MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN Trần Hoài Bảo - 54A Toán Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Đức 1. Mở đầu · A(t) (0 t T ) toán tử dương tự liên hợp không bị chặn từ D ( A(t)) ⊂ H vào H. Trong báo cáo này, đề xuất phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Cho H không gian Hilbert với chuẩn ut + A(t)u = 0, u( T ) − f ε, < t < T, f ∈ H, ε > 0. Các luật chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm đề xuất kéo theo đánh giá sai số kiểu Holder. Các đánh giá sai số tốt vài kết qủa ¨ báo [2]. 2. Giới thiệu toán Cho H không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · chuẩn · , A ( t ) (0 t T ) : D ( A(t)) ⊂ H → H toán tử dương tự liên hợp không bị chặn. Giả sử f phần tử thuộc H ε số thực dương cho trước. Xét toán tìm hàm u : [0, T ] → H cho ut + A(t)u = 0, u( T ) − f ε. < t < T, (1) Bài toán toán đặt không chỉnh. Do đó, để giải toán ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa. Trong báo cáo này, đề xuất phương pháp chỉnh hóa sau: Đặt B(t) = A(−t), − T t A(t), < t T. 0, (2) Sau chỉnh hóa toán (1) toán vt + B(t)v = 0, − T < t < T, αv(− T ) + v( T ) = f . 11 (3) Tương tự báo [2], giả thiết tồn số k, c c, ∀t ∈ [0, T ] hàm khả tích Riemann a1 (t) [0, T ] cho a1 (t) − d A ( t ) u ( t ), u ( t ) ≥ A ( t ) u dt − a1 ( t ) ( A ( t ) + k ) u ( t ), u ( t ) . (4) Với t ∈ [0, T ], đặt t t a2 (t) = exp a1 (τ )dτ , a3 (t) = a2 (ξ )dξ, ν(t) = a3 ( t ) . a3 ( T ) (5) 3. Kết Ký hiệu nghiệm toán (1), (3) u(t), v(t) z(t) = u(t) − v(t), ∀t ∈ [0, T ]. Khi ta có kết qủa sau Định lý 1. Bài toán (3) toán đặt chỉnh. Định lý 2. Bất đẳng thức sau với α > 2α E z (0) − + z( T ) αE2 ε + . 2 (6) Định lý 3. Nếu u(t) nghiệm toán (1) thỏa mãn u(0) E v(t) nghiệm ε toán (3) cách chọn α = a , ( a > 0), ta có đánh giá sau với E t ∈ [0, T ] u(t) − v(t) ≤ ekt−kTν(t) a 1+ ν(t) + 1+ a 1− ν ( t ) ε ν ( t ) E 1− ν ( t ) . (7) Trong trường hợp a = 1, ta có u(t) − v(t) ≤ ekt−kTν(t) εν(t) E1−ν(t) , ∀t ∈ [0, T ]. Định lý 4. Giả sử ε < f . Khi tồn số thực αε > cho vαε ( T ) − f = ε. Hơn nữa, u(t) nghiệm toán (1) thỏa mãn u(0) u(t) − vα (t) (8) E ta có đánh giá 2ν(t) ekt−kTν(t) εν(t) E1−ν(t) , ∀t ∈ [0, T ]. (9) Nhận xét 5. Đánh giá sai số Định lý Định lý đánh giá sai số kiểu Holder với tốc độ hội tụ có dạng Cεν(t) . Tốc độ tốt kết qủa đánh ¨ giá sai số báo [2] đánh giá sai số báo [2] có dạng Cεν(t)/2 mà ν(t) > ν(t)/2, ∀t ∈ (0, T ). 12 4. Kiến nghị, đề xuất Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu toán nói để đề xuất thêm kết qủa cho phương pháp chỉnh hóa này. Tài liệu tham khảo [1] Agmon S. and Nirenberg L. (1963), Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces, Comm. Pure Appl. Math., 16, pp.121–239. [2] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc , Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients, Inverse Problems, Vol. 27(2011), No. 2, 025003, 20 pp. [3] Krein S. G. (1957), On correctness classes for certain boundary problems, (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), 114, pp. 1162–1165. [4] Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag. 13 . MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN Trần Hoài Bảo - 54A Toán Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Đức 1. Mở đầu Cho H là một không gian Hilbert với chuẩn. D(A(t)) ⊂ H vào H. Trong báo cáo này, chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian u t + A(t)u = 0, 0 < t < T, u(T) − f. này là bài toán đặt không chỉnh. Do đó, để giải quyết bài toán ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Trong báo cáo này, chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh hóa như sau: Đặt B( t) = A(