MUC LUC
Trang
MUC LUC 2.6 ccc nnn teen en eee 1
LỜI NÓI ĐẦU 2
Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ 5
1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm ð 1.2 Không gian Sobolev 7
Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chinh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian 14
2.1 Giới thiệu bài toán 14
2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán 15
2.3 Chỉnh hóa bài toán 17
Chương 3: Phương pháp dùng phương trình Sobolev chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian 20
3.1 Giới thiệu bài toán 20
3.2 Tính đặt chỉnh của bài toán 22
3.3 Chỉnh hóa bài toán 28
Trang 2Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ địa vật lý, thủy động học, v học, sinh học, xử lý ảnh, Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định
chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp nên chúng sẽ không tránh khỏi những sai số Chính vì thế ta cần có những phương pháp giải các bài
toán này, sao cho khi sai số của các dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ
tìm được càng gần đúng với nghiệm ban đầu xuất phát
Trong luận văn này, tôi đề cập tới lời giải của các phương trình Parabolic tuyén tinh ngược thời gian và phương trình Parabolic phi tuyến
ngược thời gian khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng
Bài toán kể trên được gợi tắt là đặt không chỉnh Tính đặt khơng
chỉnh của bài tốn trên làm cho việc tìm lời giải gặp nhiều khó khăn
Để xấp xỉ một cách ổn định tới nghiệm của bài toán, ta cần đề xuất các
phương pháp chỉnh hoá
Trong luận án tiến sỹ của mình ([3]), ÐĐwing đã đề xuất chỉnh hoá một số phương trình Parabolic ngược thời gian bằng phương trình Sobolev ý tưởng này đã được nhiều nhà khoa học phát triển Một điều thú vị có
thể kể ra đó là việc dùng phương trình Sobolev để chỉnh hoá các phương
trình phi tuyến ngược thời gian (Í2], [3], [4], [5]) Vì ngoài việc cho ta
một phương pháp chỉnh còn có thể chứng minh được tính tồn tại nghiệm của một số phương trình Parabolic ngược thời gian, hoặc thuận nghịch
thời gian Dây là một vấn đề mở hết sức quan trọng và có ý nghĩa trong
Trang 3việc xử lý ảnh (|6], [7]) Khóa luận có cấu trúc như sau: - Mục lục - Lời mở đầu - Luận văn này được chia làm 3 chương Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản
cua giai tích hàm và giải tính thực cần thiết cho luận văn
Chương 2: Phương pháp dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa phương trình Parabolic tuyến tính ngược thời gian
Chúng tôi xét bài toán tìm một hàm u : [0, 7] —> H sao cho [hi Fh: 0<t<T, (1) llu(7) — fll<< với toán tử dương tự liên hợp không bị chặn A, với giả thiết l¿+(0)1|< B, 2) thì sai số tìm được như sau: 4cxp(—2)œ(T — t)E 2 , vt € (0, TỊ llua (0) — Wa(t)|| <
Sai số này tốt hơn nhiều so với sai số mà Ewing đưa ra
Chương 3: Phương pháp dùng phương trình Sobolev để chỉnh hóa phương trình Parabolic phi tuyến ngược thời gian
Ta xét bài toán
w+ Au= f(t,u(t)), 0 <t <7,
tr) le 3
với ràng buộc ||¿(0)|| < ?#, trong đó 4 là tốn tử dương, khơng bị chặn, tự liên hợp, > c > 0 là các số thực đã cho và ƒ thỏa mãn điều kiện
Trang 4Và ta cho wa(t) 1A nghiém yéu của bài toán
Wat + @AWet + Awa = f(t, wa(t)), O<t<T, (4) wo(T) =u(T), œ>0 khi đó ta có T ue An(T—t) 1 An(s—T) : Walt) = dere | (u(T), bn) — lan tain (f(s, Wa(s)), On) ^) On: 5) n=1 t ( Gia stt u(t) là nghiệm của (3) và œ„(£) là nghiệm yếu của (4) thì sai số tìm được là |la() — wa()|Ứ 2 , ft Ca 2 2(s—t) C ? < ren Í 4 (S) Beene ds +4 (®) E°, Ví > 0 Jt Ss - Kết luận
- Tài liệu tham khảo
Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 6 năm 2011 Sau một
thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện đến nay luận văn đã được
hoàn thành Để có được kết quả như mong muốn tôi luôn nhận được sự
quan tâm, chỉ bảo, sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn: Tiến sĩ
Nguyễn Văn Đức Nhân dịp này, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc
nhất của mình tới thầy giáo hướng dẫn và các thầy cơ giáo thuộc khoa
tốn - Đại học vinh Người đã truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi
và các học viên cao học khóa 1ï - Nơi tôi được học tập và nghiên cứu
trong suốt hơn 2 năm qua Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong luận văn
không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong sự đóng góp
ý kiến của các thầy cô cùng các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Trang 5CHUONG 1
MOT SO KIEN THUC BO TRG 1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm 1.1.1 Không gian Banach
Cho X là không gian tuyến tính thực
Định nghĩa 1.1 Ánh xạ ||||: X — E được gọi là chuẩn nếu (i) |u|] > 0, Vu X;
(ii) ul] = 0 u=0:
(iii) |[Aul] = |Al|lul], Yu € X,A € R;
(v) llư + ll < [lull + [lol] Wu,0 € X
Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến
tính định chuẩn
Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ
1.1.2 Không gian Hilbert
Cho H là không gian tuyến tính thực
Định nghĩa 1.2
1 Ánh xạ (,):Hx H +R duoc goi la tich v6 hướng nêu
(9) (u,v) = (v,u), Vu,v € H;
(ii) Anh xa u +> (u,v) 1a tuyén tinh véi moi v € A; (iii) (u, u) > 0;
(iv) (u,u) =0 «=0
Trang 6bởi một tích vô hướng
2 (i) Hai phan tit u,v € H 1a true giao néu (u,v) = 0;
(ii) Mot co sé dém được {u¿}¿>¡ C 1! là một cơ sở trực chuẩn, nếu th =0, (k,1l=1,2, ,k 40 || 7 =1, (k=1,2, ) Nếu ¡ € /I và {u¿}x>ị¡ C 7 là một cơ sở trực chuẩn thì +00 +00 u= » (U, We) Wr va \lul|? = » (u, we)? n=1 n=1 1.1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn
a Toán tử tuyến tính trong không gian Banach Cho X và Y là các không gian Banach thuc
Định nghĩa 1.3
(i) Anh xa A: X + Y gọi là toán tử tuyến tính nếu
A(Au + pv) = A\Au t+ pAv, Vu,v € X,A, ER
(đ) Tốn tử tuyến tính A: X — Y là b¿ chăn nếu || All = sup{]|Aully|llullx < 1} < 00
b Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng (.,.) Định nghĩa 1.4 () Nếu A : / — !ï là toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử liên hợp của nó là A* : H — H thoa mãn (Au, v) = (u, A*v), Vu,u € A (ñ) A là tự liên hợp néu A* = A
Trang 7-1
(ïñ) Các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao
1.1.4 Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động
Định nghĩa 1.6 Cho một không gian metric X bất kỳ Một Anh xa P
từ X vào chính nó gọi là ánh zạø co, nếu có một số Ø < 1 sao cho với mọi
4,#a € X, ta có
p(P(a1), P(ae)) < Ap(ai, x2),
trong đó ø là metric của không gian metric X
Trong một phép ánh xạ từ X vào chính nó có thể có những điểm mà ảnh của nó trùng với chính nó, tức là những điểm x sao cho P(x) = x
gọi là điểm bất động của ánh xạ
Định lý 1.7 Mợi ánh xa co P từ một không gian metric du X vao
chính nó đều có một điểm bat động duy nhất
1.2 Không gian 5obolev
1.2.1 Khơng gian C*(O)
Với © là một miền trong R”, ta có các định nghĩa va các ký hiệu sau Định nghĩa 1.8
(Ù) C*(©) là tập hợp tất cả các hàm xác định trên © sao cho đạo hàm
Trang 8(v) CR(Q) = N=, C#(Q) 1a tap hdp tat ca cdc ham khả vi vô hạn với
giá compact nam trong 2
(vi)C*(©) là tập hợp các hàm có đạo hàm đến cấp k trong © va lién tục trên Ô
1.2.2 Không gian L„
Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng, đó là không gian lạ
Định nghĩa 1.9 Cho một không gian ) tà một độ đo trên một ơ -
đại số F` các lập con của 9 Họ tất cả các hàm số ƒ(%) thủa mãn
[lfPdu < +00 vii (l<p<o)
ọ
gợi là khơng giưn Lp(©, 4)
Khi © là một tập đo được Lebesgue trong R” va là một độ đo
Lebesgue, thì ta viết „(©)
Tap hop L,(Q, ø) là một không gian vectơ định chuẩn với phép tốn thơng thường về cộng hàm số, nhân hàm số với số và với chuẩn
Ifllp = / LfPdy | Vf € I„(9.m)
Định lý 1.10 Gia stt Q 1A một miền trong R” , 1 < p < oo Khi đó, ta
có các tính chất sau:
(i) T;(O) là một khơng gian Banach
(1đ) Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong © với giá compact trù mật
trong „(9)
(1i) Tồn tại một tập con đếm được các phần tử của khơng gian L;(Ơ)
Trang 91.2.3 Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.11 Giả sử Q là một miền trong R*” Một hàm (+) €
Tạ(Q) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp œ của hàm v(x) € L;(©) nếu
[au)tz)A =(_—I)!*L J 0(z).D*œ(+)d+, Vụ e C@(©),
ọ ọ
ở đây œ = (ơi.œ¿ œ„) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ
nguyên không âm, |ơ| = ơi + œ¿ + + ơ„ và Ï)* = ope
Dinh lý 1.12 Đạo hàm suy rộng có các tính chất sau đây:
() Đạo hầm suy rộng cấp œ của œ nếu tồn tại thì được xác định duy nhất (sai khác trên một tập có độ đo không)
(ii) Néu f € Cl*!(Q) thi ƒ có đạo hàm suy rộng cấp œ và
2a
Nếu f;, i = 1,2, c6 dao ham suy rong D* f; thi e¡ ƒị-+caƒa, c¡ là các hằng
số, cũng có đạo hàm suy rong cap a va D* (i fitefe) =a D* fiteD® fo (iii) Dao ham suy rong khong phy thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm
(iv) Mot ham c6 dao ham thong thudng (dao ham theo nghia cé dién) cấp œ thì có đạo hàm suy rộng cấp œ nhưng điều ngược lại không đúng
(v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp œ trong miền © thì nó cũng có
đạo hàm suy rộng cấp œ trong mién 1 CQ
(vi) Dao ham suy rộng 2% tồn tại không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn tại (các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại)
Ví dụ 1.13 Xét hàm số ƒ(z) = |z| trên khoảng (—1, 1) * ƒ(œ) có đạo hàm thông thường tại moi x # 0:
* Tai « = 0 khong t6n tai dao ham
Trang 1010 1 1 JInbr= =— Jent “1 với mọi ø € CX ((-1,1)) Lay 1 nếu 0< z< 1 — |-lnếu —l<z<0 Do w € L¡(—1, 1) nên hay 0 Ov [lege =— lu + fs tạ da = = [oo [ra 0 0 1 1 [dears [ode == f wode 1 0 -1
Như vậy, ham f(x) = |+| không có đạo hàm thông thường trên (—1, 1)
nhưng có đạo hàm suy rộng trên khoảng đó 1.2.4 Không gian Sobolev
Nửa cuối thế kỷ 20, S.L Sobolev giới thiệu khái niệm đạo hàm suy rộng,
đưa ra một số lớp không gian con của Ƒ„, mà sau này được gọi là không gian Sobolev và thiết lập các tính chất quan trọng của chúng
Định nghĩa 1.14 Cho & là số nguyên không âm, p là số thực thỏa mãn
Trang 1111
a WA(©) là tập hợp tất cả các hàm ø € Lạ(Q) sao cho với mỗi đa chỉ
số œ, |a| < k, đạo hàm suy rộng Ï)*w tồn tại và thuộc vào Ƒ„(9) b Với Vụ € W2(©), ta định nghĩa 5` J|D*ulPdz với (l<p<o), lullx;(o› = |a|<k 9 3` ess sup|I)^u| VỚI (p= œ) |a|<k
Định lý 1.15 Giả sử © là một miền trong R* và k > 0 và l <p< œ
Khi đó, (9) là một không gian Banach
Định nghĩa 1.16 Khơng gian W2(©) với chuẩn 1 llulÌ;(o) = e [sa] lal<k ư được gọi là khơng gian Soboleu Chú ý 1.17
1 Từ tính chat Lp(Q) la không gian đầy đủ ta suy ra I2(©) cũng là
khơng gian đầy đủ
Trang 1212
Dinh ly 1.19 /7!(O) là không gian Hilbert với tich vo huéng (-,-), va
Hk (Q) la khong gian Hilbert véi tich vo hung (-,-),
1.2.5 Không gian phụ thuộc thời gian
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || - |
Định nghĩa 1.21 Không gian
L,((0 7]; X
gồm tất cả các hàm đo được 0 : [0,7] —> X với
P
(i) Well, qo,71:x) °= fiat )||fdt | < với l<p< ©, và
(1) |lu| (o].x) := sup |lu(t)|| < % te{0,T|
Dinh nghĩa 1.22 Không gian
C((0.7]: X)
bao gồm tất cả các hàm liên tục œ : [0,7] —> X với
7 -x) = max t)||< œ
|ItÌc(o.I.x) max II+(/)|
Định nghĩa 1.23 Cho + € L¡(|0, T]; X) Ta nói rằng ö € L¡(Í0,7]; X) là đạo hàm suy rộng của œ và viết — 0 nếu: T T [ s(ou(nat = -| d(t)u(t)dt 0 0 với mọi ham thử ¿ € Œ?(0,7) Định nghĩa 1.24
(¡) Không gian Sobolev W;([0, T]: X) gồm tất cả các hàm ø € L;(Í0, 7]: X)
sao cho dao ham suy rộng œ/ tồn tại và thuộc Ƒ„(|0 T]; X) Hơn nữa,
1
Nella ocrexy — (fP Ile(2)|P + Iler()|P4))” với (1< p < 00) ,
Trang 1313 (ii) Ta viết H!(I0,T]: X) = W4(|0 7]; X) Định lý 1.25 Cho u €IV/([0,7]; X) với 1< p< s Khi đó, (i) w€ C(0,T]: X)
(ii) u(t) = u(s) + ƒw(r)ảr với mỗi < s << T7
(ii) Hơn nữa, ˆ
a t)|| <C 71(10.T)-X) >
jax llu()|[ < Cllullwagoz).xy:
Trang 14CHUONG 2
PHƯƠNG PHÁP DÙNG PHƯƠNG TRÌNH SOBOLEV ĐỀ
CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN
TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN
Trong chương này, chúng tơi giới thiệu bài tốn Parabolic tuyến tính,
thông qua cách lựa chọn hợp lý tham số œ và một số phép biến đổi nhằm đánh giá sai số, cải tiến kết quả của Ewing
Xét bài toán tìm một hàm 4 : |0, T]Ì > H sao cho
thái ki” ea
với toán tử dương tự liên hợp không bị chặn A có một cơ sở gồm các
vectơ riêng trực chuẩn {ó;};>¡ trong không gian Hilbert 77 với chuẩn ||-||
Trang 1515
1 ¢An(T-t)
Xn €
khơng phụ thuộc liên tục vào đữ kiện tại thời điểm cuối £ = T
— +oœo khi n —> +oœc Điều này chứng tỏ lời giải của bài toán
Ewing ([3]) sử dụng nghiệm của phương trình Sobolev
Vat Ð Âu; + Auy—=0 với << T, (3.2)
ua(T) = ƒ VỚI œ > Ö ,
để làm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (2.1) Với giả thiết
l«(0)||< # (2.3)
bằng cách chọn œ — 7/In(Ƒ/e), Ewing đưa ra đánh giá sai số kiểu
logarithm véi moi t € (0; 7] AT(T ~ t)E 4 — < ` Ia(9 =s0|< Sngya Trong chương này, chúng tôi sẽ cải tiến kết quả vừa đề cập ở trên của + eT ET, (2.4) Ewing
2.1 Tính đặt chỉnh của bài toán (2.2)
2.1.1 Bổ đề Nếu +(0) là nghiệm trong C'((0,T) : TT) C((0,7) : TT)
Trang 1616
Như vậy, ø(/) là hàm đồng biến Điều này kéo theo g(t) < g(T) hay
Ie(9< «ø (“Ƒˆ) lu()l, ve |0.7i
Từ Bổ đề 2.1.1 ta có định lý sau
2.1.2 Dịnh lý Nếu œ„(£) là nghiệm của bài toán (2.2) thà
T—†
Is(9I< ep(“=”) li, vi (0.7)
Định lý 2.1.2 kéo theo tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục
của nghiệm vào dữ kiện ƒ của bài toán (2.2) 2.1.3 Định lý Đài toứn (2.2) có nghiệm 0=3 em p (2) (Ƒ.ón) On Vt € [0.7] (2.5) Chiing minh V6i mai n € N*, ta cd An(T _— t) < An(T — t) _ (T — t) 1+ ary aXn — : oo (E58) ow (752) T < exp É) , Vn EN*, Vt € [0,7] a (2.6) a Do đó
Trang 17L] Từ các Định lý 2.1.2, 2.1.3 ta kết luận được bài toán (2.2) đặt chỉnh
2.2_ Đánh giá sai số
Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a)
có có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán Nếu ít nhất một trong ba
điều kiện này không thỏa mãn thì ta nói rằng bài toán đặt không chỉnh
Giả sử bài toán (2.1) có nghiệm u(t) thoa man điều kiện (2.3) Gọi
We(t) 1a nghiém của bài toán
{in + aAwea + Awe =0, 0<t< T,
wo(T) =uT), a> 0 (2.8)
2.2.1 Định lý Nếu uạ(£) là nghiệm của bài todn (2.2) va wa(t) la nghiém của bài toán (2.8) thà
T
a
IIwa(t) — va(t)|| < cx ( ) =, We [0.7]
Chiing minh Dat z(t) = wa(t)—va(t), Vt © [0,7] Khi đó, z(£) là nghiệm
của bài toán Zu + aAzi + Ary =0, 0<t<T, (29 z(T) =u(T)—f, a>0 9) Sử dụng Bổ đề 2.1.1, ta có đánh giá sau T-t T-t eal) <exp (7—*) jut) = fl) <exp (*—*) e, vee 0,7, L]
2.2.2 Định lý Nếu u(£) là nghiệm của bài toứn (2.1) thỏa mãn điều kién (2.3) va wa(t) là nghiệm của bài toứn (2.8) thà
4exp(—2)a(T — t)F
Trang 1818 Chiing minh Ta có = 3 ep(k ~t)) (u(T), dn) bn Vt € [0.7], (2.10) Walt = Yow (2) (ul), 20) On Vt € (0, 7] (2.11) Tw (2.10) va (2.11) ta suy ra % In(e)— mall? = > (expt 9)— ep (rae) (ul) 6) P ” ===.2 _ ` (eo —A,t) — exp (- MONTY" a) | (u(0), dn) PP < ap (c(t) en (AEEREE)) Ber
= sup (cx Nat) — - ep (= At OME + aot ) IIs(0)|f
< sup (em —Àzf) — exp (= — ửn ID (2.12)
Bây giờ ta đánh giá đại lượng
(sø(=A9 — exp (3y „n
Trang 1919 Do đó, — — 2 Tr Ant + ad2T < exp(—A,t) (cu 4 wre) ?ì oAn(T 1+ dÀạ = 1) Tiếp theo, ta đánh giá đại lượng exp(—A„f)A2 Xét hàm số = exp(—A,t) < exp(—Ant)ad?(T — t) (2.14) h(x) = exp(—at)2?, z > 0 Ta có 1 h (x) = —tz? exp(—at) + 2a exp(—at) = x exp(—at)(2 — tx) Từ đó suy ra 5 2\ 4 exp(—Ant)A, < sup h(x) = h | — ) = = exp(—2) (2.15) >0 t 8 Từ các đánh giá (2.12), (2.14) và (2.15) ta kết luận được 4exp(—2)a(T — £)E u(t) ~ wet) < 3 , V£ € (0, T]Ị L]
2.2.3 Định lý Nếu u(£) là nghiệm của bài toán (9.1) thỏa mãn điều
kiện (2.3) uà uạ(f) là nghiệm của bài toán (2.2) thà
llu(t) — va (t)l| < ¬—_— OF exp (= ') =, WE (0,7)
Chiing minh Sit dung các Định lý 2.2.1, 2.2.2 và bất đẳng thức tam giác
của chuẩn ta suy ra điều phải chứng minh Oo 2.2.4 Dinh ly Bang cách chọn œ = T/1n(E/e), ta có đánh giá sai số kiểu logarithm uới mợi † € (0: TỊ
4exp(—2)7T(T — t)E t? In(E/e)
2.2.5 Nhan xét Danh gia (2.16) tét hon dénh gid (2.4) ctia Ewing
Trang 20CHUONG 3
PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG DÙNG TRÌNH SOBOLEV ĐỀ
CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN
NGƯỢC THỜI GIAN
Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính đặt chỉnh của phương
trinh Sobolev
Vat + AAVat + Ave = f(t, val(t)), O<t< T, (3.1)
U(T)=9, œ>0 "
và đưa ra đánh giá sai số của nghiệm phương trình này với nghiệm của phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian
{i + Au = ƒ(t,u(), 0<t<T,
|lu(7) - ¿|| < ‹
trong đó A là toán tử dương, không bị chặn, tự liên hợp, #⁄ > c > 0 là
các số thực đã cho và ƒ thỏa mãn điều kiện Lipschitz Il F(t, wi) — ƒ(t,0›)|| < k|[ưni — wal]
với hằng số k > 0 không phụ thudc vao t, w;, wo
3.1 Giới thiệu bài toán
Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng (-,-) và chuẩn || - ||, A:D(A) C H— A là toán tử tự liên hợp trong HH Giả sử c < # là hai hằng số dương cho trước Với số thực dương 7, xét bài toán tìm hàm u: [0,7] —> H thỏa mãn
ti + Au= f(t,u(t)), 0<t<T,
lu) - ell <¢ 82)
Trang 21với y thudc H
Chúng tôi giả sử rằng A có một cơ sở vectơ riêng trực chuẩn {ó;};>¡
trong //, tương ứng với các giá trị riêng {A;};>¡ sao cho
Ú<À¡<Às< , và lim À;= +œ (3.3)
i—~œ
Ngoài ra, ta giả thiết thêm ƒ thoả mãn diéu kién Lipschitz
Il f(t, wi) — f(t, we) I] < kllwr — well (3.4)
với hằng số k > 0 không phụ thuộc vao t, w;, we va nghiém u(t) cia bai toán (3.2) thỏa mãn ràng buộc T l(6)|? +7 Í- ê29|(s.s(3)),6;) Pds < EXE >0) (35) Bằng một phép biến đổi, ta đưa được bài toán (3.2) về dạng một phương trình tích phân có dạng +00 T u(t) = Soe» | (ul), bn) — / ctS=T+ (Ƒ(s, 0(s)), bn) ds | dn n=l (3.6) Để ý rằng sự tăng nhanh của eƒ~ĐÀ» khi AÀ; + +00 da dẫn đến tính
không ổn định của phương trình trên
Chỉnh hóa bài toán (3.2)-(3.5) bằng phương trình Sobolev (3.1) và ta
Trang 223.2 Tính đặt chỉnh của bài toán (3.1)
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu tính tồn tại, tính duy nhất và tính
ốn định của nghiệm yếu của bài toán (3.1)
Trước hết, ta sẽ chứng minh mối liên hệ giữa các giữa các nghiệm của
(3.1) và (3.7)
3.2.1 Định lý Néu 0(t) là nghiệm của (3.1) thà t(E) là nghiệm của (3 7) Chứng mảnh Lẫy tích trong ở phương trình đầu của (3.1) đối với ở„, ta
có
d Mn
pint) + Tr aa, = 1+ oil? v)(t),
Trang 2323 Chứng mảnh Trước hết thay t = T vào (3.7) ta nhận được oo =v , Ôn) On = n=1
Như vậy, phương trình thứ hai của (3.1) được thỏa mãn
Bay giờ ta chứng minh œ() thỏa mãn phương trình thứ nhất của (3.1) Thật vậy, với 0 < ‡ < 7' ta có ca T —X, dn (Tt) 1 An(s—T) tị — 2 ; ——e train (« Ơn) — J Ẹ HN, (f(s, v(s)), On) “| On t l+ann 1l+anny t3 ray Dn Fal U )(t )Ón (3.11) Tit (3.7), (3.11) va dang thtte Ad, = Andn, Vn € N*, ta thu được uy + aA, + Av = 5 falv)(t)on = f(t, v(t)), 0<t<T n=1
Trang 2424
3.2.5 Định lý Nếu œ¡(f) oà œ(f) là bai nghiệm yếu của phương trình (3.1) tương ứng tới các giá trị cuối ý\ tà @; thà
|| (t — V9( t)|| < ⁄2/7#( (T- De Hy
~ all, Vt € [0.7]
Chứng minh Gia sit v; va v2 1a hai nghiém của (3.1) tương ứng với các giá
Trang 2525 Kết hợp (3.4) và (3.12), ta có đánh giá T e5 ||pi(#) — %(#)||Ê < 2e |lựi — 3l T 427k [ sẼ|n(s) 0ị(s) — 0¿(s) || đs (3.13) 1 Sử dụng Bổ đè 3.2.4 và từ (3.13), ta suy ra e* |Ii(f) — 02()||Ê < 2e" |lei — g›|Pe?7#£đ=9, (3.14) Từ (3.14) ta suy ra 2(T-1) = lle (t) = v2(¢)|| < V2e7™ Fe" IIo — gol] Vt € [0,7] L]
Định lý 3.2.5 kéo theo tính duy nhất nghiệm yếu và sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm yếu của bài toán (3.1) vào dữ kiện ¿ của bài toán này
3.2.6 Định lý Đài toán (3.1) có nghiệm yếu uạ € C(|0, TÌ; H)
Chitng minh Dat T —~ 1 An(s—t) , G()() = £(Ð =3 [TT ray, 995 Iu(w(o)ason n=1 1 An(T—-t}
véi w € C([0, T]; H) va y(t) = 5 € Moin (2, Ón)Ôạ
Ta chứng minh rằng, với mọi ư, › € C(Í0, 7Ì; H), m > 1, ta có
IŒ”(ei)(6) = Œ®(w»)(0)|Ủ < (ctx) =ne" llli — #2||Ú-
(3.15)
Trang 27T (T= te® [| F(s,(Giwi)(s)) = F(s.(i(us\(s) )I[°as ‘ T <~t.# [Ief0e))~ 60s)06)fa cose [ein ~ Gi(w)(s) Pas 27 r,\#? s)Œ) < cet | eck ' (T= s)Cy tị — t2||l®ds 1 J nr \ +1) ((T — t)Cyard < ( rk) 71) (( ca )Œ)9 |, — wall” (jy +1)! Như vậy, bằng qui nạp ta chứng minh được Tr 2m ((T —t)C)™ Jo"(wrs)() — "(way (A) IP < (8k) =2 lu, = øạ||f, Mm: với mọi +0 0a € C(|0, T]; H) Xét ánh xạ G: C(0, T]: H) — C(|0, 7]: H) Dễ thấy rằng 2m (TC)™ lim (ck) mo (TO! _ 9, ml
Do đó, tồn tại số nguyên dương ?mọ sao cho Œ'”*° là một ánh xạ co
Từ đó dẫn đến phương trinh G™(w) = w có nghiệm duy nhất v €
Œ(|0 7]; IT).Ta khẳng định rằng G(œ) = Thật vậy ta có G(Œ”*°(0)) =
G(v) Do d6 G™(G(v)) = G(wv) Tit tinh duy nhat cia diém bat dong
G™, ta c6 G(v) = v, phương trinh G(w) = w c6 nghiém duy nhat
Trang 283.3 Danh gia sai số
Giả sử u(t) 1A nghiém của bài toán (3.2) thỏa mãn điều kiện (3.5) Ta ký hiệu øa(£) là nghiệm yếu của bài toán
{ie + aAwea + Awa = f(t, wa(t)), O<t<T, (3.16) wa(T)=u(T), a> 0
3.3.1 Định lý Néu va(t) la nghiém yéu ctia bai todn (3.1) va wa(t) là nghiệm yéu ctia bai todn (3.16) thi
\lUa(t) — wa(t)|] < V2eT*Œ~)/'s'z, Vị € [0 7] Chứng minh Sử dụng Định lý 3.2.5, ta có
vat) — wa(t)l| < V2eTMP Ves" |lu(T) — gl] vt € [0,7],
< v2eT#Œ~!)¿ "5ˆ, Vị e |0, 7]
L]
3.3.2 Dinh ly Néu u(t) la nghiém của bài toán (3.2) thỏa mãn điều kiện
Trang 29Thay t = 0 vao (3.17), ta có T uy = Se [a ).6n) = f= ™ (F(s,uls)) so bn (3.19) 0 n=l Từ (3.19) suy ra T (u(0), On) = e7* (0.0 — [em lee oe] 0 hay yy (u(T), dn) = 77 (u(0), dn) + / eT)» (f(s, u(s)),dn) ds (3.20) 0 Thay (3.20) vào (3.17) và (3.18), ta có + t u(t) = » (~~ (ul 0), Ôn) + fer ĐÀn (F( 5; ul s)), Gn) d ) On, 0 n=1 (3.21) boc ` T Wa(t) = Se tom (- (u(0), bn) + | e(S-TMAn (f(s, u(s)), bn) “| dn n=1 0 tọc T 1 AnG—0
Trang 3131 Ap dung bat dang thtic Gronwall (xem Bé dé 3.2.4), ta c6 IJu(t) — wa(t)|I? , fT (Cay? 5 x0 Ca\’ | < k7¿rư~0 / 4 (S) Bens ds+4 ) E°, VỊ > 0 Jt S L]
3.3.3 Định lý Nếu œ(£) là nghiệm của bài toán (3.2) thỏa mãn điều
Trang 3232
KET LUAN
Luận văn đã giải quyết được các kết quả chính như sau:
1 Hệ thống lại các khái niệm về tích vô hướng phần tử trực giao,
toán tử tuyến tính, toán tử bị chặn và các không gian Banach, không gian Hilbert, không gian Sobolev
2 Xây dựng và chứng minh chỉ tiết các bổ đề, các định lý về việc
chỉnh hóa phương trình Parabolie tuyến tính và phi tuyến ngược thời gian như: Bổ đề 2.1.1, Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Bổ đề 3.2.4 Định lý 3.2.5, Định lý
Trang 33TAI LIEU THAM KHAO
[1] Barenblatt G I., Bertsc h M., Passo R D and Ughi M (1993), "A
degenerate pseudo Parabolic regularization of a nonlinear forward- backward heat equation arising in the theory of heat and mass ez- change in stably stratified shear flow", SIAM J Math Anal., 24, pp
1414 - 1439
[2Ì Dinh Nho Hao (1990) , "Notess on the Benjamil-Bona-Mahony equa- tion ", Appl Anal., 35, pp.221-246
[3] Ewing R E.(1975), "The approximation of certain parabolic equa-
tions backward in time by Sobolev equations", SIAM J Math.Anal., 6(1975), 283-294
[4] Hollig K (1983) , "Existelce infinitely many solution for a forward backward heat equation " , Trams Amer Math Soc., 278, pp.299- 316
[5] Long N T and Dinh A P.N (1994) , "approximation of a Parabolic
non-linear evolution equation backward in time", Inverse problem,
10, pp 905-914
[6] Padron V (1990)
posed problem ", PhD thesis University of Minnensota, Minneapolis "Sobolev regularization of some nonlinear ill-
[7] Padron V (1998) , "Sobolev regularization of a nonlinear ill-posed
Parabolic problem as a model for aggregating populations" , Comun Partial Differential equations, 23(3,4), pp 457-486