Các Phương pháp giải phương trình hàm bồi dưỡng học sinh giỏi

Số x được gọi là một cận trên của tập A nếu với mọi aA thì a  xSố x được gọi là một cận dưới của tập A nếu với mọi a A thì a x Cận trên bé nhất nếu có của tập A được gọi là cận trên

Số x được gọi là một cận trên của tập A nếu với mọi aA thì a  x

Số x được gọi là một cận dưới của tập A nếu với mọi a A thì a x

Cận trên bé nhất (nếu có) của tập A được gọi là cận trên đúng của A và kí hiệu là supA

Cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập A được gọi là cận dưới đúng của A và kí hiệu là infA

- Nếu A = (a;b) thì supA = b

3 Hàm s ơ cấp

+ Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược

+ Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học ( +,

- , x, : ), phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản

+ Đặc trưng của hàm:

Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà nghiệm của

nó là hàm Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm Những tính chất quan trắc được từ đại số sang hàm số được gọi là những đặc trưng hàm

* Hàm tuyến tính f(x) = ax, khi đó f(x + y) = f(x) + f(y)

Vậy đặc trưng hàm là f(x + y) = f(x) + f(y), với mọi x, y

Vậy đặc trưng hàm ở đây là: f x2y f(x)2 f(y)







2

* tan hypebolic: x x x x

e e

e e chx

e e shx

+ Hàm số f(x) được gọi là tăng trên khoảng (a,b) nếu:

Với mọi x1, x2  (a,b), x1  x2  f(x1)  f(x2)

+ Hàm số f(x) được gọi là giảm trên khoảng (a,b) nếu:

Với mọi x1, x2  (a,b), x1  x2  f(x1)  f(x2)

f

Số T > 0 bộ nhất thoó món hai điều kiện trờn gọi là chu kỡ cơ sở của hàm số tuần hoàn f(x).

Phần II: các phơng pháp thờng dùng để giải phơng

trình hàm

4

I.Ph ươ ng pháp 1 : Sử dụng tính liên tục của hàm số

Sử dụng tính liên tục của hàm số có 3 con đường chính:

)

1 ( )

1 2 ( 2 )

1 1 ( 1

)

1

(

n f n n n

f n

n f n

Q

1 ) 1 ( ) 1 1 )(

1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ).

( )

(

)

n m f n

m n

m f n f m f n

n

m

f    Thế vào (***) ta đựơc f(q) = 1 + q, q  Q

Với rR, tồn tại dãy  r n với r n Q thoã mãn limr n r Khi đó do tính liên tục nên

ta có: f(r) = f(limrn) = limf (rn) = lim(rn + 1) = limrn + 1 = r + 1

Vậy f(x) = x + 1, x  R Thử lại thấy đúng

Bài2 (Chứng minh hàm là hằng số):

Tìm hàm     

2

1

; 0 2

1

; 0 :

4

1 ( )

1 2

0 1

2

1 (

f = c (c hằng số).Thử lại thấy đúng

Bài3 (Sử dụng phương trình hàm Côsi) - VMO năm 2006 (bảng B)

Tìm f :R R liên tục trên R thoã mãn f(x-y).f(y-z).f(z-x) + 8 = 0 x,y,zR(3)

8 )

2

2

) ( ln ) (



x

g  f(x)   2 e g(x) Thế vào (3) ta được:  8 e g(xy) g(yz) g(zx)   8  g(x y) g(y z) g(z x)  0 (*) + Cho x = y = z = 0, từ (*) ta có g(0) = 0 (a)

+ Cho y = z =0, x  R, từ (a) ta đựoc g(x) = g(-x) (b)

Từ (*) và (b) ta suy ra g(x-y) + g(y-z) = -g(z-x) = -g(x-z) = g(x-y+y-z) 

R t t t g t g

t

t

g(  ,)  ( )  ( ,),  , , (**) Vì f liên tục trên R nên g(x) cũng liên tục trên R

Từ (**) , theo phương trình hàm Côsi ta được g(x) = ax  f(x) = -2 eax = -2.bx

(với b = ea >0) Thử lại ta thấy đúng

6

a

x 0

N n x

4

1

2 1

II Ph ươ ng pháp2 : Sử dụng tính chất nghiệm của một đa thức

1 )(

1 ( ) 1 )(

2 ( ) 1 ( ).

1 ( ) 2 )(

1 )(

1 )(

x G x

x

x G

) (

2 2

Đặt:

1

) ( )

x G x

(Giải bài toán này tương tự như bài 1)

Tương tự như trên nếu ta xét:

+ Chứng minh mọi hệ số khác của f(x) đều không thoã mãn điều kiện bài toán

Bài1: Đa thức f(x) xác định với mọi x  R và thoã mãn điều kiện:

Vậy ( 2 1 )

3

1 )

Thử lại ta thấy hiển nhiên f(x) thoã mãn điều kiện bài toán

Công việc còn lại ta phải chứng minh mọi hàm số khác f(x) sẽ không thoã mãn điều kiện bài toán

Thật vậy giả sử còn có hàm số g(x) khác f(x) thoã mãn điều kiện bài toán

Do g(x) không trùng với f(x) nên x0R:g(x0) f(x0)

Do g(x) thoã mãn điều kiện bài toán nên:

2g(x) + g(1-x) = x2 x  R

Thay x bởi x0 ta được: 2g(x0) + g(1-x0) = x02

Thay x bởi 1-x0 ta được 2g(1-x0) + g(x0) = (1-x0)2

Từ hai hệ thức này ta được: g(x0) = ( 2 1 )

Vậy phương trình có nghệm duy nhất là ( 2 1 )

3

1 )

Ta viết phương trình đã cho dưới dạng f(f(x)) - f(x) = x (1)

Vế phải của phương trình là một hàm số tuyến tính

Vì vậy ta nên giả sử rằng hàm số cần tìm có dạng: f(x) = ax + b

Hiển nhiên hàm số nầy thoã mãn điều kiện bài toán.

Ta phải chứng minh f(n) = -n + 1 là hàm số duy nhất thoã mãn điều kiện bài toán.Thật vậy giả sử tồn tại hàm g(n) khác f(n) cũng thoã mãn điều kiện bài toán

Từ (3) suy ra f(0) = g(0) = 1

10

x x

f

2

5 1 )

Z n n b ab n

Chứng minh tương tự ta cũng có f(n) = g(n) với mọi n nguyên âm.

Vậy: f(n) = -n + 1 là nhgiệm duy nhất

ươ ng pháp : Chọn cách đặt ẩn phụ thích hợp để từ phương trình hàm chứa 2 biên

ta đưa về dạng phương trình một biến để từ đó xác định hàm số cần tìm

Bài1:

Tìm f: R  R sao cho:

(x - y)f(x+y) - (x + y)f(x-y) = 4xy(x2 - y2), x,y R

GiảiĐặt:  u  xy 

y x

v f u u

u f

1 ( 3 ) 1

f

Giải

1 2

1 2

y

y x y

x x

1 2

1 )

1 ( 3 ) 1 2

f y

y f

1 2

1 )

1 ( 3 ) 2 1

x f x

x f



2 1

3 2

1 ) 1 (

x f

1 2

3 2

1 ( 8

1 ) 1

f

1 2

3 2

1 ( 8

1 )

f x f y x f

2 1 ) 2 1

1 ( 3 ) 1

f

2

1 ,

1 2

1 )

1 ( 3 ) 2 1

x f x x f

2 , 0 ,

1

8 ) 2

1 ( 5 )

x f x

Bài3:

Tìm tất cả cá c đa thức P(x)  R[x] sao cho :

P(x + y) = P(x) + P(y) = 3xy(x + y), x,y R

1 ) ( 2

1

(1)Giải:

Cho x = y = z = 0 thay vào (1) ta được

( 0 ) ( 0 ) 41

2

1 ) 0 ( 2

1 4

1 4 1

 f x  , xR

2

1 )

1 ) 1 ( ) 1 ( 2

1 ) 1 ( 2

1





 f x f x x

f

 f x  , xR

2

1 )

( 3 ) 3 ( ),

x xf x

x

x x

 3 ( )

2

3 1 ) (

3

9

x f x x

x x

xf  

 ( )

2

3 1 )

2

9

x f x

x x

x

) ( 2

VI.Ph ươ ng pháp 6 : Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm

a.Lí thuyết:

+) Khái niệm dãy số:

Dãy số là một hàm của đối số tự nhiên:

Sai phân cấp 1 của hàm xn là: x n x n1 x n

Sai phân cấp 2 của hàm xn là: 2x n  x n1 x n x n2  2x n1 x n

Sai phân cấp k của hàm xn là: 

i k n

i k

i n

0

) 1 (

+) Các tính chất của sai phân:

* Sai phân các cấp đều được biểu thị qua các hàm số

* Sai phân có tính chất tuyến tính:

Vậy 2x n const do đó xn là đa thức bậc hai: x n an2bnc

Để tính a, b, c ta đưa vào 3 giá trị đầu x0 = 1, x1 = -1, x2 = -1 sau đó ta giải hệ phươngtrình ta nhận được: a = 1, b = -3, c = 1

Do đó: xn = n2 - 3n + 1

+) Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

, 0

1 1

2 2

s s n s s n n

3 16

Chú ý: Đối với phương pháp sai phân, ta có một số khác nữa như phương trình sai

phân tuyến tính không thuần nhất, phương trình sai phân phi tuyến và có cả một hệ thống phương pháp giải quyết để tuyến tính hoá phương trình sai phân Song liên quan đến phương trình trong bài viết này, chỉ nhắc lại phương trình sai phân tuyến tính đơn giản nhất (chưa xét đến phương trình sai phân tuyến tính có nghiệm phức)

c Áp dụng đ ối với ph ươ ng trình hàm :

Thay x bởi f(x) ta được:

f f

f

Nếu f(0) = 0 chọn n = 0 ta được: -2f(k) = 0 do đó f(k) = 0 với mọi k

Chọn k = 1 ta được f(1) = 0 mâu thuẫn với giả thiết

n

x f f x

f f x

f

f( ( )) 3 ( ( )) 2 ( ( ))

1 2









Đặt: x k f (k) ta có phương trình sai phân: 2x k1 3x k  2x k1  0

VII.Ph ươ ng pháp 7 : Điểm bất động

* Đ iểm bất đ ộng :

Trong số học, giải tích các khái niệm về điểm bất động, điểm cố định rất quan trọng

và nó được trình bày rất chặt chẻ thông qua một hệ thống lí thuyết Ở đây tôi chỉ nêu ứng dụng của nó qua một số bài toán về phương trình hàm

Bài1:

Xác định hàm số f(x) sao cho:

f(x + 1) = f(x) + 2 , x R

Giải:

Ta suy nghĩ như sau:

Từ giả thiết ta suy ra c = c + 2 do đó c = 

Vì vậy ta coi 2 như là f(1) ta được: f(x + 1) = f(x) + f(1) (*)

Như vậy ta đã chuyển phép cộng ra phép cộng Dựa vào đặc trưng hàm, ta phải tìm a:

Trong đó f(x) = ax Từ giả thiết ta được

a(x + 1) = ax + 2  a = 2

Vậy ta làm như sau:

Đặt: f(x) = 2x + g(x)

Thay vào (*) ta có: 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) +2, x R

Điều này tương đương với:

g(x +1) = g(x), x R

Vậy g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1

Vậy: f(x) = 2x + g(x) với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1

Nhận xét: Qua bài toán 1 ta có thể tổng quát lên thành bài toán như sau:

) ( ) 2 (x g x

2

1 ) (x  g x  g x

g

) ( ) 2 (x g x

 thay vào (2) ta được: h(x + 1) =h(x), x  R

Vậy h(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1

( Với loại này được chuyển về hàm tuần hoàn)

Còn: f(x + a) = bf(x) + c, x  R, a,b,c tuỳ ý, b<0, b khác 1 được chuyển về hàm phản tuần hoàn

Xét 2t = t  t = 0, ( 2t)m  3 t m  m log23

Xét 3 khả năng sau:

+) Nếu t = 0 ta có h(0) = 1

+) Nếu t > 0 đặt h(t) tlog2 3  (t) thay vào (3) ta có  ( 2t)   (t), t  0

Đến đây ta đưa về ví dụ hàm tuần hoàn nhân tính

+) Nếu t < 0 đặt h(t) tlog23 (t)thay vào (3) ta được

+ Nếu a = 0 bài toán bình thường

+ Nếu a = 1 chẳng hạn xét bài toán sau:

log ) 2 ( loga t  a t  a

Vậy đặt: ( ) log ( )

2

1 t h t t

Thay vào (2) ta có: h( 2t) h(t), t  0 Đến đây bài toán trở nên đơn giản

VIII Ph ươ ng pháp 8 Phương pháp sử dụng hệ đếm

Ta quy ước ghi m =(b i b i-1 …b 1 ) k nghĩa là trong hệ đếm cơ số k thì m = b i b i-1 …b 1

Bài1 (Trích IMO năm 1998):

Tìm f :N*  N* thoã mãn f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n),

22

0 ),

( ) 4 ( t   t t 

2

1 ) (t   t   t t 



0 ),

( ) 4 ( t   t t 



0 ),

( )

2 ( t    t t 



f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n), f(4n + 3) = 3f(2n + 1) - f(2n), n  N* (1)

Giải:

Tính giá trị của hàm số và chuyển sang cơ số 2 ta có thể dự đoán được:

"n  N*, n = (bibi-1…b1)2 thì f(n) = (b1b2…bi)2” (*) Ta sẽ chứng minh (*) bằng quy nạp

+ Với n = 1, 2, 3, 4 dể kiểm tra (*) đúng

+ Giả sử (*)đúng cho k < n Ta sẽ chứng minh (*)đúng cho n (với n > 4) Thật vậy, ta xét các khả năng sau:

* Nếu n chẵn, n = 2m Giả sử m = (bibi-1…b1)2, khi đó n = 2m = (bibi-1…b10)2

(*)đúng

Vậy (*)đúng và hàm f được xác định như (*)>

Bài 2.(Trích đề thi Trung Quốc)

Tìm hàm số f :N*  N* thoã mãn:

a) f(1) = 1 (1)b) f(2n) < 6f(n) (2) c) 3f(n)f(2n+1) = f(2n)(3f(n) + 1), n  N* (3)

"Với n = (b1b2…bi)2 thì f(n) = (b1b2…bi)3, n  N*" (*) Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1, 2, 3, 4 thì hiển nhiên (*)đúng

+ Giả sử (*)đúng cho k<n (với n4) Ta chứng minh (*)đúng cho n

Giả sử m = (c1c2…cj)2

- Nếu n chẵn: n = 2m, thì n = 2m = (c1c2…cj0)2 Khi đó

f(n) = f(2m) = 3f(m) = 3.f((c1c2…cj)2) = (10)3.(c1c2…cj)3 = (c1c2…cjo)3  (*) đúng chẵn

Các tài liệu tham khảo:

- Phương trình hàm - Tác giả: Nguyễn Văn Mậu

- Hàm số và ứng dụng của hàm số - Tác giả: Phan Huy Khải

- Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi - Trường ĐHKH Tự Nhiên

Môc lôc

Lời nói đàu

Phần 1: Những khái niệm cơ bản 1

Phần 2: Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình hàm 5

- Phương phỏp sử dụng tớnh liờn tục của hàm số 5

- Sử dụng tớnh chất nghiệm của một đa thức 7

- Hệ số bất định 8

- Phương phỏp dồn biến 12

- Phương phỏp xột giỏ trị 14

- Sử dụng phương phỏp sai phõn để giải phương trỡnh hàm 15

- Điểm bất động 20

- Phương phỏp sử dụng hệ đếm 23 Tài liệu tham khảo

26