MÖC LÖCTrang MÖC LÖC.. Trong Luªn v«n n y, chóng tæi · cªptîi ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian.B i to¡n kº tr¶n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a Hadamard.. T
Trang 1MÖC LÖC
Trang
MÖC LÖC 1
LÍI NÂI U 2
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc bê trñ 5
1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n .5
1.2 ¤o h m Frechet 6
1.3 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert 13
Ch÷ìng 2 Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov 18 2.1 Giîi thi»u b i to¡n 18
2.2 ¡nh gi¡ ên ành 19
2.3 Ch¿nh hâa b i to¡n 20
KT LUN 29
TI LIU THAM KHO 30
Trang 2B i to¡n ng÷ñc cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng xuy¶n xu§thi»n trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa cæng ngh», àa vªt lþ, thõy ënghåc, y håc, xû lþ £nh, â l nhúng b i to¡n khi c¡c dú ki»n cõa qu¡tr¼nh vªt lþ khæng o ¤c ÷ñc trüc ti¸p m ta ph£i x¡c ành chóng tønhúng dú ki»n o ¤c gi¡n ti¸p Trong Luªn v«n n y, chóng tæi · cªptîi ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian.
B i to¡n kº tr¶n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a Hadamard Mët b i to¡n
÷ñc gåi l °t ch¿nh n¸u nâ thäa m¢n ba i·u ki»n a) nâ câ nghi»m,b) nghi»m duy nh§t, c) nghi»m phö thuëc li¶n töc (theo mët tæpæ n o
â) theo dú ki»n cõa b i to¡n N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n n ykhæng thäa m¢n th¼ ta nâi r¬ng b i to¡n °t khæng ch¿nh
T½nh °t khæng ch¿nh cõa b i to¡n tr¶n l m cho vi»c t¼m líi gi£ig°p nhi·u khâ kh«n º x§p x¿ mët c¡ch ên ành tîi nghi»m cõa b ito¡n, ta c¦n · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Trong thüc t¸, câ kh¡nhi·u ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa b i to¡n trong tr÷íng hñp cho ph÷ìngtr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè khæng phö thuëc thíi giannh÷ ph÷ìng ph¡p tüa £o [7], ph÷ìng ph¡p ph÷ìng tr¼nh Sobolev [4],ph÷ìng ph¡p b i to¡n gi¡ trà bi¶n khæng àa ph÷ìng [3] Tuy nhi¶n,theo chóng tæi ÷ñc bi¸t, câ r§t ½t c¡c cæng tr¼nh nghi¶n cùu v· ph÷ìngtr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian V¼ trongtr÷íng hñp n y, ta khæng câ cæng thùc biºu di¹n t÷íng minh nghi»m cõa
b i to¡n n¶n vi»c gi£i quy¸t c¡c v§n · °t ra l phùc t¤p hìn
V o n«m 1963, Tikhonov ([12]) ¢ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p ch¿nhhâa c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh nêi ti¸ng Ph÷ìng ph¡p n y ùng döng
÷ñc cho nhi·u b i to¡n °t khæng ch¿nh kh¡c nhau ¸n n«m 1974, Joel
2
Trang 3N Franklin ([5]) ¢ ¡p döng th nh cæng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa cõaTikhonov cho ph÷ìng tr¼nh parabolic vîi h» sè khæng phö thuëc thíigian Tuy nhi¶n, cho ¸n nay, v¨n ch÷a câ nh to¡n håc n o ùng döng
th nh cæng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov cho ph÷ìng tr¼nh parabolicvîi h» sè phö thuëc thíi gian
Tr¶n cì sð c¡c k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành ¢ ÷ñc cæng bè trong b ib¡o [3], chóng tæi muèn sû döng ph÷ìng ph¡p cõa Tikhonov º ch¿nhhâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian
v ÷a ra c¡c ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p Vîi möc ½ch nh÷ vªy,chóng tæi lüa chån · t i sau cho Luªn v«n cõa m¼nh l : "Ch¿nh hâaph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëcthíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov"
Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v T i li»u tham kh£o, Luªn v«n gçm
câ hai ch÷ìng, ÷ñc tr¼nh b y theo bè cöc sau:
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc bê trñ
Ch÷ìng n y nh¬m möc ½ch tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸nnëi dung Ch÷ìng 2, cö thº l tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· to¡n tû tuy¸nt½nh, ¤o h m Frechet v sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert
Ch÷ìng 2 Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gianvîi h» sè phö thuëc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p TikhonovCh÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành trong
b i b¡o [3] Sau â, chóng tæi · xu§t ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa b i to¡nb¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov vîi c¡c ¡nh gi¡ sai sè kiºu Holder
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh, tªn t¥mcõa th¦y gi¡o, TS Nguy¹n V«n ùc v sü gióp ï cõa c¡c th¦y cæ gi¡otrong tê Gi£i t½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc Vinh còng vîi gia ¼nh v b¤n b± T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y gi¡o, TS Nguy¹nV«n ùc - ng÷íi ¢ d nh cho t¡c gi£ sü quan t¥m gióp ï tªn t¼nh v chu ¡o trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh Luªnv«n
Trang 4Cuèi còng, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban chõ nhi»m khoa To¡n,c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ trang bà nhúngki¸n thùc v kinh nghi»m bê ½ch cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªpt¤i tr÷íng, xin c£m ìn tªp thº lîp CH19 - To¡n ¢ t¤o måi i·u ki»ngióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh Luªn v«n cõam¼nh.
V¼ thíi gian khæng nhi·u v kh£ n«ng cõa b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶nLuªn v«n chc h¯n s³ khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mongnhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n
Ngh» An, n«m 2013
T¡c gi£
Trang 5MËT SÈ KIN THÙC BÊ TRÑ
1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n
a To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Banach
1.1.1 ành ngh¾a ([2]) Cho X v Y l c¡c khæng gian Banach thüc
1 nh x¤ A : X → Y ÷ñc gåi l to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u
A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R
2 To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y l bà ch°n n¸u
kAk := sup{kAukY|kukX 6 1} < ∞
b To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Hilbert
1.1.2 ành ngh¾a ([2]) Cho H l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îngh., i
1 Gi£ sû A : H → H l to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n, khi â to¡n tû
A∗ : H → H thäa m¢n hAu, vi = hu, A∗vi , ∀u, v ∈ H ÷ñc gåi l to¡n
tû li¶n hñp cõa A
2 A ÷ñc gåi l to¡n tû tü li¶n hñp n¸u A∗ = A
1.1.3 ành ngh¾a ([2]) 1 Hai ph¦n tû u, v ∈ H ÷ñc gåi l trüc giaon¸u hu, vi = 0
2 Mët cì sð ¸m ÷ñc {wk}k>1 ⊂ H ÷ñc gåi l mët cì sð trüc chu©n,
hwk, wli = 0, (k, l = 1, 2, , k 6= l),
kwkk = 1, (k = 1, 2, )
Trang 62 Kþ hi»u S l f0
(x0) hay Df(x0) v gåi l ¤o h m cõa f t¤i x0
S ∈ L(E, F ) thäa m¢n (1.1) l duy nh§t
Chùng minh Thªt vªy, gi£ sû T ∈ L(E, F ) công thäa m¢n (1.1) Khi
â, S v T l ¤o h m cõa f t¤i x0 ∈ Ω n¶n ta câ
kf (x0 + h) − f (x0) − S(h)k = o(khk)
Trang 7kthk =
ktS(h) − tT (h)k
|t|khk =
kS(h) − T (h)kkhkvîi ∀t ∈ R, t 6= 0 Suy ra
kS(h) − T (h)kkhk = limt→0
kS(th) − T (th)k
kthk = 0.
Do â kS(h) − T (h)k = 0 i·u n y câ ngh¾a l S(h) = T (h), ∀h 6= 0.Suy ra S(h) = T (h), ∀h ∈ E Vªy S ≡ T
Nh÷ vªy n¸u f kh£ vi tr¶n Ω ta câ ¡nh x¤ f0
: Ω → L(E, F ) cho bði
Trang 9Mët c¡ch têng qu¡t, n¸u f = S \ Ω, Ω ⊂ E1 × × En l tªp mð cán
S ∈ L(E1, , En; F ) th¼ f kh£ vi t¤i måi (x1, , xn) ∈ Ω v
Trang 10Do â (αf + βg)0
(x0) = αf0(x0) + βg0(x0).(ii) º chùng minh gf kh£ vi t¤i x0 ta c¦n chùng minh
Trang 111g(x0 + h) − 1
g(x0 + h) − g(x0)g(x0 + h)g(x0) − g
Trang 12g(y) − g(y0) = g0(y0)(y − y0) + ψ(y − y0) (1.6)vîi lim
kψ(f (x) − f (x0))kk(x − x0)k
Trang 131.3 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert
1.3.1 ành ngh¾a ([1]) 1 Gi£ sû X l khæng gian tuy¸n t½nh ànhchu©n tr¶n tr÷íng K Kþ hi»u X∗ = L(X, K) l tªp t§t c£ c¡c phi¸m
h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X v gåi X∗ l khæng gian li¶n hñp thù nh§tcõa X
2 Mët d¢y c¡c ph¦n tû {xn} cõa X hëi tö m¤nh ¸n ph¦n tû x0 v vi¸t
xn → x0 khi n → ∞, n¸u kxn− x0k → 0 khi n → ∞
3 Ta nâi d¢y {xn} ⊂ X hëi tö y¸u ¸n x0 ∈ X, n¸u ∀f ∈ X∗ câ
f (xn) → f (x0) khi n → ∞ Ta kþ hi»u d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n x0 bði
xn * x0
1.3.2 Nhªn x²t 1 Måi d¢y hëi tö m¤nh trong khæng gian tuy¸n t½nh
ành chu©n X ·u hëi tö y¸u i·u ng÷ñc l¤i khæng óng
2 Giîi h¤n cõa mët d¢y hëi tö y¸u l duy nh§t
3 N¸u X l khæng gian húu h¤n chi·u v xn * x th¼ xn → x
4 N¸u M l mët tªp compact trong X, d¢y {xn} ⊂ M v xn * x th¼
xn → x
5 Måi d¢y hëi tö y¸u ·u bà ch°n
6 N¸u xn * x th¼ kxk 6 lim inf kxnk
Chùng minh 1 Gi£ sû {xn} l d¢y trong X hëi tö ¸n x ∈ X Vîi méi
f ∈ X∗, v¼ f li¶n töc n¶n ta câ f(xn) → f (x) khi n → ∞ Vªy xn * x
i·u ng÷ñc l¤i câ thº xem V½ dö 1.3.4
Trang 14Do â, |f(x) − f(y)| = 0, ∀f ∈ X∗, hay f(x) = f(y), ∀f ∈ X∗.
Suy ra f(x − y) = 0, ∀f ∈ X∗
Gi£ sû x − y 6= 0 Khi â, theo h» qu£ cõa ành lþ Hahn - Banach, tçnt¤i g ∈ X∗ sao cho kgk = 1, g(x − y) = kx − yk 6= 0 i·u n y m¥u thu¨nvîi kh¯ng ành ð tr¶n Vªy x − y = 0, hay x = y
3 Gi£ sû X l khæng gian k chi·u tr¶n tr÷íng K câ mët cì sð trüc chu©n
l {e1, e2, , ek} Vîi måi x ∈ X, ta câ x = Pk
4 Gi£ sû xn khæng hëi tö m¤nh ¸n x, khi â ∃ > 0 : kxn k− xk > , ∀k
Do M l tªp compact n¶n tçn t¤i mët d¢y con {xnki} hëi tö m¤nh ¸n
y v y = x Khi â, ta câ sü m¥u thu¨n ε 6 kxn
ki − xk → 0, khi i → ∞.Vªy xn → x
5 Gi£ sû d¢y {xn} hëi tö y¸u trong X Khi â, ∀f ∈ X∗, d¢y f(xn) =
xn(f ) hëi tö trong K n¶n nâ bà ch°n, ngh¾a l hå (xn)n∈N bà ch°n
iºm Theo nguy¶n lþ Banach-Steinhaus, d¢y {xn} bà ch°n ·u, ngh¾a
N¸u x 6= 0 th¼ theo h» qu£ cõa ành lþ Hahn - Banach, tçn t¤i phi¸m h m
f ∈ X∗ sao cho kfk = 1 v kxk = hx, fi = limn→∞hxn, f i 6 lim inf
n→∞ kxnk.1.3.3 ành ngh¾a ([11]) Cho X l mët khæng gian Hilbert vîi t½ch væh÷îng h·, ·i Ta nâi d¢y (ϕn) trong X hëi tö y¸u tîi ϕ ∈ X v vi¸t ϕn * ϕkhi n → ∞ n¸u
hϕn, ψi → hϕ, ψi, khi n → ∞vîi måi ψ ∈ X
Trang 15N¸u φ l mët giîi h¤n y¸u kh¡c cõa d¢y ϕn th¼ hϕ − φ, ψi = 0 vîi måi
ψ ∈ X Chån ψ = ϕ − φ ta câ ϕ = φ, ngh¾a l giîi h¤n y¸u cõa d¢y x¡c
ành duy nh§t
Tø b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta suy ra sü hëi tö m¤nh k²o theo
sü hëi tö y¸u i·u ng÷ñc l¤i khæng óng V½ dö sau ¥y s³ chùng minh
i·u n y
1.3.4 V½ dö Gi£ sû H l khæng gian Hilbert thüc væ h¤n chi·u, {en :
n ∈ N} l mët h» cì sð trüc chu©n ¸m ÷ñc trong H Khi â, d¢y {en}khæng hëi tö m¤nh nh÷ng hëi tö y¸u
Chùng minh Thªt vªy, ∀ m, n ∈ N∗, m 6= n, ta câ
|ha, eni|2 hëi tö n¶n |ha, eni| → 0khi n → ∞ Suy ra ha, eni →
0 khi n → ∞, hay f(en) → 0 = f (0) khi n → ∞, ∀ f ∈ H∗ Vªy d¢y{en} hëi tö y¸u tîi ph¦n tû 0
1.3.5 ành lþ ([11]) Gi£ sû X l mët khæng gian Hilbert Khi â
1 N¸u d¢y (ϕn) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X v d¢y (ψn) hëi tö m¤nh ¸n
ψ ∈ X th¼ d¢y sè (hϕn, ψni) hëi tö ¸n hϕ, ψi
2 N¸u d¢y (ϕn) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X v d¢y (kϕnk) hëi tö ¸n kϕkth¼ d¢y (ϕn) hëi tö m¤nh ¸n ϕ ∈ X
Chùng minh 1 Theo gi£ thi¸t, d¢y (ϕn) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X n¶n (ϕn)
Trang 16bà ch°n, do â ∃M > 0 : kϕnk 6 M, ∀n ∈ N Khi â ta câ
| hϕn, ψni − hϕ, ψi | 6 | hϕn, ψni | − | hϕn, ψi | + | hϕn, ψi | − | hϕ, ψi |
2 Ta câ kϕn−ϕk2 = hϕn− ϕ, ϕn − ϕi = kϕnk2−hϕn, ϕi−hϕ, ϕni+kϕk2
Tø gi£ thi¸t lim
n→∞hϕn, ϕi = hϕ, ϕi = lim
n→∞hϕ, ϕni v lim
n→∞kϕnk = kϕk,chuyºn qua giîi h¤n ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc lim
n→∞kϕn − ϕk = 0 Vªy
ϕn → ϕ
1.3.6 ành ngh¾a ([1]) Phi¸m h m ϕ(x) x¡c ành tr¶n X ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i iºm x0 n¸u vîi måi d¢y {xn} m xn * x0, ta
câ ϕ(x0) 6 lim inf ϕ(xn)
Phi¸m h m ϕ(x) ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi y¸u, n¸u nâ nûa li¶n töcd÷îi y¸u t¤i måi iºm trong mi·n x¡c ành cõa nâ
1.3.7 M»nh · ([11]) 1 N¸u T ∈ L(X, Y ) th¼ T li¶n töc y¸u, ngh¾a l n¸u ϕn * ϕ th¼ T (ϕn) * T (ϕ) khi n → ∞
2 N¸u ϕn * ϕ th¼ lim sup
n→∞
kϕnk> kϕk, ngh¾a l chu©n nûa li¶n töc d÷îiy¸u
Chùng minh 1 Gi£ sû ϕn * ϕ Khi â, vîi b§t ký ψ ∈ Y ta câ
hT ϕn, ψi = hϕn, T∗ψi → hϕ, T∗ψi = hT ϕ, ψi
Trang 171.3.8 ành lþ ([11]) Måi d¢y bà ch°n ·u câ d¢y con hëi tö y¸u.
Chùng minh Gi£ sû {ϕn}n∈N l mët d¢y b§t ký trong X sao cho kϕnk 6 l
v {ej : j ∈ N}l mët h» trüc chu©n ¦y õ trong X := span{ϕn : n ∈ N}.V¼ hϕn, e1i l mët d¢y bà ch°n n¶n tçn t¤i d¢y con hëi tö hϕn 1 (k), e1i V¼
hϕn1(k), e2i bà ch°n n¶n tçn t¤i d¢y con n2(k)cõa n1(k) sao cho hϕn 2 (k), e2ihëi tö Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y ta thu ÷ñc d¢y con nl(k) vîi måi l ∈ N
sao cho hϕn l (k), eli hëi tö v nl+1(k) l d¢y con cõa nl(k) Gi£ sû d¢y
hϕnl(l), eki hëi tö tîi ξk n o â thuëc C khi l → ∞, vîi måi k ∈ N Khi
2, vîi l > L
Tø b§t ¯ng thùc tam gi¡c v b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ
|hϕ − ϕnl(l), ψi| 6 vîi l > L
1.3.9 ành ngh¾a ([11]) Tªp con K cõa khæng gian Hilbert X ÷ñc gåi
l âng y¸u n¸u nâ chùa c¡c giîi h¤n y¸u cõa måi d¢y hëi tö y¸u trong
Trang 18CHNH HÂA PH×ÌNG TRNH PARABOLIC NG×ÑCTHÍI GIAN VÎI H SÈ PHÖ THUËC THÍI GIAN BNG
¡nh gi¡ ên ành ¢ ÷ñc chùng minh trong b i b¡o [3]
2.1 Giîi thi»u b i to¡n
Gi£ sû H l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h·, ·i v chu©n k · k,A(t) (0 6 t 6 T ) : D(A(t)) ⊂ H → H l to¡n tû khæng bà ch°n, tü li¶nhñp, x¡c ành d÷ìng tr¶n H Gi£ sû f ∈ H v l mët sè d÷ìng chotr÷îc X²t b i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíigian u : [0, T ] → H thäa m¢n
ut + A(t)u = 0, 0 < t < T,ku(T ) − f k 6 (2.1)Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, b i to¡n n y °t khæng ch¿nh [8, 9] Do â, mëtph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ên ành v hi»u ch¿nh b i to¡n ¢ ÷ñc · xu§ttrong [13]
Trong [3], c¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh r¬ng n¸u u(t) l nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh ut + A(t)u = 0, 0 < t < T th¼ tçn t¤i h m khæng ¥m ν(t)tr¶n [0, T ] sao cho
18
Trang 19ku(t)k6 cku(T )kν(t)ku(0)k1−ν(t), ∀t ∈ [0, T ]vîi c l h¬ng sè d÷ìng cho tr÷îc Trong Luªn v«n n y, chóng tæi ùngdöng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov cho b i to¡n (2.1).
2.2 ¡nh gi¡ ên ành
Trong ph¦n n y, º ti»n theo dãi, chóng tæi tr¼nh b y l¤i ành lþ 2.5trong b i b¡o [3]
2.2.1 ành lþ ([3]) Gi£ sû r¬ng
(i) A(t) l to¡n tû tü li¶n hñp vîi méi t;
(ii) N¸u tçn t¤i nghi»m u(t) thuëc v o mi·n cõa A(t) sao cho
Lu = du
dt + A(t)u = 0, 0 < t ≤ T,th¼ vîi c¡c h¬ng sè khæng ¥m k, c ta câ
−d
dthA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − c h(A(t) + k)u(t), u(t)i
Chån a1(t) l mët h m kh£ t½ch Riemann tr¶n [0, T ], sao cho a1(t) 6
Khi â, vîi måi t ∈ [0, T ], ta câ
ku(t)k6 ekt−kT ν(t)ku(T )kν(t)ku(0)k1−ν(t) (2.3)
Trang 202.3 Ch¿nh hâa b i to¡n
Trong ph¦n n y, chóng ta °t c¡c gi£ thi¸t cho to¡n tû A(t) nh÷ sau(xem [14, pp 134135])
(H1) Vîi 0 6 t 6 T, phê cõa A(t) ÷ñc chùa trong mët mi·n h¼nhqu¤t
σ(A(t)) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |argλ| < ω}, 0 6 t 6 T, (2.4)vîi gâc ω cè ành sao cho 0 < ω < π
2, v gi£i thùc thäa m¢n ¡nh gi¡
k(λ − A(t))−1k6 M
|λ|, λ 6∈ Σω, 0 6 t6 T, (2.5)vîi h¬ng sè M > 1 n o â
(H2) Mi·n x¡c ành D(A(t)) ëc lªp vîi t v A(t) kh£ vi li¶n töc m¤nh(xem [10, p 15])
(H3) Vîi måi t ∈ [0, T ], A(t) l mët to¡n tû khæng bà ch°n, tü li¶nhñp, x¡c ành d÷ìng v n¸u u(t) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Lu =du
dt + A(t)u = 0, 0 < t 6 T, th¼ tçn t¤i h¬ng sè khæng ¥m k, h m sèkh£ t½ch Riemann tr¶n [0, T ], a1(t) sao cho
−d
dthA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − a1(t) h(A(t) + k)u(t), u(t)i (2.6)2.3.1 Nhªn x²t N¸u c¡c gi£ thi¸t (H1) − (H2) ÷ñc thäa m¢n th¼ tçnt¤i h¬ng sè N > 0 sao cho
kA(t)(A(t)−1 − A(s)−1)k 6 N |t − s|, 06 s, t 6 T (2.7)Chùng minh i·u ki»n (2.4) k²o theo A(t) câ to¡n tû ng÷ñc bà ch°n tr¶n
H (xem [14, p 135]) M°t kh¡c, ta câ
kA(t)(A(t)−1−A(s)−1)k = k−(A(t)−A(s))A(s)−1k = k(A(t)−A(s))A(s)−1k.V¼ A(t) kh£ vi li¶n töc m¤nh, theo Bê · 4.7.1 trong Tanabe [10, p 108],A(t)A(s)−1 kh£ vi li¶n töc m¤nh trong (t, s) ∈ [0, T ] × [0, T ] Do â, theo
ành lþ Banach-Steinhaus, tçn t¤i h¬ng sè N > 0 sao cho
k(A(t) − A(s))A(s)−1k 6 N |t − s|, 06 s, t 6 T
Trang 21i·u n y k²o theo (2.7).
º hi»u ch¿nh (2.1), theo Fritz John [6], ta °t i·u ki»n bà ch°n chou(0) T÷ìng tü, trong ph¦n n y ta gi£ thi¸t r¬ng tçn t¤i mët h¬ng sèd÷ìng E sao cho
Chóng ta hi»u ch¿nh b i to¡n (2.1), (2.8) b¬ng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâaTikhonov Ta x²t b i to¡n sau
vt + A(t)v = 0, 0 < t < T, v(0) = v0 (2.9)chån v0 sao cho kv(T ) − ϕk2 + ε
E
kv(0)k2 ¤t cüc tiºu (2.10)2.3.2 ành lþ B i to¡n (2.9) °t ch¿nh
Chùng minh V¼ A(t) (0 6 t 6 T ) thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t (2.4),(2.5) v (2.7), theo ành lþ 3.9 trong [14, p 147], tçn t¤i to¡n tû U(t, 0) (0 6 t6
T ) tuy¸n t½nh, bà ch°n tr¶n H v U(0, 0) = I sao cho n¸u v(t) l nghi»mcõa b i to¡n vt + A(t)v = 0, 0 < t6 T, th¼ v(t) = U(t, 0)v(0)
Ta kþ hi»u ω(t, v) l nghi»m cõa b i to¡n
B i to¡n (2.11) °t ch¿nh v ta muèn sû döng nghi»m cõa (2.11) º x§px¿ tîi nghi»m cõa (2.1) Möc ½ch cõa chóng ta l cüc tiºu hâa phi¸m