Giải một bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt ngược bằng phương pháp chỉnh hóa tikhonov

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ .4 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.2 Phương pháp chỉnh hóa 1.3 Hàm Gamma hàm Bessel Chương Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov ứng dụng việc giải toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt ngược 12 2.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 12 ´ 2.2 Ưng dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov việc giải tốn xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt ngược 15 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI NÓI ĐẦU Từ năm 50 kỷ trước nay, lĩnh vực toán ngược hướng phát triển mạnh mẽ toán học ứng dụng Như biết, mơ hình tốn học tốn ngược tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm tốn khơng phải tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện toán Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược tốn ngược có tính ứng dụng cao mơ hình toán thực tiễn, chẳng hạn toán xác định nguồn gây nhiễm khơng khí để bảo vệ môi trường thành phố với mật độ dân số cao hay toán xác định điều khiển nguồn gây ô nhiễm môi trường nước để bảo vệ mơi trường tốn quan trọng thực tiễn Do tính ứng dụng cao nó, tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Cannon, Yamamoto, Hasanov, Pektas, Chu-Li Fu, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu việc giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic ngược, sở báo [5] tài liệu tham khảo [1, 2, 3], chúng tơi lựa chọn đề tài cho Luận văn : "Giải toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt ngược phương pháp chỉnh hóa Tikhonov" Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu tốn xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt ứng dụng phương pháp Tikhonov để giải tốn Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, phương pháp chỉnh hóa số ví dụ minh họa Sau chúng tơi trình bày hàm Gamma hàm Bessel tính chất để làm sở cho việc trình bày chương Chương 2: Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Sau chúng tơi trình bày ứng dụng phương pháp để xác định nguồn nhiệt tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán học cảm ơn thầy, cô giáo mơn Giải tích, khoa Sư Phạm Tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 22 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày Chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1, 2, 3] 1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Xét ánh xạ d : X ×X → R thỏa mãn tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi mêtric X không gian (X, d) lập thành không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y A ánh xạ đơn ánh từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X gọi nghiệm phương trình A(x) = f A(x0 ) = f Đặt R(A) = {y ∈ Y : tồn x ∈ X thỏa mãn A(x) = y} Khi tồn ánh xạ R : R(A) −→ X xác định công thức R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi việc tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f dựa vào kiện ban đầu f ∈ Y thường xem xét dạng phương trình x = R(f ) 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai khơng gian mêtric Bài tốn tìm nghiệm x = R(f ) phương trình A(x) = f gọi ổn định cặp không gian (X, Y ) (hay gọi liên tục theo kiện toán) ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε 1.1.4 Định nghĩa Bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi tốn đặt chỉnh cặp khơng gian mêtric (X, Y ) i) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X; ii) Nghiệm x nhất; iii) Bài tốn ổn định cặp khơng gian (X, Y ) Nếu ba điều kiện không thỏa mãn tốn tìm nghiệm gọi tốn đặt khơng chỉnh Đơi người ta gọi tốn đặt khơng quy tốn thiết lập khơng đắn 1.1.5 Ví dụ Xét phương trình tích phân Fredholm loại I b K(t, s)ϕ(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], a nghiệm hàm ϕ(s), vế phải f0 (t) hàm số cho trước hạch K(t, s) tích phân với ∂K ∂t giả thiết hàm liên tục Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp hàm liên tục [a, b] với mêtric ( gọi độ lệch ) hai hàm ϕ1 , ϕ2 dC[a,b] (ϕ1 , ϕ2 ) = max |ϕ1 (s) − ϕ2 (s)| s∈[a,b] Mặt khác thay đổi vế phải đo độ lệch không gian L2 [c, d], tức khoảng cách hai hàm f1 (t), f2 (t) L2 [c, d] biểu thị dL2 [c,d] (f1 , f2 ) =    d c  12  |f1 (t) − f2 (t)| dt  Giả sử phương trình có nghiệm ϕ0 (s) Khi với vế phải b f1 (t) = f0 (t) + N K(t, s) sin(ωs)ds, a Phương trình có nghiệm ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + N sin(ωs) Với N ω đủ lớn khoảng cách hai hàm f0 , f1 L2 [c, d] dL2 [c,d] (f0 , f1 ) = |N |    d b [ c a  12  K(t, s) sin(ωs)ds] dt  làm nhỏ tùy ý Thật vậy, đặt Kmax = max |K(t, s)|, s∈[a,b],t∈[c,d] ta tính  21  b dL2 [c,d] (f0 , f1 ) ≤ |N | [Kmax cos(ωs)|a ] dt ω     d c ≤ |N |Kmax c0 , ω c0 số dương Ta chọn N ω lớn tùy ý nhỏ Khi đó, dC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)| = |N | s∈[a,b] N ω lại lớn Khoảng cách hai nghiệm ϕ0 , ϕ1 L2 [c, d] lớn Thật vậy, dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) =    b |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)|2 ds  a = |N |    = |N |  12  b sin2 (ωs)ds  21   a b−a − sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)) 2ω Dễ dàng nhận thấy hai số N ω chọn cho dL2 [c,d] (f0 , f1 ) nhỏ cho kết dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) lớn Đây tốn khơng ổn định 1.2 Phương pháp chỉnh hóa 1.2.1 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0 , với A toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y , nằm tập compact M X f0 ∈ Y Giả x0 nghiệm phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X gọi tốn tử hiệu chỉnh cho phương trình A(x) = f0 , i) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử R(f, α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với f ∈ Y : dY (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); ii) Tồn phụ thuộc α = α(f, δ) cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 : ∀f ∈ Y, dY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 , dX (xα , x0 ) ≤ ε, xα ∈ R(f, α(f, δ)) Trong định nghĩa trên, α chọn khơng phụ thuộc f ta gọi cách chọn tiên nghiệm Nếu α chọn phụ thuộc f δ ta gọi cách chọn hậu nghiệm 1.2.2 Nhận xét Trong định nghĩa không địi hỏi tính đơn trị tốn tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ , α) gọi nghiệm hiệu chỉnh phương trình A(x) = f0 , α = α(fδ , δ) = α(δ) gọi tham số hiệu chỉnh Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải phương trình A(x) = f0 gồm bước i) Tìm tốn tử hiệu chỉnh R(f, α) ii) Xác định giá trị tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin tốn phần tử fδ sai số δ Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc gọi phương pháp hiệu chỉnh 1.2.3 Ví dụ Tính giá trị z = df (t) dt mêtric C, f (t) cho xấp xỉ Đạo hàm z tính dựa vào tỷ sai phân R(f, α) = f (t + α) − f (t) α Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ fδ (t) = f (t) + g(t), |g(t)| ≤ δ với t, đó, R(fδ , α) = f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t) + α α Cho α → 0, f (t + α) − f (t) → z α Số hạng thứ hai đánh giá g(t + α) − g(t) 2δ ≤ α α Nếu chọn α cho α = δ , η(δ) với η(δ) → δ → 0, 2δ α = 2η(δ) → Vì vậy, với α = α1 (δ) = δ , η(δ) R(fδ , α1 (δ)) → z 1.2.4 Nhận xét Trường hợp α = δ, định nghĩa toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau: Tốn tử R(f, δ) tác động từ Y vào X gọi toán tử hiệu chỉnh, nếu: i) Tồn số dương δ1 cho toán tử R(f, δ) xác định với ≤ δ ≤ δ1 với f ∈ Y cho dY (f, f0 ) ≤ δ; ii) Với ε > bất kì, tồn δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 cho từ dY (fδ , f0 ) ≤ δ ≤ δ0 ta có dX (xδ , x0 ) ≤ ε xδ ∈ R(fδ , δ) Nếu R(f, δ) đơn ánh, xδ phần tử {R(f, δ)} 1.3 Hàm Gamma hàm Bessel 1.3.1 Định nghĩa Hàm gamma Γ hay tích phân Euler loại tích phân ∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt (1.1) với z thuộc nửa mặt phẳng bên phải mặt phẳng phức Rez > 1.3.2 Nhận xét Tích phân (1.1) hội tụ với z ∈ C thỏa mãn Rez > Thật vậy, với z ∈ C thỏa mãn Rez > 0, ta biểu diễn z = x + iy với x, y ∈ R x > Khi ta có ∞ Γ(z) = Γ(x + iy) = ∞ = = ∞ e−t tx−1+iy dt e−t tx−1 eiy ln t dt e−t tx−1 (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) dt (1.2) 10 Vì đại lượng (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) bị chặn nên dễ nhận thấy tích phân (1.2) hội tụ với x > y ∈ R 1.3.3 Định lý Hàm gamma Γ có tính chất sau 1) Γ(z + 1) = zΓ(z), ∀z ∈ C, Rez > 0, 2) Γ(1) = 1, 3) Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ N∗ , √ 4) Γ = π, (2n)! √ 5) Γ n + = 2n π 2 n! Chứng minh 1) Với z ∈ C, Rez > 0, sử dụng tích phân phần ta có ∞ Γ(z + 1) = e−t tz dt −t z = −e t ∞ t=∞ +z t=0 e−t tx−1+iy dt (z = x + iy) = zΓ(z) 2) Ta có ∞ Γ(1) = e−t t0 dt = −e−t t=∞ = t=0 3) Sử dụng tính chất 1) 2), ta chứng minh tính chất 3) phương pháp quy nạp 4) Trước hết ta tính tích phân ∞ I= e−x dx Đặt x = ut, u > 0, ta có ∞ I=u 2 e−u t dt (1.3) 17 J0 (z) J1 (z) hàm Bessel bậc bậc nhất, {µn }∞ n=1 dãy nghiệm phương trình J0 (z) = thỏa mãn < µ1 < µ2 < · · · < µn < · · · , lim µn = ∞ n→∞ Chứng minh Áp dụng phương pháp tách biến, ta tìm nghiệm tốn (2.16)–(2.18) có dạng u(r, t) = v(t)R(r) (2.21) Thay (2.21) vào phương trình (2.16) điều kiện biên (2.18), ta nhận thấy R(r) thỏa mãn phương trình điều kiện biên sau R (r) + R (r) + λR(r) = 0, < r < r0 , r R(r0 ) = 0, |R(0)| < +∞, (2.22) (2.23) (2.24) λ số Giải toán (2.22)–(2.24) ta thu giá trị riêng λn = µn r0 , n = 1, 2, , hàm riêng tương ứng Rn (r) = J0 µn r r0 , n = 1, 2, , µn nghiệm phương trình J0 (z) = < µ1 < µ2 < < µn < , lim µn = ∞ n→∞ 18 Do đó, nghiệm u(r, t) nguồn nhiệt f (r) tốn (2.16)–(2.18) biểu diễn sau ∞ u(r, t) = (t)Rn (r), (2.25) n=1 ∞ f (r) = fn Rn (r), (2.26) n=1 r0 rf (r)J0 fn = r0 rJ02 = 2 r0 J1 (µn ) µn r dr r0 µn r dr r0 r0 µn r r0 rf (r)J0 dr, n = 1, 2, µn r hệ r0 trực giao đầy đủ với trọng r L2 [0, r0 ; r] Thay (2.25) (2.26) Theo tính chất hàm Bessel J0 (x) bậc ta có J0 vào phương trình (2.16) với điều kiện (2.17), ta thấy (t) thỏa mãn phương trình sau µn r r0 (t) + (t) = fn , (2.27) (0) = (2.28) Giải toán giá trị ban đầu (2.27)–(2.28), ta thu t (t) = fn e − µn r0 (t−τ ) dτ, n = 1, 2, Do đó, nghiệm tương ứng phương trình (2.16)–(2.18) ∞ u(r, t) = t fn n=1 e − µn r0 (t−τ ) dτ Rn (r), 19 t = T , ta có khai triển ∞ g(r) = T fn e − µn r0 (T −τ ) dτ J0 n=1 µn r r0 (2.29) Từ (2.29) ta đạt (2.20) Bổ đề chứng minh Theo định lý giá trị trung bình, tồn số dương tn với < tn < T cho ∞ g(r) = fn T e − µn r0 (T −tn ) µn r r0 J0 n=1 tn số phụ thuộc µn Đặt √ µn r ωn (r) = J0 r0 J1 (µn ) r0 , , (2.30) (2.31) hệ hàm riêng ω1 (r), ω2 (r), , ωn (r), hệ trực chuẩn với trọng r L2 [0, r0 ; r] Sử dụng (2.20), (2.30) (2.31) có ∞ g(r) = Te − µn r0 (T −tn ) f (r), ωn (r) ωn (r) (2.32) n=1 Từ (2.32) ta có g(r), ωn (r) = − Te µn r0 (T −tn ) f (r), ωn (r) , (2.33) ∞ (1/T )e(µn /r0 ) f (r) = n=1 (T −tn ) g(r), ωn (r) ωn (r) (2.34) 20 Vì phép đo g(r) có sai số nên ta phải tìm nghiệm tốn nêu từ kiện bị nhiễu gδ (r) với gδ (r) thỏa mãn điều kiện g(·) − gδ (·) δ, (2.35) g(·), gδ (·) ∈ L2 [0, r0 ; r] Chúng ta giả sử rằng, có điều kiện tiên nghiệm cho toán (2.16)–(2.18): f (·) chuẩn f (·) p E, p > 0, p (2.36) định nghĩa ∞ f (·) p p (1 + n2 ) f (·), ω(·) ωn (·) = (2.37) n=1 Từ (2.34) ta có ∞ 2 f (·) = (1/T ) e µn r0 1/2 (T −tn ) | g(r), ωn (r) |2 (2.38) n=1 µn r0 (T −t ) n Chú ý µn → +∞ n → +∞ Do đại lượng e → µn r , cơng thức +∞ n → +∞ Tổ hợp với tính bị chặn J0 r0 (2.38) kéo theo giảm nhanh | g(r), ωn (r) |2 n đủ lớn Nhưng giảm nhanh thường khơng xuất kiện đo đạc bị nhiễu gδ (r) t = T Chính vậy, sai số nhỏ g(r) khiến cho đại lượng f khơng tồn Do tốn (2.16)–(2.18) tốn đặt khơng chỉnh Bây chúng tơi trình bày phương pháp chỉnh hóa tốn đánh giá sai số Chúng ta định nghĩa toán tử K xác định K : f (·) → g(·) Khi tốn (2.16)–(2.18) đoạn r r0 viết lại dạng phương trình tốn tử Kf (r) = g(r), r r0 (2.39) 21 Sử dụng cơng thức (2.32), ta có ∞ Kf (r) = kn f (r), ωn (r) ωn (r) (2.40) n=1 Do đó, K tốn tử compact tự liên hợp với giá trị riêng kn = T e−(µn /r0 ) (T −tn ) (2.41) ứng với vectơ riêng ωn Với kiện bị nhiễu gδ (r), phương pháp chỉnh hóa Tikhonov sử dụng, nghĩa tìm hàm fαδ với fαδ cực tiểu Jα (f δ ) := Kf δ − gδ + α2 f δ (2.42) 2.2.2 Định lý (Định lý 2.11 [3]) Cho K : X → Y tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert X, Y α > Khi phiếm hàm Tikhonov Jα (x) := Kx − y + α x 2, x ∈ X có cực tiểu xα ∈ X Giá trị cực tiểu xα nghiệm phương trình αxα + K ∗ Kxα = K ∗ y Chúng ta chứng minh bổ đề sau 2.2.3 Bổ đề ([5]) Giả sử fαδ ∈ L2 [0, r0 ; r] Khi tồn nghiệm tốn cực tiểu nói Nghiệm xác định theo công thức ∞ fαδ (r) (1/T )e(µn /r0 ) (T −tn ) gδ , ωn ωn = e2(µn /r0 )2 (T −tn ) + (α/T ) n=1 (2.43) Chứng minh Ký hiệu I toán tử đồng L2 [0, r0 ; r] K ∗ liên hợp K Khi đó, theo Định lý 2.2.2, phiếm hàm Tikhonov xác 22 định cơng thức (2.42) có cực tiểu fαδ ∈ L2 [0, r0 ; r] fαδ nghiệm phương trình K ∗ Kfαδ + α2 fαδ = K ∗ gδ , α > (2.44) Vì K toán tử tự liên hợp, nghĩa K = K ∗ , kết hợp (2.40) (2.44) ta có ∞ ∞ (kn2 +α ) fαδ , ωn ωn = n=1 kn gδ , ωn ωn n=1 Do (kn2 + α2 ) fα δ, ωn = kn gδ , ωn , fα δ, ωn = kn gδ , ωn (kn2 + α2 ) Vậy ta có ∞ fαδ (r) = ∞ fα δ, ωn ωn = n=1 kn−1 gδ , ωn ωn k −2 + α n n=1 Bổ đề chứng minh Chúng ta gọi fαδ (r) xác định công thức (2.43) xấp xỉ Tikhonov nghiệm xác f (r) xác định theo cơng thức (2.34) tốn (2.16)–(2.18) đoạn r r0 Bằng cách thay (1/T )e(µn /r0 ) (T −tn ) + (α/T )2 e2(µn /r0 ) (T −tn ) cơng thức (2.43) (1/T )e(µn /r0 ) (T −tn ) , + (α/T )2 e2(µn /r0 ) T 23 δ (r) xác định theo công thức ta có đại lượng xấp fα,∗ ∞ δ fα,∗ (r) (1/T )e(µn /r0 ) (T −tn ) = gδ , ωn ωn e2(µn /r0 )2 T + (α/T ) n=1 (2.45) δ (r) xấp xỉ Tikhonov có hiệu chỉnh nghiệm f (r) Ta gọi fα,∗ toán (2.16)–(2.18) đoạn r r0 Theo tính chất hàm Bessel bậc J0 (x), tồn số dương c cho với số tự nhiên n, ta có đánh giá n cµn (2.46) Để có đánh giá ổn định cho nghiệm chỉnh hóa, ta cần bổ đề sau 2.2.4 Bổ đề Nếu T > α > T e(T /r0 )s sup (2T /r0 )s α s>0 + (α/T )2 e √ Hơn nữa, < α < 1/ 3, p ≥ 1, T (p + 1)/p (2.47) đánh giá sau e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 sup (2T /r02 )s s>0 + (α/T )2 e − p p+1 r02 ln √ (2.48) T 3α √ Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ ab, a, b ≥ 0, ta có T α 2 + (α/T )2 e(2T /r0 )s ≥ 2(α/T )e(T /r0 )s ≥ (α/T )e(T /r0 )s Điều kéo theo bất đẳng thức (2.47) Bây ta chứng minh bất đẳng thức (2.48) với p ≥ 24 Với s ≤ p+1 r02 T ln √ T 3α , ta có e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 + (α/T )2 e(2T /r0 )s e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 ≤ T ln √ T 3α T α ≤ Với s > exp (2T /r02 ) r02 T ln √ T 3α (2T /r02 ) r02 T ln √ T 3α −p p+1 r02 ≤ r02 T ln √ T 3α −p p+1 r02 T ln √ T 3α exp p+1 p − p+1 r02 ln √ T 3α p+1 , ta có e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 + (α/T )2 e(2T /r0 )s T α ≤ −p/2 (1 + s) T α ≤ r02 ln √ T 3α T α s−p/2 p − p+1 Do với p ≥ bất đẳng thức (2.48) 2.2.5 Nhận xét Bổ đề 3.2 báo [5] có nội dung sau: Nếu T > α > e(T /r0 )s T sup (2T /r0 )s α s>0 + (α/T )2 e √ Hơn nữa, < α < 1/ 3, p > 0, T (p + 1)/p (2.49) đánh giá sau sup s>0 e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 + (α/T )2 e (2T /r02 )s T α r02 ln √ T 3α p − p+1 (2.50) Tuy nhiên, chúng tơi nhận thấy bổ đề chưa thật xác √ Thật vậy, ta chọn T = r0 = 1, p = 21 , α = √ 12 < 1/ Khi đó, bất 3e8 25 đẳng thức (2.48) trở thành e2s (1 + s)−1/4 sup + α2 e2s s>0 α 212 (2.51) Nhưng thay s = ln √ 3α −1/4 1 e2s (1 + s)−1/4 12 −1/4 √ ≥ + ln + sup = + α2 e2s 4α2 4α2 3α s>0 1 23 1 12 −1/4 > 28 = = 4α 4.21/4 α2 29 29/4 α2 212 3/4 2 1 > = 12 α α 212 Do đó, chúng tơi xác hóa Bổ đề 3.2 báo [5] Bổ đề 2.2.4 cách thay giả thiết p > giả thiết p ≥ 2.2.6 Định lý ([5]) Giả sử f (r) xác định công thức (2.34) δ (r) xác định cơng nguồn nhiệt xác với r ∈ [0, r0 ] fα,∗ thức (2.45) nguồn nhiệt xấp xỉ f (r) Giả sử kiện đo t = T gδ (r) thỏa mãn điều kiện (2.35) điều kiện tiên nghiệm (2.36) thỏa mãn Khi đó, chọn tham số chỉnh hóa α δ α= E E ln δ p p+1 (2.52) ta có đánh giá sau δ f (·) − fα,∗ (·) E E δ p − p+1 p (c1 (T /r02 ) p+1 + + o(1)) δ → 0, (2.53) c1 = (min{1, c2 })−p/2 26 Chứng minh Từ (2.34), (2.45) (2.46) ta có đánh giá ∞ δ f (·) − fα,∗ (·) ∞ kn−1 = g, ωn ωn − n=1 + (α/T )2 e2 n=1 kn−1 (α/T )2 e µn r0 n=1 + (α/T )2 e2 µn r0 ∞ ∞ sup (α/T )2 e µn >0 T µn >0 µn >0 + sup µn >0 µn r0 µn r0 µn r0 T µn r0 (1 + n2 )p/2 kn−1 g, ωn ωn n=1 ∞ (T −tn ) g − gδ , ω ω n T n=1 T c1 (1 + µ2n )−p/2 + (α/T )2 e (1/T )e ∞ 2 + (α/T )2 e (α/T )2 e T (1 + n2 )−p/2 (1/T )e g − gδ , ω ωn 2 T T g, ωn ωn + (α/T )2 e + sup sup µn r0 gδ , ω ωn T µn r0 n=1 + (α/T )2 e2 µn r0 kn−1 + kn−1 µn r0 T f p µn r0 T + (α/T )2 e µn r0 g − gδ , T c1 = (min{1, c2 })−p/2 Đặt s = µ2n , tổ hợp điều kiện (2.35), (2.36) bất đẳng thức (2.47), (2.48), ta đạt đánh giá δ f (·) − fα,∗ (·) e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 c1 E(α/T ) sup (2T /r02 )s s>0 + (α/T )2 e δ e(T /r0 )s + sup T s>0 + (α/T )2 e(2T /r02 )s c1 E r02 ln √ T 3α p − p+1 + δα−1 27 Bằng cách chọn α theo cơng thức (2.52), ta có đánh giá δ f (·) − fα,∗ (·)  p − p+1 E(ln(E/δ)) c1 (T /r02 ) ln(E/δ) √ p ln(E/( 3δ)) − p+1 ln(ln(E/δ)) p p+1  + 1 Chú ý δ → ln(E/δ) √ → p ln(E/( 3δ)) − p+1 ln(ln(E/δ)) Do đó, đánh giá (2.53) chứng minh 2.2.7 Nhận xét ([5])Trong thực hành, đại lượng E nhìn chung khơng biết Trong trường hợp này, thay chọn tham số chỉnh hóa α theo cơng thức (2.52), ta chọn α theo công thức α = δ ln δ p p+1 (2.54) ta có đánh giá δ f (·) − fα,∗ (·) ln δ p p+1 p (c1 E(T /r02 ) p+1 + + o(1)) δ → 2.2.8 Định lý Giả sử f (r) xác định công thức (2.34) nguồn δ (r) xác định cơng thức nhiệt xác với r ∈ [0, r0 ] fα,∗ (2.45) nguồn nhiệt xấp xỉ f (r) Giả sử kiện đo t = T gδ (r) thỏa mãn điều kiện (2.35) điều kiện tiên nghiệm (2.36) thỏa mãn Khi đó, chọn tham số chỉnh hóa α δ α= E E ln δ p (2.55) tồn số C cho E δ f (·) − fα,∗ (·) ≤ CE ln δ − p2 28 Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.2.6 ta có e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 c1 E(α/T ) sup (2T /r02 )s s>0 + (α/T )2 e δ e(T /r0 )s + sup T s>0 + (α/T )2 e(2T /r02 )s e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 c1 E(α/T ) sup + δα−1 (2T /r )s s>0 + (α/T ) e δ f (·) − fα,∗ (·) Với p > 1, ta xét r2 Với s ≥ ln √ , ta có T 3α 2 e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 + (α/T )2 e(2T /r0 )s e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 ≤ (α/T )2 e(2T /r0 )s ≤ T α 2 T α s−p/2 − p2 r02 ln √ T 3α r02 Với s < ln √ , ta có T 3α e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 + (α/T )2 e(2T /r0 )s 2 e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 ≤ e(2T /r0 )s s−p/2 ≤ T √ 3α 2 e(2T /r0 )s (1 + s)−p/2 T2 Do với p > ≤ 2 α + (α/T )2 e(2T /r0 )s δ f (·) − fα,∗ (·) ≤ c1 E δ Chọn α = E E ln δ − p2 r02 ln √ T 3α r02 ln √ T 3α r02 ln √ T 3α − p2 + δα−1 p , tồn số C cho E δ f (·) − fα,∗ (·) ≤ CE ln δ Định lý chứng minh − p2 − p2 , nên 29 2.2.9 Nhận xét Với p > − p2 p > p p+1 nên p > ta có đại lượng − p p+1 E E ln hội tụ nhanh so với đại lượng ln δ → δ δ Điều chứng tỏ kết đánh giá đạt Định lý 2.2.8 tốt kết tác giả báo [5] 30 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn Trình bày khái niệm tốn đặt khơng chỉnh ví dụ minh họa Trình bày khái niệm phương pháp chỉnh hóa ví dụ minh họa Trình bày hàm Gamma, hàm Bessel tính chất chúng Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trình bày chi tiết kết báo [5] việc ứng dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để xác định nguồn nhiệt phương trình truyền nhiệt Đề xuất chứng minh cho Bổ đề 2.2.4 mà tài liệu tham khảo [5] không chứng minh Đưa Nhận xét 2.2.5 để khẳng định Bổ đề 3.2 báo [5] chưa thật xác Đề xuất chứng minh Định lý 2.2.8 Đưa Nhận xét 2.2.9 để khẳng định với p > 1, kết Định lý 2.2.8 tốt kết tác giả báo [5] 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] Baumeister J(1987), Stable solution of Inverse problems, Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig [3] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer [4] Hadamard J (1923), Lectures on Cauchy Problem in Linear Partial Differential Equations, Oxford University Press, London [5] Wei Cheng, Ling-Ling Zhao, Chu-Li Fu (2010), "Source term identification for an axisymmetric inverse heat conduction problem" Computers and Mathematics with Applications, 59, 142–148 [6] Heinz W Engl, Martin Hanke, Andreas Neubauer (1980), Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers [7] Igor Podlubny (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego ... PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC Chương nhằm mục đích trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov ứng dụng phương. .. chúng Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trình bày chi tiết kết báo [5] việc ứng dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để xác định nguồn nhiệt phương trình truyền nhiệt Đề xuất chứng minh cho. .. phương pháp việc giải toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt ngược sở tham khảo tài liệu [1], [2], [3] [5] 2.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong phần chúng tơi mơ tả phương pháp chỉnh