Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI NGUYỄN MINH HỒNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HỐ THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI NGUYỄN MINH HOÀNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn TS PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng - 2021 LOI CAM DOAN Toi xin cam doan day la c6ng trlnh nghien CU'.U cua rieng t6i Cac s6 li�u, k@t qua neu lui;i,n van la trung thl)'c va chua tll'ng dU'Qc c6ng b6 b§,t kl c6ng trlnh nao khac Tac gia Mai Nguy€n Minh Hoang TRANG THONG TIN LUAN VA.N TRAC SI Tend� tai: PHUdNG PH.AP CHINH HO.A THUA CHO BAI TO.AN xAc D�NH H]t DAN DI]tN TRONG CHlJP CAT LdP DI]tN TRd KR.ANG Nganh: Toan Giai tich HQ va ten h9c vien: Mai Nguyen Minh Hoang Nguai hudng dan khoa h9c: TS Ph9-m Quy Muoi Co scJ dao tc,1,0: Truong D9-i h9c Su ph9-m - D9-i h9c Da Niing so Tom d.t: Xet bai toan xac djnh M s6 dan di�n a phucmg trlnh elliptic: - div(aV¢) =0 (1) D, tu du: li�u bj nhieu cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet Bai toan (1) da dtrQc chi' la bai toan di:\t khong chi'nh Do tinh di:i,t khong chi'nh va du: li�u nhieu thu duqc nen bai toan tlm nghi�m s6 cho M s6 dan di�n a tu du: li�u nhieu la bai toan khong 611 djnh va la bai toan riit kh6 Nghi�m s6 cho bai toan da cang thu h(1t sv quan tam cua nhi§u nha, khoa h9c va da c6 mot vai gia.i thu�t s6 duqc d§ xuiit Trong h§.u h§t cac trtrang hQp, nguai ta dua v§ bai toan t6i uu dl,1a tren pl1ltong phap blnh phtwng be nhAt va, sau d6 gia.i bai toan b5.ng phUCfng phap Newton Tuy nhien, ch§.t lUQng cua anh phl).c hbi (nghi�m phl).c h6i) thu dttQc van kem va rAt khiem t6n so sanh v6i cac phtwng phap khac Bai toan (1) phat sinh tu nhi§u bai toan tht_rc t§ Ching hc_111 nhu xac djnh vj tri khong d6ng nhAt ben cac d6i tuQng c6 dan 11§11 da bi§t, tu'c la chung c6 khai triJn thua mot CCf SC! nao d6 cua khong gian Vf dl)., phat hi�n ca,c v§t nut hoi;ic bQt mot s6 v�t li�u xay dl,1ng va phan bi�t mo ung thu cung thuoc loc_1i bai toan Vl tM, lu�n van nay, chung toi mu6n nghien cu:u Bai toan (1) v6i gia thi§t la M s8 dan di�n a* dn du0c pht_1c h6i c6 tfnh th1ra H011 nu:a, thvc t�, ch(mg ta chi' c:6 mot s6 luang hu:u hc_111 cho t�p du: li�u cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet Chinh vl v�y, chung ta nen sfr dl).ng phu0ng phap ch111h h6a thua cho bai toan truang hQp Lu�n van da trlnh bay cac kifo thu:c CCf SC! lien quan; nghien cu:u bai toan thu�n chl).p ciit 16p di�n trcJ khang; nghien cu:u ba.i toan ngtrQc, phu0ng phap chinh h6a thua va sfr dl).ng Matlab dJ gia.i ca.c vi dl) s6 Tu kh6a: H� s6 dan di�n, chl).p dt 16p di�n trcJ khang, plnwng phap chinh h6a thtra Xac nh�n cua giao vien huong dan TS Ph,:lm Quy Muoi Nguoi thvc hi�n d� tai lVIai Nguyen Minh Hoang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 10 1.1.3 Không gian Hilbert 10 Toán tử số khái niệm liên quan 11 1.2.1 Toán tử liên tục 11 1.2.2 Hàm nửa liên tục, hàm nửa liên tục yếu, hàm coercive 12 1.2.3 Hội tụ yếu 12 1.2.4 Tốn tử tuyến tính bị chặn 13 1.2.5 Toán tử liên tục Lipschitz 13 1.2.6 Toán tử kép 13 1.3 Tập lồi hàm lồi 14 1.4 Toán tử khả vi Fréchet, vi phân 15 1.4.1 Toán tử khả vi Fréchet 15 1.4.2 Dưới vi phân 15 1.5 Không gian Sobolev 16 1.6 Định lí Lax-Milgram, định lí biểu diễn Riesz, định lí nhúng Sobolev, định lí nhúng Kondrashov 18 1.7 Bất đẳng thức Poincaré 21 Chương BÀI TOÁN THUẬN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG 22 2.1 Phát biểu toán 22 2.2 Công thức nghiệm yếu 23 2.3 Tính khả vi Toán tử 24 Chương BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA 30 3.1 Phát biểu toán ngược 30 3.2 Phương pháp chỉnh hóa thưa 31 3.3 Tốc độ hội tụ phương pháp chỉnh hóa thưa 40 3.4 Nghiệm số 45 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn, TS Phạm Quý Mười, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Giải tích - K39 Đà Nẵng dày công giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trình học tập thực luận văn Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ vật chất tinh thần gia đình, cảm ơn người bạn đồng hành tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn BẢNG KÍ HIỆU R : Tập số thực Rn : Khơng gian Euclid n - chiều ∇ : Toán tử gradient · V : Chuẩn không gian V inf f : Cận ánh xạ f sup f : Cận ánh xạ f f : Giá trị nhỏ ánh xạ f max f : Giá trị lớn ánh xạ f div F : divergence hàm vectơ F ∂u ∂xi : Đạo hàm riêng hàm u theo biến xi x, y : Tích vơ hướng x y hkn : Hầu khắp nơi suppu : Giá hàm u MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét toán xác định hệ số dẫn điện σ phương trình elliptic: − div(σ∇φ) = Ω, (1) từ liệu bị nhiễu toán tử Neumann-to-Dirichlet Bài toán (1) Calderon xem xét lần vào năm 1980 tính giải cho nghiệm toán Sylvester Uhlman chứng minh không gian rộng với số chiều từ ba trở lên vào năm 1987 Sau đó, có số kết mở rộng khác tính nghim Păavăarinta v cỏc c chng minh vi biên thuộc C 1,1 hàm σ ∈ C 1,1 (Ω) cộng chứng minh tính nghiệm với hệ số dẫn điện Lipschitz Trong không gian hai chiều, tính nghiệm chứng minh Nachman với σ ∈ W 2,p (Ω), p > sau mở rộng Brown Uhlmann với σ ∈ W 1,p (Ω), p > Bài toán (1) tốn đặt khơng chỉnh Do tính đặt khơng chỉnh liệu nhiễu thu được, nên tốn tìm nghiệm số cho hệ số dẫn điện σ từ liệu nhiễu tốn khơng ổn định tốn khó Nghiệm số cho toán ngày thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học có vài giải thuật số đề xuất Trong hầu hết trường hợp, người ta đưa tốn tối ưu dựa phương pháp bình phương bé sau giải tốn phương pháp Newton Tuy nhiên, chất lượng ảnh phục hồi (nghiệm phục hồi) thu khiêm tốn so sánh với phương pháp khác 48 Bài toán (2.1) (2.2) rời rạc theo phương pháp phần tử hữu hạn lưới có 1272 hình tam giác xác định M Φ(ϑ) = ϑ, ϕi H01 (Ω) , i=1 với {ϕi }i=1, ,M sở bao gồm phần tử hữu hạn tuyến tính mảnh khơng gian rời rạc Vì supp σ ∗ − σ ⊂⊂ Ω nhỏ, nhiều hệ số σ ∗ − σ , ϕi H01 (Ω) 0, tức σ ∗ − σ có mở rộng thưa thớt sở phương pháp phần tử hữu hạn Với liệu nhiễu jkδ , gkδ k=1, ,N , ta có N = sử dụng liệu nhiễu sau Dữ liệu xác là: {jk , gk }k=1, ,N với jk = k cos t/k + (k − 1) π2 , t ∈ [0, 2π) gk vết u∗ , nghiệm (2.1) với σ = σ ∗ jkδ = jk với k = 1, , N gkδ xác định gkδ = gk + 10−3 randn(size(g1)), với (3.39) đề cập đến mức độ nhiễu tương đối randn(size(g1)) MAT- LAB thiết lập randn("state",0) Để phân tích so sánh, ta có liệu nhiễu sau: Dữ liệu (Data1) = j1 , g1δ , Dữ liệu (Data4) = = jk , gkδ k=1,2, ,8 jk , gkδ k=2,4,6,8 Dữ liệu (Data8) Sai số nghiệm tính tốn nghiệm xác σ ∗ tính sai số bình phương trung bình MSE (an ) := σ n − σ ∗ H01 (Ω) |σ n − σ ∗ |2 dx + = Ω |∇ (σ n − σ ∗ )|2 dx Ω Hình 3.1 minh họa giá trị Θ (σ n ) MSE (σ n ) với ba liệu ba giá trị khác tham số chỉnh hóa α = × 10−3 , α = × 10−5 Θ (σ n ) ba trường hợp đơn điệu giảm ngày chậm 49 số lần lặp ngày lớn Điều dãy số {σ n } ba trường hợp hội tụ chậm đến nghiệm xấp xỉ Θ(·) Với trường hợp tập liệu nhiễu, Θ(·) xác định khác nhau, xem (2.5) Vì thế, để so sánh chất lượng nghiệm phục hồi, dựa vào giá trị MSE (σ n ) Từ hình 3.1 ta thấy α = × 10−3 dãy MSE (σ n ) Data8 nhỏ ba trường hợp tập liệu nhiễu Với α bé, ví dụ α = × 10−5 , dãy MSE (σ n ) ba trường hợp có giá trị lớn Do đó, chất lượng tốt nghiệm phục hồi đạt với lựa chọn tốt α, ví dụ trường hợp α = × 10−3 có giá trị tốt α = × 10−5 Tuy nhiên, phương pháp để có tham số chỉnh hóa tốt nằm ngồi mục đích nghiên cứu luận văn Một phương pháp cần nghiên cứu thêm Ở đây, chất lượng nghiệm phục hồi hai trường hợp α với tập liệu khác thấp, chấp nhận so sánh với kết thu từ phương pháp khác Hình 3.2 cho ta hình dung σ n với α = × 10−3 tập liệu: Data1, Data4, Data8 Ở n số vòng lặp tương ứng với giá trị nhỏ dãy MSE σ k với tập liệu: Data1, Data4, Data8 Hình 3.2 σ n với Data giá trị gần σ ∗ trường hợp Vậy nghiệm số cho toán đặt giải 50 Hình 3.1: Giá trị Θ(σ n ) MSE(σ n ) với liệu Data1, Data4, Data8 51 Hình 3.2: Contour đồ thị dạng 3D σ n α = × 10−3 với liệu Data1, Data4, Data8 52 KẾT LUẬN Trong luận văn này, thực công việc sau Hệ thống lại kiến thức sở để giải toán đặt phần mở đầu Nghiên cứu toán thuận chụp cắt lớp điện trở kháng Nghiên cứu toán ngược, phương pháp chỉnh hóa thưa nghiệm số (sử dụng giải thuật Matlab công cụ mạnh kĩ thuật nay) Đây vấn đề có tính ứng dụng thực tế cao, ứng dụng nhiều lĩnh vực nên hướng nghiên cứu rộng mở Mặc dù cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn có số thiếu sót Rất mong đóng góp q thầy cơ, bạn để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Quý Mười (2018), Giáo trình Lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh, NXB Thơng tin Truyền thông, Hà Nội [2] Trần Đức Vân (2005), Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [3] Engl HW, Hanke M, NeubauerA (1996), Regularization of inverse problems Dordrecht: Kluwer [4] Evans LC, Gariepy RF (1992), Measure theory and fine properties of functions, Systems and control: foundations and applications series Boca Raton (FL): CRC Press [5] Fredi Trăoltzsch (2005), Optimal Control of Partial Differential Equations Theory, Methods and Applications, American Mathematical Society Providence, Rhode Island [6] Heinz W.Engl, Martin Hanke, Andreas Neubauer (1996), Regularization of inverse problems, Kluwer Academic Publishers, London [7] Hofmann B, Kaltenbacher B, Păoschl C, Scherzer C (2007), A convergence rates result for tikhonov regularization in banach spaces with non-smooth operators Inverse Prob., 23:987–1010 [8] Jin B, Khan T, Maass P (2011), A reconstruction algorithm for electrical impedance tomography based on sparsity regularization, Int J Numer Methods Eng., 89:337–353 [9] Jin B, Khan T, Maass P, Pidcock M (2011), Function spaces and optimal currents in impedance tomography, J Inverse Ill-Posed Prob., 19:25–48 54 [10] Jin B, Peter Maass (2012), An analysis of electrical impedance tomography with applications to Tikhonov regularization, ESAIM: Control, Optim Calc Var., pp 1027–1048 [11] Lorenz DA, Maass P, Muoi PQ (2012), Gradient descent methods based on quadratic approximations of Tikhonov functionals with sparsity constraints: theory and numerical comparison of stepsize rules, Electron Trans Numer Anal., pp 437–463 [12] Meyers NG (1963), An Lp - estimate for the gradient of the solutions of second order elliptic divergence equations Annali Scuola Normale Superiore di Pisa, 17:189-206 [13] Muoi PQ (2015), “Reconstructing conductivity coefficients based on sparsity regularization and measured data in electrical impedance tomography”, Inverse Problems in Science and Engineering, Vol 23, No 8, pp 1366–1387 [14] Muoi PQ, Hào DN, Maass P, Pidcock M (2013), Semismooth Newton and quasi-Newton methods in weighted l1-regularization, J Inverse IllPosed Prob., 21:665–693 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn xác định hệ số dẫn điện chụp cắt lớp điện trở kháng Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ 2042/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Chử Văn Tiệp Chủ tịch TS Lê Văn Dũng Thư ký TS Lương Quốc Tuyển Phản biện PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện TS Lê Quang Thuận a Thành viên có mặt: Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Bổ sung khái niệm, tính chất sử dụng chưa đưa vào luận văn, thống cách hành văn Sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện Học viên chỉnh sửa luận văn, gửi file luận văn (PDF) tới phản biện qua email luận văn phải chấp nhận của phản biện c) Các ý kiến khác: d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,5 Bằng chữ: tám lăm 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Lê Văn Dũng Chử Văn Tiệp CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN luận văn thạc sĩ Của học viên: Tên đề tài: Chuyên ngành: Mã số: Người hướng dẫn: MAI NGUYỄN MINH HOÀNG Phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn xác định hệ số dẫn điện chụp cắt lớp điện trở kháng Giải tích 8.46.01.02 TS Phạm Quý Mười NỘI DUNG NHẬN XÉT Tên đề tài phù hợp với nội dung luận văn, phù hợp với chuyên ngành mã số nghiên cứu Đề tài không trùng lặp so với cơng trình khoa học, luận văn cơng bố ngồi nước, có tính trung thực rõ ràng Hướng nghiên cứu đề tài có tính thời sự, có tính thực tế cao nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần Là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn toán học đại nhiều ứng dụng ngành khoa học kỹ thuật khác Đề tài có phương pháp kết nghiên cứu phù hợp, kết luận văn lấy từ tài liệu tham khảo tốt, tin cậy Đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học người quan tâm nghiên cứu theo hướng Luận văn có bố cục hợp lý, trình bày rõ ràng, sáng sủa kết chứng minh chi tiết Tuy nhiên, đề tài số tồn đọng sau  Trong luận văn nhiều chỗ xuống dòng tùy tiện, câu, tác giả lại xuống dịng, nhìn vào đầu câu thụt vào 1tab;  Không nên để từ nằm riêng dịng;  Nhiều khái niệm tính chất dùng mà khơng liệt kê vào: Định lí nhúng Sobolev, nửa liên tục yếu, toán tử kép, … ;  Phải trích dẫn tài liệu tham khảo rõ ràng Kính thưa Hội đồng khoa học, cho nội dung luận văn tác giả đáp ứng đầy đủ yêu cầu luận văn thạc sĩ toán học, đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tác giả luận văn xứng đáng nhận học vị thạc sĩ toán học, chun ngành Tốn Giải tích Xin chân thành cảm ơn Hội đồng! Đà nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2021 Người phản biện TS Lương Quốc Tuyển ... Bài toán thuận toán chụp cắt lớp điện trở kháng - Bài toán ngược xác định hệ số dẫn điện toán chụp cắt lớp điện trở kháng - Phương pháp chỉnh hóa thưa cho tốn xác định hệ số dẫn điện toán chụp cắt. .. cắt lớp điện trở kháng - Một số giải thuật để tìm nghiệm số cho toán ngược Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: ? ?Phương pháp chỉnh hoá thưa cho toán xác định hệ số dẫn điện chụp cắt lớp điện trở kháng? ??... MINH HỒNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HỐ THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN TRỞ KHÁNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn TS