Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN LÊ DUY KHANG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN LÊ DUY KHANG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA THƯA CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng - 2021 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert hệ trực chuẩn 1.3 Các không gian Sobolev 13 1.4 Toán tử liên tục khả vi Fréchet 16 1.5 Dưới vi phân hàm lồi 19 1.6 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp chỉnh hóa 21 Chương BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 25 2.1 Phát biểu toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán 25 2.2 Cơng thức nghiệm yếu 2.3 Tính tồn nghiệm yếu 26 2.4 Tính khả vi tốn tử FD (·)y Fφδ (·) 29 25 Chương BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA 38 3.1 Phát biểu toán xác định hệ số khuếch tán 38 3.2 Phương pháp chỉnh hóa thưa 39 3.2.1 Tính đặt chỉnh 39 3.2.2 3.3 Tốc độ hội tụ 45 Nghiệm số 49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn xác định hệ số khuếch tán" khơng có trùng lặp với đề tài luận văn khác Tôi xin khẳng định luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi hướng dẫn TS Phạm Quý Mười Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu có nguồn gốc rõ ràng Tác giả Nguyễn Lê Duy Khang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình nghiên cứu, nhà khoa học nhiều phải giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn kết Những toán gọi đặt không chỉnh (ill-posed problem) Trong thực tế, sai số đầu vào khơng thể tránh khỏi, việc chỉnh hóa tốn, làm cho nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm sai số liệu nhỏ, công việc quan trọng Bài toán xác định hệ số khuếch tán toán xác định hệ số σ phương trình: − div(σ∇φ) = y Ω, φ = ∂Ω từ liệu nhiễu φδ ∈ H01 (Ω) φ cho φ∗ − φδ H (Ω) (1) ≤ δ (δ > 0) Bài toán thu hút ý nhiều nhà nghiên cứu, tốn đặt khơng chỉnh Một vài phương pháp chỉnh hóa đưa ra, phổ biến chỉnh hóa Tikhonov chỉnh hóa biến phân tồn phần Tuy nhiên, nhiều tình người ta biết hệ số σ ∗ cần tìm có biểu diễn thưa, tức tồn hữu hạn tọa độ khác không σ ∗ − σ sở trực chuẩn (hoặc khung) L2 (Ω) Điều gợi ý sử dụng phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn này, qua dẫn đến tốn cực tiểu có dạng: Fφδ (σ) + αΦ σ − σ , σ∈A (2) α tham số chỉnh hóa, tập A định nghĩa A = σ ∈ L∞ (Ω) : λ ≤ σ ≤ λ−1 h.k.n Ω supp σ − σ ⊂ Ω (3) với λ ∈ (0; 1) cho trước, σ giá trị σ Ω tập mở compact với biên trơn Ω, σ ∇ FD (σ)y − φδ Fφδ (σ) := dx (4) Ω với toán tử phi tuyến FD (·)y : A ⊂ Lq (Ω) → H01 (Ω) xác định FD (σ)y = u nghiệm toán (1), Φ(ϑ) := ωk ϑ, ϕk p (1 ≤ p ≤ 2) (5) với {ϕk } sở trực chuẩn (hoặc khung) L2 (Ω), ·, · tích vơ hướng L2 (Ω) ωk ≥ ωmin > với k Một vài giải thuật đề xuất cho toán (2), chúng thật có hiệu Tuy nhiên, ta cần nghiên cứu thêm tính khả vi Fφδ (·), tính đặt chỉnh tốc độ hội tụ tốn (2) Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết chỉnh hóa, đặc biệt phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn ngược đặt khơng chỉnh, định chọn đề tài “Phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn xác định hệ số khuếch tán” cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa thưa cho toán xác định hệ số khuếch tán Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Bài toán khuếch tán thuận toán khuếch tán ngược - Phương pháp chỉnh hóa thưa cho toán khuếch tán ngược Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, phân tích tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu - Phân loại hệ thống hóa lý thuyết - Trình bày báo cáo seminar nhóm nghiên cứu - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài trình bày chi tiết phương pháp chỉnh hóa thưa cho toán xác định hệ số khuếch tán, tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học người có nhu cầu tìm hiểu tốn ngược, tốn đặt khơng chỉnh nói chung tốn xác định hệ số khuếch tán nói riêng Cấu trúc luận văn Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung gồm chương Chương Kiến thức sở Chương Bài tốn Dirichlet cho phương trình khuếch tán Chương Bài toán xác định hệ số khuếch tán phương pháp chỉnh hóa thưa Phần III: Kết luận kiến nghị Phần IV: Tài liệu tham khảo Luận văn hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn, TS Phạm Quý Mười, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt trình thực 50 MM1=massmat(); %the mass matrix with a=1 %tranfer function f into the source matrix F=sourcemat(f); %solution of BVP u_true=FD(Kt,F); %data of inverse problem, noise added! randn(’state’,0); vector=randn(size(f)); %vector=vector/max(max(abs(vector))); vector=vector*(sqrt(f’*MM1*f)/sqrt(vector’*MM1*vector)); f1 = f + 3e-1*vector; F1=sourcemat(f1); u=FD(Kt,F1); [ux,uy] = pdegrad(p,t,u); error=(u-u_true)’*(K1+MM1)*(u-u_true) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - inverse problem % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % regularization parameter setting eta = 5e-5; w = eta*ones(np,1); q=0.5; s1=5e-2;s2=5e2; epsilon=1e-17; beta=1e-2; maxiter=20; % - % %*****************Reconstruct the parameter sigma ********% %***************** by Algorithm ********% %Initial sigma = ones(np,1); % background parameter dsig1 = zeros(np,1); % initial guess of inhomogeneities dsig2=dsig1; sn=1; %save objective function, parameter s^n, time after each iteration obj1=[]; sn1=[]; time1=[]; r_norm1=[]; solution1=[sigma]; MSE=(sigval-sigma)’*MM1*(sigval-sigma); MSE1=[MSE]; %objective function at the first step KKi = stiffmat(sigma+dsig1); 51 ud1 = FD(KKi,F); objfcn1=(ud1-u)’*KKi*(ud1-u); objfcnt1 = objfcn1 + w’*MM1*abs(dsig1); % gradient of data-fitting function at sigma^n [udx,udy] = pdegrad(p,t,ud1); gradfcn1 = -udx.*udx-udy.*udy+ux.*ux+uy.*uy; gradfcn1=pdeprtni(p,t,gradfcn1); tic for i = 1:maxiter tg=toc; %save obj and time obj1=[obj1 objfcnt1]; time1=[time1 tg]; ok=1; while ok %Step 1: Compute u^{n+1} stemp = dsig1 - sn*gradfcn1; dsig2 = sign(stemp).*max(abs(stemp)-sn*w,0); dsig2=max(dsig2,0); %Step 2: Check condition of If-clause %Value of D(u^{n+1}) KKi = stiffmat(sigma+dsig2); ud2 = FD(KKi,F); objfcn2=(ud2-u)’*KKi*(ud2-u); objfcnt2 = objfcn2 + w’*MM1*abs(dsig2); %Value D_L(u^{n+1},u^n) DL=objfcn1+gradfcn1’*MM1*(dsig2-dsig1)+(dsig2-dsig1)’*MM1*(dsig2-dsig1)/(2*sn); DL = DL + w’*MM1*abs(dsig2); if (objfcnt2>DL) & (sn>=s1) & (sn