Phương trình parabolic ngược thời gian

Luận văn

1 LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đinh Nho Hào và PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Nguyễn Văn Đức 2 MỤC LỤC Trang Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Một số ký hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1 Một số khái niệm và bổ đề cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a=1 31 1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a>1 41 1.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Chương 2 Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1 Các kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2 Hiệu chỉnh bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Chương 3 Các kết quả ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 3.2 Phương pháp nhuyễn và kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 3.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 Kết luận chung và kiến nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án121 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R: đường thẳng thực R n : không gian Euclid n-chiều C: mặt phẳng phức : phần thực của một số phức Ω: miền của không gian R n ∂Ω: biên của Ω ·,·: tích vô hướng trong không gian Hilbert H  · : chuẩn trong không gian Hilbert H C([a, b], H): tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên không gian Hilbert H C 1 ((a, b), H): tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên (a, b) và nhận giá trị trên không gian Hilbert H u t : đạo hàm của hàm u ∈ C 1 ((a, b), H) L p (Ω) = {u : Ω → R| u đo được Lebesgue, u L p (Ω) < +∞}  ·  p : chuẩn L p (R) F [f](ξ): biến đổi Fourier của hàm f được định nghĩa bởi F [f](ξ) =  f(ξ) = 1 √ 2π +∞  −∞ f(x)e −ixξ dx M ν,p (R) (1  p  ∞) là tập hợp các hàm nguyên dạng mũ ν khi giới hạn trên trục thực thuộc L p (R) E ν,p (f): xấp xỉ tốt nhất của f bởi các phần tử của M ν,p , tức là E ν,p (f) = inf g∈M ν,p f − g L p (R) MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, . Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong luận án này, chúng tôi đề cập tới phương trình parabolic ngược thời gian. Đó là bài toán cho phương trình parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng (đó là lý do tại sao bài toán này được gọi là ngược thời gian). 1.2. Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại ([31], [56], [67]), bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong Địa vật lý ([67]). Trong bài toán về nước ngầm, để xác định việc truyền tải của chất gây ô nhiễm tại một vùng nước ngầm người ta dùng phương trình khuếch tán - đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với đo đạc ở thời điểm hiện tại ([15]). Phương trình parabolic ngược thời gian cũng thường xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu ([90]), thủy động học ([15]), xử lý ảnh ([21], [60], [87]). Các bài toán này đã được nghiên cứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ cho một lớp phương trình đặc biệt; hơn thế nữa việc đề xuất các phương pháp số hữu hiệu để giải gần đúng các bài toán này luôn là những vấn đề thời sự. 1.3. Một cách hình thức các bài toán trên có thể mô tả như sau: giả sử Lu(x, t) là một toán tử (có thể phi tuyến) elliptic đều. Ở đây, x là biến 4 5 không gian, còn t là biến thời gian. Giả sử Q t = ∪ s∈[0,t] Ω(s), Ω(s) là các miền giới nội trong R n , t ∈ [0, T ]. Ta xét bài toán biên sau đây: u t = Lu(x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ Q T , u   t=0 = u 0 (x), x ∈ Ω 0 , Bu = g(ξ, t), (ξ, t) ∈ ∪ s∈[0,T ] ∂Ω(s) với B là toán tử điều kiện biên nào đó. Đây là Bài toán thuận thời gian. Trong thực tế, nhiều khi giá trị của u(x, t) tại thời điểm t = 0 không được biết, mà ta lại biết giá trị của nó tại t = T và ta phải xác định lời giải của bài toán khi t ∈ [0, T ), đặc biệt là giá trị của u(x, t) tại t = 0, tức giá trị ban đầu. Đây là Bài toán ngược thời gian và là chủ đề nghiên cứu của luận án này. 1.4. Các bài toán ngược kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard ([67], [99]). Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán. Nếu như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng Bài toán đặt không chỉnh. Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, nhiều bài toán thực tiễn của khoa học và công nghệ đã dẫn đến các bài toán đặt không chỉnh. Chính vì những lý do này mà từ đầu thập niên 50 của thế kỷ trước, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập tới bài toán đặt không chỉnh. Các nhà toán học A. N. Tikhonov, M. M. Lavrent’ev, F. John, C. Pucci, V. K. Ivanov là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Kể từ năm 1963, sau khi Tikhonov ([99]) đưa ra phương pháp chỉnh hóa các bài toán đặt không chỉnh nổi tiếng của ông, bài toán đặt không chỉnh và bài toán ngược đã trở thành một ngành riêng của vật lý toán và khoa học tính toán. Phương trình parabolic ngược thời gian vừa được kể trên không nằm ngoài trào lưu này. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là:"Phương trình parabolic ngược thời gian". 6 2. Mục đích nghiên cứu 2.1. Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt không chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta biết bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số hữu hiệu. Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh khi giải bài toán đặt không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian và điều kiện biên thuần nhất ([8]). Các đánh giá thường chỉ nhận được cho chuẩn L 2 , rất ít kết quả nhận được cho các chuẩn khác. Một trong những mục đích của luận án là tìm các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong chuẩn L p (p > 1) và cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời gian trong chuẩn L 2 . 2.2. Mục đích thứ hai của luận án là chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương. Để xấp xỉ một cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh, ta phải dùng các phương pháp chỉnh hóa. Các thuật toán chỉnh Tikhonov, lặp, hoặc phương pháp bài toán liên hợp ([18], [31], [41], [56], [74], [75]), . đã tỏ ra khá hữu hiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian. Tuy nhiên, các phương pháp này còn ít được áp dụng cho phương trình parabolic ngược thời gian tổng quát. Trong luận án này chúng tôi phát triển luận văn cao học của mình ([1], [2]) về việc sử dụng phương pháp chỉnh hóa bằng bài toán biên không địa phương cho phương trình parabolic. Ý tưởng chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán biên không địa phương cho phương trình parabolic được Vabishchevich ([103]) đề xuất vào năm 1981, sau đó vào năm 1985 Showalter ([93]) cũng đưa ra phương pháp tương tự; Clark và Oppenheimer ([23]) đã có một số cải tiến cho phương pháp này vào năm 1994. Trong luận văn cao học của mình, tác giả đã đưa ra một 7 số đánh giá tốt hơn cho phương pháp của các tác giả kể trên ([10], [23]) và chứng minh rằng phương pháp trên thực sự là một phương pháp hiệu chỉnh. Mục đích tiếp theo là mở rộng phương pháp cho các phương trình phức tạp hơn, đặc biệt là phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian. 2.3. Mục đích thứ ba của luận án là nghiên cứu về sơ đồ sai phân tiến ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian. Trong các bài báo ([29], [30], [37]), dựa trên phương pháp làm trơn của mình, Đinh Nho Hào đã đề xuất ra các sơ đồ sai phân tiến ổn định (trong chuẩn L p ) cho một số bài toán đặt không chỉnh. Áp dụng phương pháp này cho phương trình parabolic ngược thời gian là một điều khả thi và thú vị. Tính toán trên máy tính dựa theo sơ đồ sai phân tiến rất có hiệu quả, nên việc nghiên cứu chúng cho các bài toán đặt không chỉnh là cần thiết. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu về các đánh giá ổn định và chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian và cả hệ số phụ thuộc thời gian. Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert (L 2 ) và trong không gian Banach (L p , p > 1). 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp lồi logarithm, phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương và phương pháp làm nhuyễn do Đinh Nho Hào đề xướng. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời gian. Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng vào các bài toán truyền nhiệt, đồng hóa số liệu, xử lý ảnh, . 8 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1. Bài toán đặt không chỉnh. Để tiện lợi cho các thảo luận về sau, trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đánh giá ổn định và chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [3]). Giả sử ta cần giải phương trình Au = f với A là toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến) từ không gian hàm X vào không gian hàm Y nào đó, còn f là dữ kiện đã cho thuộc không gian Y . Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với dữ kiện f nào bài toán cũng có nghiệm và thường là khi nghiệm của bài toán tồn tại (theo một nghĩa nào đó), thì lời giải này không phụ thuộc liên tục (theo một metric nào đó) vào dữ kiện f. Do tính không ổn định này của bài toán nên việc giải số nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số lớn bất kỳ trong lời giải. Mục đích của lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là đưa ra các phương pháp số hữu hiệu để giải các bài toán này một cách ổn định. Để đạt được mục đích đó trước hết phải nghiên cứu về tính ổn định có điều kiện của bài toán, nghĩa là chỉ ra một lớp M nào đó của không gian X để lời giải của bài toán thuộc lớp này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán. Các đánh giá này không chỉ nói lên tính chất định tính của bài toán mà còn giúp ta trong việc phát triển các phương pháp số để giải bài toán và đánh giá sai số của phương pháp. Để đơn giản, ta giả thiết rằng X và Y là các không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng là  ·  X và  ·  Y . Giả sử rằng, nếu ta chọn được một tập hợp M và biết được nếu u ∈ M thì nó sẽ phụ thuộc liên tục vào f, nghĩa là, tồn tại một hàm ω một biến thực, liên tục, với ω(0) = 0, sao cho u X  ω(f Y ). Đánh giá này được gọi là đánh giá ổn định ([14]) và trong trường hợp này, bài toán được gọi là ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa 9 Tikhonov ([56]) (Tikhonov là người đầu tiên đưa ra nhận xét này vào năm 1943 ([98])). Tập M thường là những tập mà ở đó lời giải của bài toán có ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như đó là tập mà ở đó lời giải bị chặn (nhiệt độ hoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì giới nội, .), hoặc đó là một tập lồi, tập các hàm không âm, tập các hàm đơn điệu, . Nếu ω(t) = ct α với α > 0 nào đó, thì ta có đánh giá ổn định kiểu H¨older và ta có một "bài toán tốt". Nếu ω là một hàm dạng logarithm thì ta có đánh giá ổn định kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu". Còn nếu ta không có một đánh giá nào về tốc độ tiến tới 0 của ω(t) khi t → 0 thì ta có một "bài toán rất xấu". Giả sử với toán tử A và các không gian định chuẩn (X, ·  X ) và (Y, ·  Y ) vừa đề cập ở trên, bài toán giải phương trình Au = f là một bài toán đặt không chỉnh. Ngoài ra, giả sử rằng, với vế phải chính xác ¯ f, tồn tại một nghiệm duy nhất; nghĩa là tồn tại duy nhất ¯u sao cho A¯u = ¯ f. Trên thực tế ¯ f không được biết, mà ta chỉ biết phần tử f δ và số dương δ sao cho f δ − ¯ f Y  δ. Yêu cầu đặt ra là xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình – phần tử u δ sao cho u δ → ¯u khi δ → 0. Vì bài toán đặt không chỉnh, chúng ta không thể sử dụng toán tử ngược A −1 , nghĩa là, không thể chọn u δ = A −1 f δ . Bởi vì toán tử ngược này có thể không xác định tại f δ và cũng có thể không liên tục trên Y . Do đó muốn xây dựng nghiệm xấp xỉ u δ , ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Sau đây, chúng tôi nhắc lại khái niệm chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [27], [41], [67]). Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, bị chặn với mỗi α > 0, tác động từ Y vào X được gọi là chỉnh hóa cho phương trình Au = f (đối với phần tử ¯ f), nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn 1) Tồn tại hai số dương δ 1 và α 1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α 1 ) và với mọi f ∈ Y : f − ¯ f Y  δ, δ ∈ (0, δ 1 ); 2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε)  δ 1 thỏa mãn: với mọi f ∈ Y , f − ¯ f Y  δ kéo theo bất đẳng 10 thức R(f, α) − ¯u X  ε. Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi là cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta gọi là cách chọn hậu nghiệm. 7.2. Tổng quan về phương trình parabolic ngược thời gian Một trong những công trình đầu tiên nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời gian là công trình của John ([58]) công bố năm 1955. Trong [58], John đã đề xuất một phương pháp số để giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, chứng minh phương pháp đó ổn định trên tập các hàm số dương bị chặn. Krein là người đầu tiên sử dụng phương pháp lồi logarithm để thu được các đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số hằng số và hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert trong công trình [63] xuất bản năm 1957. Tiếp theo đó các kết quả về tính duy nhất ngược cũng xuất hiện ([64], [68]). Ngoài ra, trong công trình [64], Krein đã đưa ra đánh giá cận dưới của nghiệm. Kết quả này kéo theo tính duy nhất ngược của nghiệm phương trình parabolic trong không gian Banach L p (p > 1). Từ những công trình đầu tiên vừa đề cập ở trên, cho đến nay, hàng loạt công trình có giá trị nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời gian đã được công bố. Các công trình này bao gồm: 1) Tính duy nhất ngược (backward uniqueness): [5], [7], [61], [62], [64], [68], [83], [91]. 2) Đánh giá ổn định: [5], [6], [19], [22], [31], [33], [36], [29], [56], [63], [67], [89]. 3) Phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số ổn định và hữu hiệu:[4], [10], [12], [16], [17], [23], [29], [32], [33], [35], [36], [42], [45], [46], [47], [51], [53], [58], [66], [67], [76], [78], [79], [92], [95]. Nghiên cứu về tính duy nhất ngược nhằm trả lời cho câu hỏi: "Khi nào nghiệm của phương trình parabolic với thời điểm cuối đã biết được xác định duy nhất?" Chẳng hạn, tính duy nhất ngược cho nghiệm của phương