PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN đa THỨC và PHƯƠNG TRÌNH hàm THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC Hồ Hồng Phú, Nguyễn Chỉ Dũng - 54A Toán Người hướng dẫn: ThS. Dương Xuân Giáp TS. Thiều Đình Phong 1. Mở đầu Kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc ngày hội đông đảo sinh viên giáo viên trường học viện. Mục tiêu kỳ thi olympic sinh viên tạo hội ngộ tranh tài trí tuệ sinh viên yêu thích toán học trường đại học cao đẳng để chấp cánh cho ước mơ cho hoài bão trở thành nhà toán học sau này. Ngoài nơi gặp gỡ tăng cường hiểu biết người yêu thích nghiên cứu toán học để thắp lên lửa đam mê toán học. Trong báo cáo trình bày số phương pháp giải toán đa thức phương trình hàm kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc. 2. Một số phương pháp 2.1 Phương pháp sử dụng tính chất nghiệm đa thức Cho đa thức biến, hệ số thực P( x ). Khi x0 nghiệm P( x ) P( x ) = ( x − x0 ) Q( x ), deg P( x ) = deg Q( x ) + 1. Với toán yêu cầu tìm đa thức P( x ), ta dựa vào giả thiết cho tìm số nghiệm nó, giả sử a1 , a2 , ., ak . Khi P( x ) = ( x − a1 )( x − a2 ) .( x − ak ) G ( x ) Trong deg P( x ) = deg G ( x ) + k. Thay P( x ) vào điều kiện toán ban đầu ta tìm Q( x ) suy đa thức P( x ) cần tìm. Ví dụ 1. (Đề thi Olympic SV 2010). Cho a, b ∈ R+ . Tìm tất đa thức P( x ) ∈ R [ x ] thỏa mãn điều kiện: x P( x − a) = ( x − b) P( x ) ∀ x ∈ R. Từ toán ta mở rộng thêm số toán. Ví dụ 2. Tìm P( x ) ∈ R [ x ] với trị số thực thỏa mãn đẳng thức: ( x3 + 3x2 + 3x + 2) P( x − 1) = ( x3 − 3x2 + 3x − 2) P( x ) ∀ x ∈ R. 23 2.2 Phương pháp đánh giá hàm số Giả sử cần tìm hàm số f ( x ) với miền xác định D f , từ giả thiết toán f ( x ) ≥ g ( x ), ∀ x ∈ D f lập luận ta đánh giá g ( x ) ≤ f ( x ), ∀ x ∈ D f Trong g( x ) hàm số biết trước. Từ ta suy f ( x ) = g( x ) ∀ x ∈ D f . Ví dụ 3. (Olympic SV 2009). Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: i) f ( x ) ≤ + 2009x, ∀ x ∈ R; ii) f ( x + y) ≤ f ( x ) + f (y) − 4, ∀ x ∈ R. Ví dụ 4. (Olympic Toán SV 2004). Xác định hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) f ( x ) ≥ e2004x , ∀ x ∈ R; ii) f ( x + y) ≥ f ( x ). f (y), ∀ x ∈ R. 2.3 Phương pháp sử dụng tính chất đạo hàm, nguyên hàm tích phân Phương pháp sử dụng tính chất đạo hàm, nguyên hàm, tích phân số phương trình hàm mà giả thiết hàm khả vi, liên tục. Khi kỹ thuật biến đổi ta quy phương trình hàm cho dạng thích hợp. - Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo biến thích hợp. - Lấy nguyên hàm tích phân với cận thích hợp. Khi nhờ tính chất đạo hàm, nguyên hàm, tích phân ta tìm hàm số. Ví dụ 5. (Olympic 2001). Xác định tất hàm f : R → R khả vi vô hạn thỏa mãn điều kiện: f ( x + y) = f ( x ) + f (y) + 2xy ∀ x, y ∈ R . Ví dụ 6. Tìm f : R → R thỏa mãn | f ( x ) − f (y)|2 ≤ | x − y|3 ∀ x, y ∈ R. 2.4 Phương trình đa thức dạng P( f ).P( g) = P(h) Giả sử f ( x ), g( x ), h( x ) thỏa mãn điều kiện deg f + deg g = deg h. Tìm tất đa thức P( x ) thỏa mãn: P [ f ( x )] .P [ g( x )] = P [h( x )] . (10) Định lý 1. Nếu P, Q nghiệm (11) P.Q nghiệm (11). Suy hệ quả: P( x ) nghiệm (11) Pn ( x ) nghiệm (11). Định lý 2. Nếu f , g, h đa thức thỏa mãn điều kiện deg f + deg g = deg h thỏa mãn điều kiện sau: i) deg f = deg g; 24 ii) deg f = deg g tổng hệ số cao đa thức = 0. Khi với số nguyên dương n tồn nhiều đa thức P( x ) có bậc n thỏa mãn (11). Áp dụng định lý ta thấy P( x )là đa thức bậc phải thỏa mãn (11) với f , g, h đa thức thỏa mãn định lý tất nghiệm (11) P( x ) ≡ 0, P( x ) ≡ 1, P( x ) = [ P0 ( x )]n với n ∈ N∗ . Ví dụ 7. (Olympic 2006). Tìm tất đa thức thỏa mãn P( x ) + x [3P( x ) + P( x )] = P2 ( x ) + 2x2 ∀ x ∈ R. Tài liệu tham khảo [1] [2] [3] 25 (2) . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC Hồ Hồng Phú, Nguyễn Chỉ Dũng - 54A Toán Người hướng dẫn: ThS. Dương Xuân Giáp TS. Thi u Đình. cứu toán học để thắp lên ngọn lửa đam mê toán học. Trong báo cáo này chúng tôi trình bày một số phương pháp giải các bài toán về đa thức và phương trình hàm trong các kỳ thi Olympic Toán sinh viên. Đình Phong 1. Mở đầu Kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc là ngày hội đông đảo của sinh viên và giáo viên các trường các học viện. Mục tiêu chính của kỳ thi olympic sinh viên là tạo ra cuộc hội