Phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian không địa phương cho bậc hội tụ tối ưu

Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương

Để có được đánh giá ổn định kiểu logarithm và kiểu H¨older tại t= 0 ta cần phải có các giả thiết mạnh hơn về lời giải tại t= 0, chẳng hạn như.

Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương

Do đó, trong trường hợp đầu tiên, phương pháp của chúng tôi có bậc tối ưu. Do đó, trong trường hợp này phương pháp của chúng tôi cũng có bậc tối ưu. Do đó, kết quả của phần (i) có ý nghĩa riêng và cho ta tốc độ hội tụ của phương pháp Vabishchevich (với cách chọn tham số hậu nghiệm (1.35)) đã được đề cập ở trên.

(a) Trong trường hợp thứ nhất và thứ hai, phương pháp của chúng tôi có bậc tối ưu. (1.36) Chú ý rằng (1.36) là đánh giá ổn định quen thuộc cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian. Khẳng định của bổ đề nhận được một cách trực tiếp từ bất đẳng thức trên, Bổ đề 1.3.7, và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ số

Khi tớnh toỏn ta nhận thấy độ chính xác của các kết quả số không được cải thiện đáng kể khi lưới được rời rạc hóa mịn hơn. Với biểu thức chính xác này ta có thể so sánh nó với nghiệm số để đánh giá độ tin cậy và sự ổn định của các kết quả số. Như chúng ta có thể quan sát từ hình 1, quá trình lựa chọn này đưa ra.

Từ hình này có thể thấy rằng nghiệm số là chính xác và ổn định. Từ hình này có thể thấy rằng khi mức nhiễu p giảm, nghiệm số trở nên chính xác hơn. Ta cũng nhận thấy rằng đỉnh của hàm có hình tam giác (1.69) được xấp xỉ khá tốt, mặc dù tại đó hàm không khả vi theo nghĩa cổ điển.

Các kết quả ổn định

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian ẵ. Chúng tôi nhận được đánh giá ổn định kiểu H¨older tốt hơn các kết quả của Agmon và Nirenberg ([5]). Chúng tôi dùng phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương để hiệu chỉnh bài toán và đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm, hậu nghiệm với các đánh giá sai số dạng H¨older.

Đây là kết quả đầu tiên khi phương pháp hiệu chỉnh cho đánh giá sai số với phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian. Chương này tổng hợp các kết quả được chúng tôi công bố trên tạp chí Inverse Problems ([36]). Giả thiết này được biểu diễn bằng một điều kiện đơn giản: nếu u(t) là nghiệm của phương trình.

Do đó, kết quả đánh giá ổn định của Agmon và Nirenberg không tốt hơn kết quả trong trường hợp hệ số không phụ thuộc thời gian. Tuy nhiên, trong luận án này chúng tôi chỉ tập trung vào các toán tử tự liên hợp. Như vậy, khác với trường hợp toán tử không phụ thuộc thời gian, khi đánh giá ổn định chỉ đạt bậc tối ưu là ku(T)kTt, trong trường hợp toán tử phụ thuộc thời gian đánh giá này có thể tốt hơn.

Hiệu chỉnh bài toán

(2.40) Thật vậy, ký hiệu eu(t) là nghiệm của phương trình parabolic thuận thời. Bây giờ, ta chứng minh rằng. Vì vậy, ta kết luận được lim. Phần b) đã được chứng minh. Ta chứng minh phần a). Vì vậy, ta kết luận rằng ρ là một hàm liên tục. Phần a) đã được chứng minh. Tiếp theo, ta chứng minh phần d). Vì vậy, ρ là một hàm tăng ngặt. Phần d) đã được chứng minh.

Các ví dụ

Chú ý rằng nghiệm u của bài toán vừa đề cập ở trên thỏa mãn m −m điều kiện biên tự nhiên (xem [94, p. Lập luận của chúng tôi dựa trên bất đẳng thức G˚arding cho toán tử elliptic: tồn tại một hằng số λ > 0 sao cho. (2.66) Chúng tôi xem xét tách riêng phương trình parabolic bậc hai và bậc 2m (m > 1) vì chúng đòi hỏi các điều kiện khác nhau về độ trơn của hệ số của phương trình.

Phương pháp nhuyễn và các kết quả ổn định

Bằng cách làm nhuyễn dữ kiện bởi tích chập với nhân de la Vallée Poussin, trong [29] tác giả đã chứng minh rằng với p ∈ (1,∞]. Để có sự phụ thuộc liên tục của nghiệm tại t = 0 vào dữ kiện ϕ, chúng tôi giả sử rằng ngoài điều kiện trong Định lý 3.2.1, tồn tại các hằng số dương hữu hạn E˜, γ sao cho. Nhận xét 3.2.5 có một hệ quả rất thú vị cho phương pháp chọn các tham số nhuyễn.

Hơn nữa, nếu tồn tại các hằng số dương E˜, γ, có thể không được biết cụ thể, sao cho. Bây giờ chúng tôi chứng tỏ rằng với p = 2 chúng tôi có thể đạt được đánh giá ổn định kiểu H¨older không chỉ cho nghiệm của bài toán (3.1)–. Các đánh giá đó, như đã đề cập trong phần giới thiệu, rất hiếm gặp trong lý thuyết của các bài toán đặt không chỉnh.

Từ bất đẳng thức tam giác và định lý này ta thu được các đánh giá ổn định cho tất cả các đạo hàm đối vớix và t của hai nghiệm của bài toán (3.1)–(3.2). Hơn nữa, vì các đánh giá đó là đúng cho tất cả đạo hàm đối với x, theo định lý nhúng Sobolev, ta có đánh giá ổn định với bậc tương tự trong chuẩn L∞(R). Tuy nhiên, cách chọn này nhìn chung không thực tế vì nó đòi hỏi Es và s được biết cụ thể.

Tương tự như Định lý 3.2.7, trong phần tới chúng tôi chứng tỏ rằng ta có thể. Hơn nữa, nếu tồn tại các hằng số dương s và Es có thể không được biết cụ thể sao cho. Như trong Nhận xét 3.2.9, trong định lý này, chúng ta cũng đạt được đánh giá sai số trong chuẩn L∞(R) của phương pháp nhuyễn.

Định lý này và Định lý 3.2.7 cung cấp một đánh giá sai số kiểu H¨older không chỉ cho nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian mà còn cho tất cả đạo hàm đối với x và t.

Sơ đồ sai phân tiến ổn định

Khẳng định đầu của định lý được suy trực tiếp từ phép khai triển Taylor.

Ví dụ số

Bài toán với dữ kiện bị nhiễu này sẽ được giải bằng các phương pháp đã đề xuất ở trên và so sánh với nghiệm của bài toán (3.35)–(3.36) để chứng tỏ độ tin cậy và sự ổn định của các phương pháp. Chú ý rằng, trong các ví dụ này, chúng tôi lấy T = 1, vì trong các thử nghiệm số khác nhau, nếu T nhỏ, kết quả số tốt hơn nhiều. Các kết quả cho ta thấy rằng, các phương pháp của chúng tôi rất ổn định và hữu hiệu.

Noisy data and its mollification Input data of noise level of 0.1 Mollified using Dirichlet kernel.