Về một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG KHƠNG GIAN MỘT CHIỀU CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.2 Phương pháp chỉnh hóa Chương Về phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều 19 2.1 Phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều 19 2.2 Một phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều 22 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NÓI ĐẦU Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic mơ hình tốn học tốn thực tiễn, chẳng hạn tốn xác định nguồn gây nhiễm khơng khí hay mơi trường nước để từ người điều khiển nguồn gây ô nhiễm bảo vệ mơi trường sống Bài tốn nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Cannon, Ewing, Yamamoto, Hasanov, Pektas, Chu-Li Fu, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Bài toán kể thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm tốn khơng phải tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện toán Điều làm cho tốn đặt khơng chỉnh khó giải nhiều so với tốn đặt chỉnh Thơng thường, nhà tốn học phải đề xuất phương pháp chỉnh hóa để giải tốn đặt khơng chỉnh Tuy nhiên, kết phương pháp chỉnh hóa tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic cịn hạn chế Các kết chủ yếu đạt cho phương trình có cấu trúc đơn giản đánh giá sai số thường đạt không gian Hilbert Để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu việc giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, sở báo [7] tài liệu tham khảo [1, 3, 4, 5, 6, 8], lựa chọn đề tài cho Luận văn : "Về phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều" Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu phương trình truyền nhiệt không gian chiều phương pháp chỉnh hóa tốn xác định nguồn cho phương trình sở tham khảo tài liệu [4], [6], [7] [8] Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh số ví dụ minh họa Sau chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa ví dụ minh họa để làm sở cho việc trình bày chương Trong ví dụ phương pháp chỉnh hóa, chúng tơi trình bày phương pháp làm nhuyễn cho phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính ngược thời gian khơng gian Banach Kết viết thành báo đăng Tạp chí khoa học - Trường Đại học Vinh năm 2015 Chương 2: Trong chương này, chúng tơi trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều Sau chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt không gian chiều sở tham khảo báo [7] cuối đề xuất chứng minh kết Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán học cảm ơn thầy, cô giáo môn Giải tích, khoa Sư Phạm Tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 22 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An,tháng năm 2016 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương nhằm mục đích trình bày số kiến thức liên quan đến nội dung chương 2, chủ yếu tham khảo tài liệu [1, 3, 5] 1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Xét ánh xạ d : X ×X → R thỏa mãn tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , d(x, y) = ⇔ x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi mêtric X (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y A ánh xạ đơn ánh từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X gọi nghiệm phương trình A(x) = f A(x0 ) = f Đặt R(A) = {y ∈ Y : tồn x ∈ X thỏa mãn A(x) = y} Khi đó, tồn ánh xạ R : R(A) −→ X xác định công thức R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi việc tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f dựa vào kiện ban đầu f ∈ Y thường xem xét dạng phương trình x = R(f ) 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian mêtric Bài tốn tìm nghiệm x = R(f ) phương trình A(x) = f gọi ổn định cặp không gian (X, Y ) (hay gọi liên tục theo kiện toán) với f1 , f2 ∈ R(A) ε > 0, tồn δ(ε) > cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε 1.1.4 Định nghĩa Bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi tốn đặt chỉnh cặp khơng gian metric (X, Y ) i) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X ; ii) Nghiệm x nhất; iii) Bài tốn ổn định cặp khơng gian (X, Y ) Nếu ba điều kiện không thỏa mãn tốn tìm nghiệm gọi tốn đặt khơng chỉnh 1.1.5 Ví dụ Xét phương trình tích phân Fredholm loại I b K(t, s)ϕ(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], a nghiệm hàm ϕ(s), vế phải f0 (t) hàm số cho trước hạch K(t, s) tích phân với ∂K ∂t giả thiết hàm liên tục Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp hàm liên tục [a, b] với metric (còn gọi độ lệch) hai hàm ϕ1 , ϕ2 dC[a,b] (ϕ1 , ϕ2 ) = max |ϕ1 (s) − ϕ2 (s)| s∈[a,b] Mặt khác thay đổi vế phải đo độ lệch không gian L2 [c, d], tức khoảng cách hai hàm f1 (t), f2 (t) L2 [c, d] biểu thị dL2 [c,d] (f1 , f2 ) =    d c  21  |f1 (t) − f2 (t)| dt  Giả sử phương trình có nghiệm ϕ0 (s) Khi với vế phải b f1 (t) = f0 (t) + N K(t, s) sin(ωs)ds, a phương trình có nghiệm ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + N sin(ωs) Với N ω đủ lớn khoảng cách hai hàm f0 , f1 L2 [c, d] dL2 [c,d] (f0 , f1 ) = |N |    d b [ c a  21  K(t, s) sin(ωs)ds] dt  làm nhỏ tùy ý Thật vậy, đặt Kmax = max |K(t, s)|, s∈[a,b],t∈[c,d] ta tính  21  b [Kmax cos(ωs)|a ] dt dL2 [c,d] (f0 , f1 ) ≤ |N | ω     d c ≤ |N |Kmax c0 , ω c0 số dương Ta chọn N ω lớn tùy ý N ω lại nhỏ Khi đó, dC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)| = |N | s∈[a,b] lớn Khoảng cách hai nghiệm ϕ0 , ϕ1 L2 [c, d] lớn Thật vậy, dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) =    b |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)|2 ds  a = |N |    = |N |  12  b sin2 (ωs)ds  21   a b−a − sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)) 2ω Dễ dàng nhận thấy hai số N ω chọn cho dL2 [c,d] (f0 , f1 ) nhỏ cho kết dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) lớn Đây tốn khơng ổn định 1.2 Phương pháp chỉnh hóa 1.2.1 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0 , với A tốn tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Gọi x0 nghiệm phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X gọi tốn tử chỉnh hóa cho phương trình A(x) = f0 , i) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử R(f, α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với f ∈ Y : dY (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); ii) Tồn phụ thuộc α = α(f, δ) cho với ε > 0, tồn δ(ε) ≤ δ1 thỏa mãn với f ∈ Y mà dY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 dX (xα , x0 ) ≤ ε, xα ∈ R(f, α(f, δ)) 1.2.2 Nhận xét Trong định nghĩa khơng địi hỏi tính đơn trị tốn tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ , α) gọi nghiệm chỉnh hóa phương trình A(x) = f0 α = α(fδ , δ) = α(δ) gọi tham số chỉnh hóa Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải phương trình A(x) = f0 gồm bước i) Tìm tốn tử chỉnh hóa R(f, α), ii) Xác định giá trị tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin toán phần tử fδ sai số δ Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc gọi phương pháp chỉnh hóa Tiếp theo chúng tơi trình bày kết mà chúng tơi cơng bố báo [2] để làm ví dụ phương pháp chỉnh hóa cho phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính ngược thời gian khơng gian Banach Cho T > 0, < p < ∞, ϕ ∈ Lp (R) ε > Xét phương trình trình truyền nhiệt nửa tuyến tính ngược thời gian không gian Banach Lp (R)   ∂u ∂ u = + f (t, u), x ∈ R, t ∈ (0, T ) ∂t  u(·, T∂x ) − ϕ(·) Lp (R) ε, (1.1) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz f (t, w1 ) − f (t, w2 ) Lp (R) k w − w2 Lp (R) (1.2) với số k độc lập với t, w1 , w2 Đây tốn đặt khơng chỉnh để giải tốn này, ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa sinνx Ký hiệu Dν (x) = , ν > toán tử Sν : Lp (R) → Lp (R) x xác định 1 Sν (f )(x) := Dν ∗ f = Dν (y)f (x − y)dy π π R Chúng tơi chỉnh hóa tốn (1.1) cách sử dụng toán đặt chỉnh ∂v ν ∂ 2vν = + Sν (f (t, v ν )), x ∈ R, t ∈ (0, T ) ∂t ∂x v ν (x, T ) = Sν (ϕ(x)) Để đơn giản, ta ký hiệu · p thay cho · Lp (R) (1.3) 18 1.2.9 Hệ ([2]) Giả sử u nghiệm toán ∂u ∂ u = , x ∈ R, t ∈ (0, T ) ∂t ∂x u(·, T ) − ϕ(·) p ε v ν nghiệm toán ∂v ν ∂ 2vν = , x ∈ R, t ∈ (0, T ) ∂t ∂x2 v(·, T ) = Sν (ϕ(·)) (i) Nếu u(·, 0) p ≤ E cách chọn ν = u(·, t) − v ν (·, t) (ii) Nếu u(·, 0) p,α p E ln , ta đạt T ε ≤ C p εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ] ≤ E1 cách chọn ν = E ln , ta đạt T +α ε u(·, t) − v ν (·, t) t+α p t+α ≤ C 1p ε T +α E T +α , ∀t ∈ [0, T ] 19 CHƯƠNG VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU Chương nhằm mục đích trình bày phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình sở tham khảo tài liệu [4], [6], [7] [8] 2.1 Phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều Mục trình bày lý thuyết phương trình parabolic tuyến tính khơng gian chiều sở tham khảo tài liệu [4], [6] [8] Xét phương trình truyền nhiệt ut = a2 uxx , < x < l, t0 < t < T 2.1.1 Định nghĩa Một hàm u gọi nghiệm giá trị biên ban đầu thứ cho phương trình truyền nhiệt nếu: i) Nó xác định liên tục miền xác định gần ≤ x ≤ l, t0 ≤ t ≤ T ii) Nó thoả mãn phương trình parabolic miền xác định < x < l, t0 < t < T iii) Nó thoả mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên: u(x, t0 ) = ϕ(x), 20 u(0, t) = µ1 (t), u(l, t) = µ2 (t), với ϕ(x), µ1 (t), µ2 (t) hàm kiên tục ϕ(0) = µ1 (t0 )[= u(0, t0 )] ϕ(l) = µ2 (t0 )[= u(l, t0 )] 2.1.2 Định nghĩa Một hàm u gọi nghiệm giá trị biên ban đầu thứ hai điều kiện iii) Định nghĩa 2.1.1 thay u(x, t0 ) = ϕ(x), ∂u (0, t) = µ1 (t), ∂x ∂u (l, t) = µ2 (t) ∂x 2.1.3 Định nghĩa Một hàm u gọi nghiệm giá trị biên ban đầu thứ ba điều kiện iii) Định nghĩa 2.1.1 thay u(x, t0 ) = ϕ(x), ∂u (0, t) = λ[u(0, t) − θ1 (t)], ∂x ∂u (l, t) = −λ[u(0, t) − θ2 (t)] ∂x Chúng ta xét câu hỏi theo trình tự sau: i) Nghiệm tốn tồn có khơng? ii) Bài tốn có nghiệm khơng? iii) Nghiệm tốn có phụ thuộc vào liệu cách liên tục khơng? 2.1.4 Định lý (Ngun lí cực đại) Cho hàm u(x, t) xác định liên tục hình chữ nhật ≤ t ≤ T, ≤ x ≤ l thoả mãn phương trình truyền nhiệt ut = a2 uxx (2.1) 21 miền < t < T, < x < l Khi đó, hàm u(x, t) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) t = 0, x = x = l 2.1.5 Định lý Cho u1 (x, t) u2 (x, t) hàm liên tục xác định ≤ x ≤ l; ≤ t ≤ T thoả mãn phương trình ut = a2 uxx + f (x, t), < x < l, < t < T (2.2) thoả mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên u1 (x, 0) = u2 (x, 0) = ϕ(x), ≤ x ≤ l, u1 (0, t) = u2 (0, t) = µ1 (t), ≤ t ≤ T, u1 (l, t) = u2 (l, t) = µ2 (t), ≤ t ≤ T Khi u1 (x, t) ≡ u2 (x, t) Chứng minh Đặt υ(x, t) := u1 (x, t) − u2 (x, t) Vì u1 u2 liên tục [0, l] × [0, T ] nên hàm υ liên tục [0, l] × [0, T ] Ngồi ra, hàm υ thoả mãn phương trình υt = a2 υxx với < x < l, < t < T Vì vậy, υ thoả mãn điều kiện biên nguyên lí cực đại, điều chứng tỏ υ đạt cực đại t = x = x = l Vì υ(x, 0) = 0, υ(0, t) = υ(l, t) = nên υ(x, t) ≡ Do đó, u1 (x, t) ≡ u2 (x, t) Chú ý phương pháp tách biến Fourier (xem [4]), ta tìm nghiệm tốn ut = a2 uxx + f (x, t), < x < l, < t ≤ T, (2.3) u(x, 0) = ϕ(x), ≤ x ≤ l, (2.4) u(0, t) = u(l, t) = 0, 0≤t≤T (2.5) 22 t l l u(x, t) = 0 t ∞ e−( πn 2 ) a (t−τ l sin( n=1 πn πn x) sin( ξ)f (ξ, τ )dξdτ l l l G(x, ξ, t − τ )f (ξ, τ )dξdτ = (2.6) với G(x, ξ, t − τ ) = l 2.2 ∞ e−( πn 2 ) a (t−τ ) l sin( n=1 πn πn x) sin( ξ) l l (2.7) Một phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều Mục trình bày chi tiết kết báo [7] đề xuất kết Xét tốn tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn  ut − uxx = f (x), x ∈ I, t ∈ (0, 1), u(x, 0) = 0, x ∈ I,  u(x, 1) = g(x), x ∈ I, (2.8) I = (0, π) ta giả thiết thêm điều kiện sau thỏa mãn (2.9) u(0, t) = u(π, t) = Ký hiệu L2 [0, π] không gian hàm h : [0, π] → R đo Lebesgue, thỏa mãn π |h(x)|2 dx < +∞ với chuẩn xác định theo công thức π |h(x)|2 dx f = 23 Trong thực hành, kiện đầu vào g có đo đạc, khơng tránh khỏi sai số Giả sử thay kiện xác g , ta đo đạc kiện g δ (·) ∈ L2 [0, π] thỏa mãn điều kiện g δ (·) − g(·) = g δ (·) − u(·, 1) δ, (2.10) với số δ > mức sai số kiện đầu vào Bài toán kể toán xác định nguồn từ kiện đo đạc g δ (·) phương trình truyền nhiệt Đây toán quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Cho ví dụ, đánh giá xác nguồn gây nhiễm định đến đảm bảo mơi trường sống an tồn cho thành phố có mật độ dân số cao Các chủ đề tồn tính nghiệm, đánh giá ổn định, thuật toán để giải số toán nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, vấn đề chỉnh hóa cho toán chưa quan tâm đầy đủ Trong mục này, chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa dựa ý tưởng thay phương trình ban đầu ut − uxx = f (x), x ∈ I, t ∈ (0, 1) phương trình ut − uxx = f (x) − αf (x), x ∈ I, t ∈ (0, 1) Cụ thể, toán (2.8)-(2.9) chỉnh hóa tốn  vt − vxx = fαδ (x) − α(fαδ ) (x), x ∈ I, t ∈ (0, 1), v(x, 0) = 0, v(x, 1) = g δ (x), x ∈ I,  v(0, t) = v(π, t) = 0, t ∈ (0, 1), (2.11) tham số chỉnh hóa α > Trước hết, phân tích để thấy rõ tốn (2.8)-(2.9) tốn đặt khơng chỉnh Bằng phương pháp tách biến, đạt nghiệm tốn (2.8)-(2.9) có dạng ∞ u(x, t) = n=1 en t − f, un un , n2 en t (2.12) {un = sin(nx)}∞ n=1 sở trực giao L [0, π] Chúng 24 ta định nghĩa toán tử K : f → g, theo cơng thức ta có ∞ ∞ g(x) = Kf (x) = g, un un = n=1 n=1 en t − f, un un n2 en t Ta thấy K tốn tử tuyến tính tốn tử compact Đặt en − σn = n2 n e Ta có en − = n2 f, un un , un , n e g, un hay f, un = −1 σ g, un π n Do f (x) = K = π −1 g(x) = π ∞ n=1 ∞ n=1 g, un un σn n2 en g, un un en − (2.13) Chú ý σn−1 = O(n2 ) n → ∞, kiện xác g(x) phải thỏa mãn tính chất g, un phải giảm nhanh cỡ O(n−2 ) n → ∞ Nhưng với kiện đo có sai số g δ (x), ta hy vọng g δ (x) có tính chất tính chất hàm g(x) nêu Vì vậy, tốn (2.8)(2.9) đặt không chỉnh Dẫn đến ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa cho tốn Một cách để chỉnh hóa tốn thay đại lượng U (α, σn ) không bị chặn n → +∞ đại lượng bị chặn , σn σn U (α, σ) thỏa mãn tính chất sau (xem [5]): 1) |U (α, σ)| với α > < σ K ; 25 2) Với α > 0, tồn c(α) cho |U (α, σ)| c(α)σ với α ∈ (0, K ]; 3) limα→0 U (α, σ) = với σ ∈ (0, K ] Khi đó, nghiệm chỉnh hóa xác định cơng thức fα = Rα g := π ∞ n=1 U (α, σn ) g, un un σn Bây giờ, quay lại tốn chỉnh hóa (2.11) Tương tự cơng thức (2.13), ta tính fαδ (x) = π ∞ n=1 n2 en g, un un (en − 1)(1 + αn2 ) (2.14) Do đó, trường hợp ta có U (α, σn ) = + αn2 (2.15) Để đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hóa này, giống phương pháp chỉnh hóa khác, ta cần có thêm thơng tin nghiệm xác Cụ thể, ta giả thiết rằng, nghiệm xác f (x) thỏa mãn điều kiện f với · p p (2.16) E, p > 0, xác định theo công thức ∞ f p (1 + n2 )p | f, un |2 = (2.17) n=1 Ta dùng fαδ (x) xác định từ công thức (2.14) để làm nghiệm xấp xỉ cho f (x) xác định theo cơng thức (2.13) Ta có kết đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp thể qua định lý sau 2.2.1 Định lý ([7])Giả sử f (x) xác định theo công thức (2.13) fαδ (x) xác định từ công thức (2.14) nghiệm 26 toán ban đầu (2.8) tốn chỉnh hóa (2.11) Nếu điều kiện (2.10) (2.16) cách chọn tham số chỉnh hóa α= δ E p+2 (2.18) ta có đánh giá sau f − fαδ với C = p p CE p+2 δ p+2 + max{α , α}E, (2.19) e e−1 Chứng minh Từ (2.13) (2.14) ta có f − fαδ = π = π + = π ∞ n=1 ∞ ∞ n=1 ∞ n2 en g, u u − n n π en − n=1 ∞ π n=1 ∞ n=1 ∞ + π n2 en g, u u − n n π en − n=1 n=1 n2 en g δ , un un n (e − 1)(1 + αn ) n2 en g, un un (en − 1)(1 + αn2 ) n2 en g − g δ , un un n (e − 1)(1 + αn ) 1− + αn2 2 − p2 (1 + n ) n2 en (1 + n ) n2 g, un un e −1 p 2 n2 en g − g δ , un un n (e − 1)(1 + αn ) (2.20) Từ (2.10) (2.16) ta có f − fαδ max A(n)E + max B(n)δ, n∈N n∈N (2.21) αn2 n2 en − p2 A(n) = (1 + n ) , B(n) = + αn2 (en − 1)(1 + αn2 ) (2.22) 27 Đầu tiên, đánh giá số hạng thứ hai vế phải (2.21) Vì en đơn điệu giảm theo n, ta có en − e n2 + αn2 e − B(n) e αe−1 Để đánh giá số hạng thứ vế phải (2.21), ta xét hai trường hợp n0 := α− , ta có Trường hợp 1: với giá trị n lớn, cụ thể với n p p n−p =α (1 + n2 )− A(n) (2.23) Trường hợp 2: với n < n0 ta có p αn2 (1 + n2 )− A(n) Nếu < p < bất đẳng thức trở thành cịn p p αn2 n−p A(n) α2, (2.24) α (2.25) ta có A(n) αn2 + n2 Tổ hợp (2.23), (2.24) (2.25) ta đạt A(n)E p (2.26) max{α , α}E Do p f − fαδ Vì với a, b > a + b p a = b, cho α E = max{α , α}E + (2.27) √ ab dấu đạt δ α để đạt α = vào (2.27) ta thu đánh giá (2.19) Định lý chứng minh e δ e − 1α δ E p+2 Thay giá trị 28 2.2.2 Nhận xét ([7])Vì tham số chỉnh hóa α → δ → 0, dễ thấy lim f − fαδ = (2.28) δ→0 Điều có nghĩa fαδ → f δ → 2.2.3 Nhận xét ([7])Vì thực hành, f p thường Điều kéo theo giá trị E xác Tuy nhiên, chọn α = cδ 2+p , c số dương có đánh giá f − fαδ p p Cδ 2+p + max{α, α }E, δ → 0, (2.29) số C phụ thuộc vào f p Sau đề xuất kết nhằm cải tiến kết Định lys 2.2.1 trường hợp p > 2.2.4 Định lý Giả sử f (x) xác định theo công thức (2.13) fαδ (x) xác định từ cơng thức (2.14) nghiệm tốn ban đầu (2.8) tốn chỉnh hóa (2.11) Nếu điều kiện (2.10) (2.16) với p > cách chọn tham số chỉnh hóa α= δ E ta có đánh giá sau f − fαδ với C = e e−1 1 (C + 1)E δ 29 Chứng minh Từ (2.13) (2.14) ta có f − fαδ = π = π ∞ n=1 ∞ = π n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 n2 en g δ , un un n (e − 1)(1 + αn ) n2 en g, un un (en − 1)(1 + αn2 ) n=1 ∞ n=1 ∞ + π ∞ n2 en g, u u − n n π en − n2 en g − g δ , un un n (e − 1)(1 + αn ) π + n2 en g, u u − n n π en − 1 1− + αn2 2 − p2 (1 + n ) n2 en (1 + n ) n2 g, un un e −1 p 2 n=1 n2 en g − g δ , un un n (e − 1)(1 + αn ) Do f − fαδ max A(n)E + max B(n)δ, n∈N n∈N n2 en αn2 − p2 (1 + n ) , B(n) = A(n) = + αn2 (en − 1)(1 + αn2 ) Tương tự chứng minh Định lí 2.2.1, ta có B(n) e αe−1 Ta lại có αn2 − p2 A(n) = (1 + n ) + αn2 αn2−p Nên ta đạt f − fαδ Cα−1 δ + αE α 30 δ E Do đó, với α = ta đạt f − fαδ (C + 1)δ E Định lý chứng minh 2.2.5 Nhận xét Với p > 2, kết Định lí 2.2.4 chúng tơi tốt kết tác giả [7] Như trình bày Định lí 2.2.1 tác giả [7] f − fαδ Do với p > p+2 p p p max{α , α}E = αE = δ p+2 E p+2 Do đó, ta có f − fαδ Vì p > nên p CE p+2 δ p+2 + max{α , α}E, p p CE p+2 δ p+2 + δ p+2 E p+2 < 12 Vì tốc độ hội tụ chúng tơi Định lí 2.2.4 p > tốt tốc độ hội tụ tác giả [7] p > 31 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh ví dụ minh họa Trình bày khái niệm phương pháp chỉnh hóa ví dụ minh họa Trình bày số kết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều Trình bày phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt không gian chiều Đề xuất chứng minh Định lý 2.2.4 Đưa Nhận xét 2.2.5 Một số kết luận văn viết thành báo đăng Tạp chí khoa học - Trường Đại học Vinh năm 2015 (xem [2]) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] Nguyen Van Duc and Luong Duy Nhat Minh (2015), A mollification method for semi-linear heat equations backward in time in the Banach space Lp (R), Journal of science, Vinh University, 44, 4A, 36–48 [3] Baumeister J(1987), Stable solution of Inverse problems, Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig [4] Đinh Nho Hào (1996), Introduction to partial differential equation, Universitat - GH - Siegen Summer Semester [5] A Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer [6] A Friedman (1964), Partial differential equations of parabolic type, Prentice-hall, inc Englewood Cliffs, N J [7] F F Dou, C L Fu and F Yang (2009), "Identifying an unknown source term in a heat equation" Inverse Problems in Science and Engineering, 17, 901–913 [8] L C Evans (1998), Partial Differential Equations, American Math Society ... CHƯƠNG VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG KHƠNG GIAN MỘT CHIỀU Chương nhằm mục đích trình bày phương trình truyền nhiệt không gian chiều phương. .. minh họa Trình bày số kết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều Trình bày phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt không gian chiều Đề xuất chứng minh Định lý... 2: Trong chương này, chúng tơi trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều Sau chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt không