ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG VƯƠNG TOÀN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành Khoa học máy tính Mã[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG VƯƠNG TỒN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM KHƠNG KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01.01 Thái Nguyên - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG VƯƠNG TỒN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM KHƠNG KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 Cán hướng dẫn: GS TS Đặng Quang Á Thái Nguyên - 2015 LỜI CẢM ƠN Bằng lòng thành kính, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng tới: - Thầy giáo, GS TS Đặng Quang Á quan tâm, tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi q trình triển khai nghiên cứu đề tài hoàn thành luận văn - Các thầy Khoa CNTT tồn thể cán , nhân viên trường ĐH Công Nghệ Thông Tin Truyền Thông - Đại Học Thái Nguyên, trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu khoa học, tạo thuận lợi thủ tục hành chính, tài liệu cần thiết để tơi hồn thành luận văn - Ban Giám hiệu trường THCS Cộng Hòa, thầy cô giáo tổ Khoa học Tự nhiên anh em bè bạn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2015 Học viên Vương Toàn Dũng Mục lục LỜI CẢM ƠN Mở đầu Mơ hình tốn học tốn nhiễm khí 1.1 Phương trình khuếch tán - truyền tải vật chất khơng khí tốn khuếch tán - truyền tải dừng 1.2 1.3 Sự tồn nghiệm toán khuếch tán truyền tải dừng Nghiệm giải tích tốn khuếch tán-truyền tải dừng trường hợp riêng Phương pháp số giải tốn lan truyền khí thải 2.1 Giới thiệu số phương pháp giải toán ô nhiễm 2.2 Giới thiệu sơ lược phương pháp sai phân giải phương trình 2.3 12 14 14 đạo hàm riêng 16 Phương pháp sai phân giải toán khuếch tán - truyền tải 27 2.3.1 Xây dựng lược đồ sai phân 27 2.3.2 Giải hệ phương trình sai phân 31 Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải khơng khí 35 3.1 Thiết kế chương trình 35 3.2 Kết thử nghiệm 39 3.3 Đánh giá kết 47 Tài liệu tham khảo 50 Danh sách hình vẽ 2.1 18 2.3 Nghiệm số xấp xỉ lưới π Nghiệm xác (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 = Nghiệm số với h = 0.1 2.4 Nghiệm số với h = 0.01 21 2.5 Nghiệm số với h = 0.001 22 2.6 Sai số với h = 0.1 22 2.7 Sai số với h = 0.01 23 2.8 Sai số với h = 0.001 23 3.1 Giao diện chương trình 37 3.2 Nhập liệu toán 37 3.3 Nhập hoàn chỉnh liệu 38 3.4 Thực tính nồng độ chất gây ô nhiễm 38 3.5 Các tùy chọn để lấy liệu đầu 39 3.6 Đường bình độ vận tốc gió u = × (z + 0.2)0.15 45 Mặt phân bố nồng độ x z 45 3.8 Phân bố nồng độ khí thải theo x cố định z 46 3.9 Phân bố nồng độ khí thải theo z x = jhx 46 2.2 3.7 17 21 Mở đầu Ngày giới nói chung Việt nam nói riêng phải đối mặt với thực tế mơi trường khơng khí, nước đất ngày bị nhiễm nghiêm trọng Với cơng nghiệp hóa ngày cao nhiều nhà máy, xí nghiệp mọc lên vào hoạt động thải môi trường nhiều chất độc hại ảnh hưởng trực tiếp đến sức khỏe người hủy hoại môi trường sinh thái Vì việc tính tốn dự báo mức độ ô nhiễm môi trường vô quan trọng quy hoạch phát triển xí nghiệp cơng nghiệp Để làm việc cần nghiên cứu mơ hình tốn học tốn lan truyền khí thải mơi trường khí, phương pháp giải tốn xây dựng chương trình tính tốn kịch xảy phục vụ cho thẩm định môi trường dự án đầu tư phát triển khu cơng nghiệp Phương pháp sai phân giải tốn nhiễm mơi trường có nhiều ứng dụng trong thực tế Chẳng hạn, tốn học lượng tử, lượng hạt nhân, hóa học số toán lĩnh vực khác Trong phạm vi đề tài này, nghiên cứu tốn liên quan đến mơi trường khí hậu Sự tác động qua lại phần tử khí mơi trường trọng tâm cần nghiên cứu mang tính khoa học thực tiễn cao ảnh hưởng trực tiếp tới sống trái đất Trong mơi trường khơng khí, khí quyển, thành phần khí thành phần khác pha trộn lẫn (theo tỷ lệ đó) tác động gió tượng khuếch tán mơi trường Khí thải cơng nghiệp tác nhân lớn gây nhiễm khơng khí Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn dạng khí (khói nhà máy, lị hạt nhân, núi lửa ) lan truyền, khuếch tán khí quyển, tác động với ảnh hưởng nhiệt độ độ ẩm tạo thành hợp chất phức tạp, gọi chung hợp chất khí Trong q trình chuyển động thành phần hợp chất khí tác động với nhau, số thành phần từ không độc hại trở thành độc hại đời sống sinh vật Quá trình dẫn đến nhiễm lục địa đại dương Để giải vấn đề ta cần biết trình lan truyền khuếch tán ác thực thể nhiễm bẩn mơi trường di chuyển chúng không biến thành thành phần có hại ngược lại Đó vấn đề đáng quan tâm Vì giới khơng ngừng hồn thiện, bên cạnh cơng nghiệp phát triển Chính vậy, để bảo vệ mơi trường phải điều chỉnh tiềm sẵn có thiên nhiên để bị đi, mà cịn nâng cao nó, cải thiện mơi trường Tuy nhiên, địi hỏi lượng kinh phí lớn, cần chung tay, góp sức quốc gia quan tâm nhân loại Nội dung đề tài này, trình bày phương trình liên hợp phân tích dựa phương trình thừa nhận điều kiện biên, điều kiện ban đầu đồng thời nghiên cứu phương pháp giải toán thu kết cuối mà nhờ chúng đánh giá mức độ tác động thực trạng ô nhiễm môi trường vùng lãnh thổ Phần trình bày luận văn gồm có 03 chương, cụ thể Chương 1: Mơ hình tốn học tốn nhiễm Nội dung phân tích mơ hình tốn học tốn nhiễm khơng khí Phương trình khuếch tốn-truyền trải vật chất khí quyển, tốn khuếch tán-truyền tải dừng, nghiệm giải tích trường hợp riêng Chương 2: Phương pháp số giải tốn lan truyền khí thải Nội dung chương trình bày số phương pháp khác giải tốn nhiễm Trong đó, luận văn tập trung vào phương pháp sai phân giải toán khuếch tán - truyền tải Lược đồ sai phân cho toán khuếch tán - truyền tải xây dựng Đồng thời phương pháp giải hệ phương trình sai phân thu từ từ việc rời rạc hóa phương trình sai phân đưa Chương 3: Xây dựng chương trình tính nồng độ khí thải khơng khí Trong chương này, xây dựng phương pháp giải toán đặt Chương Do độ phức tạp phương trình, với giả thiết điều kiện biên, giá trị ban đầu chặt chẽ người ta nhận nghiệm xác tốn Thực tế cho thấy toán đặt thường rộng hơn, phức tạp Do đó, việc tìm phương pháp giải số cho lớp toán phương pháp hữu hiệu sử dụng Luận văn trình bày phương pháp sai phân toán khuếch tán đặt ta Chương toán tử sai phân với độ xác cấp hai theo biến khơng gian thoả mãn tính khơng âm Trong luận văn lược đồ sai phân giải tốn nhiễm mơi trường cài đặt ngơn ngữ MatLab máy tính PC Chương Mơ hình tốn học tốn nhiễm khí Mơi trường, trạng thái vấn đề ô nhiễm từ lâu trở thành vấn đề trọng tâm nghiên cứu nhà khoa học Các chất thải công nghiệp với thành phần nhiễm bẩn thải vào khí đại dương gây tác động xấu đến mơi trường khơng khí, mơi trường nước, đất môi trường sinh thái vùng công nghiệp lớn Điều làm tăng nồng độ cacbondioxit thành phần khác khí Những thay đổi trình sinh thái biểu rõ nét khu công nghiệp lớn ”mưa a - xít” Sự lan truyền thực thể nhiễm bẩn khí luồng gió chuyển động rối Dịng chảy trung bình thực thể vật chất trung bình hoá xem tượng khuếch tán chuyển động trung bình Ta xét mơ hình tốn học khác truyền tải khuếch tán vật chất môi trường lỏng mơi trường khí Bài tốn Cho nguồn phát thải với cơng suất f , cho trường gió với − vận tốc → u = u, v, ω Giả sử hệ số khuếch tán theo phương nằm ngang µ, hệ số khuếch tán theo phương thẳng đứng ν Ta cần xác định nồng độ khí thải điểm (x, y, z) thời điểm t , ký hiệu ϕ(x, y, z, t) Các kết phần dựa kết Đặng Quang Á Ngô Văn Lược (xem [8]) 1.1 Phương trình khuếch tán - truyền tải vật chất khơng khí tốn khuếch tán - truyền tải dừng Trong mục giới thiệu toán khuếch tán - truyền tải vật chất khơng khí tốn khuếch tán - truyền tải dừng Như biết, trình khuếch tán - truyền tải chất gây nhiễm khí mơ tả phương trình đạo hàm riêng có dạng (xem [8]) ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ +u +v + (ω − ωg ) − µ∆ϕ − ν + σϕ = f, ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z (1.1) • ϕ nồng độ chất gây nhiễm • u, v, ω thành phần vận tốc gió • f cơng suất nguồn phát thải • ωg = const vận tốc rơi chất gây ô nhiễm trọng lực • σ = const ≥ hệ số biến đổi chất gây ô nhiễm, ν, µ hệ số khuếch tán ∂2 ∂2 • ∆ = + toán tử Laplace ∂x ∂y Phương trình (1.1) phức tạp Khơng có hi vọng tìm nghiệm xác Tuy nhiên, số trường hợp đơn giản (được chấp nhận thực tế) tìm nghiệm giải tích (1.1) (xem [8]) Vấn đề trình bày chi tiết mục 1.3 cuối chương Bây giờ, xét toán khuếch tán - truyền tải (1.1) với giả thiết Nguồn phát thải có cơng suất phát thải khơng đổi Q tập trung điểm Tức f = Qδ(x)δ(y)δ(z − z0 ), δ ký hiệu hàm Dirac Quá trình lan truyền ổn định (tức khơng cịn phụ thuộc thời gian) ∂ϕ = ∂t Hướng gió trùng với trục Ox tốc độ gió phụ thuộc vào độ cao, u = u(z) > 0, v = ω = Với giả thiết (i), (ii), (iii) trên, hệ số khuếch tán theo hướng trục Ox bỏ qua Vì thế, phương trình (1.1) đưa dạng ∂ϕ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ u − ωg −µ − ν + σϕ = Qδ(x)δ(y)δ(z − z0 ) ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z (1.2) Bài toán (1.2) gọi toán khuếch tán - truyền tải dừng Cùng với phương trình (1.2), xét điều kiện biên sau: ϕ = 0, x, y → ±∞, (1.3) z → +∞, (1.4) ϕ = 0, ∂ϕ = αϕ, z = (1.5) ∂z Trong đó, α = const ≥ hệ số đặc trưng cho phản xạ hấp thụ bề mặt đáy Trong phần trình bày số kết định tính liên quan đến nghiệm toán khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5) Cụ thể, tồn nghiệm cách biểu diễn nghiệm toán (1.2) (1.5) thơng qua nghiệm tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình parabolic 1.2 Sự tồn nghiệm toán khuếch tán truyền tải dừng Đầu tiên, ký hiệu D+ = (x, y, z), z ≥ , H = H (D+ ) Định lý sau Đặng Quang Á Ngô Văn Lược (xem [8]) lớp H toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) có khơng q nghiệm Định lý 1.1 Trong lớp H toán toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) có khơng q nghiệm Chứng minh Giả sử toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) có hai nghiệm ϕ1 , ϕ2 ∈ H Chúng ta ϕ1 − ϕ2 ≡ Thật vậy, đặt ψ = ϕ1 − ϕ2 , Khi ψ thỏa mãn phương trình nhất: u ∂ψ ∂ 2ψ ∂ ∂ψ ∂ψ − ωg −µ − ν + σψ = 0, ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z (1.6) với điều kiện biên (1.3) - (1.5) Nhân phương trình (1.6) với ψ , sau thực lấy tích phân miền ta thu ωg Z+∞ Z ν(0) +σ ψ (x, y, 0) dxdy+ Z Z+∞ Z dxdy −∞ −∞ Z+∞ Z −∞ Z+∞ Z ∂ψ (ψ ) |z=0 dxdy + ∂z dxdy −∞ Z +∞ ∞ Z+∞ Z dxdy ∂ψ µ( ) dz + ∂y Z +∞ −∞ ∂ψ ν( ) dz ∂z (1.7) ψ dz = 0 Từ (1.5) ta thu Z+∞Z ∂ψ (ψ ) |z=0 dxdy = α ∂z −∞ Z+∞ Z ψ (x, y, 0)dxdy (1.8) −∞ Kết hợp (1.7) (1.8) ta thu ψ ≡ Từ đó, Định lý chứng minh Bây ta xét toán u ∂ ϕ˜ ∂ ϕ˜ ∂ ϕ˜ ∂ ∂ ϕ˜ − ωg −µ − ν + σ ϕ˜ = 0, ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z uϕ˜ = Qδ(y)δ(z − z0 ), x=0 x > 0, (1.9) (1.10) y → ±∞, (1.11) ϕ˜ = 0, z → +∞, ∂ ϕ˜ = αϕ, ˜ z = ∂z (1.12) ϕ˜ = 0, 10 (1.13) Bài toán (1.9) - (1.13) toán giá trị biên ban đầu cho phương trình parabolic Giả sử ϕ˜ nghiệm toán Ta đặt ψ(x, y, z) = ˜ y, z), ϕ(x, 0, x ≥ 0, (1.14) x < Kết sau Đặng Quang Á Ngô Văn Lược([8]) hàm ψ xác định (1.14) nghiệm toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) Định lý 1.2 Hàm số ψ xác định (1.14) nghiệm toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) Chứng minh Xem [8] Tiếp theo, xem xét tốn (1.9) - (1.13) giả thiết µ = k0 u, k0 = const > (1.15) Giả thiết (1.15) đề xuất nhà vật lý, giả thiết phù hợp với điều kiện thực tế (xem [9]) Kết sau Đặng Quang Á Ngô Văn Lược ([8]) cho ta cách biểu diễn nghiệm toán (1.9) - (1.13) Định lý 1.3 Nếu u = u(z), ν = ν(z) µ thỏa mãn (1.15) nghiệm tốn (1.9) - (1.13) biển diễn dạng ϕ(x, ˜ y, z) = ϕ(x, ¯ z).P (x, y), (1.16) −y (4k0 x) √ P (x, y) = e , πk0 x ϕ(x, ¯ z) nghiệm toán u ∂ ϕ¯ ∂ ϕ¯ ∂ ∂ ϕ¯ − ωg − ν + σ ϕ, ¯ x>0 ∂x ∂z ∂z ∂z uϕ¯ = Qδ(z − z0 ), x = 0, ϕ¯ = 0, z → ∞, ∂ ϕ¯ = αϕ, ¯ z = ∂z 11 (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) Định lý 1.2 1.3 cho ta cách biểu diễn nghiệm toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) thông qua nghiệm toán biên giá trị đầu cho phương trình parabolic (bài tốn (1.9) - (1.13) toán (1.18) (1.21)) Trong phần cuối chương ta đưa biểu thức nghiệm giải tích (chính xác) cho toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trường hợp cụ thể 1.3 Nghiệm giải tích tốn khuếch tán-truyền tải dừng trường hợp riêng Như ta phân tích trước đó, toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) phức tạp, khơng có hi vọng tìm nghiệm xác trường hợp tổng quát Tuy nhiên, trường hợp riêng xét mục đưa biểu thức giải tích cho nghiệm toán khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) Đối với chất gây ô nhiễm bảo tồn dạng khí hạt mịn (gaseous and fine - particle conservative pollutants) (ωg = σ = 0) ta biết nghiệm giải tích toán (1.18) - (1.21) u(z) ν(z) hàm công ∂ϕ suất trường hợp α = (tương ứng với điều kiện biên = 0) ∂z α = ∞ (tương ứng với trường hợp ϕ = 0) Ở đây, ta xét trường hợp tổng quát với α ≥ Nhưng bên cạnh giả thiết ωg = σ = ta giả sử thêm u = const > 0, ν = const > Trong kết mình, Đặng Quang Á Ngơ Văn Lược (xem [8]): Định lý 1.4 Nghiệm giải tích tốn khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) Đối với chất gây ô nhiễm bảo tồn dạng khí hạt mịn trường hợp u = const > 0, µ = const > 0, ν = const > −uy −a2 (z+z0 ) −a2 (z−z0 ) Q 4µx √ 4x √ ϕ(x, y, z) = πνµx e { πx (e + e 4x ) √ a2 x a(z+z − 2α e a2 +a(z+z √ ) + a x )}, ) erf c( x>0 a a x (1.22) ϕ(x, y, z) = 0, x < 0, 12 erf c(x) = √ π Z ∞ e−u du x Chứng minh Xem [8] Định lý 1.4 cho ta cơng thức nghiệm giải tích tốn khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trường hợp riêng Thực tế cho thấy toán đặt thường rộng hơn, phức tạp Nói chung, khơng thể xác định nghiệm giải tích tốn Do đó, việc tìm phương pháp giải gần tốn khuếch tán - truyền tải dừng (1.2) - (1.5) thực quan trọng cần thiết Trong chương trình bày phương pháp sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho phương trình khuếch tán truyền tải dừng (1.2) - (1.5) trường hợp tổng quát 13 Chương Phương pháp số giải tốn lan truyền khí thải 2.1 Giới thiệu số phương pháp giải tốn nhiễm Trong thời kỳ đầu phát triển khoa học mơi trường, việc tính tốn khuếch tán chất gây ô nhiễm từ nguồn điểm cao (ống khói, ống xả khí), kể đến vài cơng thức tính tốn khuếch tán áp dụng thực tế công thức Sutton (1947), công thức Bosanquet Pearson (1936) Trong thời kỳ này, công thức Sutton Bosanquet Pearson áp dụng rộng rãi để đánh giá phân bố nồng độ chất gây nhiễm xi theo chiều gió nguồn điểm liên tục (nguồn hoạt động liên tục) Các công thức đề xuất dựa sở lý thuyết khuếch tán Taylor G I (1915) Shmidt W (1917) (xem [2], Chương 3) Ngoài ra, cịn kể đến số cơng thức khác công thức xác định phân bố nồng độ chất gây ô nhiễm theo luật phân bố chuẩn Gaus hay công thức Berliand cộng (xem [2], Chương ) Các công thức đề xuất dựa sở lý thuyết khuếch tán Taylor G I (1915) Shmidt W (1917) kết hợp với phương trình khuếch tán chất gây nhiễm (dạng khí dạng lơ lửng) Dưới góc độ tốn học việc xác định nồng độ chất gây ô nhiễm khơng khí thực chất việc giải phương trình đạo hàm riêng khuếch tán - truyền tải (1.2) Như biết phương trình vi phân đạo hàm riêng thường xuất toán ứng dụng lý thuyết thủy động lực, đàn dẻo, học, lượng tử, chất lỏng, điện - từ trường Đa số toán phức tạp, khơng có phương pháp giải Chỉ có 14 lớp phương trình hẹp tìm nghiệm giải tích số trường hợp đặc biệt Chẳng hạn, phương trình khuếch tán - truyền tải dừng ta xét Chương ví dụ Chính việc nghiên cứu phương pháp giải gần phương trình đạo hàm riêng vấn đề quan trọng toán học lý thuyết nói chung tốn học tính tốn nói riêng Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết toán học, nhà toán học tìm nhiều phương pháp giải gần phương trình đạo hàm riêng Có thể kể đến hai lớp phương pháp truyền thống, sử dụng phổ biến rộng rãi việc giải gần phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân hay gọi phương pháp lưới phương pháp phần tử hữu hạn Nhìn chung, hai phương pháp có ưu điểm nhược điểm riêng khác tùy theo lớp phương trình đạo hàm riêng khác Có thể nhiều phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân có có ưu so với phương pháp phần tử hữu ngược lại Đối với tốn nhiễm khí nói riêng hai lớp phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai phân xây dựng Cụ thể, luận án tiến sĩ Supot Witayangkurn năm 2002 (xem [12]), tác giả xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn cho toán nhiễm khơng khí Trước đó, năm 1994 kết Đặng Quang Á, Ngô Văn lược (xem [7]), tác giả xây dựng phương pháp sai phân cho tốn nhiễm khí dừng Trong khn khổ luận văn ta không xét đến phương pháp phần tử hữu hạn mà xét đến phương pháp sai phân cho tốn nhiễm khí Phần trình bày dựa kết Đặng Quang Á Ngô Văn Lược (xem [7]) Trong phần tiếp theo, trước trình bày phương pháp sai phân giải phương trình truyền tải - khuếch tán dừng, trình bày cách sơ lược phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng 15 2.2 Giới thiệu sơ lược phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng Ý tưởng phương pháp sai phân rời rạc hóa đạo hàm xuất phương trình vi phân công thức sai phân thay hàm số (liên tục) xuất phương trình hàm số rời rạc xác định nút lưới Khi đó, tốn vi phân rời rạc hóa thành tốn sai phân Việc tìm nghiệm số gần lúc dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính Việc nghiên cứu phương pháp giải hệ đại số tuyến tính nhận từ việc rời rạc hóa phương trình đạo hàm riêng vấn đề quan trọng nhà toán học quan tâm ([10], [11]) Để minh họa cho việc sử dụng phương pháp sai phân giải phương trình đạo hàm riêng ta xét hai ví dụ đơn giản sau Ví dụ 2.1 Xét tốn vi phân đơn giản: Tìm hàm u(x) xác định đoạn [0, 1] thỏa mãn phương trình vi phân −u00 (x) = f (x), < x < 1, (2.1) với điều kiện biên u(0) = µ0 , u(1) = µ1 (2.2) Bài tốn (2.1) - (2.2) gọi toán biên hai điểm phương trình vi phân cấp hai Các kết liên quan tới tồn nghiệm tính chất nghiệm toán (2.1) - (2.2) trình bày tất giáo trình phương trình vi phân Trong ví dụ ta giả sử tốn (2.1) - (2.2) có nghiệm xác định đoạn [0, 1] Để giải gần hay cụ thể tìm nghiệm số tốn (2.1) (2.2), ta rời rạc hóa trục thời gian phân hoạch (không thiết đều) π = {0 = x0 < x1 < x2 < xk < xk+1 < < xN = 1} Các giá trị hn = xn+1 − xn gọi bước lưới Để đơn giản ta xét bước đều, tức hn = hn+1 = h với n = 1, N − Chúng ta xẽ tìm cách xây 16 dựng giá trị xấp xỉ ≈ u(xn ) ≡ un nút lưới t0 , t1 , TN Ta n=N gọi giá trị n=0 nghiệm số xấp xỉ, hay ngắn gọn nghiệm số phương pháp lưới π vk ≈ u(xk ) v0 x0 vk+2 ≈ u(xk+2) vN xk xk+1 xk+2 xN Hình 2.1: Nghiệm số xấp xỉ lưới Với mục tiêu xuất phát từ phương trình vi phân (2.1) ta có −u00 (xi ) = f (xi ), i = 1, N − (2.3) Bây giờ, ta xấp xỉ u00 (xi ) công thức sai phân Chẳng hạn, ta sử dụng công thức sai phân sau để xấp xỉ đạo hàm cấp hai ([1], [3], [10]) u(xi−1 ) − 2u(xi ) + u(xi+1 ) , h2 ký hiệu ui = u(xi ) ta có u00 (xi ) ≈ ui−1 − 2ui + ui+1 h2 Khi đó, từ (2.3) ta nhận hệ phương trình sai phân sau u00 (xi ) ≈ u −2u +u − i−1 h2i i+1 ≈ f (xi ), u0 = u(x0 ) = µ0 , i = 1, N − 1, (2.4) uN = u(xN ) = µ1 Ký hiệu vi ≈ ui , fi = f (xi ) ta có hệ phương trình đại số tuyến tính xác định vi v −2v +v − i−1 h2i i+1 = fi , v0 = µ0 , i = 1, N − (2.5) v N = µ1 Hệ phương trình sai phân (2.5) gọi lược đồ sai phân cho toán (2.1) - (2.2) Ta ý hệ (2.5) hệ phương trình đại số tuyến tính dạng ba đường chéo ([1]) 17 Chúng ta xét toán (2.1) - (2.2) trường hợp cụ thể với hàm f (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 = π Khi tốn (2.1) - (2.2) có nghiệm xác x3 sin πx u(x) = − π2 Nghiệm xác tốn trường hợp biểu diễn hình 2.2 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 −0.05 −0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 Hình 2.2: Nghiệm xác (x) = −(x + sin πx), µ0 = 0, µ1 = Ta viết lại lược đồ sai phân (2.5) cho toán dạng i = 1, N − 1, −vi−1 + 2vi − vi+1 = h2 fi , v0 = µ0 , π (2.6) = µ1 Ta cần xác định v1 , , vN −1 từ (2.6) Hệ (2.6) viết dạng tường minh 18 ... Á, Ngô Văn lược (xem [7]), tác giả xây dựng phương pháp sai phân cho tốn nhiễm khí dừng Trong khuôn khổ luận văn ta không xét đến phương pháp phần tử hữu hạn mà xét đến phương pháp sai phân cho... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG VƯƠNG TỒN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN Ơ NHIỄM KHƠNG KHÍ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01... đó, luận văn tập trung vào phương pháp sai phân giải toán khuếch tán - truyền tải Lược đồ sai phân cho toán khuếch tán - truyền tải xây dựng Đồng thời phương pháp giải hệ phương trình sai phân