Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng phương trình dầm ngược

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh ví dụ 1.1.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.1.2 Các ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 1.1.3 Phương trình parabolic ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh 17 1.2 Khái niệm họ tốn tử chỉnh hóa tính chất 19 1.2.1 Khái niệm họ toán tử chỉnh hóa 19 1.2.2 Các tính chất tốn tử chỉnh hóa 20 Chương 2: Một phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian 24 2.1 Chỉnh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian phương trình dầm ngược 24 2.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic phi tính ngược thời gian phương trình dầm ngược 32 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NÓI ĐẦU Bài tốn ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh tốn kiện q trình vật lý khơng đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận văn này, chúng tơi đề cập tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất lý thuyết truyền nhiệt, ta xác định nhiệt độ thời điểm khứ qua nhiệt độ đo đạc thời điểm tại, toán thường xuyên xuất địa vật lý Trong toán nước ngầm, để xác định việc truyền tải chất gây ô nhiễm vùng nước ngầm người ta dùng phương trình khyếch tán-đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với đo đạc thời điểm Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất khoa học vật liệu, xử lý ảnh toán nghiên cứu nhiều, nhiên cho lớp phương trình đặc biệt, việc đề xuất phương pháp giải gần tốn ln vấn đề đề cập đến Bài tốn kể đặt khơng chỉnh theo nghĩa J.S.Hadamard (1865 1963) Một toán gọi đặt chỉnh thỏa mãn ba điều kiện a) có nghiệm, b) nghiệm nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo tơpơ đó) theo kiện tốn Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn ta nói tốn đặt khơng chỉnh Nhiều tốn thực tiễn khoa học công nghệ dẫn đến tốn đặt khơng chỉnh, nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh việc tìm đánh giá ổn định Các đánh giá cho ta biết tốn "xấu" đến mức để từ đưa số phương pháp hữu hiệu Để xấp xỉ cách ổn định nghiệm tốn đặt khơng chỉnh, ta phải dùng phương pháp chỉnh hóa như: phương pháp tựa đảo, phương pháp phương trình Sobolev, phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương tỏ hữu hiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian trường hợp tuyến tính (f = 0) Ý tưởng chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian phương trình dầm ngược (the backward beam equation approach) Buzbee Carasso đề xuất vào năm 1973, tác giả đưa phương pháp phương trình dầm ngược để giải phương trình parabolic tuyến tính tự liên hợp ngược thời gian Một đặc điểm quan trọng phép xấp xỉ khơng giới hạn tới phương trình parabolic cơng thức rõ ràng tốn tử nghiệm Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tốn sau Cho H khơng gian Hilbert với tích vơ hướng ⟨·, ·⟩ chuẩn ∥ · ∥ Giả sử Ω giới hạn miền xác định Rn với C ∞ biên ∂Ω, với f (x) ∈ L2 (Ω) cho số dương biết δ, M , T , tìm tất nghiệm hệ phương trình { ut = ∆u, u = 0, với buộc x ∈ Ω, < t < T x ∈ ∂Ω, < t < T { ∥u(·, T ) − f ∥L2 ∥u(·, 0)∥L2 δ M, (1) (2) ∆ tốn tử Laplacian Ω, chúng tơi xấp xỉ tốn (1)-(2) tốn phương trình dầm ngược  utt = (∆ + k)2 u, x ∈ Ω, < t < T    u = ∆u = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T u(x, 0) = g(x),    u(x, T ) = f (x), (3) k số dương cho Nếu thay toán (1)-(2) toán { sau ut + ∆u = h(t, u(t)), x ∈ Ω, < t < T, u = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T, với buộc { ∥u(·, T ) − f ∥L2 δ ∥u(·, 0)∥L2 M, (4) (5) f (x) ∈ L2 (Ω) số dương biết δ, M , T ∆ tốn tử Laplacian Ω, câu hỏi đặt chỉnh hóa tốn (4)-(5) tốn phương trình dầm ngược hay không ? Mục tiêu luận văn - Chứng minh phương trình dầm ngược (3) tốn đặt chỉnh - Đưa phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian (1)-(2) nêu đánh giá sai số - Đưa phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian (4)-(5) nêu đánh giá sai số Với mục tiêu trên, nghiên cứu viết luận văn với cấu trúc sau - Mục lục - Lời nói đầu - Nội dung Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Chương 2: Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian phương trình dầm ngược - Kết luận - Tài liệu tham khảo Trong chương 1, trình bày số kiến thức liên quan bổ trợ cho nội dung chương 2, cụ thể khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, ví dụ, khái niệm họ tốn tử chỉnh hóa tính chất Trong chương 2, tìm hiểu phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic ngược thời gian dạng (1)-(2) dạng (4)-(5) Ở chương này, để chỉnh hóa nghiệm tốn (1)-(2) sử dụng nghiệm v(t) = e−kt w(·, t) tốn phương trình dầm ngược đặt chỉnh (3) (làm)nghiệm ( )xấp xỉ cho toán (1)-(2) Và chứng minh M k = ln (1)-(2) u(x, t) nghiệm T δ (1)-(2) ta ln có ∥e−kt w(·, t) − u(·, t)∥L2 M 1−t/T δ t/T , ∀t ∈ [0, T ] (6) Vì khả thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý thầy bạn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức, giúp đỡ thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa tốn-trường Đại học Vinh với gia đình bạn bè Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Ts Nguyễn Văn Đức-người dành cho tác giả quan tâm giúp đỡ tận tình suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nghiệm khoa, thầy khoa Tốn-trường Đại học Vinh trang bị kiến thức kinh nghiệm bổ ích cho tác giả thời gian học, xin cảm ơn tập thể cao học 17-Giải Tích tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 1.1.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh ví dụ Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm toán chỉnh J Hadamard đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Việc tìm nghiệm x tốn phải dựa vào kiện ban đầu f , có nghĩa x = R(f ) Ta coi nghiệm kiện phần tử thuộc không gian X Y với độ đo tương ứng ∥x1 − x2 ∥X ∥f1 − f2 ∥Y , x1 , x2 ∈ X; f1 , f2 ∈ Y Giả sử có khái niệm nghiệm tốn Khi đó, tốn tìm nghiệm x = R(f ) gọi ổn định cặp không gian (X, Y ), với số ε > tìm số δ(ε) > 0, cho từ ∥f1 − f2 ∥Y δ(ε) ta có ∥x1 − x2 ∥X ε, x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), x1 , x2 ∈ X; f1 , f2 ∈ Y Định nghĩa 1.1 Bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi tốn chỉnh cặp khơng gian định chuẩn (X, Y ), có • Với f ∈ Y , tồn nghiệm x ∈ X; • Nghiệm x xác định cách nhất; • Bài tốn ổn định cặp khơng gian (X, Y ) Một thời gian dài người ta cho toán đặt thỏa mãn ba điều kiện Nhưng thực tế quan niệm sai lầm Trong tính tốn, tốn thực tế máy tính ln diễn q trình làm trịn số, làm trịn dẫn đến kết sai lệch đáng kể Nếu ba điều kiện không thỏa mãn, tốn tìm nghiệm gọi tốn khơng chỉnh Đơi người ta gọi tốn đặt khơng quy tốn thiết lập khơng đắn Bài tốn thiết lập khơng đắn cặp không gian định chuẩn này, lại thiết lập đắn cặp không gian định chuẩn khác Đối với tốn tìm nghiệm xấp xỉ phương trình A(x) = f (x)(∗), f ∈ Y (trong A tốn tử từ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y đó) kiện ban đầu tốn tử A vế phải f Giả sử toán tử A cho trước cách xác, cịn vế phải f cho fδ với sai số ∥fδ − f ∥Y δ Như vậy, với (fδ , δ) ta cần phải tìm phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm xác x0 phương trình (∗) δ → 0, phần tử xδ có tính chất gọi nghiệm xấp xỉ toán khơng chỉnh Nếu kí hiệu Qδ = {x ∈ X : ∥A(x) − fδ ∥Y δ}, nghiệm xấp xỉ phương trình phải nằm tập Qδ Nhưng tiếc tập Qδ lại lớn, tức có phần tử cách xa Chính vậy, khơng phải tất phần tử Qδ coi nghiệm xấp xỉ của(∗) Vì lẽ đó, tốn đặt phải chọn phần tử Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (∗) Muốn thực việc chọn cần thiết phải có thêm thơng tin khác nghiệm xác x0 Việc sử dụng thơng tin định lượng dẫn đến phương pháp tựa nghiệm, dùng thơng tin định tính (tính trơn tính đơn điệu nghiệm ) cho ta xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ tốn khơng chỉnh (∗) 1.1.2 Các ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Sau đây, chúng tơi đưa số ví dụ loại tốn đặt khơng chỉnh 1.1.2.1 Ví dụ hệ phương trình đại số tuyến tính Nhiều toán thực tế quy giải hệ đại số tuyến tính, có thay đổi nhỏ hệ số hệ phương trình dẫn đến thay đổi lớn nghiệm hệ, chí làm cho hệ trở nên vơ nghiệm vơ định Những hệ phương trình đại số tuyến tính có tính chất gọi hệ phương trình điều kiện xấu Ma trận A tạo hệ số hệ phương trình gọi ma trận điều kiện xấu Ví dụ 1.2 Hệ phương trình { 2x1 + x2 =2 2x1 + 1, 01x2 = 2, 01 có nghiệm x1 = , x2 = 1, hệ phương trình { 2x1 + x2 =2 2, 01x1 + x2 = 2, 05 (1.1) (1.2) có nghiệm x1 = 5, x2 = −8 ta thấy thay đổi nhỏ hệ số vế phải phương trình thứ hai kéo theo thay đổi đáng kể nghiệm Vậy hệ phương trình gọi hệ điều kiện xấu Ví dụ 1.3 Ma trận ( ) −73 78 24 A = 92 66 25 −80 37 10 ma trận điều kiện xấu với detA = Chỉ cần thay đổi lượng nhỏ thành phần a12 , a21 a33 ma trận A detA nhận giá trị khác ( −73 78, 01 92 66 det −80 37 ( −73 78 det 92, 01 66 −80 37 ) 24 25 ≈ −28, 199999003 10 ) 24 25 ≈ 2, 0800007556 10 ( ) −73 78 24 92 66 25 ≈ −118, 93999938 det −80 37 10, 01 1.1.2.2 Ví dụ tính đạo hàm hàm số Ví dụ 1.4 Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm Ta cần tính đạo hàm f (x + h) − f (x) h→0 h f ′ (x) = lim số x Muốn vậy, ta chọn dãy {hk } cho hk → k → ∞ tỷ số sai phân Dk = f (x + hk ) − f (x) , k = 0, 1, , N hk Khi đó, N đủ lớn, tức hN đủ nhỏ, DN xấp xỉ tốt f ′ (x) Vậy hN nhỏ ta nhận xấp xỉ tốt Liệu hN nhỏ có cho ta xấp xỉ tốt không? Để trả lời cho câu hỏi ta xét ví dụ sau Cho f (x) = ex Tính đạo hàm f ′ (1) với hk = {10}−k cho ta kết Nếu k = 10 Dk = mà f ′ (1) ≈ 2, 718282, Nếu k = Dk = 2, 7183 mà f ′ (1) ≈ 2, 718282 Như k = tỷ số sai phân cho ta xấp xỉ tốt 1.1.2.3 Ví dụ cực trị hàm số Ví dụ 1.5 Xét toán φ(y) = y đoạn thẳng y = λ0 x + y0 chứa phần tư thứ mặt phẳng XOY , y0 > λ0 số cho trước Giả sử λ0 = thay cho λ0 ta có λδ : ∥λδ − λ0 ∥ < δ xét trường hợp: 10 • λδ > 0, thay đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d1 : y = λδ x+y0 Giá trị cực tiểu hàm φ(y) phần d1 nằm vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt điểm (0, y0 ) điều có nghĩa { x =0 φ(0) = y0 (1.3) • λδ > 0, thay đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d2 : y = λδ x+y0 , λδ < nên d2 cắt trục OX điểm x2 (δ) Giá trị cực tiểu hàm φ(y) phần d2 nằm vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt điểm (x2 (δ), 0) tức { x = x2 (δ) φ(x2 (δ)) = 0, (1.4) δ → 0, λδ → x2 (δ) → ∞ Vậy tốn khơng ổn định 1.1.2.4 Ví dụ tìm cực tiểu hàm số Ví dụ 1.6   Xét J(u) = u2 , + u4 0,  u≥0 (1.5) u < • Giá trị nhỏ J(u) J ∗ = • Tập lồi giải u∗ = {u | u 0} • Xét dãy uk = k dãy tối thiểu hóa lim J(k) = 0, k = 1, 2, k→0 k khơng hội tụ đến u∗ , lim d(k, u∗ ) = ∞ Vậy tốn khơng ổn định Ví dụ 1.7 ∫1 u2 (t)dt tập hợp u = [0, 1] Xét tích phân J(u) = Rõ ràng J ∗ = u∗ = {u∗ (t) = 0} lấy dãy tối thiểu hóa {uk (t)} ∈ ∫1 C[0, 1], lim u2k (t)dt = nghĩa tất dãy tối thiểu hóa k→∞ 22 Chứng minh Giả sử Gn dãy xấp xỉ, ta xác định họ phủ Πn không gian X tập mở sau Π1 Tập tất tập mở U ⊆ X diam ≤ cho diam G1 (U ) ≤ 1 Π2 Tập tất tập mở U ⊆ X diam ≤ cho diam G2 (U ) ≤ 2 1 Πn Tập tất tập mở U ⊆ X diam ≤ cho diam Gn (U ) ≤ n n (Với diam X=sup{∥x − y∥, ∀x, y ∈ X} Vì Gn liên tục, nên x ∈ X thuộc Πn , n tính liên tục Gk , ta lấy U để cho diam Gk (U ) ≤ n Bây xây dựng hệ chỉnh Rδ (x), cố định x δ > Với δ đủ nhỏ δ ≤ δ0 , Thực vậy, x ∈ X, lấy lân cận U X cho diam U ≤ tồn n = n(δ, x) cho tìm tập U ⊂ Πn (δ, x), S(x, δ) ⊂ U (S(x, δ) cầu tâm x, bán kính δ) Giả sử n(δ, x) số lớn nhất, để điều kiện cuối thỏa mãn { n < ∞, Gn(δ,x) (x), Đặt Rδ (x) = n ̸= 1, 2, G1 (x), (1.15) Rõ ràng với δ < δ0 đủ nhỏ ln tìm n Chứng minh Rδ (x) chỉnh tậpD ⊂ DG ⊆ X Giả sử x ∈ D, theo bất đẳng thức tam giác sup ∥Rδ (x′ ) − G(x)∥ ≤ ∥Gn(δ,x) (x) − G(x)∥ ∥x′ −x∥≤δ + sup ∥Gn (x′ ) − Gn (x)∥ ∥x′ −x∥≤δ ≤ ∥Gn (x) − G(x)∥ + , n n = n(δ, x) → δ → Thực vậy, cầu S(x, δ) chứa x, nên δ → rơi vào lân cận x, nên với số N chọn, với δ đủ nhỏ, S(x, δ) rơi vào phủ mở ΠN nghĩa n(δ, x) ≥ N Định lý chứng minh hoàn toàn 23 Định lý 1.21 Nếu không gian Y tách tập lồi không gian định chuẩn tuyến tính, G : DG ⊂ X → Y giới hạn theo điểm D ⊂ D(G) ánh xạ Gn , Gn liên tục X Khi G chỉnh Định lý 1.22 Ánh xạ G từ X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y tách được, chỉnh D ⊂ D(G) ⊂ X giới hạn theo điểm D dãy ánh xạ Gn liên tục X CHƯƠNG MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN 2.1 Chỉnh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian phương trình dầm ngược Phần trình bày chi tiết kết công bố báo [2] Xét toán { ut = ∆u, x ∈ Ω, < t < T u = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T với ràng buộc { ∥u(T ) − f ∥ ∥u(0)∥ δ M, ∆ toán tử Laplacian Ω, M > δ > 0, T số thực dương cho, f (x) ∈ L2 (Ω) Trong phần này, chúng tơi trình bày kết sau Carasso Nếu u1 (x, t), u2 (x, t) hai nghiệm toán ∥u1 (., t) − u2 (., t)∥L2 ≤ 2M T −t T t δT N + q Với < t < T , chứng tỏ có số K thỏa mãn điều kiện Giả sử N số chiều Ω, q ∈ Z, q ≥ giả sử σ > sau ( max ∥Dβ u1 (., t)−Dβ u2 (., t)∥∞ ∥β∥≤q log( Mδ ) ≤ K{t +(T −t) + T −σ 24 −σ ) σ2 }M T −t T t δT 25 2.1.1 Giới thiệu toán Cho H khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (·, ·) chuẩn ∥.∥ Giả sử Ω giới hạn miền xác định Rn với C ∞ biên ∂Ω Xét toán sau Với f (x) ∈ L2 (Ω) cho số dương biết δ, M , T , tìm tất nghiệm hệ phương trình { ut = ∆u, x ∈ Ω, < t < T u = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T với buộc { ∥u(·, T ) − f ∥L2 ∥u(·, 0)∥L2 δ M, (2.1) (2.2) n ∂ 2u ∑ ∆u = toán tử Laplacian Ω.Với s > giả sử i=1 ∂xi {λm }∞ m=1 giá trị riêng toán tử Laplacian Ω với điều kiện biên Dirichlet ∂Ω=0 tương ứng với dãy hàm {φm (x)}∞ m=1 Đối với v ∈ L2 (Ω), lấy {βm }∞ m=1 dãy hệ số Fourier v Với s ≥ 0, không gian Hilbert H˙ s (Ω) không gian L2 (Ω) gồm tất hàm v thỏa mãn chuẩn ∥v∥s = ( ∑ ) 21 λsm |βm |2 < ∞, m ∩ ˙s H˙ ∞ (Ω) ≡ H trù mật H˙ s ∂Ω ∈ C ∞ , s>0 H˙ ∞ = {v|v ∈ C ∞ (Ω), ∆j v = ∂Ω, j = 0, 1, } Nếu s số nguyên, v ∈ H˙ s , s-chuẩn v   12 ∑ ∥v∥H s =  ∥Dα v∥2L2  |α|≤s Chúng tơi chỉnh hóa tốn (2.1) (2.2) tốn phương trình 26 dầm ngược  utt = (∆ + k)2 u, x ∈ Ω, < t < T    u = ∆u = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T u(x, 0) = g(x)    u(x, T ) = f (x) (2.3) với k số dương cho Và chứng minh nghiệm u (2.3) thoả mãn ∥u(., t)∥t ≤ t T −t ∥g∥l + ∥f ∥l , ≤ t ≤ T, T T (2.4) với f, g ∈ L2 (Ω), l ≥ 2.1.2 Tính đặt chỉnh tốn (2.3) Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu tính tồn tại, tính tính ổn định nghiệm yếu toán (2.3) Cụ thể, có Định lý 1.23 Phương trình (2.3) có nghiệm f, g L2 (Ω) ∀l ≥ 0, ta có ∥u(., t)∥t ≤ T −t t ∥g∥l + ∥f ∥l , ≤ t ≤ T T T Ngoài ra, u(x, t) ∈ H˙ ∞ (Ω), < t < T , r, s ≥ l ≥ max(r, s) ) ( ) ( −(l−s) −(l−r) l−r t l−s T − t ∥u(., t)∥t ≤ k + C (t) ∥g∥s + k + C(T − t) ∥f ∥r , T T C số dương phụ thuộc vào l, r s Chứng minh Ta viết: g= ∑ am φm m f= ∑ bm φ m m xây dựng u(., t) = ∑ m cm (t)φm 27 Đưa đến kết qu căm (t) = (m k)2 cm (t), < t < T, cm (0) = am , cm (T ) = bm , m = 1, 2, Do  T −t t  cm (t) = am ( ) + bm ( ), T T sh(λ − k)(T − t) sh(λm − k)(t) m   cm (t) = am + bm , sh(λm − k)(T ) sh(λm − k)(T ) λm = k, λm ̸= k (2.5) Vì rằng, với β thực bất kì, shβ(T − t) shβt hàm lồi t, từ (2.5) shβT shβT ta có |cm (t)| ≤ |am | T −t t + |bm | , ∀m, T T đưa đến kết T −t t ∥g∥l + ∥f ∥l , ≤ t ≤ T T T ∑ Mặt khác, f g hàm tùy ý L2 (Ω), λlm |cm (t)|2 hội tụ với ∥u(., t)∥t ≤ m ∀ < t < T ∀ l ≥ Từ (2.5), bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức tam giác ta có ( ∑ m  λlm |cm (t)|2 ) ≤   ∑ k l−s λm =k ∑  21 (T − t) s k |am |2  T  12 sh2 (λm − k)(T − t) s λm |am |2  sh (λm − k)T λm ̸=k  21  ∑ t + k l−r ( )2 k r |bm |2  T λm =k   21 ∑ sh (λm − k)(t) r + λl−r λm |bm |2  (2.6) m sh (λ − k)T m λ ̸=k + m λl−s m 28 Nếu l ≥ max(r, s) λm ̸= k, − k)(T − t) ≤ Ct−(l−s) (λm t)l−s e−2|λm −k|t sh (λm − k)(T ) ≤ Ct−(l−s) , l−s sh (λm λm (2.7) với C số chung, độc lập λm t Một cách tương tự ta có l−r sh (λm − k)(t) λm sh2 (λm − k)T ≤ C(T − t)−(l−r) (2.8) Vì Ω cận, −∆ có nghịch đảo compact Do đó, từ (2.7) (2.8) ta có tổng kéo theo giá trị riêng hội tụ Kết thu  12 ( ) 12  ∑ ∑ (T − t)2 s λlm |cm (t)|2 ≤ k |am |2  k l−s T m λm =k   21 ∑ + C(t)−(l−s) λsm |am |2  λm ̸=k  + ∑ λm  +  12 t k l−r ( )2 k r |bm |2  T =k ∑  21 C(T − t)−(l−r) λrm |bm |2  (2.9) λm ̸=k Suy ) ( −(l−s) l−s T − t ∥g∥s ∥u(., t)∥t ≤ k + C(t) T ( ) −(l−s) l−r t + k + C(T − t) ∥f ∥r T (2.10) Định lý chứng minh 2.1.3 Chỉnh hóa tốn (2.1) (2.2) Với giá trị riêng k (2.3), dùng phương pháp dầm ngược để thu L2 xấp xỉ với toán (2.1) (2.2) 29 Khi đó, w(x, t) nghiệm  wtt = (∆ + k)2 w, x ∈ Ω, < t < T    w = ∆w = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T w(x, 0) = 0,    w(x, T ) = ekT f (x), x ∈ Ω (2.11) Thì có định lý sau ) ( ) ( M ln (2.11) Giả sử u(x, t) Định lý 1.24 Cho k = T δ nghiệm (2.1) (2.2) ta có ∥e−kt w(., t) − u(., t)∥L2 ≤ M T −t T t δ T , ≤ t ≤ T Với ∀l > 0, < t < T, tồn C thỏa mãn ( ) M ( −l ) log −l T −t t δ 2l ∥e−kt w(., t) − u(., t)∥l ≤ C t + (T − t) + ( ) M T δT T (2.12) Do đó, q ∈ Z, q ≥ 0, σ > N + q, < t < T , ta có max ∥e−kt Dβ w(., t) − Dβ u(., t)∥∞ |β|≤q ( ≤K t −σ + (T − t) −σ +( log T M δ ) σ )2 M T −t T t δ T (2.13) với K số Cuối cùng, (2.2) có ∥u(·, T ) − f ∥L2 δ, ∥u(·, 0)∥L2 M l > ∥e−kt w(., t) − u(., t)∥l ≤ M T −t T t δ T , ∀t ∈ (0, T ) Chứng minh Nếu u(x, t) nghiệm (2.1) (2.2), giả sử u(x, 0) = g(x) ∥g∥L2 ≤ M Vận dụng kết quả, phương trình có dạng  x ∈ Ω, t > 0,  ut = ∆u, u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (2.14)  u(x, 0) = g(x), x ∈ Ω, 30 phương trình tồn nghiệm ∀g ∈ L2 (Ω), Ngoài ra, u(x, t) ∈ H˙ ∞ (Ω) với t > Đối với l s mà ≤ s ≤ l ta có ∥u(., t)∥l ≤ C(t) −(l−s) ∥g∥s , t > 0, (2.15) C số dương phụ thuộc vào l − s Từ kết trên, u(x, t) ∈ H˙ ∞ (Ω) với t > Vì u = ∆u = ∂Ω Định lý v = ekt u Thật vậy, v(x, t) thỏa mãn hệ  vtt = (∆ + k)2 v, x ∈ Ω, < t < T    v = ∆v = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T v(x, 0) = g(x),    v(x, T ) = ekT u(x, T ) (2.16) Lấy ε(x, t) = w(x, t)−v(x, t) Thì ε(x, t) nghiệm phương trình dầm ngược mà ∥ε(·, T )∥L2 M , ∥ε(·, T )∥L2 ekt δ Dùng kết định lý 2.1.1 với l = 0, ta có ∥e−kt ε(., t)∥L2 ≤ Chọn k = T −t t M e−kt + δek(T −t) T T (2.17) M ln( ) cực tiểu hóa vế phải của(2.17) hàm k T δ suy ∥e−kt w(., t) − u(., t)∥L2 ≤ M T −t T t δ T , ≤ t ≤ T Hoàn toàn chứng minh tương tự ta thu kết ∥e−kt w(., t) − u(., t)∥l ≤ M T −t T t δT Đánh giá e−kt ε(x, t) l-chuẩn l > 0, dùng kết ∥u(., t)∥t ≤ (k l−s −(l−s) T −t + C (t))∥g∥s T −(l−r) l−r t + (k + C(T − t) )∥f ∥r T với r = s = thu kết (2.12) Cuối cùng, từ (2.12) ta có (2.13) Định lý chứng minh (2.18) 31 Hệ 1.25 Giả sử u1 (x, t), u2 (x, t) hai nghiệm (2.1) N (2.2) Khi với < t < T σ > + q, ta có max ∥Dβ (u1 (., t) − u2 (., t))∥∞ |β|≤q ( ≤ const t −σ + (T − t) −σ log Mδ σ +( )2 T ) M T −t T t δT Chứng minh Từ bất đẳng thức max ∥e−kt Dβ w(., t) − Dβ u(., t)∥∞ |β|≤q ( ≤K t −σ + (T − t) −σ log Mδ σ +( )2 T ) M T −t T t δT , bất đẳng thức tam giác ta có max ∥Dβ (u1 (., t) − u2 (., t))∥∞ = max ∥Dβ e−kt w(., t) − Dβ u2 (., t) |β|≤q |β|≤q β −kt + D u1 (., t) − D e β w(., t)∥∞ ≤ max ∥Dβ e−kt w(., t) − Dβ u2 (., t)∥∞ |β|≤q + max ∥Dβ u1 (., t) − Dβ e−kt w(., t)∥∞ |β|≤q ( ) M log δ σ −σ −σ T −t t ≤ K t + (T − t) + ( )2 M T δT T ( ) log Mδ σ −σ −σ T −t t + K t + (T − t) + ( )2 M T δT T ) ( M log δ σ −σ T −t t −σ ≤ const t + (T − t) + ( )2 M T δT , T Định lý chứng minh 32 2.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian phương trình dầm ngược Phần trình bày kết phương trình Burgers cơng bố báo [3] Trước hết xét phương trình Burgers đoạn [0, L] theo biến x; ut = −νAu + F (u) + f (t), < t < T, u(0) = a, (2.19) (2.20) F (u) = −uux Giả sử a(x), f (x, t) hàm trơn đủ nhỏ để trình lặp KatoFụita (xem [3]) hội tụ tới toán thuận thời gian đoạn [0, T ] Đặt u(x, T ) = b(x) Với hàm xấp xỉ b(x) đưa áp đặt thêm giả thiết tính giới nội nghiệm đoạn [0, T ], Carasso thành lập thuật tốn để tính u(t), < t < T Thuật tốn khơng cần địi hỏi thơng tin xác kiện ban đầu a, mà cần đòi hỏi giữ kiện đủ bé Bổ đề 1.26 Ta có ∫ T (ν|t − s|)−1/2 ds (8T /ν)1/2 (2.21) Hơn nữa, k > ∫ T (ν|t − s|)−1/2 e−ks ds (σ/kν)1/2 , (2.22) σ số dương, độc lập với ν, k T Chứng minh Ta có (∫ T )2 ( )2 −1/2 1/2 1/2 (ν|t − s|) ds = (4t/ν) + (4(T − t)/ν) = (4T /ν) + (8/ν)(t(T − t))1/2 (4T /ν) + (4T /ν) = 8T /ν (2.23) 33 Từ (2.23) ta có khẳng định (2.21) Tiếp theo ta chứng minh (2.22) Ta có ∫ T −1/2 −ks |t − s| e ∫ ds = t (t − s) −1/2 −ks e ∫ ds + T (s − t)−1/2 e−ks ds t (2.24) Bằng cách đổi biến u = s − t tích phân thứ hai Ta có ∫ T ∫ T −t −1/2 −ks −kt (s − t) e ds = e u−1/2 e−ku du e−k (π/k)1/2 t (2.25) Tiếp theo, ta xét tích phân thứ vế phải (2.24) Đặt v = ks Ta có ∫ t −1/2 −ks (t − s) Vì tích phân ∫x e ds = k −1/2 ∫ kt (kt − v)−1/2 e−v dv (2.26) (x − v)−1/2 e−v dv bị chặn theo x miền x nên (2.22) kéo theo khẳng định (2.25) (2.26) Bổ đề chứng minh Chúng ta thiết lập toán parabolic tuyến tính ngược thời gian cho bước lặp um (t) Tìm tất nghiệm tốn m m−1 um ) + f (t), t = −νAu + F (u t T, (2.27) với ràng buộc ∥A1/2 (˜bm − um (T ))∥ |∥A1/2 um |∥ = sup ∥A1/2 um (t)∥ δ, (2.28) M = θ(ν/16LT )1/2 , (2.29) t T < θ < Carasso đề xuất thuật toán sau Đặt k = (1/T ) ln (M/δ) Xác định w0 (t) nghiệm phương trình wtt0 = ν (A − k/ν)2 w0 − ν(A − k/ν)(ekt f ) + (ekt f )t , < t < T, w0 (0) = 0, w0 (T ) = ekT ˜b0 (2.30) (2.31) 34 Với m = 1, 2, 3, · · · , ta xác định wm (t) nghiệm phương trình ( ) wttm = ν (A − k/ν)2 wm − ν(A − k/ν) ekt f + e−kt F (wm−1 ( ) + ekt f + e−kt F (wm−1 t , (2.32) wm (0) = 0, wm (T ) = ekT ˜bm (2.33) Bằng cách sử dụng Bổ đề 1.26, Định lý 6.1, bổ đề định lý phần báo [3], Carasso chứng minh kết sau Định lý 1.27 Giả sử a, f (t) ∈ D(A1/2 ) với ∥A1/2 f (t)∥ ∈ L1 [0, T ] điều kiện sau thỏa mãn ∫ ∥A 1/2 T a∥ + ∥A1/2 f (s)∥ds < (ν/64LT )1/2 (2.34) Ký hiệu u(t) nghiệm tương ứng phương trình Burgers [0, T ] {wm (t)}∞ m=0 dãy xác định (2.30) − (2.33) Khi đó, tồn số dương Cm , phụ thuộc m, cho ∥A1/2 e−kt wm (t) − A1/2 u(t)∥ Cm (ln(M/δ)βm M (T −t)/T δ t/T + θm+2 (ν/64LT )1/2 , (2.35) βm = 2m−3 + (1/2) (2.36) 35 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn • Đưa số ví dụ tốn Đặt khơng chỉnh • Chứng minh tốn phương trình dầm ngược  utt = (∆ + k)2 u, x ∈ Ω, < t < T    u = ∆u = 0, x ∈ ∂Ω, < t < T u(x, 0) = g(x),    u(x, T ) = f (x), với k số k = M ln( ) toán đặt chỉnh T δ • Đưa phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian dạng ut = −νAu + F (u) + f (t), < t < T, u(0) = a, F (u) = −uux đánh giá sai số nghiệm phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian phương trình dầm ngược TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Baumeister J (1987), Stable Solution of Inverse Problems, Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig [2] Carasso A S (1976), "Error bounds in the final value problem for the heat equation", SIAM J Math Anal., Vol 7, No 2, pp 195-199 [3] Carasso A S (1977), "Computing small solutions of Burgers’ equation backwards in time", J Math Anal Appl., 59, pp 169-209 [4] B L Buzbee and A Carasso (1973), On the numberical computation of parapolic problems for prceding times, Math Comput, 27, pp 237266 Journal of Differential Equations, 147(2006), 1–15 [5] A Carasso (1972), the backward beam equation: Two A-Stable schemes for parabolic problems, SIAM J Numer Anal., 9, pp 406434 [6] Denisov A M (1999), Elements of the Theory of Inverse Problems, Inverse and Ill-Posed Problems Series, Walter De Gruyter [7] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc (2009), Stability results for the heat equation backward in time, J Math Anal Appl., No 353, pp 627-641 [8] B M C Hetrick and R J Hughes (2007), Continuous dependence re-sults for inhomogeneous ill-posed problems in Banach space, J Math Anal Appl., 331, 342-357 36 ... đặt chỉnh hóa tốn (4)-(5) tốn phương trình dầm ngược hay không ? Mục tiêu luận văn - Chứng minh phương trình dầm ngược (3) toán đặt chỉnh - Đưa phương pháp chỉnh hóa nghiệm phương trình parabolic. .. chứng minh 32 2.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian phương trình dầm ngược Phần trình bày kết phương trình Burgers cơng bố báo [3] Trước hết xét phương trình Burgers đoạn... cập tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu khơng biết mà ta phải xác định biết điều kiện cuối Phương trình parabolic ngược thời gian thường