Đề tài Phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc cho bài toán ngược đặt không chỉnh đã tìm hiểu, nghiên cứu kỹ các tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, lĩnh hội được các kiến thức về phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc, phân tích các thành phần chính, phân tích nhân tố của phương pháp; ứng dụng phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải các bài toán ngược tuyến tính cụ thể.
Trang 1
DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
Trang 2
DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYÊN THỊ QUÝ HIẾU PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA BỞI HÀM LỌC CHO BÀI TỐN NGƯỢC ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI
ĐÀ NẴNG - NĂM 2017
Trang 3
Toi xin ca là công trình nghiên cứu của riêng tôi
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác
Tác giả
Trang 4Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn
TS Phạm Quý Mười - giảng viên khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm
Đà Nẵng đã nhiệt tình quan tâm, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thực
hiện đề tài Cùng với những kiến thức, kinh nghiệm quý báu, thầy đã ân
cần chỉ bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn
Với tình cảm chân thành, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học
Sư phạm - Dại học Đà Nẵng, và tất cả các thầy cô giáo đã giảng dạy tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Sở Giáo Dục - Đào Tạo Tỉnh Kon Tum, Ban lãnh đạo Trường THPT Duy Tân và các đồng nghiệp, người thân đã động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học đúng kế hoạch
“Tác giả cũng xin cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Toán Giải Tích
- Khóa 31 - Kon Tum đã nhiệt tình động viên và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong quá trình học tập tại lớp trong suốt thời gian
qua để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn của quý thị
các bạn đồng nghiệp và những người quan tâm đến đề tài nghiên cứu
Xin trân trọng cảm ơn!
Tác giả
Trang 5CHƯƠNG 1.KHÔNG GIAN HÀM VÀ LÝ THUYẾT CƠ
BẢN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC ĐẶT KHÔNG CHỈNH 5
1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM cà cà sàn 5 1.1.1 Không gian định chuẩn (Normed Spaces) 5
1.1.2 Không gian Hilbert (Hilbert Spaces) 6
1.1.3 Chuẩn: Orthonormal_ 7
1.1.4 Hệ trực chuẩn: Orthonormal System 7
1.2 TOÁN TỦ BỊ CHẶN VÀ TOÁN TỬ LIÊN HỢP 8
1.2.1 Toán tử tuyến tính (Linear Operator) 8
1.2.2 Toán tử liên tục (Continuos Operator) 8
1.2.3 Chuẩn của toán tử (Boundedness, Norm of Operator) 8 1.2.4 Toán tử liên hợp (Adjoint Operator)_ - 9
1.3 BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH VÀ BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH 9
1.3.1 Bai toán dat chinh (Well-Posed Problems) 9
1.3.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh (III-Posed Problems) 10
1.4 BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC .- 10
1.5 TINH DAT KHONG CHINH CUA PHUONG TRINH TOAN TU COMPACT 17 1.5.1 Toán tit compact (Compact Operator) 17
Trang 62.1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA
2.1.1 Phương pháp chỉnh hóa (Regularization Strategy) .21
2.1.2 Phương pháp chỉnh hóa chấp nhận được 23
2.2 HE KY DI CUA TOAN TU COMPACT
2.2.1 Gid tri ky di (Singular Value
2.2.2 He ky di (Singular Values Decomposition) 2.3 PHUONG PHAP CHINH HOA BGI HAM LOC 2.4 TỐC DỘ HỘI TỰ
2.5 MOT SO TRUONG HOP CU THE CUA HAM LOC 227 CHƯƠNG 3 NGHIỆM SỐ VÀ UNG DUNG 31
3.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LOẠI MỘT 31
3.2 RỒI RẠC BÀI TOÁN sàn nh nh nhe 32 3.3 TÍNH DẶT KHÔNG CHỈNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 32 3.4 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA RỜI RẠC BỞI HẦM LỌC 34
KET LUAN VA KIEN NGHI 2000.0.0000000000000000- 38
Trang 7a) Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt: Vr : với mọi # 3x : tồn tại # N : Trường các số tự nhiên 9 : Trường các số hữu tỷ R : Trường các số thực
R" : Khong gian Euclide n - chiéu
X,Y : Khong gian Hilbert thực
dim X : Số chiều của không gian X
I : Toán tử đơn vị
IKI : Chuẩn của toán tử #
K : Toán tử liên hợp của toán tit K
KL : Tập {I | k€ K,L€ L}
N(K) reX|Kr
R(K) Ke |x € X}={yeY | 3x: Kr =y}
sup : Cận trên đúng
(u;.Zj,j) : Hệ kỳ dị của toán tử tuyến tính compaet
Cla, b| : Không gian các hàm số thực liên tục trên doan [a,b]
L®[a,b] : Không gian các hàm số bình phương khả tích trên [a,b]
Trang 8
Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang
Hinh 3.1 [Nghiệm chính xác và nghiệm của Hệ |33 phương trình (3.1) ứng với n = 20 (trên cùng), n = 100 (ở giữa) và na = 1000 (cuối cùng) Hình 32 | Nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh | 35 hóa R7, H?7 va R3y với n = 20 Hình 3.3 Nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh | 36
hoa Rig, Roy va R3y voi n = 100
Hình 3.4 | Nghiém chính xác và các nghiệm chỉnh | 37 héa RLY, R2y và RẺÿ với n = 1000
Trang 91 Tính cấp thiết của đề tài
Trong thực tế luôn tồn tại hai bài toán trái ngược nhau, một trong
hai bài toán đó được gọi là bài toán thuận và bài toán còn lại được gọi
là bài toán ngược Người ta thường quy ước bài toán thuận là bài toán đặt chỉnh và bài toán ngược là bài toán đặt không chỉnh
Theo J Hardamad (xem [1],{4]), một bài toán được gọi là đặt chỉnh
nếu nghiệm của bài toán tồn tại, duy nhất và ổn định Ngược lại, nếu nghiệm của bài tốn khơng thỏa mãn một trong các điều kiện trên, đặc biệt
bài toán không ổn định theo dữ kiện ban đầu, thì bài toán đó được gọi là
đặt không chỉnh
Khi nghiên cứu các mơ hình tốn học của các bài toán trong khoa học và kỹ thuật, chẳng hạn bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân
loại một, bài toán tính đạo hàm, xác định tham số trong phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng, đều dẫn đến các bài toán
ngược đặt không chỉnh Vì thế, các bài tốn ngược đặt khơng chỉnh đã và
đang thu hút sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế
gidi: Andreas Kirsch, A.B Bakushinsky, A Goncharsky, C W Groetsch, J Hadamard, Thorsten Hohage, L Landweber, F Gilbert, Ramm A.G., A.N Tikhonov, V.Y Arsenin, J Baumeister, C.R Vogel, Y Alber, Mot
Trang 10Tinh đặt không chỉnh của bài toán ngược, đặc biệt là tính không
ổn định, dẫn đến việc tìm nghiệm số xấp xỉ cho bài toán này rất khó khăn Do các số liệu thường được thu nhập bằng thực nghiệm (đo đạc,
quan trắc, ) và sau đó lại được xử lí trên máy tính nên chúng không
tránh khổ
Việc tìm ra phương pháp tìm nghiệm số xấp xỉ của
bài toán càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát khi s
của dữ liệu càng nhỏ, là một vấn đề vô cùng quan trọng Đã có nhiều phương pháp giải bài tốn đặt khơng chỉnh (mỗi phương pháp được gọi là
phương pháp chỉnh hóa) được nghiên cứu như: Phương pháp chỉnh hóa bởi
hàm lọc, Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, Phương pháp chỉnh hóa lặp, Phương pháp chọn, Phương pháp tựa nghiệm, Phương pháp dùng phương
trình xấp xỉ, Phương pháp tựa nghịch đảo (xem [1]4))
Đối với các bài toán ngược tuyến tính, phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc là một phương pháp đơn giản, đễ áp dụng Vì vậy, phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc là một trong những phương pháp tốt giúp chúng ta
giải quyết các bài toán ngược đặt không chỉnh tuyến tính
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc, và được sự định hướng của thầy hướng dẫn TS Phạm Quý Mười, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc cho bài toán ngược đặt không chỉnh” cho luận văn thạc sĩ của mình
2 Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ các tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau,
lĩnh hội được các kiến thức về phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc, phân
tích các thành phần chính, phân tích nhân tố của phương pháp Ứng dụng,
phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải các bài toán ngược tuyến tính
cụ thể Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo
Trang 11Tập trung tìm hiểu khái niệm, các tính chất liên quan và trình bày
các kết quả một cách tường minh những nội dung sau: ~ Bài toán ngược đặt không chỉnh
- Phương pháp chỉnh hóa bởi ham loc
4 Phạm vi nghiên cứu
Luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan, từ đó đưa ra ứng dụng giải bài toán ngược đặt không chỉnh
liên quan đến phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc 5 Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên phương pháp giải tích
© Nghiên cứu một số tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài, tổng hợp
được những vấn đề cơ bản nhất và thể hiện tường minh các kết quả
tu trong đề tài Trao đi
để cải tiến, thiết lập các kết quả tốt hơn
đã nghiên thảo luận với người hướng dẫn
© Sử dụng, phát triển và ứng dụng các phương pháp đã có trong lý thuyết
bài toán ngược đặt không chỉnh cho việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc
e Ứng dụng phần mềm toán học Mathlab để giải các bài toán ngược
Trang 126 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận văn góp phần bổ sung thêm các định lý và tính chất liên quan
đến phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc Luận văn cũng đưa ra được mối
quan hệ của bài toán đặt chỉnh - bài toán đặt không chỉnh với bài toán
thuận - bài toán ngược
Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và các nghiên cứu sinh đang nghiên cứu về những kiến thức
liên quan đến phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc, bài tốn ngược đặt khơng chỉnh
7 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong ba chương:
Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả về giải tích hàm, khái niệm bài toán thuận và bài toán ngược Phát biểu định nghĩa về bài toán đặt chỉnh và bài tốn đặt khơng chỉnh, đưa ra một số ví dụ minh họa
bài toán đặt không chỉnh
Chương 2 trình bày về phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải
bài toán ngược tuyến tính Chương nà
y cũng chứng minh các định lý và tính chất về sự hội tụ và phân tích tốc độ hội tụ của phương pháp, sau đó
đưa ra một số trường hợp cụ thể của hàm lọc
Chương 3 sử dụng phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải một
ví dụ cụ thể về phương trình tích phân loại một Trong chương này,
Trang 13KHÔNG GIAN HÀM VÀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC ĐẶT KHÔNG CHỈNH
Trong chương này, luận văn nhắc lại các định nghĩa, khái
tính chất của các không gian hàm cơ bản, của các chuẩn và tích vô
hướng, cũng như của toán tử tuyến tính bị chặn và toán tit compact Mot
ết quả chỉ tiết, đầy đủ và chuyên sâu hơn của giải tích hàm, người đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2],(3],(4)
Chương này cũng nhắc lại các khái niệm cơ bản trong lý thuyết bài toán ngược đặt không chỉnh như các khái niệm về bài toán thuận
và ngược, bài toán đặt chỉnh và không đặt chỉnh và tính đặt không chỉnh
của phương trình toán tử compact Chúng tôi chỉ đến các tài liệu [1],[4],
cho một nghiên cứu sâu và toàn diện về lý thuyết bài tốn ngược đặt
khơng chỉnh, các phương pháp chỉnh hóa và ứng dụng
1.1.CÁC KHÔNG GIAN HÀM
1.1.1 Không gian định chuẩn (Normed Spaces)
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường R Một chuẩn trên X là một ánh xạ :XoR œ e> ||z|| thỏa mãn các tính chất sau: 1) |lz||>0, YzeX, và llzl|=0 œz=
2) llazll = lalllzl|, Vee X, VaeR,
Trang 14Một không gian vectơ X trên R với chuẩn |(.|| được gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn trên trường số thực R, kí hiệu (X, ||.||) hay gọi
ngắn gọn là X, nếu ||.|| đã được hiểu rõ Giả sử (X, ||.||) là một không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó, ánh xạ
d:XxX>R
(x,y) > d(x,y) = ||z — yl)
là một metric trên X Ta gọi đ là một metric được sinh ra từ chuẩn hay chuẩn cảm sinh mmetric d trên X Như vậy, không gian tuyến tính
định chuẩn là một không gian metric
Không gian tuyến tính định chuẩn (X, |||) được gọi là không gian Banach nêu nó đầy đủ với mêtric được sinh ra bởi chuẩn
1.1.2 Không gian Hilbert (Hilbert Spaces)
Định nghĩa 1
tích vô hướng trong X là một ánh xạ
Cho X là một không gian tuyến tính trên R Mot (,):XxXSR (x,y) > (x,y) thỏa mãn các tính chất sau: 1) (,#) > 0V # 0,(z,z) = 0 @z =0, 2) (x,y) = (u,+),V,z,u € X, 3) (az,) = a(z,),Vz,u € X,Va €R, 4) @@+,z) = ứ,2) + (y,z),Wz, w,z € X
Khi đó, (z,) được gọi là tích uô hướng của hai vectơ # và y
Trang 15Ngoài ra, khi tich vo huGng (-,-) đã được xác định rõ ràng, ta thường,
kí hiệu không gian tiền Hilbert là X thay vì viết dạng đầy đủ (X, (-,-)) Một không gian định chuẩn X trên R được gọi là một không gian Ba- nách nếu chuẩn ||.|| cảm sinh từ tích vô hướng Một không gian tiền Hilbert
(X,(,)) đầy đủ được gọi là không gian Hilbert
Ví dụ 1.1.3 Các không gian R", L7[a, 6] 1 cdc khong gian Hilbert với tích vô hướng được xác định tương ứng là:
Œu) = Ð tị # = (t;6, .É), = nh, 1e tịn) € RP, a ,
(eu) = [ s@)6()de,ø,6 € la,
1.1.3 Chuan: Orthonormal
Định nghĩa 1.1.4 (Chuẩn: Orthonormal) Cho X là không gian tiền Hilbert Khi đó,
lzll= (.z)‡.z X,
xác định một Chuẩn (Orthonormal) trên X Ta nói rằng ||z|| là chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
1.1.4 Hệ trực chuẩn: Orthonormal System
Định nghĩa 1.1.5 (Hệ trực chuẩn: Orthonormal System)
Một hệ {z„} các phần tử của một không gian Hilbert X được gọi là
hệ trực chuẩn (Orthonormnal Sustem) nếu:
6) Gzj) = 0, ¥i 4:
Trang 161.2 TOAN TU BI CHAN VA TOAN TU LIEN HOP
1.2.1 Toan tif tuyén tinh (Linear Operator)
Định nghĩa 1.2.1 Cho X va Y là hai không gian tuyến tính bắt kỳ Ánh xa A: X — Y được gọi là todn tit tuyén tinh (Orthonormal System)
néu:
(i) A(w+y) = A(x) +A(y) ,We,y © X; (ii) A(az) =aA(œ),Vz€ X,Va €R
Nếu 4: X — R là một toán tử tuyến tính, thì ta nói rằng 4 là một
phiếm hàm tuyến tính
Néu A: X + Y là toán tử tuyến tính, thì ta thường viết Az thay
cho A (x) Ngoai ra, ta ký hiệu:
N(A) = {x € X|Ar = 0} R(A) = {Az|x X}
Khi d6, N(A) là một không gian con của X, được gọi là không gian không điểm của A, và R(A) là không gian con của Y, được gọi là miền
giá trị của A
1.2.2 Toán tử liên tục (Continuos Operator)
Định nghĩa 1.2.2 Cho X và Y là hai khơng gian định chuẩn, một tốn tử tuyến tính 4: X —> Y được gọi là liên fục nếu với mọi xp € X,
va ©, > Zp, ta cd Ax, + Axo
1.2.3 Chuan cia toan tit (Boundedness, Norm of Operator)
Định nghĩa 1.2.3 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A: X© Y là một toán tử tuyến tính Khi đó, 4 được gọi là bị chặn
nếu tồn tại hằng số e > 0 sao cho
Trang 17Ta nói, chuẩn của toán tử A được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu)
của hằng số này thỏa mãn bất đẳng thức trên, tức là
A [Al := sup 471 70 Ì|*||
1.2.4 Toán tử liên hợp (Adjoint Operator)
Định nghĩa 1.2.4 Cho A : X —› Y là một toán tử tuyến tính và
'hặn giữa các không gian Hilbert Khi đó, tồn tại duy nhất một toán tử
tuyến tính liên tục và bị chặn A* : Ÿ —> X thỏa mãn
(Aa,y) = (a, A*y), Vee X,yeY
Toan tit A* : Y + X nay duge gọi là foán tử liên hợp của A Trong
trường hợp X = Y, toán tử A được gọi là fự liên hợp nếu A* = A
1.3.BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH VÀ BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG
CHỈNH
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh được trình bày trên cơ sở xét một bài toán ở dạng phương trình:
Ke =y, (1)
Trong đó : X —› Y là một toán tử từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, là phần tử thuộc Y: Sau đây là định nghĩa của Hadamard vé bai todn dat chinh (xem [1], [4])
1.3.1 Bài toán đặt chỉnh (Well-Posed Problems)
Định nghĩa 1.3.1 Cho X và Ÿ là các không gian định chuẩn K: X — Y là ánh xạ Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (properly-posed / well-posed), néu théa mãn các điều kiện sau:
1) Sự tồn tai (Eristence): Vụ € Y, 3x € X sao cho Kx = y
2) Tinh duy nhat (Uniqueness): Vy € Y có duy nhat mot x € X sao cho
Trang 183) Sự ổn định (Stabilify): Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào , có nghĩa là: cho mỗi dãy {z„} C X mà Kz„ —š> Kz (n 900) , thi 2, —> # (n 00) 1.3.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh (II-Posed Problems)
Định nghĩa 1.3.2 Bài tốn (1.1) khơng thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là bài fốn đặt khơng chỉnh (improperly-posed /
ill-posed)
Trong toán học, sự tồn tại một nghiệm có thể có được bằng cách
mở rộng hoặc thu hẹp không gian nghiệm Yêu cầu về sự ổn định là quan trọng nhất Nếu một bài toán thiếu đi tính ổn định thì nghiệm của nó sẽ khơng được tính tốn một cách chính xác Vì vậy, trong 3 điều kiện
ở định nghĩa trên thì điều kiện 3 là điều kiện quan trọng nhất
Chú ý 1.3.3 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian nay
nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác , ta chỉ biết xắp xỉ yŠ của
nó thỏa mãn ||uŠ — || < ở Giả sử zŠ là nghiệm của (1.1) với thay bởi vŸ (giả thiết rằng nghiệm này tồn tại) Khi ổ —> 0 thì yŸ —> nhưng với
bài toán đặt không chỉnh thì zŠ nói chung không hội tụ đến x
1.4 BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC
“Trong thực tế luôn tồn tại hai bài toán trái ngược nhau, một bài toán
được gọi là bài toán thuận và bài toán kia được gọi là bài toán ngược
Tuy nhiên, trong hầu hết trường hợp, bài toán thuận thường là bài toán
đặt đỉnh, còn bài toán ngược thường là bài tốn đặt khơng chỉnh Để
Trang 19
Ví dụ : Cho Ñ : X —> Y là một toán tử liên tục tit khong gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Ta c6:
* Bài toán 1: Cho z tìm Kx
* Bài toán 2: Giả thiết bài toán cho trước thông tin về và mục đích là tim x sao cho Ka = y
Nếu quy định Bài toán 1 là bài toán thuận thì Bài toán 2 là bài toán
ngược hoặc ngược lại, nếu Bài toán 2 là bài toán thuận thì Bài toán 1 sẽ
là bài toán ngược Tuy nhiên, như đã được đề cập ở trên, Bài toán 1 được
xem là bài toán thuận, và Bài toán 2 được xem là bài toán ngược
Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một số ví dụ đơn giản về cặp bài toán
đối ngược nhau
Ví dụ 1.4.1 (Phép lấy vi phân )
Cho K : £2((0, 1]) —> (|0, 1]) định nghĩa bởi "
(Kz)() = [ a(s)ds ñ
+ Bài toán 1: Cho z € L?({0,1)), tinh Kx
+ Bài toán 9: Cho y € L?({0,1)), tim z € L*([0, 1]) : Kz Tời giải:
Trang 20“Ta có: UK — Keljs =f [Kx (t) Kx (0a - [ | feats — 2(3)}ds| at (1.2) Mặt khác: ‘pea(s) —a(s)asl’ < (f' Is„@)~z@)t)' l ( “(ƒ lal), I < |za(s) — z(s)Ï#ds = ||z„ — z|Ẻ (1.3)
Thay (1.3) vào (1.2) ta được:
[Kay — Kallis < [ le — zIŸ:dt = le, = zl; =0
Vậy nếu z„ + x thi Kr, + Kz Do đó, Bài toán 1 là bài toán đặt chỉnh, tức là Bà toán 7 được xem là bài toán thuận
* Với Bài toán 2, giả sử chọn y(s) = cos s va 1 Un(S) = cos s + an ns “Ta có: 1" .Ẻ ~ (fan's (fs)! = 2 40 Uni n + 00), f ) 1” Mặt khác ta cũng có
¢ Ka = fx(s)ds = cost, Wet € [0,1] => #(Ð) = —sint
Trang 21Vậy , llz„ —zlluz = lza(£) — +0) #4)” II 1 2 T 2 $ 8 + 2 # = 7 (khi n — 00) W Vay Bài toán 2 là bài toán đặt không chỉnh (Vì không thỏa mãn tính chất thứ 3 trong Định nghĩa 1.3.1) Ví dụ 1.4.2 Cho K: /2([1, Š]) —> L2([1 š]) định nghĩa bởi <t< 5 4 Bre (Kz)() = [ Đụ + ts)e"x(s)ds,
+ Bài toán 1: Cho x € L*((},4)), tính Kz
+ Bài toán 2: Cho y € L*((}, $]), tim z e L2(,Š)) : Ka
Lời giải:
* Với Bài toán 1: sự tồn tại và tồn tại duy nhất đều thỏa mãn “Ta xét sự ổn định của bài toán này
Giả sử z„ — z trong L?((‡, ÿ]) nghĩa là
[ln — zlliz —> 0 (n + 00)
@ ( [alo —21084) 0 (2 +20)
Trang 22“Ta có: |Kz„— Kz|Ÿ: = Ỷ |Kx,(t) — K2(t)|dt - [| [les ese*tants)— 20) fa, (14) yl Mặt khác: fio + ts)et*[zn(s) — a()]asf < (/ |(1 + s90e°[z.e) — z(9)] ls)’ 2 |(1 + ts)e||x,(s) — z(9)|#) “(U “ƒ |q+t£s)e*|Ễ4s - [ len(s) — z(s)|2ds -[ c5/2 2t 1 ¬ 5 et? Các ats) e (5+z + ?)| lz„—z|z (15) “Thay (1.5) vào (1.4) ta được: |IKz„ — Kz|Ẻ R at 1 5 c1 1 etl 15) p(t cu <f [« (= +? 3) (5 tự? | |z„ — z|Ẻdt = 13.072 ll, — 232 — 0 Vậy nếu z„ + « thi Kx, + Kx Do đó, Bài toán 1 là bài toán đặt chỉnh
x Với Bài toán 2: Ta sẽ chỉ ra tính đặt không chỉnh của bài tốn thơng qua nghiệm số xấp xỉ
Trước hết, ta chọn nghiệm chính xác và dữ liệu chính xác bởi:
1 5 1
Trang 23“Theo quy tắc hình thang, ta có xấp xỉ tích phân sau: Í Nib ts)ele(s)as ~h (a +0.25t)c??"!z(0.25) + tt + 1.25t)e!?'a(1.25) not +) [( + (0.5 + jh)1)e'02220)z(025 + in) với h:= 2 jal Cho t = ih, ta duge hé tuyén tinh sau: x(su +0.25t)e9 5 + z0 4 1950)c1292, nd +>){ú+ (0:25 + ine), =y(ih), i=0, ,n im thì z; là xấp xï đến z(¿h)
Bang sau cho ta thấy nghiệm chính xấp xi 2; va nghiệ
#() với t = 0.25,0.5,0.75, và 1 Ở đây, ¿ được chon sao cho ih = t
t [n n=8 n=16 a(t
0.5 | -2.169 | 2.874 - 107" | —1.01 - 10” | 0.882
75 | 7 : 25
“Ta thấy rằng xấp xỉ giữa nghiệm số và nghiệm chính xác không ổn định và trở nên khó khăn hơn khi n càng lớn Do đó, Bài toán 2 là bài tốn đặt khơng chỉnh vì khơng thỏa mãn điều kiện 3 trong Định nghĩa 1.3.1
Vi du 1.4.3 Phương trình tích phân Fredholm loai I »
[ K(t,s)y(s)ds = y(t), t € ed), (16)
ở đây, nghiệm là một hàm ¿(s), vé phải g(£) là một hàm số cho trước
và hạch K(f,s) của tích phân cùng với Ø/Øt được giả thiết là các hàm
Trang 24Ta giả thiết nghiệm ¿(s) thuộc lớp cac ham lien tuc trén [a,b] véi
Khoang cach giita hai ham y; va yo trong lớp đó là
li: — #2|Ì = sup llza(5) — #z()|- se[a.ð]
Sự thay đổi của về phải được thay bằng độ lệch trong không gian 1{c, đ]
được biểu thị bởi số
lly — yell = (ƒ lu) — 902)
Giả sử phương trình (1.6) có nghiệm ¿o(s) Khi đó, với về phải
+
in(t) = yolt) +N [ K(t,s)sin(ws)ds,
(1.6) có nghiệm
yi(s) = go(s) + Nsin(ws)
Với N bat ki va w đủ lớn, thì khoảng cách giữa 2 hàm y; va yp trong Talc, dj 1a lwo — will = wI{ Ƒ [ƒ xe9 =e92Ïz} có thể làm nhỏ tùy ý Thật vậy, đặt Kinax = " |Kứ.s)l ta tính được formal <1NI{ f° [Raed concen] at} Ở đây Cụ là một hằng số dương
Ta chọn AÝ và ø lớn tùy ý, nhưng AV/œ lại nhỏ Khi đó,
Trang 25Thật vậy, lo — vill : ; [ lev) - 0012) a ' = IN| ( / sven] = iM
Dễ dàng nhận thấy hai sé N va w có thể chọn sao cho ||yo — yi|| rat
nhỏ nhưng vẫn cho kết quả ||zo — ¿i|| rất lớn
1.5 TÍNH ĐẶT KHÔNG CHỈNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TỐN
TU COMPACT
1.5.1 Tn ttt compact (Compact Operator)
Định nghĩa 1.5.1 Toán tử K : X + Y due goi la mot todn tit
compact nếu ảnh của mỗi tập bị chặn Š là một tập compact tương đối, tức là /{(Š) là tập compaet tương đối
Tap M C Y được gọi là tập compact tương đối nêu mỗi dãy bất kỳ
(yj) CX , ton tai day con {yn} : Yn > yo € X Tập hợp tất cả những,
ton tit compact tit X vào Y là một không gian con đóng của L(X, Y) Định lý 1.5.2 (a) Nếu Kị tà K; là compact từ X vào Y, thà
K, + Ky va XK, citing compact cho mdi X € K
(b) Cho K„ : X —+ Y là một dãy của toán tử compact từ không gian
Hilbert X vao khong gian Hilbert Y Cho K : X + Y la bi chain, va
cho W„ hội tụ đến K, chuẩn tốn tử
1¬
Kn — K||:= sup “———T——- a + 0 (n> ov),
Trang 26(e) Nếu Le L(X,Y) tà K € L(Y, Z), và L hoặc K là toán tử compaet, thi KL cing compact
(4) Cho A, € L(X,Y) hội tụ từng điểm đến A € L(X,Y), Ant > Ac,
Va € X Néu K : Z > X la compact, thi \|A,nK —AK|| > 0, toán tử
A,K hội tụ đến AK trong chuẩn toán tử
Định lý 1.5.3 (a) Chok€ L?((e.d) x (a,b)) Khi dé, toán tử K : LẺ((a,b)) => Lề((e, đ)) định nghĩa bởi
(Kz)(Ð) f k(t, s)x(s)ds,t € (c,d),2 € L2((a,b)) (17)
la compact tit L?((a,b)) vao L?((c,d))
(b) Cho k liên tục trên [e,d] x [a,b] hoe [a,b] x [a,b] Khi dé K duge
định nghia bdi cong thite (1.7) cing la mét todn tit compact tit tap
C [a, 8] va0 C [c,d]
Nhiều bài toán ngược dẫn đến việc giải một phương trình tích phân loại một Các toán tử tích phân này thường compact với những điều kiện
nào đó của nhân Một cách tổng quát, ta xét bài toán tìm nghiệm của
phương trình toán tử compaet Kz = + Các mệnh đề sau chứng tỏ phương,
trinh Ka = y, voi K là toán tử tuyến tính compact thường là không chỉnh
1.5.2 Các mệnh đề
Mệnh đề 1.5.4 Cho X,Y là các không gian định chuẩn va K la
toán tử tuyến tính compaet thoả mãn
dim (*/Kerk) = 00
Khi đó, ton tai day (a,) C X sao cho Kx, > 0 nhung x, khong dan vé 0
Trang 27Mệnh dé 1.5.5 Cho K : X + Y la todn tử tuyến tinh compact giita
hai không gian Hilbert vdi dim X = 00 va {z„} là một dây trực chuẩn
Khi đó,
lim Kz„ = 0
Trang 28PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA BỞI HÀM LOC
“Trong toàn bộ chương này, chúng ta quy ước K là toán tử compaet và
là ánh xa don ánh Chúng ta xét bài toán: tìm nghiệm cita phương trình
toán tử có dạng
Kz =ự, (2.1)
trong do, K la toan tit tuyén tinh compact va don 4nh tit khong gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y trén tru’ng R Hon nữa, dữ liệu
về phải không được biết chính xác mà chỉ được biết dữ liệu xấp xỉ gŸ của ÿ với ổ > 0, gŠ € Ÿ sao cho
lly-y <6 (2.2)
Giả sử tồn tại nghiệm z của phương trình không bị nhiễu (2.1) Nói cách khác, chúng ta giả sử rằng y € #(K) Với K là hàm đơn ánh thì + là nghiệm duy nhất
Từ Chương 1, chúng ta biết rằng Bài toán (2.1)-(2.2) là bài tốn đặt
khơng chỉnh Trong chương này, chúng ta trình bày phương pháp chỉnh hóa
bởi hàm lọc để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán
Chúng ta gọi (0,#;, yj) là hệ kỳ dị của toán tử (được định nghĩa
trong phần sau) Khi đó, phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc bao gồm việc
chon mét ham loc thich hop q(a, 2) va định nghĩa họ toán tử chỉnh hóa:
“Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày tóm tắt lại lý thuyết chỉnh hóa
cho bài toán ngược đặt không chỉnh Sau đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc Đặc biệt luận văn nghiên cứu các
điều kiện cho hàm q(a, ø) để /#„ là một phương pháp chỉnh hóa và đưa ra
Trang 29Luận văn cũng trình bày một số các trường hợp cụ thể của hàm q(œ, /)
2.1.TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA
Thông thường, để giải Bài toán (2.1)-(2.2), người ta nghĩ đến việc
tìm nghiệm xấp xỉ zŠ của nghiệm chính xác # bởi zỞ là nghiệm của
phương trình:
Kx?
Nhung bai toán này có thể không giải được vì chúng ta không thể giả thiết được dữ liệu được đo /Ÿ nằm trong miền giá trị R() của É
Hơn nữa, ngay cả khi phương trình giải được, vì Bài toán (2.1)-(2.2) là
đặt không chỉnh nên zŠ không phải là nghiệm xấp xỉ của z
Để giải Bài toán (2.1)-(2.2) một cách ổn định, chúng ta xây dựng một
dãy toán tử bị chặn phù hợp
lạ: Y — X,
xấp xỉ cho toán tử ngược K~!: R(K) —› X Chính xác hơn, chúng ta có định nghĩa sau:
2.1.1 Phương pháp chỉnh hóa (Regularization Strategy)
Định nghĩa 2.1.1 Một phương pháp chỉnh hóa là một họ các toán tử
tuyến tính và bị chặn
Ra: Y +X, a>0,
sao cho:
lim f„Kz=z,- với mọi z€ X,
nghĩa là, toán tử #„K hội tụ theo từng điểm đến các toán tử đơn vị
Trang 30Dinh ly 2.1.2 Néu Ry la mot phuong phap chinh héa ctia 1 todn tit compact K : X + Y va dim X =e, thi chúng ta có:
(1) Toán tử R„ là không bị chăn đều; có nghĩa là, tôn tại mot day (a;)
v6i || Ro,|| 4 00 khi j + 00
(2) Chuỗi (R,„K+) không hội tụ đều trên tập con bị chặn của X; có nghĩa
là, R„K không hội tụ theo chuẩn đến toán tử đơn tị I
Chứng mình
(1) Gia sit diéu nguge lai, 3c > 0 sao cho || Ral] < ¢, Va > 0
Tit Ray 3 K-y(a > 0),Vụ € R(K) va ||Rayl| < qllyl] Va > 0,
chúng ta kết luận rằng,
II || < «||, cho mai y € R(); có nghĩa là #~ bị chặn Điều này có nghĩa là
I=K'K:X>X la compact (mau thuan véi dim X = oo)
(2) Gia sit ring Rak — I trong khong gian L(X,X) Tit tinh compact cia RK va Định lí 1.5.2, chúng ta kết luận rằng J 1a compact, kéo theo
dim X < oo n
Từ định nghĩa phương pháp chỉnh hóa, ta nhan thay ring, Roy hoi tu đến z sao cho về phải của phương trình là đúng = Kz
Bay gid, cho y € R(K) là đúng và gŠ € Y là dữ kiện được đo với llu — wẺ|| < ð chúng ta ngầm hiểu:
a Ray?
như một xấp xỉ của nghiệm # của phương trình z = Khi đó, sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ được chia thành 2 đoạn nhờ
Trang 31| < Rou’ — Row] + tou = zl < [Ralllly’ — ul] + IRaKz ~z|:
Vì vậy, ta có ước lượng cơ bản:
|:-“ - +| <ðj||Ral|+ ||R„Kz - z|| (2.3)
Chúng ta cần một phương pháp để lựa chọn œ = a(ð) phụ thuộc vào
ð để giữ cho sai số càng nhỏ càng tốt
2.1.2 Phương pháp chỉnh hóa chấp nhận được
Định nghĩa 2 lột phương pháp chỉnh hóa œ = a(ổ) được gọi là
chấp nhận được (admi le) nếu œ(ð) + 0 va
sup {IIF.øw” —z||: yŸ€Y, ||Kz ~ w'||< 3} +0, khi 6 + 0,
véi méi x € X
2.2.HE KY DI CUA TOAN TU COMPACT
Trước khi tìm hiểu về hệ kỳ dị, chúng ta sẽ định nghĩa toán tử kỳ dị
2.2.1 Giá trị kỳ dị (Singular Values)
Định nghĩa 2.2.1 Cho X và Y là các không gian Hilbert và K :
X —= Y là toán tử compact với toán tử liên hợp K* : Y => X Khi đó,
H;= VÀ, j€J,
với À; là giá trị riêng của toán tử tự liên hợp
KK: X 3X,
được gọi là giá tri ky di (singular values) cita toa tit K Hơn nữa, tap
J CN cé thé la tap hitu han hoae J = Ñ
Lưu ý, mỗi giá trị riéng \ ciia K*K 1a không âm bởi vì K*Ấz = Àz
được khai triển thành
Trang 322.2.2 Hệ kỳ di (Singular Values Decomposition)
Định nghia 2.2.2 Cho X va Y la khong gian Hilbert va K : X + Y là một toán tử tuyến tính compact với todn tit lien hop K*: Y > X Goi (1 > pz > fs > 0 lA day được sắp xếp của các gid trị kỳ dị dương
é % Ke
của #, được đếm tương ứng theo bội số của /; Đặt yj = —, trong đó,
H
+; là vecto riêng ứng với giá trị riêng À; của K*K Khi đó, tồn tại hệ
trực chuẩn (z;) C X và (;) C Y với các tính chất sau:
K#j=juu, và Khu =u, vớimọi je J
Hệ (gj,#;,j) được gọi là hệ kỳ đị (singular sụstem) của tốn tử compaet
Đ Với mỗi z € X tồn tại một khai triển duy nhất: x=29t >> (x,2)) 2; J7 với zạ € W(K) và Kz= Sy (.3))t jes
2.3.PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA BỞI HÀM LỌC
Cho K : X + Y la toan tử compaet với hệ kỳ dị (g,#/,) và cho 4: (0,5) x (0.|IK||| — R
Ta định nghĩa:
= Oy, fy
Roy = > at 7m 2) (y.yj)@j, U€Y
Trang 33(1) \q(a,p)| <1 vdi moia > 0 trà 0 < g < ||K||: (2) Với mỗi œ > 0, tồn tại c(a) sao cho :
lala, )| < cla), sới mọi 0 < g < ||K|:
(3a)
lim q(a,w) = 1, uói mọi 0 < g< ||KÍ||: Khi đó, toán tử R„ : V —> X, œ >0 được định nghĩa bởi:
` 0b, fy
yi 1) (W./)#j, UY: _
là một phương pháp chỉnh hóa với ||R|| < c(œ) Chon a = a(d) là
Trang 346 day K la toan tit lien hop cita K (Xem Định nghĩa 1.2.4)
Cho z € X tùy ý nhưng cố định Tại e > 0, ton tai N € N sao cho ys | (x, aj) Pr < $ N+1 Tit (3a) ton tại ag > 0 sao cho 20 2 ao, p;)- 1]? <5 voi moi j= (a0, 05) — 1)" < arp Nyva0<a<ay Với (1) chúng ta kết luận rằng |ê.k+—z[ˆ = 36.) —1Pœ-sðP +3) la(a.,)— 1J|@œ.+;) |Ỷ A
vdi moi 0 < a < ay
Dieu do chting td ring Ryka — z(œ —> 0) với mỗi z € X
2.4.TỐC ĐỘ HỘI TỤ
Trong Dinh lý 2.3.1, chúng ta đã trình bày sự hội tụ của Ray dén nghiệm # Trong định lý kế tiếp, chúng ta sẽ nghiên cứu tốc độ hội tụ của
phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc Để nhận định kết quả này
chúng ta
cần thay thế giả thiết (3a) trong Dinh lý 2.3.1 bởi một điều kiện mạnh hơn
Trong phần (¡) và (ii), chúng ta thừa nhận rằng nghiệm x nim trong
pham vi K* va K*K
Trang 35(3b) Tén tai cy > 0 vdi
M(a.w)—1|< 2Ý” si mọi a>0xà0 <g <||KÍ:
Ngồi ra, nếu, z € R(K"), thi
|.Kz Seva Jzll: trong dé x = K*z
(ii) Thay thé gid thiét (3a) bồi: (3c) Tén tai cạ > 0 vdi a
lu) = 1< tới mọi a > 0 à 0 < g < ||K||
Ngoài ra, nếu, « € R(K*K), thi
|IRaKz 2] Sere [ell , trong đó x = K*Kz, thì định lý 9.4.1 uẫn luôn đúng Chứng mình Với z = K*z và (#,#;) = Hj (2, yj), bling công thức (2.4) (Từ chứng minh Định lý 2.3.1) Ta được: lIRaKz — z|Ê = Ÿ ˆIa(œ, „) = 1j| (e.w) |Ÿ < đa|lz|f -
“Trường hợp (ii) chứng mình tương tự ñ
2.5 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ CUA HAM LOC
Trang 36(a) q(a,p) = 42/(a + 42) Gach chon nay théa man gid thiét (2) vdi c(a) = 1/(2Va) Gia thiét (3b) va (3c) thỏa mãn ứng tới cy = 1/2 va cy = 1
() q(a,) = 1 = (1 — ap?) vdi 0 < a < 1/||K|Ề Trong trường hợp
này, (9) thỏa mãn tới c(œ) = \/aJa Giả thiết (3b) và (3c) được thỏa
Trang 37(e) Đối với tính chất (2) nó đủ để xem xét trường hợp /# > œ
“Trong trường hợp này, q(a,p) = 1 < g//@ Với (3b) và (3e) chúng ta
chỉ xem xét trường hợp p? < a Thé thi „(1 = q(a,u)) =n < Va
và 7(1—q(a,n)) = 42 <a n
Kết hợp ước lượng cơ bản (3.3) với Dinh lý 2.5.1 ta được định lý sau:
Định lý 2.5.2 Cho yŸ€ Y sao cho ||lUŠ— vÌ| < 6, tại = Kz
(a) Cho K : X —> Y là toán tử compact tà đơn ánh tới hệ kỳ dị (uj, 2), yj)-Todn tit Ray:= 3) —(W.U)3j 1 yey,
re
dinh nghia mt luge dé chinh quy héa vdi ||Ral| < 1/ Va Luge dé nay
la chấp nhận được nếu e(ð) —> 0(ð —> 0) à ð3/a(ð) - 0(5 > 0)
(b) Cho # = K*z € TR(K*) uới ||z|| < E và e > 0 Với sự lựa chọn
a(ð) = e ö/E, chúng ta có ước lượng
e6): — | < (= + ve) v3E (2.5)
(c) Cho x = K*Kz € TR(K*K) tới |z|| < E và e > 0
Chon a(5) = c(5/E)?/* dẫn đến ước lượng
jon ~zÍ| < (= +3 BMS 92/3, (36)
Và tây, quang phổ cắt là tối ưu với thông tin ||(K*)~'z|| < E hoặc
Trang 38a) Khẳng định này suy ra từ Dinh lý 2.5.1
b) Kết hợp ước lượng cơ bản (2.3) với Định lý 2.4.1 và Định lý 2.5.1 cho
Trang 39CHƯƠNG 3
NGHIỆM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này, luận văn trình bày các kết quả về nghiệm số và
tính hữu hiệu của phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc cho một ví dụ cụ thể
về phương trình tích phân loại một
Trước hết chúng ta sẽ xét một bài toán cụ thể và chọn nghiệm
chính xác và dữ liệu chính xác Sau đó, chúng ta rời rạc bài toán để nhận được hệ phương trình tuyến tính xấp xỉ Chúng ta dùng lệnh trong phần
mềm MATLAB để tính hệ kỳ dị của toán tử rời rạc này (Ma trận của hệ
phương trình tuyến tính) Tiếp theo, chúng ta áp dụng phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc ứng với ba trường hợp eu thể của hàm lọc được nghiên cứu trong Chương 2 Cuối cùng chúng ta minh họa nghiệm số và nghiệm xấp xỉ nhận được bởi các phương pháp chỉnh hóa
3.1.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LOẠI MỘT
Trang 40Chúng ta chia đoạn |0, 1] thành œ đoạn con bằng nhau bởi các điểm 0=fo<ti.ta < tụ “Theo quy tắc hình thang, ta có xấp xỉ tích phân sau: 1 n=l [ (1+ts)e!*x(s)ds = l(z0)+s0+9ez0)+3) (0+7)e"z(n) lọ ja với h := +
Dat x; = x(t;),i = yn và cho £ lần lượt nhận các giá trị t = t; = ih,
ta được hệ tuyến tính sau: 1 „vẻ 1 (eu +>)Í(+7h9e'"]z; + s+ tet j=l =y(ti), i=0, ,n, hay viết dưới dạng ma trận KT =J (3.1)
trong đó là ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính,
E = (9, 01, -,2n)" va¥ = (yo, m, -.Yn)” (voi ys = y(ti), Vi =
3.3.TÍNH ĐẶT KHƠNG CHỈNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Để minh họa tính đặt không chỉnh của Hệ phương trình tuyến tính
(3.1), chúng ta giả với các giá trị khác nhau và so sánh nghỉ:
của Hệ (3.1) (được giải trong MATLAB thông qua lệnh "x = K\y" và nghiệm chính xác Z.) n SỐ Thong thường, chúng ta nghĩ rằng nghiệm của hệ (3.1) là các giá trị xấp xỉ của hàm v tai œ — z¡ (¡= Ũ,n) Tuy nhiên, trong ví dụ này, bài toán
là đặt không chỉnh vì / là toán tử compact nh họa điều này, ta vẽ