Các kết quả đánh giá ổn định nghiệm của phương trình parabolic ngược thời gian

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian 1.1 Phương pháp lồi logarithmic 1.1.1 Khái niệm hàm lồi hàm lồi logarithmic 1.1.2 Ví dụ 1.2 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian 10 Chương 2: Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian 10 2.1 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình burger’s ngược thời gian 10 2.1.1 Bài toán Carasso 10 2.1.2 Bài toán Ponomarev 16 2.2 Kết 24 2.2.1 Định lý 24 2.2.2 Hệ 31 2.2.3 Nhận xét 31 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 LỜI NĨI ĐẦU Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất vật lý truyền nhiệt, ta cần xác định nhiệt độ thời điểm khứ qua nhiệt độ tai thời điểm tại, toán xuất địa lý học, khoa học vật liệu, thủy động học xử lý ảnh Chúng thuộc lớp toán đặt không chỉnh Một vấn đề nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh việc tìm kết đánh giá ổn định nghiệm Các đánh giá cho biết toán "xấu" đến mức nào, để từ đưa phương pháp số hữu hiệu Ngoài ra, đánh giá ổn định quan trọng việc chứng minh hội tụ đánh giá sai số phương pháp chỉnh giải toán đặt không chỉnh Cho đến nay, đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận chủ yếu cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian điều kiện biên không Các đánh giá thường nhận cho chuẩn L2 , kết nhận cho chuẩn khác Đặc biệt, kết cho phương trình phi tuyến hoi nhiều tốn thực tế dẫn ta đến phương trình phi tuyến Một vài kết đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Burgers ngược thời gian, phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng tìm thấy cơng trình Carasso[5] Ponomarev[10] số cơng trình Payne cộng Với mục đích hiểu tổng quan vấn đề đề xuất kết làm phong phú thêm kết đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic ngược thời gian Chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu "Các kết đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic ngược thời gian" Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm hai chương Chương 1: Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian Chương 2: Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic phi tuyến tính ngược thời gian Trong chương 1, giới thiệu khái niệm hàm lồi, hàm lồi logarithmic Tiếp theo giới thiệu kết đánh giá ổn định nghiện phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian Trong chương 2, chúng tơi giới thiệu kết đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình burgers ngược thời gian Carasso Ponomarev Tiếp theo đề xuất kết đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian ut + Au = f (t, u(t)), u(T ) − ϕ ≤ 0 đoạn [0, t] Từ (1.5) ta có kt2 d2 ] ln(F.e ≥0 dt2 (1.7) Từ (1.6) ta có −k2 d2 k1 ln(F (δ).δ dδ ≥0 (1.8) Trong δ = e−k1 t Từ (1.1) (1.7) ta có lnF (t) ≤ t2 − t t2 − t1 lnF (t1 ) + ( t − t1 ) lnF (t2 )] + k(t − t1 )(t2 − t) t2 − t1 (1.9) nên F (t) ≤ exp k(t − t1 )(t2 − t) với ∀t ∈ [t1 ; t2 ] t −t F (t1 ) ( t 2−t ) F (t2 ) t−t1 ) −t1 (t (1.10) Từ (1.1) (1.8) ta có ln F (δ).δ −k2 k1 −k −k 2 2 δ2 − δ δ − δ1 k1 k1 ≤ ln F (δ1 ).δ1 + ln F (δ1 ).δ1 δ2 − δ1 δ2 − δ1 ⇒ F (δ).δ −k2 k1 −k2 k1 ≤ F (δ1 ).δ1 δ2 −δ δ2 −δ1 −k2 k1 F (δ1 ).δ1 δ−δ1 δ2 −δ1 (1.11) với δ ∈ [δ1 , δ2 ] δ1 = e−k1 t , δ2 = e−k1 t 1.1.2 Ví dụ Giả sử u(t) nghiệm phương trình vi phân sau  Ω × (0, T ) ut + ∆u = u=0 Γ × [0, T ]  u(x, 0) = f (x), x∈ Ω (1.12) Đặt F (t) = u(t) u2 dx = (1.13) Ω L2 (Ω) chuẩn uut dx = −2 F (t) = Ω |∇u|2 dx u.∆udx = Ω (1.14) Ω Từ ta có ∇u.∇ut dx = −4 F ”(t) = Ω ut ∆udx Ω Thay ∆u −ut ta có u2t dx F ”(t) = (1.15) Ω Từ (1.13), (1.14) vào (1.15) ta có F F ” − (F )2 = u2 dx Ω u2t dx − 4( Ω uut dx)2 Ω Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwar ta có F F ” − (F )2 ≥ Do F(t) thỏa mãn (1.3) áp dụng (1.4) ta đạt u(t) ≤ f 2(1− Tt ) u(T ) (1− Tt ) u(T ) ⇒ u(t) ≤ f Tt t T , ∀t ∈ [0, T ) , ∀t ∈ [0, T ) (1.16) Trong trường hợp u(T ) ≤ M ta đạt u(t) ≤ f 1.2 (1− Tt ) t M T , ∀t ∈ [0, T ) Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian không gian Hilbert Giả sử H khơng gian Hilbert với tích vơ hướng , chuẩn A : D(A) → H toán tử tuyến tính, tự liên hợp, xác định dương không bị chặn u(t) ∈ C([0, T ], H) C ((0, T ), H) nghiệm phương trình ut + Au = 0, u(T ) − ϕ ≤ 0 Đặt z(t)=u1 (t) − u2 (t) z(t) = z(t), z(t) , ∀t ∈ [0, T ] Khi ta đạt t(T − t) t (1− t ) z(t) ≤ 2exp (2k + k (T + t)) ε T E T T 25 Chứng minh Do u1 , u2 nghiệm (2.39) nên u1t + Au1 = f (t, u1 (t)), 0