Chương 3 đã giải quyết được các vấn đề sau:
- Chứng minh các đánh giá ổn định dạng H¨older và hiệu chỉnh phương trình truyền nhiệt ngược thời gian trong không gian Banach Lp(R), p ∈
(1; +∞)với tốc độ hội tụ như đã đạt được trong không gian HilbertL2(R). -Khi xét phương trình trong không gian Hilbert L2(R), các đánh giá ổn định dạng H¨older đạt được không chỉ cho nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian mà còn cho tất cả đạo hàm đối với x và t
của nghiệm.
- Đưa ra sơ đồ sai phân tiến ổn định không điều kiện và các ví dụ số để minh họa cho phần lý thuyết.
0 0.5 1 −10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution to the direct problem
x u(x,t) (a) 0 0.5 1 −10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution of the inverse problem using Fourier transform
x u(x,t) (b) 0 0.5 1 −10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution of the inverse problem using the marching scheme
x
u(x,t)
(c)
Hình 3.3: Ví dụ 2: a) Nghiệm chính xác, b) Nghiệm xấp xỉ bởi công thức (3.34), c) Nghiệm xấp xỉ bởi hệ sai phân; Mức nhiễu ε= 0.1.
−20 −10 0 10 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x φ (x)
Noisy data and its mollification Input data of noise level of 0.1 Mollified using Dirichlet kernel
(a) −15 −10 −5 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x ψ (x)
Reconstruction of the initial condition Exact
Marching scheme Fourier transform
(b)
Hình 3.4: Ví dụ 2: a) Dữ kiện vào tại thời điểm cuối với mức nhiễu ε= 0.1 và dữ kiện sau khi đã làm nhuyễn, b) Nghiệm xấp xỉ tạit = 0.
0 0.5 1 −10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution to the direct problem
x u(x,t) (a) 0 0.5 1 −10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution of the inverse problem using Fourier transform
x u(x,t) (b) 0 0.5 1 −10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution of the inverse problem using the marching scheme
x
u(x,t)
(c)
Hình 3.5: Ví dụ 3: a) Nghiệm chính xác, b) Nghiệm xấp xỉ bởi công thức (3.34), c) Nghiệm xấp xỉ bởi hệ sai phân; Mức nhiễu ε= 0.1.
−20 −10 0 10 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x φ (x)
Noisy data and its mollification Input data of noise level of 0.1 Mollified using Dirichlet kernel
(a) −15 −10 −5 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x ψ (x)
Reconstruction of the initial condition Exact
Marching scheme Fourier transform (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(b)
Hình 3.6: Ví dụ 3: a) Dữ kiện vào tại thời điểm cuối với mức nhiễu ε= 0.1 và dữ kiện sau khi đã làm nhuyễn, b) Nghiệm xấp xỉ tạit = 0.
0 0.5 −40 −20 0 20 40 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution to the direct problem
x u(x,t) (a) 0 0.5 −40 −20 0 20 40 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution of the inverse problem using the marching scheme
x
u(x,t)
(b)
Hình 3.7:Ví dụ 4: a) Nghiệm chính xác, b) Nghiệm xấp xỉ bởi hệ sai phân; Mức nhiễu
ε= 0.01. −50 0 50 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 x φ (x)
Noisy data and its mollification Input data of noise level of 0.01 Mollified using Dirichlet kernel
(a) −40 −20 0 20 40 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 x ψ (x)
Reconstruction of the initial condition Exact
Marching scheme
(b)
Hình 3.8: Ví dụ 4: a) Dữ kiện vào tại thời điểm cuối với mức nhiễu ε = 0.01 và dữ kiện sau khi đã làm nhuyễn, b) Nghiệm xấp xỉ tại t= 0.
0 0.5 −40 −20 0 20 40 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution to the direct problem
x u(x,t) (a) 0 0.5 −40 −20 0 20 40 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t Solution of the inverse problem using the marching scheme
x
u(x,t)
(b)
Hình 3.9:Ví dụ 4: a) Nghiệm chính xác, b) Nghiệm xấp xỉ bởi hệ sai phân; Mức nhiễu
ε= 0.1. −50 0 50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x φ (x)
Noisy data and its mollification Input data of noise level of 0.1 Mollified using Dirichlet kernel
(a) −40 −20 0 20 40 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 x ψ (x)
Reconstruction of the initial condition Exact
Marching scheme
(b)
Hình 3.10: Ví dụ 4: a) Dữ kiện vào tại thời điểm cuối với mức nhiễu ε = 0.1 và dữ kiện đã làm nhuyễn, b) Nghiệm xấp xỉ tại t= 0.
I. Kết luận chung
Luận án nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời gian, các đánh giá ổn định và phương pháp hiệu chỉnh đã được nghiên cứu trong cả không gian Hilbert và không gian Banach. Luận án nghiên cứu cả hai trường hợp hệ số của phương trình không phụ thuộc thời gian và phụ thuộc thời gian. Kết quả chính của luận án là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1. Với phương trình parabolic ngược thời gian có hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert, luật chọn tham số tiên nghiệm và hậu nghiệm cho phương pháp chỉnh hóa bằng bài toán giá trị biên không địa phương đã được đề xuất dẫn đến đánh giá sai số có bậc tối ưu. Phương pháp được thử nghiệm trên máy tính cho thấy rằng nó rất ổn định và hữu hiệu.
2. Đưa ra kết quả đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert. Kết quả đánh giá ổn định tốt hơn các kết quả của Agmon và Nirenberg. Các luật chọn tham số tiên nghiệm và hậu nghiệm cho phương pháp chỉnh hóa bằng phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương được đề xuất dẫn đến các đánh giá sai số dạng H¨older. Đây là kết quả đầu tiên cho phương pháp chỉnh phương trình parabolic ngược thời gian có hệ số phụ thuộc thời gian có đánh giá sai số dạng H¨older.
3. Đưa ra các kết quả đánh giá ổn định và chỉnh hóa phương trình truyền nhiệt ngược thời gian trong không gian Lp(R), p ∈ (1,+∞). Các đánh giá thu được có dạng H¨older và có cùng bậc như các kết quả đã đạt được trong không gian Hilbert. Trong trường hợp p = 2, các đánh giá ổn định dạng H¨older cho tất cả đạo hàm đối với x và t của nghiệm cũng đạt được.
Các kết quả số cũng được đưa ra để minh họa cho phần lý thuyết. II. Kiến nghị
Trong thời gian tới chúng tôi sẽ nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Tiếp tục nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Banach.
1. Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and H Sahli (2008), "A non-local boundary value problem method for parabolic equations backwards in time", Journal of Mathematical Analysis and Applications, No. 345, pp. 805-815.
2. Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2009), "Stability results for the heat equation backward in time",Journal of Mathematical Analysis and Applications , No. 353, pp. 627-641.
3. Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and D Lesnic (2009), "A non-local boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations", Inverse Problems, Vol. 8, No. 25, 055002, 27 pp.
4. Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and D Lesnic (2010), " Regulariza- tion of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method",IMA Journal of Applied Mathematics, No. 75, pp. 291-315.
5. Dinh Nho Hao and Nguyen Van Duc (2011), "Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients", In- verse Problems, Vol. 27, No. 2, 025003, 20 pp.
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Đức (2006),Về một lớp phương trình parabolic ngược thời gian, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh, Nghệ An. [2] Nguyễn Văn Đức (2006) , "Về một phương pháp chỉnh cho phương
trình parabolic ngược thời gian",Tạp chí Khoa học Đại học Vinh, 35(2A), tr. 49-54.
[3] Phạm Minh Hiền (2007), Bài toán Cauchy cho một số phương trình elliptic cấp hai, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội.
Tiếng nước ngoài
[4] Abdulkerimov L. Sh. (1977), "Regularization of an ill-posed Cauchy problem for evolution equations in a Banach space", Azer- baidzan. Gos. Univ. Ucen. Zap., no. 1, Fiz. i Mat., pp.32–36. MR0492645.(Russian)
[5] Agmon S. and Nirenberg L. (1963), "Properties of solutions of ordi- nary differential equations in Banach spaces", Comm. Pure Appl. Math., 16, pp.121–239.
[6] Agmon S. (1966), Unicité et convexité dans les problèmes dif- férentiels, Les presses de l’ université de Montréal, 152pp.
[7] Agmon S. and Nirenberg L. (1967), "Lower bounds and uniqueness theorems for solutions of differential equations in a Hilbert space",
Comm. Pure Appl. Math., 20, pp.207 –229. 122
[8] Alifanov O. M. (1994),Inverse Heat Transter Problems, Springer. [9] Ames K. A. and Stranghan B. (1997), Non-standard and Improp- erly Posed Problems, Mathematics in Science and Engineering, Vol. 194, Academic Press.
[10] Ames K. A. , Clark G. W. , Epperson J. F. , and Oppenheimer S. F. (1998), "A comparison of regularizations for an ill-posed problem",
Math. Comput., 224, pp. 1451–1471.
[11] Ames K. A. and Hughes R. J. (2005), "Structural stability for ill- posed problems in Banach spaces",Semigroup Forum,70, pp.127– 145.
[12] Áng D. D. (1985), "Stabilized approximate solutions of the inverse time problem for a parabolic evolution equation", J. Math. Anal. Appl., Vol. 111, No. 1, pp.148–155.
[13] Barenblatt G. I. , Bertsch M. Passo R. D. and Ughi M. (1993), "A degenerate pseudoparabolic regularization of a nonlinear forward- backward heat equation arising in the theory of heat and mass exchange in stably stratified turbulent shear flow",SIAM J. Math. Anal., 24, pp.1414–1439.
[14] Baumeister J. (1987),Stable Solution of Inverse Problems, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig.
[15] Bear J. (1972), Dynamics of Fluids in Porous Media, Elsevier, New York.
[16] Boussetila N. and Rebbani F. (2006),"Optimal regularization method for ill-posed Cauchy problems," Electron. J. Differential Equations, 147, pp.1–15. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[17] Buzbee B. L. and Carasso A. (1973), "On the numberical computa- tion of parabolic problems for preceding times", Math. Comput.,
27, No. 122, pp. 237-266.
[18] Cannon J. R. (1984), "The One-Dimensional Heat Equation. Read- ing", M.A: Addison- Wesley.
[19] Carasso A. S. (1976), "Error bounds in the final value problem for the heat equation", SIAM J. Math. Anal., Vol. 7, No. 2, pp. 195-199.
[20] Carasso A. S. (1977), "Computing small solutions of Burgers’ equa- tion backwards in time", J. Math. Anal. Appl., 59, pp. 169-209. [21] Carasso A. S. (1997), "Error bounds in nonsmooth image deblur-
ring", SIAM J. Math. Anal., 28, pp. 656-668.
[22] Carasso A. S. (1999), "Logarithmic convexity and the "slow evo- lution" constraint in ill-posed initial value problems", SIAM J. Math. Anal., 30, No. 3, pp. 479-496.
[23] Clark G. W. and Oppenheimer S. F. (1994), "Quasireversiblity methods for non-well-posed problems", Electron. J. Differential Equations, 8, pp.1–9.
[24] Cohen P. J. and Lees M. (1961), "Asymptotic decay of solutions of differential inequalities", Pacific Math. J., 11, pp.1235–1249. [25] Crooke P. S. and Payne L. E. (1984), "Continuous dependence on
geometry for the backward heat equation", Math. Meth. in the Appl. Sci., 6, pp. 433-448.
[26] Denche S. M. and Bessila K. (2005), "A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems", J. Math. Anal. Appl.,301, pp.419–426.
[27] Denisov A. M. (1999), Elements of the Theory of Inverse Prob- lems, Inverse and Ill-Posed Problems Series, Walter De Gruyter. [28] Dinh Nho Hào (1990), "Notes on the Benjamin-Bona-Mahony
Equation", Appl. Anal., 35, pp.221–246.
[29] Dinh Nho Hào (1994), "A mollification method for ill-posed prob- lems", Numer. Math., 68, pp.469–506.
[30] Dinh Nho Hào (1996), "A mollification method for a noncharacter- istic Cauchy problem for a parabolic equation", J. Math. Anal. Appl., 199, pp.873–909.
[31] Dinh Nho Hào (1998), Methods for Inverse Heat Conduction Problems, Peter Lang, New York.
[32] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and Sahli H. (2008), "A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time", J. Math. Anal. Appl., No. 345, pp. 805–815.
[33] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2009), "Stability results for the heat equation backward in time", J. Math. Anal. Appl., No. 353, pp. 627-641.
[34] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and Lesnic D. (2009), "A non- local boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations", Inverse Problems, 25, 055002, 27pp.
[35] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and Lesnic D . (2010), "Regu- larization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method", IMA J. Appl. Math., No. 75, pp 291-315.
[36] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2011), "Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients",
[37] Dinh Nho Hào, Pham Minh Hien and Sahli H. (2007), "Stability results for a Cauchy problem for an elliptic equation", Inverse Problems, 23, pp.421–461.
[38] Dinh Nho Hào, Reinhardt H. -J. and Seiffarth F. (1994), "Sta- ble fractional numerical differentiation by mollification", Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 15, pp. 635–659.
[39] Eldén L. (1982), "Time discretization in the backward solution of parabolic equations I", Math. Comput., Vol.39, No. 159, pp.53– 68.
[40] Eldén L. (1982), "Time discretization in the backward solution of parabolic equations II", Math. Comput., Vol.39, No. 159, pp.69– 84.
[41] Engl H. W., Hanke M. and Neubauer A. (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht.
[42] Ewing R. E. (1975), "The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations", SIAM J. Math.Anal., 6, pp.283–294.
[43] Franklin J. N. (1974), "On Tikhonov’s method for ill-posed prob- lems", Math. Comput., Vol 28, No.128, pp.889–907.
[44] Friedman A. (1969), Partial Differential Equations, Holt, Rine- hart and Winston, New York.
[45] Gajewski H. and Zacharias K. (1972), "Zur Ruguliarisierung einer nichtkorrekter Probleme bei Evolutionsgleichungen", J. Math. Anal. Appl., 38, pp.784–789. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[46] Han H., Ingham D. B. and Yuan Y. (1995), "The boundary element method for the solution of the backward heat conduction equation",
[47] Hasanov A. and Mueller J. L. (2001), "A numerical method for backward parabolic problems with non-selfadjoint elliptic opera- tors", Appl. Numer. Math., 37, pp.55–78.
[48] Hetrick B. M. C. and Hughes R. J. (2007), "Continuous dependence results for inhomogeneous ill-posed problems in Banach space", J. Math. Anal. Appl., 331, pp.342–357.
[49] Hetrick B. M. C. and Hughes R. J. (2009), "Continuous dependence on modeling for nonlinear ill-posed problems", J. Math. Anal. Appl., 349, pp.420–435.
[50] H¨ollig K. (1983), "Existence infinitely many solution for a forward backward heat equation",Trans. Amer. Math. Soc., 278, pp.299– 316.
[51] H¨ohn W. (1982), "Finite elements for parabolic equations back- wards in time", Numer. Math., 40, pp.207–227.
[52] Huang Y. and Quan Z., (2004), "Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semi- groups", J. Differential Equations, 203, pp.38–54.
[53] Huang Y. and Quan Z. (2005), "Regularization for a class of ill- posed Cauchy problem", Proc. Amer. Math. Soc., 133, pp.3005– 3012.
[54] Huang Y. (2008), "Modified quasi-reversibility method for final value problems in Banach spaces", J. Math. Anal. Appl., 340, pp.757-769.
[55] Huang Y. and Quan Z. ,(2006) "Weak regularization for a class of ill-posed cauchy problems", Acta Math. Sci., 26B(3), pp.483-490. [56] Isakov V. (1998),Inverse Problems for Partial Differential Equa-
[57] Ivanov V. K., Mel’nikova I. V., and Filinkov A. I. (1995), "Operator- Differential Equations and Ill-Posed Problems"Fizmatlit “Nauka”, Moscow, (Russian).
[58] John F. (1955), "Numerical solution of the equation of heat conduc- tion for preceeding times", Ann. Mat. Pura. Appl. , 40, pp.129- 142.
[59] Kichenassamy S. (1997), "The Perona-Malik paradox", SIAM J. Appl. Math. ,57, pp. 1328-1342.
[60] Koenderink J. J. (1984), "The structures of images", Biol. Cyber- net, 50, pp. 363-370.
[61] Kukavica I. (2003), "Backward uniqueness for solutions of linear parabolic equations", Proc. Amer. Math. Soc., 132, No.6, pp. 1755–1760.
[62] Kukavica I. (2007), "Log–log convexity and backward uniqueness",
Proc. Amer. Math. Soc., 135, No. 8, pp. 2415–2421.
[63] Krein S. G. (1957), "On correctness classes for certain boundary problems", (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), 114, pp. 1162–1165.
[64] Krein S. G. and Prozorovskaya O. I. (1960), " Analytic semi- groups and incorrect problems for evolutionary equations", (Rus- sian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 133, pp. 277–280, Translated as
Soviet Math. Dokl., 1, pp. 841–844.
[65] Krein S. G. (1971), Linear Differential Equations in Banach Space, Translated from the Russian by J. M. Danskin. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 29. American Mathematical So- ciety, Providence, R.I., v+390 pp.
[66] Lattes R. and Lions J.-L. (1967), "Méthode de Quasi-Réversibilité et Applications",Dunod, Paris, (English translation R.Bellman, Elsevier, New York, 1969).
[67] Lavrent’ev M. M. , Romanov V. G. and Shishat-skii S. P. (1986),
Ill-Posed Problems of Mathematical Physics, Amer. Math. Soc. Providence. Rhode Island.
[68] Lions J.-L. and Malgrange B. (1960), "Sur l’unicité rétrograde dans les problèmes mixtes paraboliques", Math. Scand., 8, pp 277–286. [69] Long N.-T. and Dinh A. P. N. (1994), "Approximation of a parabolic non-linear evolution equation backward in time",Inverse Problems, 10, pp 905–914.
[70] Long N.-T. and Dinh A. P. N. (1996), "Note on a regularization of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time",Inverse Problems, Vol. 12, No. 4, pp 455–462.
[71] Lundvall J. Kozlov V. and Weinerfelt P. (2006), "Iterative meth- ods for data assimilation for Burgers’ equation", J. Inve. Ill-posed Problems, Vol. 14, No. 5, pp 505–535.
[72] Manselli P., Miller K. (1980), "Dimensionality reduction meth- ods for efficient numerical solution, backward in time, of parabolic equations with variable coeffcients", SIAM J. Math. Anal., Vol. 11, No. 1, pp.147-159.
[73] Manselli P., Miller K. (1980), "Calculation of the surface tempera- ture and heat flux on one side of a wall from measurements on the opposite side", Ann. Mat. Pure Appl. (4) 123, pp.161-183. [74] Marchuk G. I. (1986), Mathematical Models in Environmental
[75] Marchuk G. I. (1992), Adjoint Equations and Analysis of Com- plex Systems, Nauka, Moscow . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[76] Mel’nikova I. V. (1992), "Regularization of ill-posed differential problems", Siberian Math. J., 33, pp.289–298.
[77] Melnikova I. V. and Filinkov A. (2001), Abstract Cauchy prob- lems: Three Approaches.Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL. [78] Mera N. S., Elliott L., Ingham D. B., and Lesnic D. (2001), "An iterative boundary element method for solving the one-dimensional backward heat conduction problem" ,Int. J. Heat Mass Transfer, 44, pp.1937–1946.
[79] Miller K. (1973), "Stabilized quasireversibility and other nearly best possible methods for non-well-posed problems", Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity, Lec- ture Notes in Mathematics, Vol.316, Springer-Verlag, Berlin, pp.161–176.
[80] Miranker W. E. (1961), "A well-posed problem for the backward heat equation", Proc. Amer. Math. Soc., 12, pp.243–247.
[81] Murio D. (1993), The Mollification Method and the Numerical Solution of Ill-Posed Problems, Wiley, New York.
[82] Nikol’skii S. M. (1975), Approximation of Functions of Sev- eral Variables and Imbedding Theorems, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg-New York .
[83] Ogawa H. (1965), "Lower bounds for solutions of differential in- equalities", Proc. Amer. Math. Soc., 16, No.6, pp.1241-1243. [84] Payne L. E. (1975), Improperly Posed Problems in Partial Dif-
[85] Padrón V. (1990), Sobolev regularization of some nonlinear ill- posed problems, PhD thesis. University of Minnensota, Minneapo- lis.
[86] Padrón V. (1998), "Sobolev regularization of a nonlinear ill-posed parabolic problem as a model for aggregating populations", Com- mun. Partial Differential Equations, 23(3,4), pp.457–486.
[87] Perona P. and Malik J. (1990), "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion",IEEE Trans. Pat. Anal. Mach. Inte.,
12, pp.629-639.
[88] Piskarev S. I. (1988) , "Estimates of the rate of convergence in solving ill-posed problems for evolution equations", Math. USSR. Izvestiya., Vol. 30, No. 3., pp.639–651.
[89] Ponomarev S. M. (1986), "On an ill-posed problem in nonlinear wave theory", Soviet. Math. Dokl., 33, pp.621–624.
[90] Renardy M. , Hursa W. J. , Nohel J. A. (1987), Mathematical Problems in Viscoelasticity, Wiley, New York.
[91] Santo D. D. and Prizzi M. (2005), "Backward uniqueness for