Phương trình hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích. Bài toán giải phươngtrình hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời nhất của giải tích. Nhu cầu giảiphương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lí thuyết hàm số. Nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của Toán học hoặc của các ngành khoa học khác.Các nhà toán học đã có công nghiên cứu và đặt nền móng cho phương trình hàmphải kể đến: Nicole Oresme, Gregory of SaintVincent, AugusstinLouis Cauchy,Carl Friedrich Gauss, D’Alembert
Nguyễn Văn Mậu PHƯƠNG TRÌNH HÀM NXBGD 1997 Mục lục Một số tính chất hàm số 1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ 1.2 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.3 Hàm tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính 1.3.1 Hàm tuần hoàn nhân tính 1.3.2 Hàm phản tuần hồn nhân tính 1.4 Mối liên hệ hàm tuần hồn cộng tính nhân tính 1.5 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp 10 13 Phương trình hàm với cặp biến tự 16 2.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học 16 2.2 Hàm số chuyển đổi đại lương trung bình 28 2.3 Hàm số sinh đặc trưng hàm hàm số luợng giác, Hyperbolic lượng giác ngược 41 2.4 Một số dạng khác phương trình hàm với cặp biến tự 60 2.5 Phương trình với nhiều ẩn hàm 67 Phương trình hàm với phép biến đổi đối số 75 3.1 Hàm số xác định phép biến đổi tịnh tiến đồng dạng 75 3.2 Hàm số xác định phép biến đổi phân tuyến tính 90 3.3 Hàm số xác định phép biến đổi đại số 103 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hồn 116 Chương Một số tính chất hàm số 1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R a) f (x) gọi hàm số chẵn M, M ∈ D(f ) (gọi tắt Định nghĩa hàm chẵn M ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b) f (x) gọi hàm số lẻ M (gọi tắt hàm lẻ M ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán Cho x0 ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho f (x0 − x) = f (x), Giải Đặt x = x0 − t suy t = x0 ∀x ∈ R (1.1) − x Khi x0 − x = x0 +t (1.1) có dạng f x0 x0 +t =f − t , ∀t ∈ R 2 (1.2) Chương 1.Một số tính chất hàm số Đặt g(t) = f x0 + t x0 x2 − t , f (t) = g t − 2 g(−t) = f Khi (2) có dạng g(−t) = g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm chẵn R Kết luận f (x) = g x − x0 , g(x) hàm chẵn tuỳ ý R Bài toán Cho a, b ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho f (a − x) + f (x) = b, Giải Đặt ∀x ∈ R (1.3) a − x = t, a a − t; a − x = + t 2 x= Khi (3) có dạng f a a + t +f −t =b 2 Đặt f a b +t = g(t) 2 Khi viết (4) dạng g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R g(−t) = −g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm số lẻ R Kết luận f (x) = g x − g(x) hàm lẻ tuỳ ý R a b + 2 (1.4) 1.2 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Bài tập Cho f (x) hàm số đồng thời vừa chẵn vừa lẻ R Chứng minh f (x) ≡ Chứng minh hàm số xác định R viết dạng hiệu hàm số chẵn hàm số lẻ, xác định R Cho hàm số f (x) xác định R Xác định hàm số g(x) biết đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm số cho qua đường thẳng x = x0 cho trước Cho hàm số f (x) xác định R Xác định hàm số g(x) biết đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm số cho qua điểm M (x0 , y0 ) cho trước Biết đồ thị đa thức P (x) có tâm đối xứng Chứng minh đồ thị đa thức P (x) có trục đối xứng Biết đồ thị đa thức có trục đối xứng Chứng minh đồ thị đa thức P (x) có tâm đối xứng Cho đồ thị hàm số bậc ba f (x) = x3 + ax2 + bx + c Một đường thẳng cắt đồ thị ba điểm A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) cho |AB| = |BC| Chứng minh f (x2 − x) + f (x2 + x) = 2y2 , ∀x ∈ R 1.2 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Định nghĩa a) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ a, (a > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x± ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b) Cho f (x) hàm tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ cở f (x) f (x) tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hồn Chương 1.Một số tính chất hàm số với chu kỳ bé T Bài toán Tồn hay không tồn hàm số f (x) ≡ số, tuần hồn R khơng có chu kỳ sở Giải Xét hàm Dirichle f (x) = 0, x ∈ Q 1, x ∈ /Q Khi f (x) hàm tuần hồn R chu kỳ a ∈ Q∗ tuỳ ý Vì Q∗ khơng có số nhỏ nên hàm f (x) khơng có chu kỳ sở Bài toán Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hồn M có chu kỳ a a b với ∈ Q Chứng minh F (x) := f (x)g(x) hàm tuần hoàn b M am Đặt T = na = mb, Giải Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , (m, n) = cho bn F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M ∀x ∈ M Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M x ± M Vậy F (x), G(x) hàm tuần hoàn M Định nghĩa a) Hàm số f (x) gọi phản tuần hồn (cộng tính) chu kỳ b, (b > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M (1.5) b) Nếu f (x) hàm phản tuần hồn chu kỳ b0 M mà khơng hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé b0 M b0 gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hoàn f (x) M Bài toán Chứng minh hàm phản tuần hoàn M hàm tuần hoàn M 1.2 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Giải Theo giả thiết, tồn b > cho ∀x ∈ M x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Suy với x ∈ M x ± 2b ∈ M f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Vậy f (x) hàm tuần hồn với chu kỳ 2b M Bài tốn Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M f (x) có dạng f (x) = g(x + b) − g(x) (1.6) với g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2b M Giải Thật vậy, với f (x) thoả mãn (6) ta có f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −(g(x + b) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M x± ∈ M Do f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M Ngược lại, với f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M chọn g(x) = − 21 f (x) g(x) hàm tuần hồn chu kỳ 2b M (Bài toán 3) 1 g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − − f (x) 2 1 = − (−f (x)) + f (x) 2 = f (x), ∀x ∈ M Chương 1.Một số tính chất hàm số Bài tập Chứng minh hàm số f (x) = tan x không hàm phản tuần hoàn R { π2 + kπ, k ∈ Z} Chứng minh 2π chu kỳ sở hàm số f (x) = cos x Cho f (x) hàm số phản tuần hồn có chu kỳ sở b R Hỏi kết luận sau có khơng: f (x) hàm tuần hồn có chu kỳ sở 2b R? Chứng minh sin x2 hàm tuần hoàn R Cho f (x), g(x) hàm số liên tục tuần hoàn có chu kỳcơ sở a b, tương ứng, R Biết F (x) := f (x) + g(x) hàm tuần hoàn R Chứng minh 1.3 1.3.1 a b ∈ Q Hàm tuần hoàn phản tuần hồn nhân tính Hàm tuần hồn nhân tính Định nghĩa f (x) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a (a ∈ / {0, 1, −1}) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M Ví dụ Xét f (x) = sin(2π log2 x) Khi f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ 2±1 x ∈ R+ f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π(1 + log2 x)) = sin(2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R∗ 1.3 Hàm tuần hồn phản tuần hồn nhân tính Bài tốn Cho f (x), g(x) hai hàm số tuần hồn nhân tính chu kỳ a b, tương ứng M ln |a| m = , m, n ∈ N+ ln |b| n Chứng minh F (x) := f (x) + g(x) G(x) := f (x)g(x) hàm tuần hồn nhân tính M Giải Từ giả thiết suy |a|n = |b|m Ta chứng minh T := a2n = b2m chu kỳ F (x) G(x) Thật vậy, ta có F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M T ±1 x ∈ M Do F (x) G(x) hàm tuần hoàn nhân tính M 1.3.2 Hàm phản tuần hồn nhân tính Định nghĩa f (x) gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ a (a ∈ / {0, 1, −1}) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán Chứng minh hàm phản tuần hoàn nhân tính M hàm tuần hồn nhân tính M Giải Theo giả thiết, ∃b ∈ / {0, ±1} cho ∀x ∈ M b±1 ∈ M f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ∀x ∈ M (b2 )±1 x ∈ M f (b2 x) = f (bbx) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Như vậy, f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ b2 M 10 Chương 1.Một số tính chất hàm số Bài tốn Chứng minh f (x) hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b, (b ∈ / {0, ±1}) M f (x) có dạng f (x) = (g(bx) − g(x)) (1.7) g(x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ b2 M Giải Thật vậy, f (x) có dạng (7) f (bx) = {g(b2 x) − g(bx)} = {g(x) − g(bx)} = {(g(bx) − g(x))} = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M b±1 x ∈ M Do f (x) hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ b M Ngược lại, giả sử f (x) hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b M Khi g(x) = −f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ b2 M (Bài toán 2) 1 (g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x))) 2 = (−(−f (x)) + f (x)) = f (x), ∀x ∈ M 1.4 Mối liên hệ hàm tuần hồn cộng tính nhân tính Bài toán 10 Cho a = 0, a = ±1 Xác định hàm f (x) cho f (ax) = f (x), ∀x ∈ R (1.8) Giải Xét trường hợp a > a < (i) Với a > Xét x > Đặt x = at f (at ) = h1 (t) Khi t = loga x (1) tương đương với h1 (t + 1) = h1 (t), ∀t ∈ R 122 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số Bài toán 111 Cho h(x) hàm xác định R Tìm tất hàm f (x) thoả mãn điều kiện f (x + 4) = f (x), f (x + 3) + f (x + 2) + f (x + 1) + f (x) = h(x), ∀x ∈ R (3.38) Giải Lần lượt thay x x + 1, x + x + vào (6) sử dụng đẳng thức f (x + 4) = f (x), ta điều kiện cần để hệ phương trình (6) có nghiệm h(x) = h(x + 1) = h(x + 2) = h(x + 3), ∀x ∈ R (i) Khi điều kiện (i) thoả mãn, ta viết h(x) = [h(x) + h(x + 1) + h(x + + h(x + 3)], ∀x ∈ R (ii) Sử dụng (ii) viết (6) dạng g(x + 4) = g(x), g(x + 3) + g(x + 2) + g(x + 1) + g(x) = 0, ∀x ∈ R (iii) g(x) = f (x) − h(x), ∀x ∈ R (iv) Ta chứng minh nghiệm (iii) có dạng g(x) = [3q(x) − q(x + 1) − q(x + 2) − q(x + 3)], q(x) hàm tuỳ ý cho q(x + 4) = q(x), ∀x ∈ R Thật vậy, g(x) thoả mãn (ii) ta cần chọn q(x) = g(x), có [3q(x) − q(x + 1) − q(x + 2) − q(x + 3)] = [3g(x) − (g(x + 1) + g(x + 2) + g(x + 3))] = [3g(x) − (−g(x))] = g(x) (iv) 123 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hoàn Ngược lại, g(x) có dạng (v) g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) + g(x + 3) = = [3q(x) − q(x + 1) − q(x + 2) − q(x + 3))] + [3q(x + 1) − q(x + 2) − q(x + 3) − q(x)] + [3q(x + 2) − q(x + 3) − q(x) − q(x + 1)] + [3q(x + 3) − q(x) − q(x + 1) − q(x + 2)] = 0, ∀x ∈ R Kết luận Điều kiện cần để (6) có nghiệm h(x) = h(x + 1) = h(x + 2) = h(x + 3), ∀x ∈ R Khi nghiệm f (x) (6) có dạng f (x) = g(x) + h(x), g(x) = [3q(x) − q(x+) − q(x + 2) − q(x + 3)] với q(x) hàm tuỳ ý cho ∀x ∈ R q(x + 4) = g(x), Bài toán 112 Cho b = ±1 h(x) hàm xác định R Xác định tất hàm f (x) thoả mãn điều kiện f (x4 ) = f (x), f (x2 ) + bf (x) = h(x), ∀x ∈ R (3.39) Giải Trước hết, xét trường hợp b = Khi (7) có dạng f (x4 ) = f (x), f (x2 ) + f (x) = h(x), ∀x ∈ R Thay x x2 vào (7) sử dụng đẳng thức f (x4 ) = f (x), ta điều kiện cần để hệ phương trình (7) có nghiệm h(x) = h(x2 ), ∀x ∈ R (i) 124 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số Khi điều kiện (i) thoả mãn, ta viết h(x) = [h(x) + h(x2 )], ∀x ∈ R (ii) Sử dụng (ii), viết (7) dạng g(x4 ) = g(x) g(x2 ) + g(x) = 0, (iii) ∀x ∈ R g(x) = g(x) − h(x), ∀x ∈ R (iv) Ta chứng minh nghiệm (iii) có dạng g(x) = [q(x) − q(x2 )], ∀x ∈ R (v) q(x) hàm tuỳ ý cho q(x4 ) = q(x), ∀x ∈ R Thật vậy, g(x) thoả mãn (iii) ta cần chọn q(x) = g(x), có 1 [q(x) − q(x2 ))] = [g(x) − g(x2 )] 2 = [g(x) − (−g(x))] = g(x), ∀x ∈ R Ngược lại, g(x) có dạng (v) 1 g(x2 ) + g(x) = [q(x) − q(x2 )] + [q(x2 ) − q(x)] = 0, 2 ∀x ∈ R Xét trường hợp b = −1 Khi từ (7) ta có f (x2 ) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (vi) Thay x x2 vào (vi) sử dụng đẳng thức f (x4 ) = f (x), ta điều kiện cần để hệ phương trình (vi) có nghiệm h(x2 ) = −h(x), ∀x ∈ R (vii) Khi điều kiện (vii) thoả mãn, ta viết h(x) = [h(x) − h(x2 )], ∀x ∈ R (viii) 125 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hoàn Sử dụng (viii) viết (vi) dạng g(x + 4) = g(x), g(x2 ) − g(x) = 0, (ix) ∀x ∈ R g(x) = f (x) + h(x), ∀x ∈ R (x) Ta chứng minh nghiệm (ix) có dạng g(x) = [q(x) + q(x2 )], ∀x ∈ R (xi) q(x) hàm tuỳ ý cho q(x4 ) = q(x), ∀x ∈ R Thật vậy, g(x) thoả mãn (ix) ta cần chọn q(x) = g(x), ta có 1 [q(x) + q(x2 ))] = [g(x) + g(x2 )] 2 = [g(x) + g(x)] = g(x), ∀x ∈ R Ngược lại, g(x) có dạng (xi) 1 g(x) − g(x2 ) = [q(x) + q(x2 )] − [q(x2 ) + q(x)] = 0, 2 ∀x ∈ R Kết luận • Khi b = 1, điều kiện cần để (7) có nghiệm h(x) = h(x2 ), ∀x ∈ R Khi điều kiện thoả mãn nghiệm (7) có dạng f (x) = h(x) + g(x) g(x) = 12 [q(x) − q(x2 )] với q(x) hàm tuỳ ý cho q(x4 ) = q(x), ∀x ∈ R 126 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số • Khi b = −1, điều kiện cần để (7) có nghiệm h(x) = −h(x2 ), ∀x ∈ R Khi điều kiện thoả mãn, nghiệm (7) có dạng f (x) = − h(x) + g(x), g(x) = 12 [q(x) + q(x2 )], với q(x) hàm tuỳ ý cho q(x4 ) = q(x), ∀x ∈ R Bài toán 113 Cho h(x) xác định R Tìm tất hàm f (x) xác định R thoả mãn f (8x) = f (27x), f (4x) + f (9x) − 2f (6x) = h(x), ∀x ∈ R (3.40) Giải Từ f (4x) + f (9x) − 2f (6x) = h(x), thay x x tao có f x + f (x) − 2f x =h x , ∀x ∈ R hay f x x −f x −f (x) = h , 9 ∀x ∈ R (i) Khi viết (i) dạng sau g x x −g(x) = h , ∀x ∈ R (ii) g(x) = f x −f (x), ∀x ∈ R Để ý rằng, điều kiện cần để phương trình (ii) có nghiệm h x 2x 4x −h +h ≡0 39 99 Thật vậy, thay x 23 x 49 x vào (ii), ta hệ (iii) 127 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hồn x g x −g(x) = h 2x g x −g x = h , 39 g(x) − g x = h x , ∀x ∈ R 99 Cộng lại, ta (iii) Khi điều kiện (iii) thoả mãn, thay x 32 x vào (iii) ta x x 2x +h +h ≡0 27 h hay h x x x 2x = −h +2h −h 9 27 , ∀x ∈ R (iv) Đặt g(x) − x x h( −h = ψ(x) (ii) có dạng ψ x = ψ(x), ∀x ∈ R Vậy g(x) = x x h −h +ψ(x), ∀x ∈ R, (v) Để xác định f (x) ta cần giả phương trình f x −f (x) = g(x), f x = f (x), 27 ∀x ∈ R, (vi) Điều kiện cần để hệ phương trình (vi) có nghiệm g x 2x 4x +g +g ≡ 0, 39 99 Từ (v) suy (vii) tương đương với ψ x 2x 4x +ψ +ψ ≡0 39 99 Do ψ(x) ≡ Vậy g(x) = x x h −h (vii) 128 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số Bằng phương pháp phương trình (ii), ta nghiệm tốn có dạng f (x) = g x −g(x) +ϕ(x) (viii) ϕ x = ϕ(x), 3 g(x) = h x −g(x) +ϕ(x) Kết luận f (x) = g x −g(x) +ϕ(x) ϕ(x) hàm tuỳ ý cho ϕ x = ϕ(x), 3 g(x) = h x −g(x) +ϕ(x) Bài toán 114 Cho hàm số p(x) q(x) xác định tuần hồn cộng tính chu kỳ R Tìm tất hàm số f (x) xác định R cho f (4 + x) = g(x) p(x)f (2 + x) + f (x) = q(x) (3.41) Giải Thay x + x vào (9) ta p(2 + x)f (x) + f (2 + x) = q(2 + x), ∀x ∈ R hay p(x)f (x) + f (2 + x) = q(x), ∀x ∈ R Nhận xét phương trình thứ hai (9) (i) hệ hai phương trình tuyến tính hao ẩn hàm f (x) f (2 + x) Nếu [1 − p(x)p(x)] = 0, ∀x = từ (9) (i) ta có q(x) − p(x)q(x) − p(x)p(x) q(x) − p(x)q(x) f (x) = , ∀x ∈ R − p(x)p(x) f (2 + x) = (ii) (iii) 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hồn 129 Hai cơng thức (ii) (iii) tương thich với xác định hàm f (x) thoả mãn hệ phương trình (9) Nếu ∃x0 cho − p(x0 )p(x0 ) = điều kiện cần để (8) có nghiệm − p(x0 )q(x0 ) = Gọi Zpq tập hợp nghiệm phương trình − p(x)p(x) = Nếu x0 ∈ Zpq + x0 thuộc Zpq Khi nghiệm (9) xác định sau Nếu x ∈ / Zpq f (x) = q(x) − p(x)q(x) − p(x)p(x) Nếu x ∈ Zpq f (x) f (2 + x) chọn tuỳ ý cho (9) thoả mãn Kết luận • Nếu − p(x)p(x) = ∀x ∈ R, f (x) = q(x) − p(x)q(x) − p(x)p(x) • Nếu ∃x0 cho − p(x0 )p(x0 ) = điều kiện cần để (9) có nghiệm q(x0 ) − p(x0 )q(x0 ) = Khi nghiệm (9) xác định theo công thức sau * Nếu x ∈ / Zpq f (x) = q(x) − p(x)q(x) − p(x)p(x) * Nếu x ∈ Zpq f (x), f (2 + x) chọn tuỳ ý cho (9) thoả mãn, Zpq tập hợp nghiệm phương trình − p(x)p(x) = 130 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số Bài toán 115 Cho hàm số ω(x) = −2 x+1 Ký hiệu ω2 (x) = ω(ω(x)), ω3 (x) = ω(ω(ω(x))) Tìm tất hàm số f : R \ {−1; −3; 1} → R cho f (ω3 (x)) = f (x), f (ω2 (x))) + f (ω(x)) + f (x) = ∀x ∈ / {−1; −3; 1} (3.42) Giải Nhận xét phương trình ω(x) = x khơng có nghiệm thực Từ (10) ta thấy f x) ≡ nghiệm Đặt f (x) = + g(x) Khi viết (10) dạng g(ω3 (x)) = g(x), g(ω2 (x))) + g(ω(x)) + g(x) = ∀x ∈ / {−1; −3; 1} (i) Ta chứng minh nghiệm (i) có dạng g(x) = [2h(x) − h(ω2 (x)) − h(ω(x))], (ii) h(x) hàm tuỳ ý cho h(ω3 (x)) = h(x), ∀x ∈ / −1; −3; − ; 1, Thật vậy, g(x) có dạng (ii) g(ω2 (x)) + g(ω(x)) + g(x) = [2h(ω2 (x)) − h(ω(x)) − h(x)] 1 + [2h(ω(x)) − h(x) − h(ω2 (x))] + [2h(x) − h(ω2 (x))) − h(ω(x))] = 3 ∀x ∈ / −1; −3; − ; 1, Ngược lại, g(x) thoả mãn (i) ta việc chọn h(x) = g(x) có cơng g(ω3 (x)) = g(x), thức biểu diễn (ii) Kết luận f (x) = + [2h(x) − h(ω2 (x)) − h(ω(x))], h(x) hàm tuỳ ý cho h(ω3 (x)) = h(x), ∀x ∈ / −1; −3; − ; 1, 131 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hồn Bài tốn 116 Cho hàm số q(x) xác định R −2 x+1 ω(x) = Ký hiệu ω2 (x) = ω(ω(x)), ; ω3 (x) = ω(ω(ω(x))) Tìm tất hàm số f : R \ {−1, −3, 1} → R cho f (ω3 (x)) = f (x), f (ω2 (x))) + f (ω(x)) + f (x) = q(x) ∀x ∈ / {−1; −3; 1} (3.43) Giải Nhận xét phương trình ω(x) = x khơng có nghiệm thực Từ tính chất hàm f (x), suy điều kiện cần để phương trình (11) có nghiệm q(ω(x)) = q(x), ∀x ∈ / {−1, −3, 1} (i) Giả sử điều kiện (i) thoả mãn Khi viết q(x) = [q(ω2 (x) + q(ω(x)) + q(x)] ∀x ∈ / {−1, −3, 1} (ii) Từ (ii) ta thấy f (x) = 13 q(x) nghiệm (11) Đặt f (x) = q(x) + g(x), ∀x ∈ / {−1, −3, 1} Khi viết (11) dạng g(ω2 (x))) + g(ω(x)) + g(x) = 0, ∀x ∈ / {−1, −3, 1} (iii) Ta chứng minh nghiệm (iii) có dạng g(x) = [2h(x) − h(ω2 (x)) − h(ω(x))], ∀x ∈ / {−1, −3, 1} (iv) với h(x) hàm tuỳ ý cho h(ω3 (x)) = h(x) Thật vậy, g(x) có dạng (iv) g(ω2 (x))) + g(ω(x)) + g(x) = [2h(ω2 (x)) − h(ω(x)) − h(x)] 1 + [2h(ω(x) − h(x) − h(ω2 (x))] + [2h(x) − h(ω2 (x))) − h(ω(x))], 3 ∀x ∈ / −1, −3, − , 132 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số Ngược lại, g(x) thoả mãn (iii) ta việc chọn h(x) = g(x) có công thức biểu diễn (iv) Kết luận Điều kiện cần để phương trình (11) có nghiệm q(ω(x)) = q(x), ∈ / {−1, −3, 1} Khi nghiệm (11) có dạng 1 f (x) = q(x) + [2h(x) − h(ω2 (x)) − h(ω(x))] 3 với h(x) hàm tuỳ ý cho h(ω3 )(x)) = h(x) Bài tốn 117 Cho h(x) hàm tuần hồn R chu kỳ a, a > Xác định tất hàm f (x) thoả mãn điều kiện f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (3.44) Giải Sử dụng đẳng thức h(x) = (x + a) − x (x + a)h(x + a) xh(x) h(x) = − a a a ta viết (12) dạng f (x + a) − f (x) = (x + a)h(x + a) xh(x) − a a (i) hay g(x + a) = g(x), g(x) = f (x) − xh(x) , a ∀x ∈ R Kết luận f (x) = g(x) + xh(x) , a g(x) hàm tuỳ ý cho g(x + a) − f (x) = g(x); ∀x ∈ R (ii) 133 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hồn Bài tốn 118 Cho h(x) hàm phản tuần hoàn R chu kỳ a, a > Xác định tất hàm f (x) thoả mãn điều kiện f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R (3.45) Giải Sử dụng tính phản tuần hồn h(x), ta có đẳng thức h(x + a) = −h(x), h(x) h(x + a) h(x) = − 2 −h(x + a) −h(x) = − , 2 ∀x ∈ R Vậy viết (13) dạng f (x + a) − f (x) = −h(x + a) −h(x) − , 2 ∀x ∈ R hay g(x + a = g(x), (i) g(x) = f (x) + h(x) f (x) = g(x) − h(x) Kết luận g(x) hàm tuỳ ý cho g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R Bài toán 119 Cho b = −1 h(x) hàm phản tuần hoàn R chu kỳ a, a > Xác định tất hàm f (x) thoả mãn điều kiện f (x + a) + bf (x) = h(x), ∀x ∈ R (3.46) Giải Trước hết, xét trường hợp b = Khi (14) có dạng f (x + a) + f (x) = h(x), ∀x ∈ R (i) 134 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số Sử dụng tính phản tuần hồn h(x), ta có đẳng thức h(x + a) = −h(x), −xh(x + a) (x − a)h(x) − h(x) = a a −xh(x + a) −(x − a)h(x) + = a a Vậy viết (i) dạng f (x + a) + f (x) = −xh(x + a) −(x − a)h(x) + , a a ∀x ∈ R hay g(x + a) = −g(x), g(x) = f (x) + (x − a)h(x) a f (x) = g(x) − (x − a)h(x) a Vậy với g(x) hàm tuỳ ý cho g(x + a) = −g(x), ∀x ∈ R Xét trường hợp b = Sử dụng tính tuần hồn h(x), ta có đẳng thức h(x + a) = −h(x), h(x + a) bh(x) −h(x) bh(x) h(x) = + = + , b−1 b−1 b−1 b−1 Vậy viết (14) dạng f (x + a) + bf (x) = h(x + a) bh(x) + b−1 b−1 hay g(x + a) = −bg(x), g(x) = f (x) − h(x) b−1 ∀x ∈ R 135 3.4 Phương trình lớp hàm tuần hồn Vậy f (x) = g(x) + h(x) , b−1 ∀x ∈ R g(x + a) = −bg(x), ∀x ∈ R x Đặt g(x) = |b| a q(x) vào (ii), ta q(x + a) = q(x), b < 0; q(x + a) = −q(x), b > Kết luận • Với b = f (x) = g(x) − (x − a)h(x) , a với g(x) hàm tuỳ ý cho g(x + a) = −g(x) ∀x ∈ R • Với b = f (x) = g(x) + x h(x) , với g(x) = |b| a q(x) b−1 q(x) hàm tuỳ ý cho q(x + a) = q(x), b < 0; q(x + a) = −q(x), b > 0, x ∈ R Bài tập Xác định hàm f (x) thoả mãn điều kiện f (5x) = f (x), ∀x ∈ R f (x)f (2x)f (3x) = x, ∀x ∈ R Cho a ∈ R Xác định f (x) thoả mãn điều kiện f (x + 5) = f (x), ∀x ∈ R af (x) + f (x + 3) + f (x + 4) = x2 + x + 1, ∀x ∈ R Cho a ∈ R Xác định f (x, y) thoả mãn điều kiện f (x + 2, y) ≡ f (x, y + 2) ≡ f (x, y), ∀x, y ∈ R (x, y) + f (x, y + 1) + f (x + 1, y) = x + y, ∀x, y ∈ R (ii) 136 Chương 3.Phương trình hàm với phép biến đổi đối số Xác định hàm f (x) liên tục tuần hoàn chu kỳ 2π (−∞, +∞) cho f (x) + sin xf (x + π) = sin2 x