền nhiệt khơng ut = a2 uxx + f (x, t), < x < l, 0 0, tồn i , i = 1, cho lim Ai = ∞, lim B i = họ số AiN BN N N N →∞ N →∞ số ν, < ν < cho f 2 (1) ≤ AN η v + BN , (2.56) (2) (2.57) z(·, t) 2 ≤ AN η v + BN , η= G [τ,T ] (2.58) (z, f ) nghiệm toán (2.46)–(2.49) Chứng minh Từ giả thiết độ trơn hàm f cho phép khai triển hàm dạng chuỗi ∞ f (x) = cn ψn (x), n=1 (2.59) 24 ψn hàm riêng chuẩn hóa tương ứng với giá trị riêng λn toán Sturm-Liouville (pψn ) − qψn + pλn ψn = 0, < x < 1, (2.60) ψn (0) = ψ(1) = 0, (2.61) cn = ρ(x)f (x)ψn (x)dx (2.62) hệ số Fourier hàm f Chúng ta ý λn số thực dương lập thành dãy số đơn điệu tăng thỏa mãn lim λn = ∞ n→∞ Kết đánh giá hàm f đạt từ việc đánh giá hệ số cn Bằng phương pháp tách biến ta đạt ∞ −1 (−1)cn [λ−1 n − λn exp −{λn t}]ψ(x) z(x, t) = (2.63) n=1 Từ Giả thiết ta suy tồn số dương K1 cho |cn | ≤ K1 λ−1 n (2.64) Theo [6] ta có đánh giá (ρ∗ )−1 (p∗ π n2 + q∗ ) ≤ λn ≤ (ρ∗ )−1 (p∗ π n2 + q ∗ ), −1 2 |ψn (x)| ≤ p∗ λn , ≤ x ≤ 1, (2.65) (2.66) −1 ∗ ∗ |ψn (x)| ≤ p∗−1 (p∗ λn ) + 2p−1 ∗ λ∗ (λn ρ + q ) (2.67) Do đó, chuỗi (2.63) hội tụ tuyệt đối và đạo hàm riêng hàm z(x, t) theo biến x đạt cách đạo hàm số hạng chuỗi Điều kéo theo ∂z F (t) ≡ p(0) (0, t) = ∂x ∞ cn λ−1 n p(0)ψn (0)[exp{−λn t} − 1] n=1 (2.68) 25 Từ (2.49) ta thấy |F (t)| ≤ η, ≤ τ ≤ t ≤ T, (2.69) η xác định theo công thức (2.58) Lấy ζ = t + iβ Rõ ràng, F (ζ) hàm giải tích miền phức Reζ ≥ Hơn nữa, tồn số dương K2 cho với số phức ζ thỏa mãn Reζ ≥ 0, ta có đánh giá |F (ζ)| ≤ K2 (2.70) Theo báo [7], ta khẳng định tồn số α = α(τ, T, τ ∗ ), < α < số dương K3 cho với ζ thỏa mãn 43 τ + 34 T |Imζ| ≤ 2τ ∗ , ta có đánh giá |F (ζ)| ≤ K3 η α (2.71) Từ công thức biểu diễn Cauchy-Riemann cho F (ζ) ta khẳng định tồn số K4 cho F τ +T + iβ ≤ K4 η α , |β| ≤ τ ∗ , (2.72) Từ (2.68) ta có F τ +T + iβ ∞ = an exp{−iλn β}, (2.73) n=1 với an = (−1)cn p(0)ψn (0) exp{−λn 2−1 (τ + T )} (2.74) |an | ≤ H(λn )K4 η α , (2.75) Suy với n−1 H(λn ) = cos k=1 π λk λn −1 ∞ cos k=n+1 π λk λn (2.76) 26 τ ∗ chọn cho lớn π τn = n + λn ∞ λ−1 k , n = 1, 2, (2.77) k=n+1 Chúng ta đánh giá hàm f qua cn sau đạt đánh giá cận giá trị tuyệt ψn (0) Để giải vấn đề này, xem xét nghiệm (X, ϕ)  X = ϕ, ≤ x ≤ 1,    ϕ = −p (x)p(x)−1 ϕ − (λn ρ − q)p−1 X, ≤ x ≤ 1, X(0) = 0,    ϕ(0) = (2.78) Rõ ràng  −12  ρ(x)[X(x)]2 dx ψn (0) =  (2.79) Do đó, đánh giá cận |ψn (0)| đạt từ việc đánh giá cận X Đặt w(x) = max( x [0,x] , ϕ [0,x] ) (2.80) Khi tồn số K5 cho x w(x) ≤ + K5 + w(ξ)dξ (2.81) Từ bổ đề Gronwall ta có w(x) ≤ exp{K5 } X [0,1] ≤ exp{K5 } (2.82) Từ (2.79) (2.82) suy |ψn (0)| ≥ ρ∗ exp{−K5 } (2.83) 27 Từ Giả thiết 2, (2.74), (2.75), (2.76) (2.83), ta đạt −1 α ∗2 |cn | ≤ p−1 ∗ ρ exp{2 (τ + T )λn + K5 }H(λn )K4 η (2.84) Từ (2.64) tính trực giao ψn , ta có ∞ c2n ρ(x)[f (x)] dx = (2.85) n=1 Điều kéo theo ∞ f 2 ρ−1 ∗ ≤ c2n (2.86) n=1 Với N > 0, ta có [N ] f 2 ≤ ρ−1 ∗ ∞ c2n n=1 + ρ−1 ∗ c2n (2.87) n=[N ]+1 Từ (2.64), (2.84) (2.87) ta có f 2 ≤ AN η 2α + BN , (2.88) AN BN họ số dương thỏa mãn lim AN = ∞ N →∞ lim BN = Từ (2.63), (2.85) Giả thiết ta khẳng định tồn N →∞ số dương K6 cho z(., t) Định lý chứng minh 2 ≤ K6 f ) 22 28 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh ví dụ minh họa Trình bày khái niệm phương pháp chỉnh hóa ví dụ minh họa Trình bày bất đẳng thức Gronwall Trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều 5.Trình bày tốn xác định nguồn khơng gian chiều sở tham khảo báo [9] 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] Baumeister J(1987), Stable solution of Inverse problems, Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig [3] Đinh Nho Hào (1996), Introduction to partial differential equation, Universitat - GH - Siegen Summer Semester [4] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer [5] Avner Friedman (1964), Partial differential equations of parabolic type, Prentice-hall, inc Englewood Cliffs, N J [6] J R Cannon (1964), "Error Estimates for Some Unstable Continuation Problems" J of SIAM, 12, 270–284 [7] J R Cannon (1964), "A Priori Estimate for Continuation of the Solution of the Heat Equation in the Space Variable" Ann Mat Pura Appl., Vol LXV, 377–388 [8] J R Cannon (1968), "Determination of an Unknown Heat Source from Overspecified Boundary Data" SIAM J Numer Anal , 5, 275– 286 [9] J R Cannon and Richard E Ewing (1976), "Determination of a Source Term in a Linear Parabolic Partial Differential Equation" Journal of Applied Mathematics and Physics, 27, 393–401 30 [10] L.C Evans (1998), Partial Differential Equations, American Math Society ... T ] Định lý chứng minh C2 + C1 teC1 t (1.7) 13 CHƯƠNG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN MỘT CHIỀU Chương nhằm mục đích trình bày phương trình parabolic. .. parabolic tuyến tính khơng gian chiều tốn xác định nguồn cho phương trình sở tham khảo tài liệu [5], [9] [10] 2.1 Phương trình parabolic tuyến tính khơng gian chiều Mục trình bày lý thuyết phương trình. .. giải tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược, sở báo [9] tài liệu tham khảo [1, 2, 4, 10], lựa chọn đề tài cho Luận văn : "Về tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính