Đề tài nghiên cứu Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán trình bày chi tiết phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1DẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYEN LE DUY KHANG
PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH
HE SO KHUECH TAN
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Trang 2NGUYEN LE DUY KHANG
PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH
HE SO KHUECH TAN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VAN THAC SĨ TOÁN HỌC:
Người hướng dẫn khoa học TS PHẠM QUÝ MƯỜI
Trang 3MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN 3
MỠ ĐẦU 4
Chương 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ 8
1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach
1⁄2 Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn 9
143 Các không gian Sobolev 13
1⁄4 Toán tử liên tục và khả vi Erếhet 16 1.5 Dưới vi phân của hàm lồi 19 1.6 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh hóa 21 Chương 2 BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH
KHUẾCH TÁN 25
2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán 25
2.2 Công thức nghiệm yếu 4211 1 25
2.3 Tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu 26 24 Tinh kha vi ctia cdc toan tit Fp(-)y va Fy(-) - re)
Chương 3 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HE SO KHUECH TAN
VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA THƯA 38
3.1 Phát biểu bài toán xác định hệ số khuếch tán 38
3.2 Phương pháp chỉnh hóa thưa 30
Trang 43.3 Nghiệm số
KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ
Trang 5LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phương pháp chỉnh hóa thưa cho
bài toán xác định hệ số khuếch tán" không có sự trùng lặp với bat ky dé
tài luận văn nào khác Tôi cũng xin khẳng định luận văn này là công trình nghiên cứu tổng quan của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Quý Mười
Trang 6Tên để tài : PHƯƠNG PHÁP CHÍNH HÓA THƯA CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HE SO KHUECH TAN
Ngành : Toán Giải Tích Khóa: K39 Họ và tên học viên: NGUYÊN LÊ DUY KHANG
Người hướng dẫn khoa học: TS PHAM QUÝ MƯỜI
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt
*Những kết quả chính của luận văn:
Dé tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán
xác định hệ số khuếch tán” đã đạt được một số kết quả sau đây:
~ Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ sở để giải quyết bài toán đặt ra trong phần mở đầu ~ Đưa ra được phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán ~ Lập trình Matlab cho ví dụ số *Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Ì
Dé tai trình bày chỉ tiết phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác hệ số khuếch
Trang 7INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: SPARSITY REGULARIZATION OF THE DIFFUSION COEFFICIENT IDENTIFICATION PROBLEM
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: NGUYEN LE DUY KHANG Supervisors: PhD PHAM QUY MUO!
Training institution: The University of Danang, University of Education Summary
* The main results of the thesis:
The research topic of the master of science thesis "Sparsity Regularization of the Diffusion Coefficient Identification Problem” has achieved the following results:
~ Presenting systematically the basic knowledge to solve the problem posed in the introduction
~ Presenting sparsity regularization for the diffusion coefficient identification problem ~ Presenting Matlab programming for numerical examples
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
Trang 81 Lý do chọn đề tài
“Trong quá trình nghiên cứu, các nhà khoa học nhiều khi phải giải những bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức
là một thay đổi nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của
kết quả Những bài toán như thế được gọi là dat khong chinh (ill-posed problem) Trong thực tế, sai số đầu vào là không thể tránh khỏi, vì vậy việc chỉnh hóa bài toán, làm cho nghiệm xắp xỉ càng gần với nghiệm đúng,
khi sai số dữ liệu càng nhỏ, là một công việc hết sức quan trọng
Bài toán xác định hệ số khuếch tán là bài toán xác định hệ số ø trong
phương trình:
~ div(øW6) = y trong 2,6 = 0 tren AQ @)
từ dữ liệu nhidu 4° € Hy(Q) của ó sao cho ||ó* — || pq) <5 (6 > 0)
Bài toán này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu, và đó là một bài tốn đặt khơng chỉnh Một vài phương pháp chỉnh hóa đã được đưa ra, trong đó phổ biến nhất là chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa biến phân toàn phần Tuy nhiên, trong nhiều tình huống người ta biết rằng hệ
số ø* cần tìm có một biểu điễn thưa, tức là chỉ tồn tại hữu hạn các tọa
độ khác không của ø* — o° trong một cơ sở trực chuẩn (hoặc khung) của
12(Q) Điều này gợi ý chúng ta sử dụng phương pháp chỉnh hóa thưa cho
bài toán này, qua đó dẫn đến bài toán cực tiểu có dạng:
Trang 9trong đó œ là một tham số chỉnh hóa, tập được định nghĩa bởi
A={ø€ L*(9):À <ø <A-” hien trong Ð và spp(ø — ø°) C Ø'} (3)
với À € (0;1) cho trước, o° 1A gid tri nén cia o va MIA mot tap con md
compact véi bién trơn trong â,
Fa) = [ o|Ơ(Fo(a)y ứ= [s|yae»~#) - 6)| de @)
với toán tử phi tuyến Fp(-)y : 4 C 1(©) —> HẠ(©) được xác định bởi Fp(o)y = u là nghiệm của bài toỏn (1), v
đ(0) := 32ôx|.e0|[ (<p<2) 6)
với {@x} là một cơ sở trực chuẩn (hoặc khung) của L2(Q), (-,-) Ia tich vô
hướng trong 12(9) và «¿ > wnin > 0 với mọi È,
Một vài giải thuật đã được đề xuất cho bài toán (2), và chúng thật sự có hiệu quả Tuy nhiên, ta vẫn cần nghiên cứu thêm về tính khả vi của Fys(-), tính đặt chỉnh cũng như tốc độ hội tụ của bài toán (2) Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết chỉnh hóa, đặc biệt là phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài tốn ngược đặt khơng chỉnh, tôi quyết định chọn đề tài “Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch
tán” cho luận văn tốt nghiệp của mình 2 Mục ~ Nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số khuếch tán u nghiên cứu
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trang 10~ Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán khuếch tần ngược
4 Phương pháp nghiên cứu
~ Thu thập, phân tích và tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiên
cứu
~ Phân loại và hệ thống hóa lý thuyết
~ Trình bày báo cáo tại seminar của nhóm nghiên cứu ~ Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài trình bày chỉ tiết phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác
định hệ số khuếch tán, là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao
học và những người có nhu cầu tìm hiểu về bài toán ngược, bài toán đặt
6 khuếch tán nói riêng
không chỉnh nói chung và bài toán xác định hệ s
6 Cấu trúc luận văn
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung chính gồm 3 chương Chương 1 Kiến thức cơ sở
Chương 2 Bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán
Chương 3 Bài toán xác định hệ số khuếch tán và phương pháp chỉnh hóa thưa
Phan Il: Két luận và kiến nghị Phần IV: Tài liệu tham khảo
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn, TS Phạm Quý Mười, Khoa Toán, Trường Đại học Sư
Trang 11
hiện luận văn Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Phòng Đào tạo, Khoa Toán, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học K39 Toán Giải tích đã dày công giảng
day trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và thực hiện luận văn
Nhân đây, tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về cả vật chất lẫn tỉnh thần của gia đình, bạn bè, những người đã luôn tạo mọi điều kiện
Trang 12KIÊN THỨC CƠ SỞ
“Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức của giải tích
có liên quan đến luận văn bao gồm không gian định chuẩn, không gian
Banach, khong gian Hilbert, cơ sở trực chuẩn, các không gian Sobolev,
hàm khả vi Fréchet, đưới vi phân của ham lồi và các khái niệm cơ bản vẻ
bài tốn đặt khơng chỉnh Tồn bộ kiến thức trong chương này được tham
khảo từ các tài lieu [1], [2] va [3]
1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.1
Cho X là một không gian vectơ trên trường E£ (K = R hoặc K = C)
„ (Chuẩn và không gian định chuẩn)
Anh xa || - || : X + JR được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau với moi x,y € X và với mọi À € K: a, lal] 2 0 va |jx|| = b J|Az|| = Jllz|l- e|lz + øl| < llzll + llvll- er=0 Khi đó, không gian vectơ X cùng với chuẩn || || tren X được gọi là một
không gian định chuẩn, kí hiệu là (X, ||: ||) Hơn nữa, d(z,y) := |Ìz — yl)
là một metric trén X (metric sinh bởi chuẩn)
Nhận xét 1.1.2 Điều kiện thứ ba trong định nghĩa trên được gọi là bất
đẳng thức tam giác Ta cũng có một bất đẳng thức tam giác thứ hai:
Trang 13Định nghĩa 1.1.3 (Dãy hội tu)
Cho X là một không gian định chuẩn Dãy (z„) C X được gọi là hội
tự nếu tồn tại zọ € X sao cho lim |[z„ — za|| = 0 Khi đó, ta cũng nói zụ
là giới hạn của dã (z„) và viết lim z„
Định nghĩa 1.1.4 (Dãy Cauchy)
1
Cho X là một không gian định chuẩn Dã
#„) C X được gọi là
day Cauchy néu lìm ||z„ — #m|[ = 0, tức là với mọi e > 0, tồn tại rng = no(e) € Ñ sao cho |[z; — #m|| < £ với moi n,m > no(e)
Nhận xét 1.1.5 Mọi dãy hội tụ trong một không gian định chuẩn đều
Ta day Cauchy
Dinh nghia 1.1.6 (Khong gian Banach)
Một không gian định chuẩn X được gọi là một không gian Banach nếu X cing véi metric sinh bởi chuẩn là không gian đầy đủ, hay nói cách khác mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ
1⁄22 Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn Định nghĩa 1.2.1 (Tích võ hướng và không gian tién Hilbert)
Cho X là một không gian vectơ trên trường E£ (K = R hoặc K = C)
Ánh xa (
Trang 14
là một không gian tiền Hibert, kí hiệu là (X, +) Nhận xét 1.2.2 Các tinh chất sau đây dễ dàng được suy ra từ định nghĩa: a (x,y +2) =
(r,y) + (x, 2) voi mọi z,, z € X, b (e, Ay) = X(e,y) v6i moi z, ý € X, với mọi À € K Định lý 1.2.1 (Chuẩn sinh bởi tích tô hướng)
Nếu X là một không gian tiền Hibert thì ánh zạ || - | : X —> R được
cho bởi công thức |\z||= f.+) là một chuẩn trên X Hơn nữa, vdi moi
x,y EX, ta cb:
a Bat dang thite Cauchy-Schwarz: |(x.y)| < |\x\]-\lyll-
b Công thức nhị thức: || + y||? = \\xl\? + |lyl|? + 2Re(x,y) © lle + yl? + [lx — yll? = 2( lel? + IIwl)
Dinh nghia 1.2.3 (Khong gian Hilbert)
Nếu một không gian tiền Hilbert X là không gian Banach với chuẩn
sinh bởi tích võ hướng thì X được gọi là một không gian Hilbert Định nghĩa 1
Cho X là một không gian Hilbert Dãy (z„) C X được gọi là hội tự yếu
L (Dãy hội tụ yếu)
về zụ € X nếu (z„,) —> (zạ,) với mọi € X và kí hiệu là x, — zụ
Định nghĩa 1.2.5 (Phần bù trực giao)
Cho X là một không gian tién Hilbert trên KK (K = R hoặc K = C) a Hai phan tit x va ý được gọi là true giao néu (x,y) = 0
b Cho M 1a mot tập con cia X Tap hop:
Trang 15
1
được gọi là phần bù trực giao của AM
AM} luôn là một không gian con đóng và Ä C (Af*)* Hơn nữa nếu
Ac Bthi Bc At
Dinh lý 1.2.2 (Toán tử chiếu)
Cho X là một không gian Hilbert uà V là một không gian con đóng của X Khi đó, V = (V+)* Mỗi z € X có một phân tích duy nhất dưới dạng œ=0+u, trong đó 0€ V và ø € VÀ Toán tử P.: X —> V biến z thành 0 được gọi là toán tử chiếu trực giao lên V uà có các tính chất sau:
a Pu =0 tới mọi 0 € V, tức là P* = P
b lJr — Pz|| < llr — 9| di moi v EV
Tính chất thứ hai suụ ra rằng Pz € V là zấp zỉ tốt nhất của z € X trong
không gian con đồng V
Định nghĩa 1.2.6 (Không gian tách được)
Một không gian định chuẩn X được gọi là tách được nếu tồn tại một tập con trù mật đếm được Af, hay nói cách khác tồn tại Äf và một song, fnh j : N -+ M sao cho cl(M) = X Định nghĩa 1.2.7 Cho X là một không gian Hilbert trên trudng K Véi bắt kỳ một tập 4 C X, tập span A := {Son :a€K,a,€ Ane x} =I được gọi là không gian con cia X sinh béi A Định nghĩa 1.2.8 (Hệ trực chuẩn)
Cho X la mét khong gian Hilbert tách được trên trường K (K = R hoặc K = C) Một tập đếm được A = {2g : k = 1,2,3, } được gọi là
Trang 16a (1g, 2;) = 0 voi moi È # j b ||z;|| = 1 với mọi k €N
A được gọi là hệ đầu đủ hoặc hệ trực chuẩn tối đại nêu A là một hệ
trực chuẩn và không có hệ trực chuẩn Ö nào khác A thỏa mãn A C Ö
Định lý 1.2.3 Cho X là một khong gian Hilbert tach được trên trường
(K = RB hotc K = C) va A = {z¿ : k = 1,2,3, } là một hệ trực chuẩn
của X Khi đó:
a Moi tap con hitu hạn của A đều độc lập tuyến tính
b Néu A la tap hitu han, tite A = {ay : k = 1,2,3, ,n} thi vdi méi
+€X, tồn tại duy nhat cic hé s6 a, € K, k= 2 — aug k ;2,3, m sao cho < || — al] vdi moi a € span A Các hệ số a, được zác định bai ag = (2, x4) vdi moi k = 1 c Véi méi x € X, ta cé bat ding thite Bessel:
Sem) < tell, fai
tà chuỗi Ö (z,¿)z hội tu trong X
d A day di néu tà chỉ nếu span A trù mật trong X
Trang 1718
trong đó sự hội tụ được hiểu theo chuẩn của X Trong trường hợp này,
phương trình Parseual đúng uới dạng tổng quát sau:
G0) =3œ.s)0 z0
1.3 Các không gian Sobolev
Định nghĩa 1.3.1 (Không gian /”)
Giả sử / là một tập con khác rỗng, bị chặn, đo được Lebesgue trong khong gian R" và 1 < p < œ /“(E) được định nghĩa là không gian vectơ bao gồm tất cả các hàm đo được Lebesgue ƒ : # —> R thỏa mãn [sear < +00, 2 Nhận xét 1.3.2 L?(E) 1 mot khong gian Banach véi chuẩn ; We) = ( f\seotar Khi p = 2, 1?(E) là một không gian Hilbert với tích vô hướng ha) = f Heaterae ỉ
Đặc biệt, khi p = +00, U*(E) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được Lebesgue, "bị chặn chính" với chuẩn
II/llr<œ› :=
Định nghĩa 1.3.3 (Khơng gian Œ®)
Cho © là một tập mở lién thong trong R” va k € Ñ, C*(O) được định
Trang 18C* (Q) được định nghĩa là không gian vectơ bao gồm tất cả các hàm
0€ CÊ(Q) thỏa mãn ø và các đạo hàm riêng đến cấp È của nó có thể mở
rộng liên tục lên miền Ø
C* (@) la khong gian Banach với các chuẩn
IFlleqay = max | f(2)| và |/llœ(@ = 3} lIP"vllc(m với k > 1 la|<k Định nghĩa 1 (Giá) Cho hàm ø : 9 —> R, ta định nghĩa giá của v Ia tập suppe := {z €9: ø(z) Z 0}
Định nghĩa 1.3.5 (Không gian Cƒ)
Cho © là một tập mở, liên thông trong R“ và k € ÑU {se} Cj/(9)
được định nghĩa là không gian vectơ con của C*(O) bao gồm các hàm
v € C*(Q) théa man suppv CC ©, tức supp 0 là tập con compact trong
2
Định nghĩa 1.3.6 (Không gian H}„)
L}„(O) được định nghĩa là tập tất cả các hàm khả tích địa phương, trong ©, tức là Ụ 25 a [ \slae < 00, VE CC a} Định nghĩa 1.3.7 (Da chỉ số) „#„) € CÈ() và œ = (œi,da, a„) € Ñ", Ta định
“Ta nói œ là một đa chỉ
Trang 19lỗ
Định nghĩa 1.3.8 (Đạo hàm riêng yếu)
Cho y € L},.(Q) va a = (ai,as, a„) là một đa chỉ số Nếu tồn tại
ham w € Lj,.(Q) sao cho với moi v € C@°(©), ta đều có
ƒ w(z)D*e(z)dz h = (—1)"! ƒ w(2)o(x)de h
thì w được gọi là đạo hàm riêng yếu của y ứng với a
Dinh nghia 1.3.9 (Khong gian W*?)
Cho 1 < p < 00 vak € N W*#(Q) duge dinh nghia la khong gian vecta bao gồm tất cả các hàm ƒ € /"(Q) có céc dao ham rieng yu D*f € L?(Q) với mọi đa chỉ số œ mà |a| < È
Các không gian W*?(O) còn được gọi là các không gian Sobolev Nhan xét 1.3.10 W*"(Q) là không gian Banach với chuẩn
Ween = (= L lal<k | ˆ
Đặc biệt, với p = se, ta có chuẩn
|/llu.~«ø› = max |ÌP°v|~e)
Dinh nghia 1.3.11 (Khong gian H' và HẬ)
Với p = 2, dat H*(Q) = W*?(Q) Khi do H*(Q) 1 khong gian Hilbert
Trang 20là không gian Hilbert với tích vô hướng (t0) mạ = ƒ wudz + | Vụ.Vudr a cùng với chuẩn Ilsø= ( (£ +I9/9)%)` trong đó |V/|Ÿ = (Dif)” + + (Daf) Cuối cùng, ta định nghĩa (a) = {[< H(9)|0in = 0) Dinh ly 1.3.1 (Dinh ly vét)
Cho Q la mét mién Lipschitz bi chặn trong R", T la bién cia Q va
1 <p < oo Khi do, ton tai một ánh zạ tuyến tính liên tục r từ W*?(Q)
vào LP(T) sao cho uới mọi ụ € W'?(Q)C(Ư), ta ln có (r)(+) = (+) vdi moi x ET 1.4 Toán tử liên tục và khả vi Fréchet Định nghĩa 1 Cho X va Y la hai không gian định chuẩn Một toán tử ƒ đi từ X' vào (Toán tử liên tục)
Y được gọi là liên fục tại xo € X nếu với mọi e > 0, tồn tại ổ > 0 sao cho v6i moi x € X ma lla — #u|| < ở ta déu 06 || f(x) ƒ(zo)||< =
Nhận xét 1.4.2 Một định nghĩa khác tương đương với định nghĩa trên:
Toán tử ƒ được gọi là liên tục tại zạ € X nếu với mọi dãy (#„) C X mà
#ạ —> #ụ thì ƒ(#u) —> ƒ(o)-
Định nghĩa 1.4.3 Tuán tử ƒ được gọi là liên tục trên X nếu ƒ liên tục
Trang 2117
Định nghĩa 1.4.4 (Toán tử tuyến tính)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn trên trường Ä Một toán tử
ƒ đi từ X vào Y được gọi là tuyến tính nếu với mọi x,y € X, với mọi
a8 € TK ta đều có f(ax + By) = af(x) + 8ƒ(w)-
Định nghĩa 1.4.5 (Toán tử tuyến tính bị chặn và chuẩn của toán tử)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Một toán tử tuyến tính ƒ đi
từ X vào Y được gọi là bi chặn nếu tồn tai M > 0 sao cho || ƒ(z)|| < A⁄|Iz||
với mọi € X
Số nhỏ nhất trong các hằng số này được gọi là chuẩn của toán tử ƒ, tức là
[sl] = sup GIL x0 (lel
Dinh ly 1.4.1 Cho f la mot todn tử tuyến tính bị chặn từ không gian
tuyến tính định chuẩn X ào không gian tuyến tính dinh chuan Y Khi do,
IzIl= sup x0 lel Weal „ mp, Is@ll = Ni I/œ)|-
Định lý 1.4.2 Cho ƒ là một toán tử tuyến tính đi từ không gian định
chuẩn X uào không gian định chuẩn Y' Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: a f liên tục trên X b ƒ liên tục tại zụ € X c f lién tuc tai 0 d f bi chiin
Dinh nghia 1.4.6 (Khong gian lien hop)
Trang 22nữa, X* là một không gian Banach với chuẩn
I= sup |/0): eX)
Định nghĩa 1.4.7 (Toán tử tuyến tính liên hợp)
Cho X, Y là các không gian Hilbert và ƒ : X -> Y là một toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó, tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính bị
chặn /*: Y + X thỏa mãn
(f(),9)
Toán tử ƒ* được gọi là oán tử liên hợp của toán tử ƒ Với X = Y, toán
f"(y)) vai moi x € X,y € Y tử / được gọi là tự liền hợp nếu ƒ* = ƒ
Định lý 1.4
(Định lý biểu diễn Riesz)
Cho V là một không gian Hilbert trên RR Khi đó, uới mọi toán tử tuyến
tính liên tục ƒ* € V*, tồn tại duy nhất u € V sao cho f*(v)
v) vdi
moi v €V va |if*llv- = llullv
Định nghĩa 1.4.8 (Toán tử compact)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn Một toán tử tuyến tính bị
chặn ƒ đi từ X vào Y được gọi là compaet nếu nó biến mỗi tập con bị chặn
bắt kì của X thành một tập compact tương đối (có bao đóng compact) của Y'
Định nghĩa 1.4.9 (Hàm nửa liên tục dưới)
Một hàm ƒ : X > R được gọi là nửa liên tục dưới tại rp € X nếu
Jim inf f(x) > ƒ(#o)
Hàm ƒ được gọi là nửa liên tục đưới trên X nếu ƒ nửa liên tục dưới tại
Trang 2319 Định nghĩa 1
Cho X là một không gian Hilbert Một hàm ƒ : X —> R được gọi là
.10 (Hàm nửa liên tục dưới yếu)
nửa liên tục dưới yếu tại zọ € X nếu liminf ƒ(z„) > ƒ(zo), với mọi dãy
(z„) hội tụ yếu về zụ
Hàm ƒ được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếu ƒ nửa liên tục dưới
yếu tại mọi z € X
Định nghĩa 1.4.11 (Hàm liên tục Lipschitz)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và ƒ : X => Y Ta lấy một tập mở A4 C X Khi đó, ƒ được gọi là lién tuc Lipschitz trên tập con mở 4 nếu tồn tại một hằng số 7 > 0 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho
với mọi #, € A ta đều có
|/œ) = 7ø)||< #Ilz ~ »|l-
Nếu A = X thì ta nói ƒ liên tue Lipschitz tren X Định nghĩa 1.4.12 (Hàm coercive)
Cho X là một không gian định chuẩn Một hàm ƒ từ X vào R được gọi
Ia coercive néu f(x) => +oe khi ||z|| + +00
Dinh nghia 1.4.13 (Kha vi Fréchet)
Cho V, W la hai không gian định chuẩn và U là một tập con mở của V Mot ham ƒ đi từ U vào V được gọi là khả vi Fréchet tại z € U nếu tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn 4 đi từ V vào IW sao cho
am Wile +h) = Fe) = 4n||
lhl¬0 All
Trang 24Cho X là một không gian định chuẩn, Af là một tập con khác rỗng của
X và một phiếm hàm ƒ nhận giá trị thực mở rộng trên Àf: Các tập hợp domƒ := £ €M|ƒ(z) < +oo} { lần lượt được gọi là miền hữu hiệu va trên đồ thị của ƒ Ngoài ra, với mỗi và epi 2,7) € Mx Rif(z) < +}
a€R, ta gọi tập mức dưới của hàm ƒ là:
C(:a) := £ €M|f(x) <a} = {re M|(z,a) <epi/}-
Hàm ƒ được gọi là chính thường nếu dom/ # 0 Hàm ƒ > —oo duge
gọi là hàm lồi trên Aƒ nếu epiƒ là tập lồi và được gọi là hàm lõm trên Af
nếu —/ là hàm lồi
Nhận xét 1.5.2 Cho hàm ƒ : X — (00; +00] Khi đó, ƒ là lồi khi và chỉ khi với mọi z, € X, với mọi À € (0; 1), ta đều có:
Z[A++(1=A)w] <Aƒ() + (1= A)/(9) Định nghĩa 1.5.3 (Dưới vi phân hàm lồi)
Giả sử ƒ là một hàm lồi, chính thường trên không gian Hilbert X và #o € domƒ Một phiếm hàm z* € X* được gọi là dưới gradient của ƒ tại #ụ nếu với mọi # € X:
Trang 2521
Về mặt hình học, điều đó có nghĩa rằng ham affine
#(#) := ƒ(Œo) + Œ — zạ.+°),+ € X
có đồ thị là một siêu phẳng tựa của epiƒ tại điểm (zo, ƒ(zo))
“Tập hợp tắt cả các dưới gradient của f tai zọ được gọi là đưới vi phân của ƒ tại điểm đó và được kí hiệu là ؃(zu) Như vậy
Af (eo) = {+ € X*|fŒ) — ma) > (e — 20,2"), Vr € X}
Nếu Of (xo) la tap khác rỗng thì ta nói ƒ khả dưới vi phân tại zọ Để
thuận tiện ta cũng quy ước ؃(zu) = Ø néu xo ¢ domf Dé thay Af (zo) = (\ {#'|Œ = 20,2") < f(a) f(eo)} zeX 1.6 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh hóa
Theo Hadamard, một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn
ba điều kiện sau:
© Bai toán tồn tại ít nhất một nghiệm với mọi dữ liệu đầu vào © Bai tốn tồn tại khơng q một nghiệm với mọi dữ liệu đầu vào © Nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào
Ngược lại, bài toán không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh Về mặt toán học, các bài toán thường,
Trang 26Dinh nghia 1 Cho X và Y là các không gian dinh chuin, K : X — Y 1a mot toan tit .1 (Tính đặt chỉnh) (tuyến tính hoặc phi tuyến) Phương trình z = được gọi là đặt chỉnh nếu các mệnh đề sau đúng:
® Sự tồn tại: Với mỗi € Y có ít nhất một phần tử z € X để cho
Ka = ụ, hay nói cách khác là toàn ánh
e Tính duy nhất: Với mỗi ý € Ÿ có nhiều nhất một phần tử z € X để cho Kx = , hay nói cách khác K là đơn ánh
« Tính ổn định: Nghiệm z phụ thuộc liên tục vào , tức là với mỗi dãy
(Un) CY, néu yn 4 y và Kz„ = t„, Kz = w thì z„ + x (n+ 00),
hay nói cách khác K~! 1a toan tit lien tue
Các phương trình không thỏa mãn một trong ba tinh chất trên được
gọi là đặt không chỉnh
Định lý 1.6.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn uà K : X —> Y là toán tử tuyến tính compact uới không gian không
N(K):={œ€ X: Kz =0}
Giả sử số chiều của không gian thương X/R(K) la vd han Khi đó, tồn tại
diy (an) CX dé cho Kx, —> 0, nhưng #„ > 0 Thậm chí ta có thể chọn
đâu (z„) để cho ||r„||[ + se
Đặc biệt, nếu K don dnh thà toán tử ngược K~Ì : Y Ð Ÿ(K) —> X
không bị chặn Ở đây Ä(K) := {Kz € Y : z € X} là miền giá trị của K
Trang 2723
xấp xỉ của phương trình z = # với dữ liệu vế phải không được biết
chính xác mà chỉ có dữ liệu xấp xỉ yŸ của g với ổ > 0, yŸ € Y thỏa mãn
|lu — 1ˆ|| < ð Chúng ta luôn giả sử rằng phương trình tồn tại một nghiệm
+, hay nói cách khác € Ÿ(/€) Vì K là hàm đơn ánh nên z là nghiệm duy nhất
Định nghĩa 1.6.2 (Lược đồ chỉnh hóa)
Một lược đồ chỉnh hóa cho toán tử compaet K (hay cho phương trình Kz = g) là một họ các toán tử liên tục (tuyến tính hoặc phi tuyến) Ry :¥ + X véia>0, sao cho # với moi x € X Dinh ly 1.6.2 Gid chinh héa ciia todn tit compact K : X + Y va dim X = so Khi đó, chúng ử họ toán tử tuyến tính bị chặn R„ là một lược đồ ta 06: a Họ tốn tit Ry khơng bị chặn đều, tức là tồn tai một dãy (a;) nói ||Ra,|] + 00 khi j + 00 b Họ các toán tử R„Kz kh tức là ||R„K — I|| ~> 0 (I là toán tử đơn vi)
ìng hội tụ đều trên tập con bị chặn của X,
Định nghĩa 1.6.3 (Tham số chỉnh hóa chấp nhận được)
Một tham số chỉnh hóa a = a(ổ) được gọi là chấp nhận được nếu
a(ổ) — 0 và với mỗi x € X, ta đều có
Trang 28
Như vậy, một phương pháp chỉnh hóa bao gồm việc định nghĩa được một lược đồ chỉnh hóa f#„ và đưa ra được một quy tắc chọn tham số chỉnh
Trang 292 CHƯƠNG 2 BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUECH TAN 2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán Bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán là bài toán tìm nghiệm ó của phương trình — div(oV¢) = y trong QC R" (2.1) với ólạa — 0, trong đó ø € 44 với tập 4 được định nghĩa tại (3) và y € L°(Q) là các hàm số cho trước
2.2 Công thức nghiệm yếu
Trước khi định nghĩa nghiệm yếu của phương trình (2.1), ta nhắc lại
công thức tích phân từng phần
Dinh lý 2.2.1 (Công thức tích phân từng phần)
Cho U C R*" là một tập mở bị chặn vdi AU là C! và cho u, € Œ!(U)
Khi đó, uới mỗi i € {1,9, n} ta có
ƒ uy, dự — ƒ uvvidS — | vu,,dr, l lau U
trong đó TÌ = T (#) = (vÌ,12,
ngoài tại + trên bién OU cia U (x € OU)
Trang 30“Trở lại phương trình (2.1), bây giờ nhân hai về của phương trình này
với v € CH(M), ta được
ƒ (-div(oV¢))vdr = ƒ vudr đ đ
Áp dụng cơng thức tích phân từng phần, ta được
- ƒ (oV.v)vdS + ƒ øVó.Vudr — { gudr lon ñ la Vì ø triệt tiêu trên Ø9 nen -ƒ (oVo.v)udS = 0, tức là
‘on
f oVo.Vudr ƒ udz
lọ lọ
ý rằng phương trình này đúng với mọi v € C*(O) nhưng vì HẬ(O)
Trang 31a
Dé thay fr € V* vi |f*(v)| < |lylle@)llellz2q@ Phuong trinh (2.2)
được viết lại thành
ald, 0] = f*(v) voi mọi v € V (2.3)
Để nghiên cứu tính tồn tại duy nhất của nghiệm yếu, ta cần sử dụng
các bổ đề sau
Bồ đề 2.3.1 (Bổ đề Laz - Milgram)
Cho V là một không gian Hilbert tren R tà a : V x V —› R là một dạng
song tuyến tính Giả sử tồn tại các hằng số đương ạ tà Ổạ sao cho vdi
mọi ó, € V, ta đều có: ® |alø.s]| < asllslllell-
« a|ó,ó] > /8|ló|Ú'
Khi đó, tới mọi ƒ* € V*, phương trình (3.3) có nghiệm duy nhất ộ € V Hơn nữa, tồn tại hằng số Œ > 0) không phụ thuộc ƒ* sao cho l|ó|| < C|L'||- Bồ đề 2
(Bất đẳng thức Fricdrichs)
Cho © là một miền Lipschitz bị chặn Khi đó, tồn tại một hằng số
Ở >0 chỉ phụ thuộc tào 2 sao cho uới mọi ở € HẬ(9):
ƒ |6#4z<€@ J |Vódz
ln ln
lý 2.3.3 (Tinh tén tại duy nhất của nghiệm yếu)
Nếu Q là một miền Lipschilz bị chặn thì uới mọi ø € A, tới mọi
ụ€ LẦ(Q), phương trình (9.1) có một nghiệm yếu duy nhất ¿ € Hả(9)
Hơn nữa, tồn tại một hằng số Œ > (\ không phụ thuộc sao cho 1
Trang 3329
Như vậy, áp dụng Bổ đề Lax - Milgram, ta kết luận phương trình (2.3)
có nghiệm duy nhất ó € /1}(©), cũng chính là nghiệm yếu duy nhất của phương trình (2.1) Hơn nữa, I/lr-= v€Hj(9),Jsl=1 sp |0) Inl=io ; ' < áp ( [0u02s) ( [ 82) joj Jo ñ < lIwllize: và từ Bổ đề Lax - Milgram, tồn tại hằng số Œ > 0 sao cho lớlie < gi 10) < Gl
Do đó theo tính chất bắc cầu ta được ||đl|zr/ø) < Billie
2.4 Tinh kha vi cia cac toan tit Fp(-)y va F,s(-)
Các kết quả trong chương này được tham khảo từ bài báo [4]
Định lý 2.4.1 (Dinh ly Meyers)
Cho Q là một miền Lipschitz bị chặn trong R4 (d > 2) Giả sử tồn tai o € L*(Q) thỏa mãn À < ø < dA" vdi A € (0:1) cố định Với
2 € (LO) vay € LQ), goi d € HÌ(Q) là một nghiệm yếu của phương trình
Trang 34
Khi đó, tồn tại một hằng số Q € (2; +o©) chỉ phụ thuộc uào À tà d, Q —> 2 pe khi A+ 0 va Q > 00 khi A > 1, sao cho vdi moi2 <r <Q, 6 € WiZ(Q) vd vdi moi Y CCQ, WVolanq) SC" (llollarya) + lela) + lle)»
trong đó hằng số C" phụ thuộc vao d,d,r,Y va Q
Định lý 2.4.2 Với mọi € HÀ(O) va o € A, dp dung bat đẳng thức
Poincaré - Friedrichs, ta duge
[oivnPae > Cline
vdi C > 0 được xác định trong Dinh ly 2.3.3
Dinh ly 2.4.3 Voi moi y € L"(Q), trong dé © là một tập con bị chặn
trong R¢ var > 2, ta được
lIvll:se) < ||? llv|l-e)-
Với việc sử dụng định lý Meyers, chúng ta có thể chứng minh được
các toán tử Fp(-)w và Fz(-) được định nghĩa tại (4) là liên tục và khả vi
Fréchet liên tục trên tập 4 theo chuẩn của Ƒ# Đó chính là nội dung của các bổ đề bên dưới Bồ đề 2.4.4 Cho ạ Ø,m+Ú€ A, ta có va y € L"(Q) Voi
IVFo(o + Ay — VFo(@)all 24) $ Cleeve),
Trang 3531 Chứng mình,
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Từ công thức nghiệm yếu của Fp(ø)w và Fp(ø + 0), ta được
ÍzVEo(e Vu = Le +0)VFp(ø + 0) - Vodr,Vo € HỊ(0),
tức là
ƒ øV(Fp(ơ + 0)u ~ Fp(ø)y) - Vudz
= ~ | 9VPo( +0) - Vudr, Vụ € HẠ(O) Chon v = Fp(ø + 0)y — Fp(ø)y € HÀ(©), khi đó =|YŒbt + 9w~ Fofel)[ 1z ¬ ve +9): V(Ep(ø + 0)w — Fp(ø))dz =- Í,0vFa +0)y - V(Fb(ø + 0)y — Fp(ø)y)dz <Ilen|VEb(ø + Mul aay |V (Fol + Dy ~ Fo(W) | re ¬¬ 2Q „
trong đó trae Giả thiết ạ € (Fa | cho ta r € (9; Q) Khi đó,
theo các Định lý 2.4.1, 2.3.3 và 2.4.3, tồn tại các hằng số Œ và C' sao cho
|IYFo(ø + 9)w| pen) $C ([|F0( + ulna) + yllze) < Clylle-e-
Điều này chứng tỏ tồn tại một hằng số Œ sao cho
|YFotơ + 0u~ VFp(ø)i||, ạ < Cl0llisen le): Jr2(®)
Nhận xét 2.4.1 Dé ý rằng với ø,ø + Ủ € 4 và 1 < g¡ < đu, ta có
2 -2
Trang 36và
lI0ll.„, < (ĐÀˆ
“lla:
Điều này có nghĩa là sự hội tụ của ở về 0 theo chudn cia L” và theo chuẩn của L là tương đương nhau Theo bổ đề trên, Fp(-) liên tục Lipschitz
2Q
g-z®
trên 4 theo chuẩn của ## với g € (
tục trên A theo chuẩn của Ƒ“ với mọi q > 1
|: va nhut vay, Fp(-)y lien “Tiếp theo chúng ta xem xét tính khả vi của E(-)y và Fz(-)
Bồ đề 2.4.5 Cho g € (5= DB | ate Ll = ; vay € L'*(Q) vdie > 0
Khi do, énh xa Fp(-)y : AC L4(Q) —> HẠ(Q) là khả vi Fréchet liên tục
trên A uà uới mỗi ø € A, dao ham Fréchet F(o)y ctia Fp(-)y c6 vi phan n= Fh(a)y(0) vdi mợi 0 € L(©') có mở rộng bằng Ú bên ngoài Y, la
nghiém yéu (duy nhất) của bài toán Dirichlet
~div(øVn) = div(0W Fp(ø)w) trong 9, nị = 0 trên Ø9, nghĩa là nó thỏa mãn phương trình
[zVFb(e)0).Vsuz = ~ [9VPo(sVod (2.4)
tới mọi ò € HÀ(Q) Hơn nữa,
|Fn(ø)w(9) || < CIllyllisel|lsvy sói mọi 0 € LS(Ø),
trong đó C\ là một hằng số dương phụ thuộc vio X,d,r,Y va Q
Chứng mình
Chứng minh này được tham khảo từ bài báo [4] Dé ý rằng phương
trình (2.4) có nghiệm duy nhất
Trang 373
Trước hết, ta chứng minh với ø cố định trong 4, rJ = ï(Ú) xác định một toán tử tuyến tính bi chin tit L4(Q') vào Hj(©) với mọi q € (5 +] Theo (2.4), là một toán tử tuyến tính của ở Từ công thức nghiệm yếu của rị, kết hợp với bất đẳng thức Hölder dạng tổng quát, ta được
[avn Vite == [ov Fo(o\y- Ynte =- J 0VEp(ø)u - Vidr
<II0lise|VFo()vl„uzjIVnliaeo:
Khi đó, theo Định lý 2.4.2, tồn tại một hằng số Œ sao cho
linliee) < Cl0liese|lVF(ø)9| say: 65) 29
Bên cạnh đó, giả thiết q ( :>| cho ta r € (2;Q) Theo các Định lý 2.4.1, 2.3.3 và 3.43, tồn tại các hằng số dương Ở, C' và C” sao cho
ISPD) gar) SC ([lFo( ull aya) + lllere) <c’ ( 1 G lIwll.zœ + ee) SC" lull)
Do d6, 1 1a mét toan tit tuyén tính bị chặn từ 1“(©@') vào HẠ(©), và tồn tại một hằng số dương C\ sao cho
Fo(o)Y) IL aya) S CillullerayllA|lzaqay, WO € LQ)
Tiếp theo, ta chứng minh Fp(-)y kha vi Fréchet Dé ý rằng hàm số
R= Foo + 0)w — Folo)y — 1 € HẠ(O) là nghiệm yếu của phương
trình
Trang 38i Chon R là hàm thử trong cong thite nghiém yéu cia R, ta duge [ (0 + 0) |VRPdx = — ƒ UVn - VRdr hạ ñ =- lạ Vì - VRd+ SIIllrsœlIVnnllrzeesl|V Rllrz.e,- Điều này chứng tỏ rằng lLR|leay II
Để chứng minh Fp(-)y : A C L4(Q) => HẠ(O) là khả vi Fréchet lien tue
và vi phân Fp(Ø)w(0) của nó là +, ta cần chứng minh ||V?||z:„; hội tụ về
0 khi |0||rs/„j hội tụ về 0 Theo Định lý 2.4.1, tồn tại một hằng số dương
< G|Ynilixen)-
C sao cho
lew):
Vì lInlusey hội tụ về 0 khi ||0||ysyy; hội tụ về 0 theo như (2.5), ta cần
IYnlize < C(Inllise, + |[0VEp(ø)w chứng minh |I?vFo(ø)| lay >0 Chọn bắt kỳ «¡ € (0;e) đủ nhỏ sao cho r! = r+ (r;Q) Sit dung bit đẳng thức Hölder, ta suy ra ƒ |0VFb(ø)y|"dz = { I0|'|VFp(ø)u|fdz tr tr <([0m2) ˆ ((Ivsenlfas)” 1-3 <Callie, (forex) ”,
trong đó ta áp dụng Dinh ly 2.4.1 cho ||VFp(o)y||
Trang 3935
(a1, 42 € [1;00)) la tuong đương, do đó || Fp(ø)
|0|\rs¿v) hội tụ về 0
Ì¡„„yy hôi tụ về 0 khi
Bồ đề 2.4.6 Với ó € HẠ(Đ), hàm Fy(-): AC L4(Q) — R sác định bởi 2 F,(o) = [ole eon -o)far có các tính chất sau: a Véiq>1 vay € L'(Q), F,(-) lién tue theo chuan ciia L* 2Q 1.11 20 | TT Ty re ji by
ovina (5 I9] g#z g tàu €1 (Q) vdie > 0, néu |Volle-(ay < 00 thi Fy(-) kha vi Fréchet theo chudn ciia L4 va
Fyo)o = = [9(|VFo(oyul? ~ Wor) ae
Hon nita, F(-) 1a léi trên tập lồi A va ||F7(ơ)|| bị chăn đều, tức là tồn
tại một hằng sé M sao cho
|fZ2(ø)|| < M tới mọi ø € A Chứng minh
Chứng mình này được tham khảo từ bài báo (4)
a Trước tiên, ta chứng minh cho q € (5 | Với ø,ơ+Ù€ A,
ta được
Fylo-+0) ~ Fo)
-Íe + 0)|V(Fo(o + Oy - of
= [o(|¥ (Feta + y= 0))) = |¥(Fo(ory — 9) Jar
+ [Avene +0)y— 3a
Trang 40Ấp dụng bất đẳng thức tam giác, bắt đẳng thức Hölder dạng tổng quát
và Dịnh lý 3.4.1, ta được
J°|Yse +0)y— 2œ = [reo +0)y- fae
Sl lane |V (Foto + 9)w — 9)| | (IIYftø + Dall cqy + Vay) <ClWlunen Mặt khác, theo Bổ đề 2.4.4, Í?(YŒete+9w =2 Ủ~|YŒoew= 2Ï) <a [ VỨb(ø + 0y — Ea(6)y) Ÿ(Ebl + 0) + Fo(ø)y — 99)dz <C||Y(Fo(ø + dy = Fo(ø)u) |.„ <ƠI0lse, Do d6, F,(-) lien tuc Lipschitz tren 4 theo chuẩn của 7#(©) với
+} Cuối cùng, theo Nhận xét 2.4.1, F,(-) lien tue tren A theo chuẩn của /(©°) với q > 1
b Theo Bổ đề 2.4.5, Fy(-) kha vi Fréchet va
,
F(ø)ủ = [Av eoow-9)| de+2 f o¥ (Foley ð)-VFj(ø)0dz
Vì Fp(ø)u — ó € HẠ(O) và từ (2.4), phương trình cuối cho ta
F¿(ø)0 = ƒ 9|(Fo(ø)~ of ax 7 zƒ 0VFp(ø)u- V(Fp(ø)y — 9)dz A I