Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán Parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHBÙI THỊ NGỌC HÂN CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRÊN MIỀN BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ NGỌC HÂN

CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

TRÊN MIỀN BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ NGỌC HÂN

CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 2

LỜI NÓI ĐẦU 3

1 Kiến thức liên quan 6 1.1 Các không gian hàm 6

1.1.1 Không gian Banach 6

1.1.2 Không gianLp (1 p 1) 7

1.1.3 Không gian Hilbert 9

1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz 11

1.1.5 Khai triển sin Fourier trên L2(0; ) 11

1.2 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa 12

1.2.1 Bài toán chỉnh 12

1.2.2 Bài toán không chỉnh 12

1.3 Một số bổ đề cần thiết 12

2 Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa 14 2.1 Tính ổn định của phương pháp điều chỉnh 15

2.2 Kết quả chỉnh hóa 16

2.3 Ví dụ minh họa 20

KẾT LUẬN 24

TÀI LIỆU THAM KHẢO 25

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Phạm Hoàng Quân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy vì đãtận tình chỉ dạy tác giả những kiến thức trong học tập và nghiên cứu khoa học.Tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô phòng Sau đại học và khoa Toán - trườngĐại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô bộ môn Giải tích; cùng với các thầy cô khoaToán - Ứng dụng - Đại học Sài Gòn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trongsuốt thời gian học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè và các bạn học viênlớp Giải tích K20 đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình họctập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời giannên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong được sự đóng góp của quýthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, ngày 23 tháng 5 năm 2014

Tác giả

LỜI NÓI ĐẦU

Trong quá trình phát triển các ngành khoa học ứng dụng, các nhà khoa học rấtcần sự hỗ trợ của một công cụ quan trọng đó là toán học Ở một số ngành, lĩnh vựcnghiên cứu như xử lý ảnh, khoa học vật liệu, thủy động học, địa chất học, các điềukiện hay dữ liệu ban đầu thường không được biết trước mà phải xác định nó khi đãbiết điều kiện cuối cùng Do đó, bài toán parabolic ngược thời gian là một bài toánđược khảo sát khá nhiều trong lý thuyết truyền nhiệt Đây là một bài toán đặt khôngchỉnh vì tính không ổn định nghiệm Trên thực tế, dữ liệu được thu thập qua việc đođạc và sau đó được xử lý qua máy tính hay một số thiết bị hỗ trợ Chính quá trìnhnày đã tạo ra những sai số của dữ liệu, mặc dù rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệtrất lớn của nghiệm Vì vậy, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệmchỉnh hóa ổn định cho bài toán Và hơn nữa, chúng ta cần đưa ra các ước lượng đểđánh giá được tốc độ hội tụ của sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác

Do vậy, chúng tôi chọn luận văn với đề tài: "Chỉnh hóa và ước lượng sai số bàitoán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn".Mục đích của luận văn là thông qua việc nghiên cứu một bài báo về chỉnh hóa vàước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian, trình bày một cách hệ thống vàchứng minh chi tiết các kết quả liên quan đến vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báochứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa

Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương

Chương 1: Kiến thức liên quan

Trong chương này chúng tôi trình bày các ký hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh,bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa; không gian các hàm và tích phân Lebesgue; bấtđẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz; khai triển sin Fourier cùng với một số bổ đềcần thiết cho việc chứng minh các định lý ở chương 2

Chương 2: Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa

Đây là kết quả chính của luận văn, gồm ba phần

Phần 1: Trình bày tính ổn định của phương pháp điều chỉnh

Phần 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số của bài toán bằng phương pháp điều chỉnh.Phần 3: Trình bày một ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa

Ta xét bài toán ngược cho phương trình tuyến tính không thuần nhất như sau

ut(x; t) a (t) uxx(x; t) = f (x; t) ; (x; t)2 (0; ) (0; T ) ; (1)

u (0; t) = u ( ; t) = 0; t 2 [0; T ] ; (2)

u (x; T ) = g (x) ; x2 [0; ] ; (3)trong đó a (t) là hàm số thỏa mãn điều kiện tồn tại p; q > 0 sao cho

0 < p a (t) q: (4)

Đã có rất nhiều bài báo liên quan đến bài toán ngược cho phương trình parabolic(trong các tài liệu [3]-[6]) Trong tài liệu [7], các tác giả đã giới thiệu phương pháp tựakhả nghịch (QR method) Họ chỉnh hóa bài toán bằng cách thêm số hạng hiệu chỉnhvào phương trình chính Cụ thể, họ nghiên cứu bài toán sau

ut+ Ku K Ku = 0;

u (x; T ) = g (x) :Chúng ta thấy rằng bài toán trên có thể áp dụng được nếu chúng ta xây dựng toán

tử liên hợp K Trên thực tế, chúng ta có bài toán xấp xỉ khác có tính ứng dụng hơnbài toán trong [8] và [9] đó là

ut+ Ku Kut = 0;

u (x; T ) = g(x):

Mặt khác, năm 1983, Showalter đã đưa ra phương pháp tựa giá trị biên (QBVmethod) Sử dụng phương pháp này, tác giả đã chỉnh hóa bài toán bằng cách thêm sốhạng hiệu chỉnh vào điều kiện cuối Áp dụng phương pháp này, Dense và Bessila [4] đãdùng điều kiện cuối như sau

u(x; T ) ux(x; 0) = g (x) :Như đã nói ở trên, có rất nhiều công tình nghiên cứu về bài toán parabolic ngượcvới hệ số hằng nhưng các bài báo liên quan đến hệ số phụ thuộc thời gian thì rất hiếm.Gần đây, trong tài liệu [10], các tác giả nghiên cứu bài toán ngược cho phương trìnhtruyền nhiệt (với hệ số hằng) và ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệmchính xác như sau

ku (:; t) u (:; t)k C Tt; t > 0

Dễ thấy rằng sai số ước lượng trên tiến về 0 rất chậm khi t thuộc một lân cận của

0 Tuy nhiên, trong [11], bằng cách thêm một số điều kiện của f và nghiệm chính xácu; các tác giả cũng cải thiện phương pháp (dùng trong [11]) để đạt được kết quả ướclượng sai số tốt hơn [10]

ku (:; t) u (:; t)k T1 1 +p

M e

3L2T T 21 (T t) 2

Chương 1

Kiến thức liên quan

1.1 Các không gian hàm

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vector X trên R được gọi là một không gian địnhchuẩn nếu tồn tại một ánh xạ k:k : X ! R thỏa mãn

i) kxk 0;8x 2 X và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

ii) k xk = j j kxk ; 8 2 R; x 2 X;

iii) kx + yk kxk + kyk ; 8x; y 2 X:

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X;k:k) :

Dãy xn trong X là dãy Cauchy nếu 8 > 0; 9N 2 N sao cho kxn xmk < ;8n; m N :

Dãy xn trong X được gọi là hội tụ về x0 2 X, ký hiệu là xn ! x0 khi n ! 1;nếu lim

n!1kxn x0k = 0:

Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩnX được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchyđều hội tụ trong X:

1.1.2 Không gian Lp (1 p 1)

Cho ( ; M; ) là một không gian đo, trong đó là một tập hợp không rỗng, M làmột - đại số trên và là một độ đo dương trên M Gọi L( ) là tập các hàm khảtích và với f 2 L( ) ; ký hiệu Z

f d

chỉ tích phân củaf trên theo độ đo :

Một hàm số được gọi là đơn giản nếu tồn tại hữu hạn tập đo đượcAi 2 M và hữuhạn số thực i 2 R; i = 1; 2; :::; n, sao cho

Định lý 1.1.5 (hội tụ đơn điệu) Cho(fn) là một dãy tăng các hàm trong L( ) saocho

Ta có f 2 L( ) và

Z

jfn fj d ! 0 khi n ! 1:

Định nghĩa 1.1.7 Cho ( ; M; ) là một không gian đo với độ đo dương và 1

p 1: Đặt Lp( ; ) là không gian các hàm đo được f xác định trên sao chojfjp 2 L( ) và đặt

1 p

p 1; 1p +1q = 1: Ta có f g 2 L1( ; ) và

Zjfgj d kfkpkgkq:

Trong luận văn này, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức H¨older với trường hợpf; g 2

f g , f = g h.h trên ;

với f; g2 Lp( ) :

Rõ ràng là một quan hệ tương đương Khi đó, không gian thương Lp( ) = được

ký hiệu là Lp( ) và với f 2 Lp( ) ; đặt

f p =kfkp:Định lý 1.1.12 k:kp là chuẩn trong Lp( ) ; (1 p 1) : Vậy Lp (1 p 1) làkhông gian định chuẩn

Định lý 1.1.13 Lp( ) ; với 1 p 1; là các không gian Banach

1.1.3 Không gian Hilbert

Cho H là một không gian vectơ trên R: Một tích vô hướng trên H là một phiếmhàm song tuyến tính, đối xứng, xác định dương

h:; :i : H H ! R

(x; y) 7! hx; yii) h x + x0; yi = hx; yi + hx0; yi ; với mọi ; 2 R; x; x0; y 2 H;

ii) hx; y + y0i = hx; yi + hx; y0i ; với mọi ; 2 R; x; x0; y 2 H;

iii) hx; yi = hy; xi ; với mọi x; y 2 H; và

iv) hx; xi 0; với mọi x 2 H và hx; xi = 0 , x = 0:

Từ tích vô hướng nêu trên, với x2 H; đặt

b) Bất đẳng thức tam giác Với mọi x; y 2 H;

jx + yj jxj + jyj :c) Đẳng thức hình bình hành Với mọi x; y 2 H;

x + y2

2

+ x y2

2

= 1

2 jxj2+jyj2 :Đặc biệt, j:j là một chuẩn trên H và do đó H trở thành một không gian định chuẩn

và là một không gian metric với metric sinh bởi chuẩn Nếu không gian metric nàyđầy đủ, ta gọiH là một không gian Hilbert

Ta quy ước về việc dùng ký hiệu j:j thay cho ký hiệu k:k để chỉ chuẩn sinh bởi tích

vô hướng trên một không gian vectơ

Trong các định nghĩa và định lý tiếp theo ta xét H là một không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.14 Chox; y 2 H: Nếu < x; y >= 0 ta nói rằng x trực giao với y và

ký hiệu x? y:

Định nghĩa 1.1.15 Cho fuigi2I là một họ vectơ trong H Ta nói fuigi2I là một họtrực chuẩn nếu và chỉ nếu < ui; uj >= ji;8i; j 2 I Ở đây, ji là số Kronecker, nghĩalà

fi 2 I : xi 6= 0g là một tập quá đếm được và

i) x =P

i2I

xiui;ii) P

i2Ijxij2 =kxk2:

Định nghĩa 1.1.18 Cho là tập con của Rn đo được, với f; g 2 L2( ), ta đặt

1

:Khi đó, không gian L2( ) là một không gian Hilbert

Mệnh đề 1.1.19 Trong không gian HilbertL2(0; ) với hệ trực chuẩn đầy đủf'n(x)g :Cho u2 L2(0; ), khi đó u = P1

n=1hu; 'n(x)i 'n(x), ta cóChuỗi

n=1

yk2

!:

1.1.5 Khai triển sin Fourier trên L2(0; )

Cho hàm f 2 L2(0; ) : Đặt

~

f (x) = f (x) nếu 0 < x <

f ( x) nếu < x < 0thì ~f 2 L2(0; ) ; ta có các hệ số Fourier

là sin Fourier

1.2 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự

chỉnh hóa

1.2.1 Bài toán chỉnh

Định nghĩa 1.2.1 (Tính chỉnh) Cho X và Y là các không gian định chuẩn, K :

X ! Y là một ánh xạ Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu các điều kiện sauthỏa mãn:

1 Tính tồn tại: với mọi y2 Y , có ít nhất một x 2 X sao cho Kx = y:

2 Tính duy nhất: với mọi y2 Y , có nhiều nhất một x 2 X sao cho Kx = y:

3 Tính ổn định: nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, tức là với mọi dãy(xn) Xsao cho Kxn! Kx suy ra xn ! x:

1.2.2 Bài toán không chỉnh

Bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa mãn ít nhất một trong ba điềukiện của bài toán chỉnh

b:

Bổ đề 1.3.1 đã được chứng minh

Bổ đề 1.3.2 ([2]) Choa (t) là hàm số thỏa mãn (4) và t2 [0; T ] ; 0 < < 1: Khi đó,với m > 0 ta có

e m2R0ta(s)ds

+ e m 2 R T

0 a(s)ds

qt pT q

p:Chứng minh Từ Bổ đề 1.3.1, suy ra

2.1 Tính ổn định của phương pháp điều chỉnh

Định lý sau đây chứng minh tính ổn định của phương pháp điều chỉnh được đưa

ra trong luận văn

Định lý 2.1.1 ([2]) Giả sử u (g) và u (h) là hai nghiệm được định nghĩa trong (2.3)lần lượt ứng với các giá trị cuối g và h thuộc L2(0; ) Khi đó, ta có

1

X

m=1

e m2F (t)+ e m 2 F (T )(gm hm)

2

2qt pT 2q

p kg hk2:

Từ đó, ta có

ku (g) (:; t) u (h) (:; t)k pTqt

q

pkg hk :Định lý 2.1.1 đã được chứng minh

Q + M Chứng minh Từ (2.3), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu

Do đó, từ (2.6) và (2.8), ta có

ku (g ) (:; t) u (:; t)k ku (g ) (:; t) u (gex) (:; t)k + ku (gex) (:; t) u (:; t)k

qt pT q

p + qTptp

Q + M :Cho ( ) = pq, ta có ước lượng sau

ku (g ) (:; t) u (:; t)k pq

qt pT q p

Q + M

C1

p2t q2T;trong đó C1 = 1 +p

Q + M :Định lý 2.2.1 đã được chứng minh

Cuối cùng, chúng tôi đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác của (1)-(2) vànghiệm chỉnh hóa trong định lý sau

Định lý 2.2.2 ([2]) Cho 2 (0; T ), g , gex 2 L2[0; ] và u là nghiệm chính xác củabài toán (1)-(3) sao cho tồn tại một số dương 2 (0; qT ) thỏa mãn

Vậy, từ (2.6) và (2.9), ta có

ku (g ) (:; t) u (:; t)k ku (g ) (:; t) u (gex) (:; t)k + ku (gex) (:; t) u (:; t)k

qt pT q

p + qTA2:Cho = q(T + )pT , ta thu được kết quả ước lượng sau

ku (g ) (:; t) u (:; t)k q(T + )pT

qt pT q p

+ q(T + )pT qT A2

= T +t+ + A2

p q2(T + ):Định lý 2.2.2 đã được chứng minh

Nhận xét 2.2.3 ([2]) Trong Định lý 2.2.1, chúng ta dễ dàng thấy được sai số ướclượng giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa làC1

p2t q2T: Khi đó, nếu t dần về thờiđiểm t = 0 thì sai số ước lượng tiến về 0 rất chậm Đặc biệt, nếu t = 0 thì nghiệmchỉnh hóa có thể không hội tụ về nghiệm chính xác Để cải thiện vấn đề này, chúng tôichọn tham số chỉnh hóa khác là = q(T + )pT (trong Định lý 2.2.2) và đạt được sai sốtốt hơn trong Định lý 2.2.1

Nhận xét 2.2.4 ([2]) Trong Định lý 2.2.2, ta cần điều kiện để khai triển um(t) và

ta xem như giả thiết 2 P1

a (t) = 2t + 1; f (x; t) = sin t sin x

et 2 +t : (2.10)

Nghiệm chính xác của bài toán là

uex(x; t) = cot t sin x

et 2 +t : (2.11)Khi đó

uex(x; 0) = sin x: (2.14)Xét dữ liệu đo sau

Hình 2.1: Nghiệm chính xác uex(:; t) và nghiệm chỉnh hóa u i(g i) (:; t) ; i = 1; 2:

Hình 2.2: Nghiệm chỉnh hóa ui(gi) (:; t) ; i = 3; 4; 5:

Hình 2.3: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm ban đầu t = 0:

Hình 2.1 và Hình 2.2 miêu tả nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm

t = 0:

Trong Hình 2.3, ta có thể thấy đường cong0 biểu diễn nghiệm chính xác trùng vớicác đường cong i biểu diễn nghiệm chỉnh hóa ứng với "i; i = 3; :::5:

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây:

1 Trình bày kết quả chỉnh hóa bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thờigian bằng phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh, và ước lượng sai số giữanghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác của bài toán trong Định lý 2.1.1, Định lý2.2.1 và Định lý 2.2.2

2 Trình bày một ví dụ số trong mục 2.3 để minh họa các định lý chỉnh hóa trongbài toán

Tài liệu tham khảo

[1] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh (2011),Giáo trình Giải tích hàm, NXB ĐHQG TP.HCM

[2] L M Triet, P H Quan, D D Trong, N H Tuan (2013), A backward parabolicequation with a time-dependent coefficient: Regularization and error estimates,Journal of Computational anh Applied Mathematics, 237, 432-441

[3] C L Fu, Z Quian, R Shi (2007), A modified method for a backward heat tion problem, Appl Math Comput, 185, 564-573

conduc-[4] M Denche, K Bessila (2005), A modified quasi-boundary value method for ill-posedproblem, J Math Anal Appl, 301, 419-426

[5] D N Hao, N T Thanh, H Sahli (2009), Splitting-based conjugate gradient methodfor a multi-dimensional linear inverse heat conduction problem, J Comput Appl.Math, 232 (2), 361–377

[6] H Han, D Yin (2003), A non-overlap domain decomposition method for theforward–backwardheat equation, J Comput Appl Math, 159 (1), 35–44

[7] G W Clark, S F Oppenheimer (1994), Quasireversibility methods for non-wellposed problems, Electron J Differential Equations, (8), 1–9

[8] S M Alekseeva, N I Yurchuk (1998), The quasi-reversibility method for the lem of the control of an initial condition for the heat equation with an integralboundary condition, J Differential Equations, 34 (4), 493–500

prob-[9] Y Huang, Q Zhneg (2004), Regularization for ill-posed Cauchy problems ciated with generators of analytic semigroups, J Differential Equations, 203 (1),38–54.

asso-[10] D D Trong, P H Quan, T V Khanh, N H Tuan (2007), A nonlinear case of the1-D backward heat problem: regularization and error estimate, Z Anal Anwend,

26 (2) 231–245

[11] D D Trong, P H Quan, N H Tuan (2009), A quasi-boundary value method forregularizing nonlinear ill-posed problems, Electron J Differential Equations, (109)1–16