Phương trình truyền nhiệt và các kết quả đánh giá ổn định cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian r3

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ .5 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.2 Đánh giá ổn định 10 Chương Phương trình truyền nhiệt kết đánh giá ổn định cho toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian R3 12 2.1 Phương trình truyền nhiệt 12 2.2 Các kết đánh giá ổn định cho toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian R3 21 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI NĨI ĐẦU Nhiều tốn khoa học, cơng nghệ thực tiễn tốn xác định nguồn gây nhiễm khơng khí mơi trường nước dẫn ta đến toán xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược Đây tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm tốn khơng phải tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện toán Hướng nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Cannon, Yamamoto, Hasanov, Pektas, Chu-Li Fu, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Cũng giống nhiều tốn đặt khơng chỉnh khác, vấn đề nhà toán học quan tâm tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược việc tìm đánh giá ổn định Các đánh giá cho ta biết toán "xấu" đến mức nào, để từ đưa phương pháp số hữu hiệu Ngoài ra, đánh giá ổn định quan trọng việc chứng minh hội tụ đánh giá sai số phương pháp chỉnh giải tốn đặt khơng chỉnh Cho đến nay, kết đánh giá ổn định cho tốn xác định nguồn phương trình parabolic ngược cịn hạn chế, chủ yếu cho phương trình có cấu trúc đơn giản đánh giá thường nhận khơng gian Hilbert Để tìm hiểu đánh giá để tập dượt nghiên cứu làm phong phú thêm tài liệu phương trình truyền nhiệt kết đánh giá ổn định cho toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt ngược, sở báo [6] tài liệu tham khảo [1, 4, 8, 9], lựa chọn đề tài cho Luận văn là: "Phương trình truyền nhiệt kết đánh giá ổn định cho toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian R3 " Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian n chiều toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian ba chiều sở tham khảo báo [6] Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, đánh giá ổn định số ví dụ minh họa Chương 2: Trong chương này, trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian n chiều nguyên lý cực trị miền bị chặn, nguyên lý cực trị miền không bị chặn, tính nghiệm tốn Cauchy, cơng thức Poatxơng phương trình truyền nhiệt cơng thức biểu diễn nghiệm toán Cauchy tổng quát Sau chúng tơi trình bày kết đánh giá ổn định cho toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian ba chiều sở tham khảo báo [6] Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán học cảm ơn thầy, giáo mơn Giải tích, khoa Sư Phạm Tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 22 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày Chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1, 4, 8] 1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Xét ánh xạ d : X×X → R thỏa mãn tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi metric X không gian (X, d) lập thành không gian metric 1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y A ánh xạ đơn ánh từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X gọi nghiệm phương trình A(x) = f A(x0 ) = f Đặt R(A) = {y ∈ Y : tồn x ∈ X thỏa mãn A(x) = y} Khi tồn ánh xạ R : R(A) −→ X xác định công thức R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi việc tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f dựa vào kiện ban đầu f ∈ Y thường xem xét dạng phương trình x = R(f ) 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian mêtric Bài tốn tìm nghiệm x = R(f ) phương trình A(x) = f gọi ổn định cặp không gian (X, Y ) (hay gọi liên tục theo kiện toán) ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε 1.1.4 Định nghĩa Bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi toán đặt chỉnh cặp không gian metric (X, Y ) i) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X; ii) nghiệm x nhất; iii) Bài tốn ổn định cặp khơng gian (X, Y ) Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn tốn tìm nghiệm gọi tốn đặt khơng chỉnh Đơi người ta gọi tốn đặt khơng quy tốn thiết lập khơng đắn 1.1.5 Ví dụ 1) Xét tốn Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y u(x, 0) = f (x), ∂u ∂y = ϕ(x), −∞ < x < ∞, y=0 f (x) ϕ(x) hàm cho trước Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ ϕ(x) = ϕ1 (x) = a sin(ax), nghiệm toán u1 (x, y) = sin(ax)sh(ay), a2 a > Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0, nghiệm toán u2 (x, y) ≡ Với khoảng cách hàm cho trước nghiệm xét độ đo đều, ta có dC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = x dC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = a x Với a lớn khoảng cách hai hàm ϕ1 ϕ2 lại nhỏ Trong đó, khoảng cách nghiệm dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup | x,y x,y 1 sin(ax)sh(ay)| = sh(ay), a a Với y > cố định lại lớn Chính vậy, tốn khơng ổn định 2) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I b K(t, s)ϕ(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], a nghiệm hàm ϕ(s), vế phải f0 (t) hàm số cho trước hạch K(t, s) tích phân với ∂K ∂t giả thiết hàm liên tục Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp hàm liên tục [a, b] với metric (còn gọi độ lệch) hai hàm ϕ1 , ϕ2 dC[a,b] (ϕ1 , ϕ2 ) = max |ϕ1 (s) − ϕ2 (s)| s∈[a,b] Mặt khác thay đổi vế phải đo độ lệch không gian L2 [c, d], tức khoảng cách hai hàm f1 (t), f2 (t) L2 [c, d] biểu thị dL2 [c,d] (f1 , f2 ) =    d c  12  |f1 (t) − f2 (t)| dt  Giả sử phương trình có nghiệm ϕ0 (s) Khi với vế phải b f1 (t) = f0 (t) + N K(t, s) sin(ωs)ds, a Phương trình có nghiệm ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + N sin(ωs) Với N ω đủ lớn khoảng cách hai hàm f0 , f1 L2 [c, d]   dL2 [c,d] (f0 , f1 ) = |N |  d b [ c a  12  K(t, s) sin(ωs)ds] dt  làm nhỏ tùy ý Thật vậy, đặt Kmax = max |K(t, s)|, s∈[a,b],t∈[c,d] ta tính  21  b [Kmax cos(ωs)|a ] dt dL2 [c,d] (f0 , f1 ) ≤ |N | ω     d c ≤ |N |Kmax c0 , ω c0 số dương Ta chọn N ω lớn tùy ý N ω lại nhỏ Khi đó, dC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)| = |N | s∈[a,b] lớn Khoảng cách hai nghiệm ϕ0 , ϕ1 L2 [c, d] lớn Thật vậy, dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) =    b |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)|2 ds  a = |N |    = |N |  21  b sin2 (ωs)ds a  21   b−a − sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)) 2ω Dễ dàng nhận thấy hai số N ω chọn cho dL2 [c,d] (f0 , f1 ) nhỏ cho kết dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) lớn Đây toán không ổn định 3) Xét chuỗi Fourier ∞ f1 (t) = an cos(nt), n=0 với hệ số (a0 , a1 , , an , ) ∈ l2 cho xấp xỉ cn = an + nε , n ≥ c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng ∞ f2 (t) = cn cos(nt), n=0 có hệ số (c0 , c1 , , cn , ) ∈ l2 Và khoảng cách chúng ∞ (cn − an ) ε1 = ∞ =ε n=0 n=1 n2 =ε π2 Do khoảng cách hai hệ số làm nhỏ ε lấy nhỏ tùy ý Trong đó, ∞ f2 (t) − f1 (t) = ε n=1 cos(nt) n làm cho lớn Ví dụ t = chuỗi phân kỳ Điều nói lên khoảng cách hai hàm f1 f2 xét không gian hàm với độ đo tốn tính tổng chuỗi Fourier không ổn định hệ số chuỗi có thay đổi nhỏ Tuy 10 nhiên xét khơng gian L2 [0, π],  π 1  π 1 ∞  2  2 [f2 (t) − f1 (t)]2 dt = | (cn − an ) cos(nt)|2 dt     n=0 ∞ = n=0 = ε1 π (cn − an )2 2 π Như vậy,bài toán lại ổn định, tức liệu ban đầu an cho xấp xỉ cn với sai số nhỏ, chuỗi Fourier tương ứng sai khác không nhiều L2 [0, π] 1.2 Đánh giá ổn định Để tiện lợi cho thảo luận sau, mục chúng tơi trình bày khái niệm đánh giá ổn định chỉnh hóa tốn đặt không chỉnh (xem [2]) Giả sử ta cần giải phương trình Au = f với A tốn tử (tuyến tính phi tuyến) từ khơng gian hàm X vào khơng gian hàm Y đó, cịn f kiện cho thuộc không gian Y Khi tốn đặt khơng chỉnh, khơng phải với kiện f tốn có nghiệm thường nghiệm toán tồn (theo nghĩa đó), lời giải khơng phụ thuộc liên tục (theo metric đó) vào kiện f Do tính khơng ổn định tốn nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lớn lời giải Mục đích lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh đưa phương pháp số hữu 17 với điều kiện ban đầu (2.16) b) Bài tốn Tìm nghiệm phương trình (2.15) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = (2.18) Khi nghiệm tốn (2.15)–(2.16) tổng nghiệm hai toán Bây ta xét toán nêu Trước hết ta xét toán 2.1.6 Bổ đề Nghiệm phương trình truyền nhiệt (2.17) t > t0 hàm số Γ(x, t, x0 , t0 ) = π(t − t0 ))n (2 |x − x0 |2 − e 4(t − t0 ) , t > t0 Chứng minh Ta tính đạo hàm Γt Γxi xi t > t0 Ta hiểu |x − x0 |2 n (xi − x0i )2 Ta có = i=1 0| − |x−x 4(t−t0 ) e n 2(t − t ) π(t − t0 ) −n Γt = 2 + π(t − t0 ) −1 Γxi = Γxi xi = ne − (xi − x0i ) , 2(t − t0 ) (xi − x0i )2 4(t − t0 )2 ne π(t − t0 ) |x − x0 |2 , 4(t − t0 )2 0| − |x−x 4(t−t ) π(t − t0 ) 0| − |x−x 4(t−t ) π(t − t0 ) ne 0| − |x−x 4(t−t ) ne 0| − |x−x 4(t−t ) 2(t − t0 ) (2.19) (2.20) 18 n Từ (2.19) (2.20) ta suy Γt − Γxi xi = i=1 Bổ đề chứng minh 2.1.7 Bổ đề Ta có Γ(x, t, x0 , 0)dx = Rn Chứng minh Dùng phép đổi biến số ηi = √ xi − x0i √ , dx = (2 t)n dη t Thay vào tích phân ta có Rn √ (2 πt)n |x − x0 |2 4t e dx = − Rn n √ n e−|η| dη ( π) +∞ = i=1 −∞ −ηi2 e dηi = π 2.1.8 Định lý (Công thức poatxơng) Nghiệm tốn (2.17), (2.16) hàm số sau Γ(x, t, y, 0)ϕ(y)dy t > u(x, t) = (2.21) Rn ϕ(x) t = 0, ϕ(x) hàm liên tục, bị chặn Rn Chứng minh Ta chứng minh t > 0, u(x, t) thỏa mãn phương trình (2.17) lim+ u(x, t) = ϕ(x) t→0 Tích phân có tên gọi tích phân Poatxơng tích phân phụ thuộc tham biến x, t Ta chứng minh tích phân hàm liên tục, có đạo hàm cấp theo t đạo hàm theo x đến cấp Các đạo hàm là: ut (x, t) = Γt (x, t, y, 0)ϕ(y)dy Rn uxi xi = Γxi xi (x, t, y, 0)ϕ(y)dy Rn 19 Do ta có ut − ∆u = (Γt − ∆Γ)ϕ(y)dy = Rn Ta phải chứng minh lim+ u(x0 , t) = ϕ(x0 ) x0 ∈ Rn Thật t→0 vậy, theo Bổ đề 2.1.7 Γ(x, t, y, 0)ϕ(x0 )dy ϕ(x0 ) = Rn Sử dụng phép biến đổi chứng minh Bổ đề 2.1.7 ta có đẳng thức sau √ π −n/2 e−|η| ϕ(x0 + tη) − ϕ(x0 ) dη |u(x0 , t) − ϕ(x0 )| = Rn Theo giả thiết ϕ(x) bị chặn nên tồn số M > cho |ϕ(x)| M, ∀x ∈ Rn Theo Bổ đề 2.1.7 ta có Rn √ n e−|η| dη = ( π) Do định nghĩa hội tụ tích phân suy rộng, với ε > 0, ta tìm số N dương đủ lớn cho |η|>N ε √ n e−|η| dη < 4M ( π) (2.22) Từ giả thiết ϕ(x) liên tục Rn nên suy liên tục hình cầu đóng, bị chặn Rn Điều có nghĩa với ε > tùy ý, tồn √ δ δ > cho với t > thỏa mãn tη < δ hay t < , ta có 2N √ ε |ϕ(x0 + tη) − ϕ(x0 )| < Vậy ta có √ |u(x0 , t) − ϕ(x0 )| π −n/2 e−|η| ϕ(x0 + tη) − ϕ(x0 ) dη |η| N 2M π −n/2 e−|η| dη < + |η|>N ε ε + = ε 2 20 Tiếp theo ta xét toán a) Nguyên lý Duyhamen Giả sử u(x, t, τ ) nghiệm toán ut − ∆u = (2.23) u(x, t, τ )|τ =t = f (x, t) (2.24) với τ tham số biến thiên đoạn [0, T ] Khi nghiệm tốn có dạng t u(x, t, τ )dτ v(x, t) = (2.25) Chứng minh Ta kiểm tra hàm v(x, t) cho cơng thức (2.25) xem có thỏa mãn phương trình (2.15) khơng? t ut (x, t, τ )dτ Thật vậy, ta có vt = u(x, t, t) + Theo giả thiết ta có u(x, t, t) = f (x, t) nên t ut (x, t, τ )dτ vt = f (x, t) + (2.26) Ta tác động toán tử ∆ vào hai vế (2.25) t ∆v(x, t) = ∆u(x, t, τ )dτ Từ (2.26) (2.27) ta nhận t vt − ∆v = f (x, t) + (ut − ∆u) dτ Theo giả thiết ut − ∆u = nên ta có vt − ∆v = f (x, t) Mặt khác v(x, 0) = Vậy định lý chứng minh b) Nhận xét (2.27) 21 Nếu ta thay toán tử ∆ toán tử L sau: aα (x).Dxα u, Lu ≡ |α| 2m ngun lý Duyhamen cịn đúng, có nghĩa là: giả sử u(x, t, τ ) nghiệm toán ut − Lu = u|t=τ = f (x, t) hàm v(x, t) = t u(x, t, τ )dτ nghiệm toán vt − Lv = f (x, t) v(x, 0) = Như ta biết nghiệm toán (2.15)–(2.16) tổng nghiệm hai toán Vậy có dạng u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) (2.28)   |x−y|2 − √ e 4t ϕ(y)dy t > Rn u1 (x, t) = (2 πt)n ϕ(x) t = (2.29)   t u2 (x, t) = 2.2   − |x−y| 4(t−τ ) e Rn π(t − τ ) n f (y, τ )dy    dτ (2.30)   Các kết đánh giá ổn định cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt không gian R3 Cho D miền R3 Trong phần nghiên cứu tính ổn định cặp nghiệm (U, f ) toán ngược  Ut (x, t) = ∆U (x, t) + χD (x)f (t)x ∈ R3 , t > 0, U (x, 0) = 0, x ∈ R3 ,  U (0, t) = g(t), t > 0, 22 U f đại lượng chưa biết, χD hàm đặc trưng miền D hàm g cho Kết đánh giá ổn định kiểu logarithm chứng minh với vài tính chất hình học áp đặt lên miền D Các kết phần tham khảo báo [6] Xét nghiệm (U, f ) toán  Ut (x, t) = ∆U (x, t) + χD (x)f (t, )x ∈ R3 , t > 0, U (x, 0) = 0, x ∈ R3 ,  U (0, t) = g(t), t > 0, (2.31) D miền đo bị chặn χD (x) = x ∈ D x ∈ / D (2.32) Giả sử f nghiệm toán (2.31) (Chú ý U xác định hồn tồn qua f tính f chứng minh [5])) Ký hiệu r0 r1 cận cận { x : x ∈ D} A(r) diện tích phần mặt D ∩ (rS ), S mặt cầu đơn vị R3 Khi đó, có t K(ξ, t − τ )dξf (τ )dτ, g(t) = D với K(x, t) = e−|x| /4t (4πt)3/2 R, nghĩa là, Chúng ta ý k(r, t) nhân nhiệt e−r /4t k(r, t) = (4πt)1/2 với t > t r1 A(r) −r2 /4(t−τ ) e drf (τ )dτ (4π(t − τ ))3/2 g(t) = r0 r1 A(r) 4πr = r0 r1 t A(r) u(r, t)dr, 4πr −2kr (r, t − τ )f (τ )dτ dr = r0 (2.33) 23 t −2kr (r, t − τ )f (τ )dτ u(r, t) = (2.34) nghiệm toán  r > 0, t > 0, Ut = urr , U (r, 0) = r > 0,  U (0, t) = f (t), t > (2.35) Chúng ta đảo ngược bước để kết luận u = u(r, t) thỏa mãn toán  Ut = urr , r > 0, t > 0,   U (r, 0) = r > 0, r1    (A(r)/4πr)u(r, t)dr = g(t), t > 0, (2.36) r0 f (t) = u(0+ , t) nghiệm tốn (2.31) Trong phần này, kí hiệu f = sup{|f (t)| : t ∈ (0, T ]} với T số dương cố định 2.2.1 Định lý Giả sử điểm gốc tọa độ thuộc phần D với D tập đo R3 Nếu g = O(t−γ ) với ≤ γ < tồn nghiệm (2.31) thỏa mãn tγ f (·) ≤ M (γ) tγ g (·) Chứng minh Ký hiệu Bδ hình cầu có tâm gốc tọa độ với bán kính δ, chứa D Khi ta có t t K(ξ, t − τ )dξf (τ ) + g(t) = Bδ 0 A(r) u(r, t)dr + 4πr D\Bδ t δ = K(ξ, t − τ )dξf (τ )dτ K(ξ, t − τ )dξf (τ )dτ, D\Bδ (2.37) 24 với u thỏa mãn (2.35) Chú ý A(r) = 4πr2 δ g (t) = t Kt (ξ, t − τ )dξf (τ )dτ rut (r, t)dr + D\Bδ δ = t Kt (ξ, t − τ )dξf (τ )dτ rurr (r, t)dr + 0 D\Bδ t =δur (δ, t) − u(δ, t) + f (t) + Kt (ξ, t − τ )dξf (τ )dτ (2.38) D\Bδ Từ (2.33), (2.34), (2.37) (2.38), ta đạt t S(δ, t − τ )f (τ )dτ, f (t) = g (t) + (2.39) δ3 S(δ, t) = √ 5/2 e−δ /4t − πt Kt (ξ, t)dξ D\Bδ Đánh giá bất đẳng thức định lý suy từ (2.39) Bây giờ, ta giả thiết f (0) = f ≤ M, với M số dương cho trước Khi đó, ta có định lý sau 2.2.2 Định lý Giả sử f nghiệm tốn (2.31) (a) ∈ / D( từ r0 > 0), (b) A(r0 ) = 0, (c) A (r0 ) = 0, tồn khác 0, (d) A khả tích lân cận r0 , (e) điều kiện (2.40) (2.41) thỏa mãn (2.40) (2.41) 25 Khi đó, tồn số β > < γ < cho g khả tích (0, T ] g < β với δ, < δ < γ, ta có log(1/C2 g ) f ≤ C1 (δ, r0 , M ) δ , C2 phụ thuộc vào r0 , T hàm A Chứng minh Giả sử A” khả tích (r0 , α] Vì u thỏa mãn (2.36) nên ta có r1 α A(r) u(r, t)dr 4πr A(r) u(r, t)dr + 4πr g(t) = α r0 Do r1 α A(r) ut (r, t)dr + 4πr g (t) = r0 = α A(α) ur (α, t) − 4πα α A(r) 4πr + A(r) ut (r, t)dr 4πr A(r) 4πr ” u(α, r) + r=α r1 u(r0 , t) r=α A(r) ut (r, t)dr 4πr u(r, t)dr + r0 A(r) 4πr α Với r > t −2kr (r − r0 , t − τ )u(r0 , τ )dτ u(r, t) = (2.42) Suy t g (t) = A(r) 4πr H(t − τ )u(r0 , τ )dτ, u(r0 , t) + r=r0 (2.43) 26 H(t) = − A(α) krr (α − r0 , t) 2πα A(r) 4πr + α A(r) 4πr kr (α − r0 , t) − r=α ” kr (r − r0 , t)dr r0 r1 A(r) (−2krrr (r − r0 , t))dr 4πr + α Ta ý T α A(r) 4πr ” kr (r − r0 , t)dr dt r0 α T A(r) 4πr ≤ r0 α A(r) 4πr = ” ” kr (r − r0 , t) dtdr √ erfc(r − r0 / 4T )dr r0 Do |H| khả tích (0, T ] phương trình (2.43) có nghiệm u(r0 , ·) thỏa mãn u(r0 , ·) g , L phụ thuộc vào r0 , T, A(α), A (α), A (r0 ) tích phân A” r0 < r ≤ α Việc chứng minh Định lý kết thúc sau chứng minh bổ đề sau 2.2.3 Bổ đề Giả sử u nghiệm toán (2.35) với (1) f (0) = 0, (2) f M , M số cố định biết Khi đó, tồn số < λ < < γ < 1, cho với δ 27 thỏa mãn < δ < γ u(r0 , ) < λ ta có đánh giá log(1/ u(r0 , )) f ≤ C(δ, r0 , M ) δ Chứng minh Từ (2.34) giả thiết (1) (2) ta có đánh giá sau với r>0 t ur (r, t) = −2 krr (r, t)f (τ )dτ t = −2 kt (r, t − τ )f (τ )dτ t = −2 k(r, t − τ )f (τ )dτ Điều kéo theo |ur (r, t)| M1 với r t ∈ [0, T ] Do |u(r, t)| ≤ |f (t) − u(r, t)| + |f (t)| = |ur (ξ(t), t)|r + |f (t)| ≤ M2 , t ∈ [0, T ], r ∈ [0, r0 ] (2.6) Mặt khác, ta có |u(r, t)| ≤ M3 εlr với ε = 1/γ với < r < r0 , u(r0 , ) , < γ < l, M3 phụ thuộc vào r0 M2 Với < δ < γ, chọn λ > đủ nhỏ cho từ ε < λ kéo theo < r = {log(1/ε)}δ < r0 Điều kéo theo 1/γ |f (t)| ≤ |f (t) − u(r, t)| + |u(r, t)| ≤ M4 (r + εlr ) = M4 {(log(1/ε))−δ + exp(−l(log(1/ε))1−δ/γ )} 28 Nhưng exp(−l(log(1/ε)))1−δ/γ ) ≤ n! ln (log(1/ε))n(1−δ/γ) Do đó, bổ đề chứng minh hoàn thành việc chứng minh Định lý 2.2.2 với β = λ/L 2.2.4 Định lý Lấy f nghiệm toán (2.31) Giả thiết (a) ∈ /D (b) A(r0 ) > 0, (c) A” khả tích (r0 , α] với α < r1 , (d) Các điều kiện (2.40) (2.41) thỏa mãn Khi kết luận Định lý 2.2.2 Chứng minh Ta viết α t A(r) 4πr g(t) = r0 −2kr (r − r0 , t − τ )u(r0 , τ )dτ dr r1 t A(r) 4πr + α −2kr (r − r0 , t − τ )u(r0 , τ )dτ dr Lấy tích phân phần số hạng đẳng thức để đạt t 4π 3/2 r0 g(t) + A(r0 ) t u(r0 , τ ) √ dτ, t−τ h(t − τ )u(r0 , τ )dτ = (2.44) α 2π 1/2 r0 A(α) h(t) = k(α − r0 , t) − A(r0 ) α A(r) r r0 r1 A(r) kr (r − r0 , t)dr r + α k(r − r0 , t)dr 29 Vì h khả tích (0, T ] nên phương trình (2.44) có nghiệm u(r0 , ·) Khẳng định định lý suy từ Bổ đề 2.2.3 30 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh ví dụ minh họa Trình bày khái niệm đánh giá ổn định Trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian n chiều Trình bày kết đánh giá ổn định cho tốn xác định nguồn khơng gian ba chiều sở tham khảo báo [6] 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] Phạm Minh Hiền (2007), Bài toán Cauchy cho số phương trình elliptic cấp hai, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội [3] Vũ Tuấn Đồn Văn Ngọc (1992), Phương trình vi phân, NXBGD [4] Baumeister J(1987), Stable solution of Inverse problems, Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig [5] J R Cannon and S Perez-Esteva (1986), "An inverse problem for the heat equation" Inverse Problems, 2, 395-403 [6] J R Cannon (1990), "Some Stability Estimates for a Heat Source in Terms of Overspecified Data in the 3-D Heat Equation" Jounal of Mathematical analysis and Applications,147, 363-371 [7] Isakov V (1998), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York [8] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer [9] L.C Evans (1998), Partial Differential Equations, American Math Society [10] Tikhonov A N (1943), "On the stability of inverse problems", Dokl Akad Nauk SSSR, 39, No 5, pp 195-198 (Russian) ... GIÁ ỔN ĐỊNH CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG KHƠNG GIAN R3 Chương nhằm mục đích trình bày phương trình truyền nhiệt tốn xác định nguồn cho phương trình sở tham khảo... cho toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian R3 " Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian n chiều toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt. ..  dτ (2.30)   Các kết đánh giá ổn định cho toán xác định nguồn phương trình truyền nhiệt khơng gian R3 Cho D miền R3 Trong phần nghiên cứu tính ổn định cặp nghiệm (U, f ) toán ngược  Ut