Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1 (Chuẩn và không gian định chuẩn)
Cho X là một không gian vectơ trên trường K (K = R hoặc K = C) Ánh xạ k ã k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi x, y ∈ X và với mọi λ ∈ K, điều kiện đầu tiên là kxk ≥ 0 và kxk = 0 ⇔ x = 0; điều kiện thứ hai là kλxk = |λ|kxk; và điều kiện thứ ba là kx + yk ≤ kxk + kyk.
Khi đú, không gian vectơ X với chuẩn kã k trên X được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu là X, kã k Hơn nữa, d(x, y) := kx−yk là một metric trên X, được sinh bởi chuẩn này.
Điều kiện thứ ba trong định nghĩa được gọi là bất đẳng thức tam giác, bao gồm bất đẳng thức tam giác thứ hai: \( kx - yk \geq kxk - kyk \) với mọi \( x, y \in X \) Đồng thời, định nghĩa về dãy hội tụ cũng được nêu rõ.
Trong không gian định chuẩn Cho X, một dãy (x n ) ⊂ X được gọi là hội tụ nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho giới hạn lim n→∞ kx n − x0k = 0 Khi đó, x0 được xem là giới hạn của dãy (x n ) và được ký hiệu là lim n→∞ x n = x0.
Cho X là một không gian định chuẩn Dãy (x n ) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim n,m→∞kx n − x m k = 0, tức là với mọi ε > 0, tồn tại n 0 = n 0 (ε) ∈ N sao cho kx n −x m k < ε với mọi n, m ≥ n 0 (ε).
Nhận xét 1.1.5 Mọi dãy hội tụ trong một không gian định chuẩn đều là dãy Cauchy. Định nghĩa 1.1.6 (Không gian Banach)
Một không gian định chuẩn X được gọi là một không gian Banach nếu
X cùng với metric sinh bởi chuẩn là không gian đầy đủ, hay nói cách khác mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.2.1 (Tích vô hướng và không gian tiền Hilbert)
Không gian vectơ Cho X trên trường K (K = R hoặc K = C) có ánh xạ hã,ãi : X ìX → K được gọi là tớch vụ hướng nếu thỏa mãn các điều kiện sau: Đầu tiên, giá trị của hx, xi phải không âm và bằng 0 chỉ khi x bằng 0 Thứ hai, ánh xạ này phải đối xứng, nghĩa là hx, yi = hy, xi Thứ ba, nó phải tuyến tính đối với các số vô hướng, tức là hλx, yi = λhx, yi Cuối cùng, tớch vụ hướng phải thỏa mãn tính chất phân phối: hx+y, zi = hx, zi + hy, zi.
Khi đú, khụng gian vectơ X cựng với tớch vụ hướng hã,ãi trờn X được gọi là một khụng gian tiền Hilbert, kớ hiệu là X,hã,ãi
Từ định nghĩa, ta có thể suy ra các tính chất sau: Đầu tiên, tính chất cộng hưởng cho thấy rằng hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z thuộc tập X Thứ hai, tính chất phân phối được thể hiện qua công thức hx, λyi = λhx, yi với mọi x, y thuộc X và mọi λ thuộc K Cuối cùng, định lý 1.2.1 khẳng định về chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Trong không gian Hilbert X, một ánh xạ k: X → R được định nghĩa bởi công thức kxk = phx, xi là một chuẩn trên X Đối với mọi x, y ∈ X, ta có các tính chất sau: a Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho biết hx, yi ≤ kxk.kyk b Công thức nhị thức thể hiện kx±yk 2 = kxk 2 + ky k 2 ± 2 Rehx, yi c Cuối cùng, kx+yk 2 + kx−yk 2 = 2 kxk 2 + ky k 2.
Nếu không gian tiền Hilbert X là một không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng, thì X được gọi là không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.4 đề cập đến khái niệm dãy hội tụ yếu.
Trong không gian Hilbert X, một dãy (x_n) ⊂ X được coi là hội tụ yếu về x0 ∈ X nếu điều kiện hx_n, yi → hx0, yi được thỏa mãn với mọi y ∈ X Ký hiệu cho sự hội tụ này là x_n * x0 Định nghĩa 1.2.5 đề cập đến phần bù trực giao trong không gian Hilbert.
Cho X là một không gian tiền Hilbert trên K (K = R hoặc K = C). a Hai phần tử x và y được gọi là trực giao nếu hx, yi = 0. b Cho M là một tập con của X Tập hợp:
M ⊥ := x ∈ X : hx, yi = 0 với mọi y ∈ M được gọi là phần bù trực giao của M.
M ⊥ luôn là một không gian con đóng và M ⊂ (M ⊥ ) ⊥ Hơn nữa nếu
A ⊂B thì B ⊥ ⊂A ⊥ Định lý 1.2.2 (Toán tử chiếu)
Cho X là một không gian Hilbert và V là một không gian con đóng của
Trong không gian X, mỗi phần tử x có thể được phân tích duy nhất thành x = v + w, với v thuộc V và w thuộc V ⊥ Toán tử P: X → V, được gọi là toán tử chiếu trực giao lên V, có những đặc điểm quan trọng: đầu tiên, P v = v cho mọi v thuộc V, tức là P 2 = P; thứ hai, khoảng cách giữa x và P x không lớn hơn khoảng cách giữa x và bất kỳ v 0 nào thuộc V, tức là kx−P xk ≤ kx−v 0 k với mọi v 0 thuộc V.
Tính chất thứ hai suy ra rằng P x ∈ V là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ X trong không gian con đóng V. Định nghĩa 1.2.6 (Không gian tách được)
Một không gian định chuẩn X được gọi là tách được nếu có tồn tại một tập con trù mật đếm được M, cùng với một song ánh j :N → M sao cho cl(M) = X Định nghĩa 1.2.7 nêu rõ rằng, với X là một không gian Hilbert trên trường K, thì với bất kỳ tập A ⊂ X, tập spanA được định nghĩa bởi các tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong A, tức là các biểu thức dạng ( n X k=1 α k x k : α ∈ K, x k ∈ A, n∈ N).
) được gọi là không gian con của X sinh bởi A. Định nghĩa 1.2.8 (Hệ trực chuẩn)
Không gian Hilbert tách được X trên trường K (K = R hoặc K = C) có một hệ trực chuẩn A = {x_k : k = 1, 2, 3, } nếu thỏa mãn hai điều kiện: (a) tích vô hướng giữa các phần tử khác nhau là 0, tức là = 0 với mọi k ≠ j; (b) độ dài của mỗi phần tử trong hệ là 1, nghĩa là ||x_k|| = 1 với mọi k thuộc N.
Hệ đầy đủ hay hệ trực chuẩn tối đại A là một hệ trực chuẩn không có hệ trực chuẩn B nào khác thỏa mãn A ⊂ B Định lý 1.2.3 cho biết rằng trong không gian Hilbert tách được X trên trường K (K = R hoặc K = C), nếu A = {x_k : k = 1, 2, 3, } là một hệ trực chuẩn của X, thì mọi tập con hữu hạn của A đều độc lập tuyến tính Nếu A là tập hữu hạn, tức A = {x_k : k = 1, 2, 3, , n}, thì với mỗi x ∈ X, tồn tại duy nhất các hệ số α_k ∈ K (k = 1, 2, 3, , n) sao cho x được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các x_k.
≤ kx−ak với mọi a ∈ spanA.
Các hệ số αk được xác định bởi αk = hx, x k i với mọi k = 1, , n. c Với mỗi x ∈ X, ta có bất đẳng thức Bessel:
X k=1 hx, x k ix k hội tụ trong X. d A đầy đủ nếu và chỉ nếu spanA trù mật trong X. e A đầy đủ nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X, ta có phương trình Parseval:
X k=1 hx, x k i 2 = kxk 2 f A đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi x ∈ X đều có khai triển Fourier (suy rộng): x ∞
X k=1 hx, x k ix k , trong đó sự hội tụ được hiểu theo chuẩn của X Trong trường hợp này, phương trình Parseval đúng với dạng tổng quát sau: hx, yi ∞
Các không gian Sobolev
Giả sử E là một tập con không rỗng, bị chặn và đo được Lebesgue trong không gian R^n với 1 ≤ p < ∞ Không gian L^p(E) được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm đo được Lebesgue f: E → R, thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Nhận xét 1.3.2 L p (E) là một không gian Banach với chuẩn f
Khi p= 2, L 2 (E) là một không gian Hilbert với tích vô hướng hf, gi Z
E f(x)g(x)dx. Đặc biệt, khi p = +∞, L ∞ (E) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được Lebesgue, "bị chặn chính" với chuẩn kfk L ∞ (E) := ess sup x∈E f(x) = inf
Cho Ω là một tập mở và liên thông trong R n, không gian C k (Ω) được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm liên tục f : Ω → R, với các đạo hàm riêng liên tục đến cấp k trên Ω.
Không gian vectơ C k (Ω) được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm v ∈ C k (Ω) mà các hàm này cùng với các đạo hàm riêng đến cấp k của chúng có khả năng mở rộng liên tục trên miền Ω.
C k Ω là không gian Banach với các chuẩn kfk C ( Ω ) = max x∈Ω f(x) và kfk C k( Ω ) X
|α|≤k kD α yk C ( Ω ) với k ≥ 1. Định nghĩa 1.3.4 (Giá)
Cho hàm v : Ω →R, ta định nghĩa giá của v là tập suppv := x ∈ Ω : v(x) 6= 0 Định nghĩa 1.3.5 (Không gian C 0 k )
Cho Ω là một tập mở, liên thông trong R n và k ∈ N ∪ {∞} Không gian C 0 k (Ω) được định nghĩa là tập hợp các hàm v thuộc C k (Ω) với điều kiện rằng hỗ trợ của v, ký hiệu là suppv, là một tập con compact nằm hoàn toàn trong Ω.
Ω. Định nghĩa 1.3.6 (Không gian L 1 loc )
L 1 loc (Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hàm khả tích địa phương trong Ω, tức là
Định nghĩa 1.3.7 (Đa chỉ số)
Cho v = v(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ C k (Ω)vàα = (α 1 , α 2 , , α n ) ∈ N n Ta định nghĩa
Ta nói α là một đa chỉ số và |α| = α 1 +α 2 + +α n là độ dài của α Đặc biệt, ta quy ước D (0) v := v. Định nghĩa 1.3.8 (Đạo hàm riêng yếu)
Cho y ∈ L 1 loc (Ω) và α = (α 1 , α 2 , , α n ) là một đa chỉ số Nếu tồn tại hàm w ∈ L 1 loc (Ω) sao cho với mọi v ∈ C 0 ∞ (Ω), ta đều có
Ω w(x)v(x)dx thì w được gọi là đạo hàm riêng yếu của y ứng với α. Định nghĩa 1.3.9 (Không gian W k,p )
Cho 1≤ p < ∞vàk ∈ N.W k,p (Ω)được định nghĩa là không gian vectơ bao gồm tất cả các hàmf ∈ L p (Ω)có các đạo hàm riêng yếuD α f ∈ L p (Ω) với mọi đa chỉ số α mà |α| ≤k.
Các không gian W k,p (Ω) còn được gọi là các không gian Sobolev.
Nhận xét 1.3.10 W k,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn f
. Đặc biệt, với p = ∞, ta có chuẩn f
L ∞ (Ω). Định nghĩa 1.3.11 (Không gian H 1 và H 0 1 )
Với p= 2, đặt H k (Ω) := W k,2 (Ω) Khi đó H k (Ω)là không gian Hilbert với tích vô hướng hu, vi H k (Ω) = X
H 1 (Ω) f : Ω →R f ∈ L 2 (Ω) và D i f ∈ L 2 (Ω), i = 1, n là không gian Hilbert với tích vô hướng u, v H 1 (Ω) Z
2 = D 1 f 2 + + D n f 2 Cuối cùng, ta định nghĩa
Định lý 1.3.1 (Định lý vết)
Cho Ω là một miền Lipschitz bị chặn trong R n , Γ là biên của Ω và
1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục τ từ W 1,p (Ω) vào L p (Γ)sao cho với mọi y ∈ W 1,p (Ω)∩C Ω , ta luôn có (τ y)(x) =y(x) với mọi x ∈ Γ.
Toán tử liên tục và khả vi Fréchet
Định nghĩa 1.4.1 (Toán tử liên tục)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Một toán tử f đi từ X vào
Y được gọi là liên tục tại x 0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho với mọi x ∈ X mà kx−x 0 k < δ ta đều có f(x)−f(x 0 ) < ε.
Toán tử f được coi là liên tục tại một điểm x0 ∈ X nếu mọi dãy (xn) thuộc X mà x n tiến tới x 0 thì giá trị f(x n) cũng tiến tới f(x 0) Hơn nữa, toán tử f được gọi là liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 trong tập này Định nghĩa về toán tử tuyến tính cũng là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực này.
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn trên trường K Một toán tử f từ X vào Y được xem là tuyến tính nếu thỏa mãn điều kiện f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ K Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn cho biết rằng tồn tại một hằng số M > 0 sao cho f(x) ≤ Mkxk với mọi x ∈ X.
Số nhỏ nhất trong các hằng số này được gọi là chuẩn của toán tử f, ký hiệu là f := sup x6=0 f(x) / kxk Định lý 1.4.1 chỉ ra rằng, với f là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y, ta có f = sup x6=0 f(x) / kxk = sup kxk≤1 f(x) = sup kxk=1 f(x) Định lý 1.4.2 khẳng định rằng, nếu f là một toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, thì các mệnh đề sau là tương đương: a f liên tục trên X; b f liên tục tại x0 ∈ X; c f liên tục tại 0; d f bị chặn Cuối cùng, định nghĩa 1.4.6 đề cập đến không gian liên hợp.
Không gian định chuẩn X có không gian liên hợp X∗, bao gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Đặc biệt, X∗ là một không gian Banach với chuẩn được xác định bởi kfk = sup x∈X, kxk=1 f(x) Định nghĩa này liên quan đến toán tử tuyến tính liên hợp.
Cho X, Y là các không gian Hilbert và f : X → Y là một toán tử tuyến tính bị chặn Tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính bị chặn f ∗ : Y → X thỏa mãn mối quan hệ f(x), y = x, f ∗ (y) với mọi x ∈ X và y ∈ Y.
Toán tử f ∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tửf Với X = Y, toán tử f được gọi là tự liên hợp nếu f ∗ = f. Định lý 1.4.3 (Định lý biểu diễn Riesz)
Trong không gian Hilbert V trên R, với mỗi toán tử tuyến tính liên tục f ∗ thuộc V ∗, tồn tại một phần tử duy nhất u trong V sao cho f ∗ (v) = hu, vi cho mọi v thuộc V, đồng thời kf ∗ k V ∗ = kuk V Định nghĩa 1.4.8 đề cập đến toán tử compact.
Trong lý thuyết không gian định chuẩn, một toán tử tuyến tính từ không gian X vào không gian Y được gọi là compact nếu nó biến mọi tập con bị chặn của X thành một tập compact tương đối trong Y Định nghĩa này nhấn mạnh tầm quan trọng của các toán tử compact trong việc duy trì tính chất compact của các tập hợp trong không gian định chuẩn.
Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu x→xlim0 inff(x) ≥f(x 0 ).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.4.10 (Hàm nửa liên tục dưới yếu)
Cho X là một không gian Hilbert Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x0 ∈ X nếu lim inff(xn) ≥ f(x0), với mọi dãy (xn) hội tụ yếu về x0.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếuf nửa liên tục dưới yếu tại mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.4.11 (Hàm liên tục Lipschitz)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và f : X → Y Ta lấy một tập mở A ⊂ X Khi đó, f được gọi là liên tục Lipschitz trên tập con mở
A nếu tồn tại một hằng số L > 0 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho với mọi x, y ∈ A ta đều có f(x)−f(y) ≤ Lkx−yk.
Nếu A = X thì ta nói f liên tục Lipschitz trên X. Định nghĩa 1.4.12 (Hàm coercive)
Cho X là một không gian định chuẩn Một hàm f từ X vào R được gọi là coercive nếu f(x) → +∞ khi kxk → +∞. Định nghĩa 1.4.13 (Khả vi Fréchet)
Cho V, W là hai không gian định chuẩn và U là một tập con mở của
Một hàm f từ U vào W được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ U nếu tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn A từ V vào W, thỏa mãn điều kiện lim khk→0 f(x+h)−f(x)−Ah khk = 0.
Dưới vi phân của hàm lồi
Cho X là một không gian định chuẩn, M là một tập con khác rỗng của
X và một phiếm hàm f nhận giá trị thực mở rộng trên M: f : M →R := [−∞; +∞].
Các tập hợp domf được định nghĩa như sau: n x ∈ M f(x) < +∞o được gọi là miền hữu hiệu, trong khi epif := n(x, γ) ∈ M ×R f(x) ≤ γo là tập hợp trên đồ thị của hàm f Thêm vào đó, với mỗi α ∈ R, tập mức dưới của hàm f cũng được xác định.
Hàm f được coi là hàm chính thường khi điều kiện domf khác 0 Ngoài ra, hàm f được xem là hàm lồi trên M nếu tập epif là tập lồi, trong khi đó, hàm f được gọi là hàm lõm trên M khi -f là hàm lồi.
Nhận xét 1.5.2 Cho hàm f : X → (−∞; +∞] Khi đó, f là lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ X, với mọi λ ∈ (0; 1), ta đều có: f λx+ (1−λ)y ≤ λf(x) + (1−λ)f(y). Định nghĩa 1.5.3 (Dưới vi phân hàm lồi)
Giả sử f là một hàm lồi, chính thường trên không gian Hilbert X và x0 ∈ domf Một phiếm hàm x ∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient của f tại x0 nếu với mọi x ∈ X: f(x) ≥f(x 0 ) +hx−x 0 , x ∗ i.
Về mặt hình học, điều đó có nghĩa rằng hàm affine ϕ(x) := f(x 0 ) +hx−x 0 , x ∗ i, x ∈ X có đồ thị là một siêu phẳng tựa của epif tại điểm x 0 , f(x 0 )
Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x 0 được gọi là dưới vi phân của f tại điểm đó và được kí hiệu là ∂f(x0) Như vậy
Nếu ∂f(x 0 ) là tập khác rỗng thì ta nói f khả dưới vi phân tại x 0 Để thuận tiện ta cũng quy ước ∂f(x 0 ) =∅ nếu x 0 ∈/ domf Dễ thấy
BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 25
Phát biểu bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán 25
Bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán là bài toán tìm nghiệm φ của phương trình
∂Ω = 0, trong đó σ ∈ A với tập A được định nghĩa tại (3) và y ∈ L 2 (Ω) là các hàm số cho trước.
Công thức nghiệm yếu
Trước khi định nghĩa nghiệm yếu của phương trình (2.1), ta nhắc lại công thức tích phân từng phần. Định lý 2.2.1 (Công thức tích phân từng phần)
Cho U ⊂ R n là một tập mở bị chặn với ∂U là C 1 và cho u, v ∈ C 1 U Khi đó, với mỗi i ∈ {1,2, , n} ta có
U vux i dx,trong đó −→ν = −→ν (x) = (ν 1 , ν 2 , , ν n ) là pháp vectơ đơn vị hướng ra bên ngoài tại x trên biên ∂U của U (x ∈ ∂U).
Trở lại phương trình (2.1), bây giờ nhân hai vế của phương trình này với v ∈ C 0 ∞ (Ω), ta được
Ω yvdx. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được
Vì v triệt tiêu trên ∂Ω nên −
Phương trình này đúng với mọi v ∈ C 0 ∞ (Ω), và do H 0 1 (Ω) là bao đóng của C 0 ∞ (Ω) trong H 1 (Ω), chúng ta có thể định nghĩa nghiệm yếu của phương trình (2.1) như sau.
Hàm φ ∈ H 0 1 (Ω) được gọi là một nghiệm yếu của (2.1) nếu với mọi v ∈ H 0 1 (Ω) ta đều có
Tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Bây giờ, ta đặt V := H 0 1 (Ω) và định nghĩa dạng song tuyến tính a : V ×V →R xác định bởi a[φ, v] :Z
Bên cạnh đó, từ định lý biểu diễn Riesz, ta định nghĩa hàm tuyến tính f ∗ : V → R xác định bởi f ∗ (v) := hy, vi L 2 (Ω) Z
Dễ dàng nhận thấy rằng f ∗ thuộc V ∗ với điều kiện f ∗ (v) không vượt quá kyk L 2 (Ω) kvk L 2 (Ω) Phương trình (2.2) có thể được viết lại dưới dạng a[φ, v] = f ∗ (v) cho mọi v thuộc V Để khảo sát tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu, chúng ta cần áp dụng các bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề Lax - Milgram)
Cho V là một không gian Hilbert trên R và a : V ×V → R là một dạng song tuyến tính Giả sử tồn tại các hằng số dương α 0 và β 0 sao cho với mọi φ, v ∈ V, ta đều có:
Khi đó, với mọi f ∗ ∈ V ∗ , phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất φ ∈ V. Hơn nữa, tồn tại hằng số C > 0không phụ thuộc f ∗ sao cho kφk ≤ Ckf ∗ k.
Bổ đề 2.3.2 (Bất đẳng thức Friedrichs)
Cho Ω là một miền Lipschitz bị chặn Khi đó, tồn tại một hằng số
C > 0 chỉ phụ thuộc vào Ω sao cho với mọi φ ∈ H 0 1 (Ω):
|∇φ| 2 dx. Định lý 2.3.3 (Tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu)
Nếu Ω là một miền Lipschitz bị chặn, thì với mọi σ ∈ A và mọi y ∈ L²(Ω), phương trình (2.1) có một nghiệm yếu duy nhất φ ∈ H₀¹(Ω) Hơn nữa, tồn tại một hằng số C > 0 không phụ thuộc vào y, sao cho kφk H¹(Ω) ≤ 1.
Mặt khác, với φ ∈ H 0 1 (Ω), từ bất đẳng thức Friedrichs, ta có a[φ, φ] Z
Áp dụng Bổ đề Lax - Milgram, chúng ta xác định rằng phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất φ thuộc H 0 1 (Ω), đồng thời cũng là nghiệm yếu duy nhất của phương trình (2.1) Hơn nữa, ta có công thức kf ∗ k V ∗ = sup v∈H 0 1 (Ω), kvk=1 f ∗ (v).
≤ kyk L 2 (Ω) , và từ Bổ đề Lax - Milgram, tồn tại hằng số C > 0 sao cho kφk H 1 (Ω) ≤ 1
Do đó theo tính chất bắc cầu ta được kφk H 1 (Ω) ≤ 1
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA 38
Phát biểu bài toán xác định hệ số khuếch tán
Giả sử rằng tồn tại một hàm σ ∗ ∈ A nào đó để φ ∗ = F D (σ ∗ )y và chúng ta chỉ có dữ liệu nhiễu φ δ ∈ H 0 1 (Ω) của φ ∗ sao cho φ ∗ −φ δ
Để xác định hệ số khuếch tán, bài toán đặt ra là khôi phục hệ số σ ∗ từ dữ liệu nhiễu φ δ, với điều kiện H 1 (Ω) ≤ δ và δ > 0 Do bài toán này là không chỉnh, và giả thiết σ ∗ −σ 0 có tính thưa, chúng ta áp dụng phương pháp chỉnh hóa thưa kết hợp với phiếm hàm năng lượng để giải bài toán cực tiểu: minσ∈A F φ δ (σ) +αΦ σ−σ 0 Mặc dù dữ liệu nhiễu thường chỉ có trong L 2 (Ω), giả thiết φ δ ∈ H 0 1 (Ω) vẫn có thể được xem xét, vì với một số phương pháp trơn hóa dữ liệu, chúng ta có thể chuyển đổi dữ liệu nhiễu từ L 2 (Ω) sang H 0 1 (Ω).
Phương pháp chỉnh hóa thưa
Chúng ta sẽ phân tích tính đặt chỉnh của bài toán (2), bao gồm các yếu tố như sự tồn tại, tính ổn định và sự hội tụ Trước khi tiến hành chứng minh các kết quả chính, bài viết sẽ trình bày một số tính chất của hàm Φ được định nghĩa tại (5) cùng với khái niệm về Φ−nghiệm cực tiểu hóa.
Bổ đề 3.2.1 Hàm Φ định nghĩa tại (5) có các tính chất sau: a Φ không âm, lồi, nửa liên tục dưới yếu. b Tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi σ ∈ L 2 (Ω), Φ(σ) ≥ ω min C p 2 kσk p
Khi đó, ta nói hàm Φ coercive yếu, tức là Φ(σ) → ∞ khi kσk → ∞. c Nếu {σ n } n∈ N ⊂ L 2 (Ω) hội tụ yếu về σ ∈ L 2 (Ω) và Φ(σ n ) hội tụ về Φ(σ) thì Φ(σ n −σ) hội tụ về 0.
Hàm Φ là một hàm không âm, lồi và nửa liên tục dưới yếu, vì nó được tạo thành từ tổng của các hàm không âm, lồi và nửa liên tục dưới yếu Các chứng minh cho các tính chất khác của hàm này có thể được tham khảo tại tài liệu [5].
Bổ đề 3.2.2 khẳng định rằng tập Π(φ ∗ ) := σ ∈ A : F D (σ)y = φ ∗ là một tập hợp khác rỗng, lồi, bị chặn và đóng theo chuẩn của L 2 (Ω) Do đó, tồn tại một nghiệm σ + của bài toán σ∈Π(φmin ∗ )Φ σ −σ 0, được gọi là Φ−nghiệm cực tiểu hóa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán Đặc biệt, Φ−nghiệm cực tiểu hóa là duy nhất khi p > 1.
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Dễ thấy Π(φ ∗ ) là khác rỗng, lồi, bị chặn Phần chứng minh tính đóng của Π(φ ∗ ) theo chuẩn của
L 2 (Ω) có thể tìm được tại [6].
Chúng ta cần chứng minh sự tồn tại ít nhất một Φ-nghiệm cực tiểu hóa Giả sử không có bất kỳ Φ-nghiệm cực tiểu hóa nào trong Π(φ ∗ ) Khi đó, có một dãy {σ k } ⊂ Π(φ ∗ ) sao cho Φ(σ k −σ 0 ) tiến tới c và c nhỏ hơn Φ(σ−σ 0 ) với mọi σ ∈ Π(φ ∗ ).
Do Π(φ ∗) là compact yếu, tồn tại một dãy con của dãy {σ k} hội tụ yếu về σe ∈ Π(φ ∗) Từ tính chất nửa liên tục dưới yếu của Φ, ta có Φ(σe−σ 0) ≤ lim k→∞inf Φ(σ k −σ 0) = c, điều này mâu thuẫn với (3.1).
Với p >1,Φ(ã) là lồi chặt nờn Φ−nghiệm cực tiểu húa là duy nhất. Định lý 3.2.3 (Sự tồn tại)
Bài toán (2) có ít nhất một nghiệm.
Hàm F φ δ (ã) là lồi và liên tục theo chuẩn L 2 (Ω), do đó nó nửa liên tục dưới yếu Theo Bổ đề 3.2.1, hàm Φ(ã) cũng lồi và nửa liên tục dưới yếu theo chuẩn L 2 (Ω) Điều này dẫn đến việc hàm mục tiêu của bài toán (2) là lồi và nửa liên tục dưới yếu trong A Hơn nữa, tập A là không rỗng, lồi, bị chặn và đóng theo chuẩn L 2 (Ω), nên A compact yếu Do đó, bài toán (2) đảm bảo có ít nhất một nghiệm Định lý 3.2.4 khẳng định tính ổn định của bài toán này.
Với một tham số chỉnh hóa cố định α > 0, đặt dãy {φ n } hội tụ về φ δ trong H 0 1 (Ω) và σ n ∈ argmin σ∈A
Khi đó, tồn tại một dãy con {σ n k } của {σ n } và một điểm cực tiểu σ α,δ p của bài toán (2) sao cho σ n k −σ p α,δ
Ngoài ra, nếu điểm cực tiểu σ α,δ p là duy nhất thì dãy {σ n } hội tụ về σ α,δ p theo chuẩn của L 2 (Ω).
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Từ định nghĩa σ n , ta được
Với mọi σ ∈ A, có một hằng số C độc lập với nsao sao cho kφ n k 2 H 1 (Ω) ≤ C với mọi n Điều này dẫn đến n Φ σ n − σ 0 o bị chặn Theo Bổ đề 3.2.1, hàm Φ là coercive yếu trong L 2 (Ω), do đó dãy {σ n } cũng bị chặn trong L 2 (Ω).
Tồn tại một dãy con {σ n k } của {σ n } và một phần tử σ p α,δ ∈ L 2 (Ω) sao cho {σ n k } hội tụ yếu về σ α,δ p trong L 2 (Ω) Do A là một tập lồi và đóng trong L 2 (Ω), nên σ α,δ p ∈ A Hơn nữa, vì F φ δ (ã) và Φ(ã) là các hàm nửa liên tục dưới yếu, nên ta có.
F φ δ σ α,δ p ≤ lim k infF φ δ (σ n k ) (3.3) và Φ σ α,δ p −σ 0 ≤ lim k inf Φ σ n k −σ 0 (3.4) Hơn nữa, ta có
Vì φ n k → φ δ trong H 1 (Ω) nên biểu thức trong dấu ngoặc tròn ở vế phải của (3.5) hội tụ về 0 khi k → ∞ Do đó limk infF φ δ (σ n k ) = lim k infF φ nk(σ n k ),lim k supF φ δ (σ n k ) = lim k supF φ nk(σ n k ).
= F φ δ (σ) +αΦ σ −σ 0 (3.7) với mọi σ ∈ A Vậy σ α,δ p là một điểm cực tiểu của bài toán (2).
Từ (3.7), đặt σ = σ α,δ p , ta được lim k
Kết hợp với (3.3) và (3.4), ta đượcΦ σ n k −σ 0 → Φ σ α,δ p −σ 0 Cuối cùng, vì {σ n k } hội tụ yếu về σ α,δ p và Φ σ n k −σ 0 →Φ σ α,δ p −σ 0 khi k → ∞, ta kết luận rằng Φ σ n k −σ α,δ p →0khik →0, và do đó σ n k −σ α,δ p
L 2 (Ω) →0 khi k → ∞ (theo Bổ đề 3.2.1). Định lý 3.2.5 (Sự hội tụ)
Giả sử rằng phương trình toán tử F D (σ)y = φ ∗ có một nghiệm trong A và α :R >0 → R >0 thỏa mãn α(δ) →0 và δ 2 α(δ) → 0 khi δ →0. Đặt δ n →0 và φ n −φ ∗
H 1 (Ω) ≤ δ n Hơn nữa, đặt α n = α(δ n ) và σ n ∈ argmin σ∈A
Khi đó, tồn tại một Φ−nghiệm cực tiểu hóa σ + của FD(σ)y = φ ∗ và một dãy con của {σ n } hội tụ về σ + trong A theo chuẩn của L 2 (Ω).
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Đặt σe ∈ A là một nghiệm của F D (σ)y = φ ∗ Từ định nghĩa của σ n , ta được
≤ 1 λδ n 2 +αnΦ σe−σ 0 Đặc biệt, khi δ → 0 và α ∼ δ 2 thì
F φ n (σ n ) → 0 và lim n sup Φ σ n −σ 0 ≤Φ σe−σ 0 cho thấy n Φ σ n −σ 0 o bị chặn Vì Φ(ã) là coercive yếu, nên dãy {σ n } cũng bị chặn Do đó, tồn tại một dãy con {σ n k } của {σ n } và σ + ∈ A sao cho σ n k hội tụ yếu về σ +.
Vỡ F φ ∗ (ã) nửa liờn tục dưới yếu nờn
H 1 (Ω) = 0 Vậy σ + là một nghiệm của phương trỡnh F D (σ)y = φ ∗ Hơn nữa, vỡ Φ(ã) nửa liờn tục dưới yếu trong L 2 (Ω) nên từ (3.8) ta được Φ σ + −σ 0 ≤ lim k inf Φ σ n k −σ 0 ≤ lim k sup Φ σ n k −σ 0 ≤ Φ σe−σ 0
Điều này chứng tỏ rằng σ + là một nghiệm cực tiểu hóa của hàm Φ Khi chọn eσ = σ + trong (3.9), ta thấy rằng Φ σ n k −σ 0 sẽ hội tụ về Φ σ + −σ 0 khi k tiến tới vô cực Đồng thời, σ n k −σ 0 hội tụ yếu về σ + −σ 0 trong không gian L 2 (Ω), dẫn đến Φ σ n k −σ 0 sẽ tiến tới Φ σ + −σ 0 khi k tiến tới vô cực Cuối cùng, điều này cho thấy Φ(σ n k −σ + ) sẽ tiến tới 0 khi k tiến tới 0, từ đó suy ra rằng σ n k −σ + cũng sẽ hội tụ.
Như đã nói, với σ ∈ A, toán tử
Q−2,∞ là tuyến tính liên tục.
Toán tử liên hợp của F D 0 (σ)y biểu thị bởi
(3.10) Định nghĩa 3.2.1 (Khoảng cách Bregman)
Cho X là một không gian Banach cùng với không gian liên hợp X ∗ và
R : X →(−∞; +∞] là một hàm lồi chính thường với dom(R) := x ∈ X : R(x) < +∞ 6= ∅. Dưới vi phân của R tại x ∈ dom(R) xác định bởi
∂R(x) := nx ∗ ∈ X ∗ : R(y) ≥ R(x) +hx ∗ , y−xi (X ∗ ,X) với mọi y ∈ Xo. Khi đó, với một phần tử cố định x ∗ ∈ ∂R(x),
D x R ∗(y, x) := R(y)−R(x)− hx ∗ , y−xi (X ∗ ,X) được gọi là khoảng cách Bregman của hai phần tử y, x ∈ X theo R và x ∗ Định lý 3.2.6 Cho q ∈
H 1 (Ω) ≤ δ và σ p α,δ là một nghiệm của bài toán (2) Hơn nữa, giả sử tồn tại một hàm w ∗ ∈ H −1 (Ω) sao cho ξ := F D 0 (σ + )y ∗ (w ∗ ) ∈ ∂Φ σ + −σ 0 (3.11)
H 1 (Ω) = O(δ) khi δ → 0 và α ∼ δ Đặc biệt, với p∈ (1; 2], ta được σ α,δ p −σ +
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Từ định nghĩa của σ α,δ p , ta được
Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn tại w ∈ H 0 1 (Ω) sao cho w ∗ , F D 0 (σ + )y σ α,δ p −σ +
Vì σ + ≥λ > 0 nên tích vô hướng
Ω σ + ∇φ.∇vdx, với mọi φ, v ∈ H 0 1 (Ω) tương đương với hφ, vi H 1
0 (Ω) trong H 0 1 (Ω) Vì vậy tồn tại wb ∈ H 0 1 (Ω) độc lập với σ α,δ p để w, F D 0 (σ + )y σ α,δ p −σ +
Từ công thức nghiệm yếu của F D (σ + )y và F D 0 (σ + )y σ α,δ p −σ + tại (2.2) và (2.4), ta được αΛ = α
Ω σ p α,δ ∇w.∇b φ δ −φ ∗ dx. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta được α|Λ| ≤ α
Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ αa 2
2α và kết hợp với (3.12), ta được
1 2 Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng
Từ Định lý 2.4.2 và (3.16), ta có
CF φ δ σ α,δ p = O(δ 2 ) khi δ →0 và α ∼δ. Đặc biệt, với p ∈ (1; 2], tồn tại một hằng số C p > 0 sao cho
Vì vậy, ta kết luận được σ α,δ p −σ +
Xét bài toán −div(σ∇u) = f và u = 0 trên biên Ω Giả sử cho trước σ = 1 +x 2 + y 2 và u = 1−x 2 −y 2 , ta tính được f = 8x 2 + 8y 2 + 4.
Sử dụng giải thuật Gradient, ta được chương trình Matlab sau:
%This program solve the genaral problem(BVP): -div(\sigma grad(u))=f with c
%3 Define the function c,f depend on the mesh.
%4 Compute The Stiff Matrix, Mass Matrix, Source Matrix
%5 Define the operator FD to the solution, Dirichlet trace and
%1 define Decomposed Geometry Matrix(the unit circle).
%number of nodes and triangles np=size(p,2);ne=size(e,2);
%background of sigma sigma1=’exp(x-x)’;
%parameter function that need recovering sigmat = ’1+x.^2+y.^2’; sigval=value(sigmat);
K1 = stiffmat(sigma1);% the stiffness matrix with c=\sigma=1
Kt = stiffmat(sigmat);% the stiffness matrix with c=\sigma is physical conductivity.
%Function in the right handside f=’8*x.^2+8*y.^2+4’; f=value(f);
MM1=massmat(); %the mass matrix with a=1
%tranfer function f into the source matrix
%data of inverse problem, noise added! randn(’state’,0); vector=randn(size(f));
%vector=vector/max(max(abs(vector))); vector=vector*(sqrt(f’*MM1*f)/sqrt(vector’*MM1*vector)); f1 = f + 3e-1*vector;
[ux,uy] = pdegrad(p,t,u); error=(u-u_true)’*(K1+MM1)*(u-u_true)
% regularization parameter setting eta = 5e-5; w = eta*ones(np,1); q=0.5; s1^-2;s2^2; epsilon-17; beta-2; maxiter ;
%Initial sigma = ones(np,1); % background parameter dsig1 = zeros(np,1); % initial guess of inhomogeneities dsig2=dsig1; sn=1;
%save objective function, parameter s^n, time after each iteration obj1=[]; sn1=[]; time1=[]; r_norm1=[]; solution1=[sigma];
MSE=(sigval-sigma)’*MM1*(sigval-sigma);
%objective function at the first step
KKi = stiffmat(sigma+dsig1); ud1 = FD(KKi,F); objfcn1=(ud1-u)’*KKi*(ud1-u); objfcnt1 = objfcn1 + w’*MM1*abs(dsig1);
% gradient of data-fitting function at sigma^n
[udx,udy] = pdegrad(p,t,ud1); gradfcn1 = -udx.*udx-udy.*udy+ux.*ux+uy.*uy; gradfcn1=pdeprtni(p,t,gradfcn1); tic for i = 1:maxiter tg=toc;
%save obj and time obj1=[obj1 objfcnt1]; time1=[time1 tg]; ok=1; while ok
%Step 1: Compute u^{n+1} stemp = dsig1 - sn*gradfcn1; dsig2 = sign(stemp).*max(abs(stemp)-sn*w,0); dsig2=max(dsig2,0);
%Step 2: Check condition of If-clause
KKi = stiffmat(sigma+dsig2); ud2 = FD(KKi,F); objfcn2=(ud2-u)’*KKi*(ud2-u); objfcnt2 = objfcn2 + w’*MM1*abs(dsig2);
DL=objfcn1+gradfcn1’*MM1*(dsig2-dsig1)+(dsig2-dsig1)’*MM1*(dsig2-dsig1)/(2*sn);
DL = DL + w’*MM1*abs(dsig2); if (objfcnt2>DL) & (sn>=s1) & (sn
