chỉnh hóa tikhonov cho bài toán giải chập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Hoàng Yến CHỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Hoàng Yến CHỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí minh - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Những nội dung luận văn tự thực hướng dẫn trực tiếp Gs.Ts Đặng Đức Trọng Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng ghi cụ thể phần tài liệu tham khảo Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2014 Học viên Hồ Hoàng Yến LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tất quý Thầy Cô tận tình giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quan trọng suốt thời gian học khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn Gs.Ts Đặng Đức Trọng, người tận tình hướng dẫn, động viên, lo lắng, giúp đỡ vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn Tôi vô biết ơn ba mẹ bên tôi, động viên, khích lệ, chăm lo cho để có điều kiện tốt vật chất lẫn tinh thần học tập sống Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để xem xét góp ý cho điểm thiếu sót để rút kinh nghiệm cho luận văn cho trình học tập sau Rất mong nhận bảo quý báu quý Thầy Cô đóng góp chân thành quý bạn đọc Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2014 Học viên Hồ Hoàng Yến MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Không gian đo - Tích phân Lebesgue 12 1.2 Biến số ngẫu nhiên 15 1.3 Không gian định chuẩn 21 p 1.4 Không gian L , 1p < +∞ 22 1.5 Không gian Hilbert 23 1.6 Biến đổi Fourier 25 1.7 Không gian Sobolev 28 1.8 Bài toán không chỉnh 31 1.9 Tính không chỉnh toán giải chập 32 Chương PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV 38 2.1 Bổ đề 2.1.1 39 2.2 Định lý 2.2.1 42 2.3 Định lý 2.3.1 43 Chương CHẶN TRÊN VÀ CHẶN DƯỚI CỦA SAI SỐ XẤP XỈ 45 3.1 Chặn sai số xấp xỉ 47 3.2 Chặn sai số xấp xỉ 51 3.3 Chứng minh bổ đề 3.1.1 54 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Thống kê phi tham số phương pháp thống kê không dựa yếu tố tham số hóa phân bố xác suất Các yếu tố bao gồm số liệu thống kê dựa mô tả suy luận Thống kê phi tham số giống thống kê đơn mà ta biết, có thông số đặc trưng: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn Tuy nhiên, không giống thống kê có tham số, thống kê phi tham số không giả định hay đặt điều kiện phân bố xác suất biến ngẫu nhiên đánh giá Thống kê phi tham số thường sử dụng rộng rãi nhằm nghiên cứu đối tượng để đưa đánh giá mang tính chất phân cấp xếp đối tượng Phương pháp phi tham số hữu ích liệu nghiên cứu dù xếp lại rõ ràng mặt số học Nếu xét mức độ đo lường, phương pháp phi tham số thường cho liệu có thứ tự Tích chập phép toán liên quan sử dụng nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật đặc biệt toán học Trong toán học, đặc biệt lý thuyết xác suất, phân phối xác suất tổng hai biến ngẫu nhiên tích chập hai phân phối xác suất hai biến ngẫu nhiên Trong việc ước lượng mật độ hạt nhân, hàm phân phối ước lượng dựa điểm mẫu phép tích chập với hạt nhân Giải chập thuật ngữ việc giải phương trình tích chập Một phương trình tích chập thường có dạng f * g = h Thông thường h hàm có trước, f hàm cần tìm sau giải phương trình tích chập, nhiên f lại có quan hệ chặt chẽ xác định với g Nếu biết g , dạng g ta dễ dàng giải phương trình tích chập để tìm f Nếu ta hàm g , ta sử dụng phương pháp ước lượng thống kê nhằm ước lượng hàm g Phương trình tích chập sử dụng nhiều lĩnh vực kỹ thuật điện, phương trình vi tích phân, xử lý ảnh xử lý tín hiệu, thị giác máy tính đặc biệt thống kê việc ước lượng hàm mật độ biến ngẫu nhiên rời rạc Bài toán giải chập thường toán không chỉnh Các phương pháp để giải toán chưa nghiên cứu nhiều Gần đây, nhiều tác giả quan tâm việc ước lượng hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên độc lập phân phối đồng X , X , , X n từ mô hình Y j = X j + Z j , biến ngẫu nhiên không khảo sát sai số, phân phối hàm mật độ xác suất g độc lập với X j Bài toán biết đến toán giải chập thống kê phi tham số Một phương pháp phổ biến để giải toán phương pháp ước lượng hạt nhân Phương pháp đề cập đến báo Stefanski Carroll [18], Fan [15], [16], Goldenshluger [6] Tuy nhiên, dạng Fourier g ft ( t ) hàm mật độ g báo thường giả định khác với t ∈  , điều kiện không tự nhiên số trường hợp Trường hợp nhận giá trị đề cập đến vài báo Ta biết toán giải chập toán không chỉnh cần phải chỉnh hóa Trong lý thuyết toán không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa thường dùng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong luận văn này, làm rõ ý báo Tikhonov's regularization to Deconvolution problem tác giả Đặng Đức Trọng, Cao Xuân Phương, Trương Trung Tuyến Đinh Ngọc Thanh (trong [14] phần tài liệu tham khảo) trường hợp đề cập Trong báo này, tác giả quan tâm đến việc ước lượng hàm mật độ f biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối đồng X , X , , X n dựa biến ngẫu nhiên trực tiếp Y1 , Y2 , , Yn từ mô hình Y j = X j + Z j với j = 1,2, , n (1) Ở Z j biến ngẫu nhiên không quan sát sai số, phân phối hàm mật độ g độc lập với biến X j Chúng ta biết h hàm mật độ xác suất Y j có quan hệ h = f * g, (2) kí hiệu * biểu thị tích chập hai hàm f g , +∞ ( f * g )( x ) = ∫ f ( x − t ) g ( t ) dt −∞ Ta biểu diễn biến đổi Fourier hàm f +∞ f ft ( t ) = ∫ f ( x ) eitx dx, t ∈  (3) −∞ Đặt NZg = {t ∈  : g ft ( t ) ≠ 0} Thông thường, biết h , áp dụng biến đổi Fourier cho hai vế (2) để có f ft h ft = ft với t ∈ NZg , g (4) sau sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta tìm f Đây toán cổ điển giải tích Trong thực tế, hàm mật độ h , có biến khảo sát Y j , j = 1, , n Bài toán tìm ngược lại hàm f từ biến khảo sát Y j phân phối phụ thuộc vào h gọi toán giải chập thống kê hay ngắn gọn toán giải chập Phương trình (2) phương trình tích phân việc giải (2) toán không chỉnh điển hình Một toán giải chập cụ thể toán hội tụ Để chứng minh toán giải chập hội tụ, tồn dãy xấp xỉ f n cho lim f n ( ;Y1 , , Yn ) − f X n→+∞ = 0, X không gian Banach thích hợp Thực tế, trường hợp đơn giản NZg =  Trong trường hợp này, có nhiều phương pháp để xây dựng ước lượng f n ( x;Y1 , , Yn ) Như đề cập trên, ước lượng hạt nhân cách tiếp cận phổ biến để nói toán giải chập Trong phương pháp này, ta xấp xỉ hàm mật độ f ước lượng fn ( x ) = 2π +∞ ∫e −∞ − itx K ft ( tb ) n itY j ∑e dt , g ft ( t ) n j =1 (5) K hàm hạt nhân K ft có giá compact Phương pháp lần đầu giới thiệu báo Stefanski Carroll [18], Fan[15],[16] Ước lượng (5) biết đến hàm mật độ hạt nhân giải chập tiêu chuẩn Chúng ta ý ước lượng (5) có ý nghĩa g ft ( t ) ≠ với t ∈  , điều kiện NZg =  trở thành điều kiện phổ biến cho đề tài giải chập Thực chất, điều kiện g thường thỏa { g ft ( t ) C (1 + t ) exp −C0 t −α g }, C , C0 > 0,α0, γ 0 α + γ > Tương tự, trường hợp biến ngẫu nhiên hai chiều, Goldenshluger [6] giả định ft g ( t ) C exp {−C0t } , ∀v > t v Tuy nhiên, có nhiều hàm mật độ quan trọng không thỏa NZg =  , ví dụ hàm mật độ g đoạn [ −a, a ] , a > , hàm mật độ tự tích chập tích chập hàm mật độ tùy ý với hàm mật độ Bài toán giải chập trường hợp NZg ≠  khó Theo biết, có vài báo đề cập đến trường hợp Bài báo xem xét vấn đề Devroye [17] Tính hội tụ lập theo chuẩn không gian L1 (  ) Sử dụng kỹ thuật chặt cụt, ông xây dựng ước lượng f n hội tụ hàm mật độ cần tìm f dạng Fourier g ft bị triệt tiêu tập có độ đo Lebesgue không,   K ( th ) n itY j   Re  ∫ e − itx ft e dt  , x < t , ∑ g t n f n ( x;Y1 , , Yn ) =  2π ( ) =1 j A  r   , x Kt ,  { } Ar = t ∈ < : g ft ( t ) < r , r > 0, h > , dạng Fourier hàm hạt nhân K ft có giá compact [ −c, c ] , c > Tuy nhiên, tỉ lệ hội tụ không nói đến báo Trong báo Meister [8], hàm mật độ toán giải chập xem xét trường hợp hàm mật độ cần tìm f chứa FS ,C ,β - lớp hàm mật độ thỏa S ∫ f ( x ) dx = −S +∞ ∫ f ft (t ) (1 + t ) β −∞ dtC , với S , C , β > mà hàm mật độ sai số thuộc vào gu ,v - lớp hàm mật độ thỏa g ft ( t ) u với t ∈ [ −v, v ] MISE ( f n , f ) =  f n − f L2 (  ) g ∞ C Tỉ lệ hội tụ ( MISE :sai số trung bình bình phương tích phân) phụ thuộc vào lớp định nghĩa cho f g đạt đến lượng ( ( ln n ) −2 β (1−δ ) ( ln ln n ) 2β ) với δ ∈[0,1) Tỉ lệ có kích Với ε > , ta đặt     sε = inf  s > : ∫ g ( t ) dtε  t >s     (26) 3.1 Chặn sai số xấp xỉ Bổ đề 3.1.1 q> Cho s0 > , λ ∈ (1,2 ) , M1 , T > , β ∈ ( 0,1) , cho g ∈s ,g ,M ,T hàm mật độ biến sai số ngẫu nhiên Với ε > đủ nhỏ, chọn Rε thỏa   1 β + ) 2eseee R  q +  ln R + ln (15e3 )  = − ln ( ee     (27) Nếu ε > đủ nhỏ − q+ m  B β 2 Rε ,  ε , Rε  B β ε , Rε { Định lý 3.1.1 αβ < , v = } = t ∈ < : g ft ( t ) < ε β , t < Rε Cho s0 > , γ ∈ (1,2 ) , α ∈ ( 0,1) , β ∈ ( 0,1) , 1 + αβ cho KK1 , M1 , T > , q > Chọn ε = n −α , δ = n − v ký hiệu f n ( x ) = Lδ , g ( x;Y1 , , Yn ) Chúng ta có đánh giá   sup  f n − f g∈s ,g , M ,T  f ∈q , K  sup q − +  2    g s ( )  C3  ln ( nα )  30 ( 2q + 1) e    ( 47 ) L2 (  )  1  1  −  − q +  2  2 g      ( + ln ( nα ) ) v −1 α   ,   Với n ∈  đủ lớn, C3 > phụ thuộc vào q , K , T Chứng minh Cho f ∈ q , K g ∈s ,g , M ,T ∫ f ft (t ) t > Rε dt ∫ Ta có Kdt t > Rε (1 + t ) q  ∫ t > Rε Kdt t 2q K − q + 12  Rε 2q − Với ε > đủ nhỏ Kết hợp với định lý \ref{th2.3} bổ đề \ref{lm3.1}, ta có  Lδ , g − f L2 (  )  K  − q + 12 δ   C1  + + + R   ε 2q −  ε β nδ    − q+ δ   C2  Rε + β +  , ε nδ   (28)  2K  cho ε > đủ nhỏ, C2 = C1  + 2q −   Hơn nữa, với ε > đủ nhỏ, từ (38) ta có ước lượng −q + 2  γ − q+ s ( )  Re 2   30 ( 2q + 1) e        ln  e       1  1  −  − q +  2  2 γ  Do  Lδ , g q − +    1  1 2 −  − q +      ( s0 )g   ln    2g   + δ +  − f  C2      ee 4β L () nδ      30 ( 2q + 1) e     Thay ε = n −α , δ = n − v vào vế phải đẳng thức trên, ta có q − +  2    γ s ( )   f n − f L2 (  ) C2  ln ( nα )  30 ( 2q + 1) e    ( với n ∈  đủ lớn 48 )  1  1  −  − q +  2  2 γ    v −1 + 2n    Hơn nữa, ta có n v −1 = (n α ) v −1 α (  ln ( n α )) v −1 Do đó, ta α q − +   2  γ s ) (   f n − f L2 (  ) C2  ln ( nα )    30 ( 2q + 1) e    ( )  1  1  −  − q +  2  2 γ  ( + ln ( n ) α ) v −1 α      với n ∈  đủ lớn Vì f ∈ q , K g ∈s ,g , M ,T C1 , ta có { } 2 max 1; f ft ; g ft L () L () 2π   +∞ Kdt   max 1;2π ∫ ;2π T   q 2π −∞ (1 + t )   = (29) Vì vậy, với n ∈  đủ lớn, ta có  fn − f L2 (  ) q − +  2    γ s ( )  ln ( nα )  C3   30 ( 2q + 1) e    v −1  α +2 ln ( n ) α  ,  ( ( )  1  1  −  − q +  2  2 γ  (30) )   +∞  2K  Kdt   C3 = 2+ max 1;2π ∫ ;2π T    q 2π  2q −  −∞ (1 + t )   Ta ý vế phải (30) độc lập với f g Do q − +   2    g s ( )  ln ( nα ) sup  sup E f n − f L2 (  ) C3      g∈s ,g , M ,T f ∈q , K  30 ( 2q + 1) e      ( Ta có điều phải chứng minh 49 )  1  1  −  − q +  2  2 g  ( + ln ( nα ) ) v −1 α      Trong trường hợp hàm mật độ sai số g có giá compact, có kết sau Định lý 3.1.2 Nhận giả thiết định lý 3.1.1 Hơn nữa, ta giả sử hàm mật độ g có suppg ⊂ [ − L, L ] , suppg giá g Thì   sup  f n − f g∈s ,g , M ,T  f ∈q , K  sup q − +    2  ln ( nα ) C3    30 L ( 2q + 1) e   ( ) L2 (  ) 1   − q+  4      ( + ln ( n α )) v −1 α  ,   số C3 > , phụ thuộc o q , K , T Chứng minh Với ε > , từ định nghĩa sε (26), ta nhận ∫ g ( t ) dtε t sε Hơn nữa, từ tính chất chặn lớn nhất, ta có ∫ η g ( t ) dt > ε t sε − η > , nghĩa ∫ g ( t ) dtε t sε Do ∫ g ( t ) dt = ε t sε Nếu sε > L ∫ g ( t ) dt = , điều mâu thuẫn t sε Do sε L với ε > đủ nhỏ Từ (34), với ε đủ nhỏ, ta có 50 với 1 1   ln   + ln   1− β   15 L ( 2q + 1) e  β  ee  1+  1  ln   30 L ( 2q + 1) e  e  Re2  Điều kéo theo − q+ Re     + 30 L q e ( )   q − +     ln      e  q − + Do đó, kết hợp với chứng minh định lý 3.1.1, ta có  Lδ , g q q − +   − + 2 4     1 δ   − f C3  + 4β +    ln  ee L ()  30 ( 2q + 1) e  nδ         Thay ε = n −α , δ = n − v , ta nhận q − +     ln ( nα )  f n − f L2 (  ) C3    30 ( 2q + 1) e   ( ) q − + ( + ln ( n α )) v −1 α     Ta chứng minh xong định lý Do đó, từ định lý 3.1.1, ta thấy sai số trung bình bình phương tích phân ước lượng đạt đến tốc độ logarit Định lý sau cho thấy tốc độ logarit tránh khỏi 3.2 Chặn sai số xấp xỉ Định lý 3.2.1 Cho s0 > , γ ∈ (1,2 ) , KK1 , M1 , T > 1 , q> 2 m số nguyên lớn q Khi đó, với δ > đủ nhỏ, ta có  sup  sup  Lδ , g − f g∈s ,g , M ,T  f ∈q , K  51  4− m    −2 m K  ln  δ   L2 (  )  p m     Chứng minh − x2 e Hàm g ∈s ,g ,M ,T có Ta xét hàm mật độ g = 2π g 0ft ( t ) = e − t2 Với hàm mật độ ψ ( x ) = e − x phân phối Laplace (xem trang 35, phần 2.4 [7]), hàm f0 = ψ *ψ * *ψ  m hàm mật độ Hàm có f ft ( t ) = (ψ ft (t )) m = (1 + t ) m Từ biểu thức f ft ( t ) = (1 + t ) 2m  K  (1 + t ) (1 + t ) m q Ta có f ∈ q , K Ta ký hiệu Hδ =   sup  Lδ , g − f g∈s ,g , M ,T  f ∈q , K  sup L2 (  )     Từ 2.1.6 bổ đề 2.1.1, với f ∈ q , K g ∈s ,g , M ,T +∞ , ta có +∞ 1 ft = varLft, g ( t ) dt +  Lddd , g − f L2  ∫ ∫ L , g ( t ) − f ( ) 2π −∞ 2π −∞  2π = 2π +∞ ∫ Ld ( t ) − f ( t ) ft ,g ft dt −∞ +∞ ∫ f ft (t ) −∞ Do 52 d2 (d + g ft (t ) ) 2 dt ft (t ) dt H ddd K sup  L , g − f K L , g − f K 2p = 2p K 2p = p L () f ∈q , K +∞ f0 ( t ) ∫ ft −∞ +∞ d2 (d + g ft (t ) d2 ∫ (1 + t ) 2m −∞ (d + e ) −t 2 ) 2 e − t d (1 + t ) 2m +∞ (d + e ) −t d2 ∫ 1 ln   d  (1 + t ) 2m (d + e ) −t L2 (  ) dt dt d2 ∫ 2 dt dt (31) Khi đó, ta có đánh giá Hd  4π +∞ ∫   (1 + t ) ln 2m dt   d   4π (32) +∞ ∫ 1 ln   d  2t (1 + t ) 2 m +1 dt Bằng cách tính toán trực tiếp ta nhận    Hδ  + ln     8π m   δ  −2 m 4− m      ln   8π m   δ   −2 m , với δ > đủ nhỏ Định lý chứng minh Chọn δ = n −υ với υ = 1 + αβ , α ∈ ( 0,1) , β ∈ ( 0,1) , αβ < 4 định lý 3.1.1 ký hiệu f n ( x ) = Lδ , g ( x;Y1 , , Yn ) , ta nhận Hệ 3.2.1 Cho giả thiết định lý 3.1.1 định lý 53 3.2.1 Thì  sup  sup E f n − f g∈s ,g , M ,T  f ∈q , K  L2 (  )  4− m −2 m u ln ( n ) ) K (  8p m  với n ∈  đủ lớn 3.3 Chứng minh bổ đề 3.1.1 Để ước lượng độ đo Lebesgue tâp mức, ta dùng kết (xem định lý 4, phần 11.3 [12]) Bổ đề 3.3.1 Cho f ( z ) hàm giải tích đĩa { z : z 2eR} , f ( ) = cho η số dương nhỏ tùy ý Thì  15e3  ln f ( z ) > − ln   ⋅ ln M f ( 2eR )  η  nơi đĩa { z : z R} , ngoại trừ tập đĩa ( D j ) với tổng bán kính ∑r η R , j M f ( r ) = max f ( z ) z =r Sử dụng bổ đề này, trình bày việc xác định chứng minh ước lượng tập mức Định lý 3.3.1 Cho hàm mật độ g biến ngẫu nhiên sai số thuộc Gs ,γ , M ,T , s0 > , λ ∈ (1,2 ) , M1 , T > cho β ∈ ( 0,1) , q > Với ε > đủ nhỏ, ta chọn sε (26) chọn Rε thỏa 1   β (33) 2eseee R  q +  ln R + ln (15e3 )  = − ln ( ee + ) 2   Thì limRε = +∞ ε →0 54 Hơn ε đủ nhỏ, ta có ( m Dβ Dβ ε +ε ε +ε )2R − q+ ε , } { = z ∈ < : Φε ( z ) < ε β + ε , z < Rε , với Φe ( z ) = se ∫ g (t ) e zt − se dt , z ∈ − Chứng minh Phần chứng minh chia thành bước Bước 1, ta chứng minh tồn Rε chứng minh limRε = +∞ Ở bước 2, ta ( ước lượng m D β ε +ε ε →0 ) Bước Ta xét hàm  1     β + ) , R0 ψ ( R ) = 2ese R  q +  ln R + ln (15e3 )  + ln ( ee Ta có ψ ( R ) → +∞ R → +∞ ψ ( R ) → ln ( ε β + ε ) < R → , với ε > đủ nhỏ Do tồn Rε > cho ψ ( Rε ) = nghĩa Rε thỏa (33) Cũng từ (33), ta nhận   ln  β  +  se  ee Theo bất phương trình ln x ≤ x , với x > , ta có 1   ln   + ln   β  ee + 1− β    Re  15e ( 2q + 1) se ln (15e3 R ) ( 2q + 1) eRee Từ định nghĩa sε (26) ta nhận ∫ t sε (34) g ( t ) dt = ε Do Me g g +∞ g − s0 seee − s0 s − s0 s s0 t g ( ) e ( ) ∫e −∞ g ( t ) dte Bất phương trình cuối khẳng định 55 ( ) ∫ s tg t se e0 g ( t ) dte    M sε     ln   s0    ε Từ (34) (35), ta có γ   γ  s ( 0) Re2  15e ( 2q + 1)  β      γ (35)     ( 0) 1    M   γγ   M   ln    ee  ln            1  ln   ln  1− β  ee  + s γ ⋅ 1+ (36) Vì   ln      ε  lim  ε →0 γ   M    ln      ε   1  −   M   2γ  :  ln     = +∞ ε       Ta nhận 1 ln   ε    M    ln    ε   M  γ      ln  ε      với ε > đủ nhỏ 1 − 2γ (37) , Hơn từ 1 ln   ε    ln  1− β   + ε  = 0, = và +∞ lim lim 1 ε →0 ε →0 γγ   M    M   ln  ε    ln  ε         ta có Re2 ( s0 )γ  M ln   30 ( 2q + 1) β e   e  ( s0 )γ    ln   30 ( 2q + 1) e   e   với ε > đủ nhỏ 56  2   1 − 2γ − 2γ (38) Từ bất đẳng thức (38), ta nhận Rε → +∞ ε → Bước Ta thấy Φε hàm nguyên, tức hàm phức giải tích  , Φe ( z ) = see s ∫ g (t ) e zt dt  ∫ g ( t ) e dte zt z se − see −s , z ∈ − (39) Vì g hàm mật độ nên hàm g ft hàm không tầm thường L1 (  ) Do đó, Φε hàm nguyên không tâm thường, tồn x0 ∈  cho Φ ε ( x0 ) = C4 > Đổi biến cần, ta giả định Φε ( ) = ε > đủ nhỏ Với z = 2eRe , từ 39, ta nhận Φe ( z ) e 2esee R thỏa   ≡ ln  max Φ ( z ) 2es R ln M Φ ( 2eReeee ) e  z =2 eRe  − q− Ta chọn ηε = Rε Khi đó, với z Rε , áp dụng bổ đề 3.3.1, ta có đánh giá     15e3    Φee ( z )  exp − ln  − q−  ln M Φe ( 2eR ) R     e       1  exp −2eseee R  q +  ln R + ln (15e3 )   2    β + = ee ngoại trừ tập đĩa − q+ ηε Rε = Rε Dβ ε +ε {D ( z , r )} j j j∈J mà tổng bán kính nhỏ Điều nghĩa { } ( ) ≡ z ∈ đủ nhỏ Vậy ta hoàn thành bước hoàn thành phần chứng minh định lý Cuối cùng, ta quay trở lại chứng minh bổ đề 3.1.1 Với ε > , ta đặt  g (t ), gε ( t ) =  0, t sε , t > sε Ta thấy gεft ( x ) = Φε ( ix ) với x ∈  Với x ∈  , ta có ge ( x ) − g ft se ft ( x ) = ∫ g (t ) e − se +∞ itx dt − ∫ g ( t ) eitx dt ∫ −∞ t se Do đó, g ft ( x ) < ε β , x < Rε gεft ( x ) < ε β + ε Điều hàm ý Φε ( ix ) < ε β + ε Áp dụng định lý 3.3.1 ta nhận ( ) − q+ m  B β m D β 2 Rε , ε +ε  ε , Rε  với ε > đủ nhỏ Ta chứng minh xong bổ đề 58 g ( t ) dt = e KẾT LUẬN Phương trình tích chập có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt thống kê phi tham số Luận văn giới thiệu toán ước lượng hàm mật độ f biến ngẫu nhiên X i từ mô hình Yi = X i + Z i , với i = 1, n Z i biến ngẫu nhiên phân phối hàm mật độ g Nếu h hàm mật độ Yi ta có quan hệ h = f * g Thông thường, biết h ta áp dụng biến đổi Fourier hai vế để f ft h ft = ft g Khi đó, sử dụng Fourier ngược ta tìm hàm f Tuy nhiên việc giải toán giải chập nêu toán không chỉnh Luận văn tập trung trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để chỉnh hóa cho toán giải chập Qua đó, luận văn trình bày tốc độ hội tụ đưa chặn chặn sai số xấp xỉ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết tích phân, Nxb Giáo Dục Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân Phạm Hoàng Quân (2009), Biến đổi tích phân, Nxb Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Hoàng Nguyên (2005), Luận văn Thạc sĩ: Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập, Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm Đinh Ngọc Thanh (2011), Giáo trình Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh Đinh Ngọc Thanh Đặng Đức Trọng, Lý thuyết độ đo xác suất, (Tài liệu lưu hành nội bộ) TIẾNG ANH A Goldenshluger (2002), Density Deconvolution in the Circular Structural Model, Journal of Multivariate Analysis 81, tr.360-375 A Meister (2009), Deconvolution Problems in Nonparametric Statistics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg A Meister (2007), Deconvolving Compactly Supported Densities, Mathematical Methods of Statistics, Vol 16, No 1, tr.63-76 A Meister (2005), Non-estimability in spite of identifiability in density deconvolution, Mathematical Methods of Statistics, Vol 14 No 4, tr.479-487 10 A Delaigle and A Meister (2011), Nonparametric function estimation under Fourier oscillating noise, Statistics Sinica 21, tr.1065-1092 11 A Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, SpringerVerlag, New York 12 B Y Levin (1996), Lectures on Entire Functions, Trans Math 60 Monographs, Vol 150, AMS, Providence, Rhole Island 13 D D Trong and T T Tuyen (1 Oct 2006), Error of Tikhonov’s regularization for integral convolution equation, http://arxiv.org/abs/math/0610046, Version 14 D D Trong, C X Phuong, T T Tuyen and D N Thanh (2012), Tikhonov’s regularization to deconvolution problem, Communication in Statistics: Theory and Method, 43:4384-4400, 2014 15 J Fan (1991), On the optimal rates of convergence for nonparametric deconvolution problems, The Annals of Statistics, Vol 19, No 3, tr.1257-1272 16 J Fan (1991), Asymptotic normality for deconvolution kernel density estimators, Sankhya 53, tr.97-110 17 L Devroye (1989), Consistent Deconvolution in Density Estimation, The Canadian Journal of Statistics, No 2, tr.235-239 18 L Stefanski and R Carroll (1990), Deconvoluting Kernel Density Estimators, Statistics 21, tr.169-184 19 P Groeneboom and G Jongbloed (2003), Density estimation in the uniform deconvolution model, Stat Neerlandica 57, tr.136-157 20 P Hall and A Meister (2007), A ridge-parameter approach to deconvolution, The Annals of Statistics, Vol 35, No 4, tr.1535-1558 21 R Carroll and P Hall (1988), Optimal Rates of Convergence for Deconvolving a Density, Journal of American Statistical Association, Vol.83, No 404, tr.1184-1186 61 [...]... ∞ ) , thì xn → x khi n → ∞ Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì được gọi là bài toán không chỉnh Định nghĩa 1.8.2 (Sơ đồ chỉnh hóa) Sơ đồ chỉnh hóa là họ các toán tử tuyến tính bị chặn Rα : Y → X ,α > 0, sao cho limRα Kx = x với mọi x ∈ X , tức là các toán tử Rα K hội tụ điểm α →0 về toán tử đồng nhất 1.9 Tính không chỉnh của bài toán giải chập Xét phương trình f * g = h,... đo, biến đổi Fourier, bài toán không chỉnh Ngoài ra trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh tính không chỉnh của bài toán giải chập và từ đó đưa ra yêu cầu phải chỉnh hóa trong chương 2, sau đó đánh giá sai số xấp xỉ trong chương 3 Chương 2: Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và việc sử dụng nó để đưa ra một xấp xỉ cho hàm mật độ xác... trong L2 (U ) sao cho n f , v = ∫ f v + ∑ f i vx dx 0 i =1 U 1.8 Bài toán không chỉnh Định nghĩa 1.8.1 Cho ( X , ⋅ X ) i và (Y , ⋅ Y ) là hai không gian định chuẩn K : X → Y là một ánh xạ Bài toán Kx = y được gọi là chỉnh nếu nó thỏa các tính chất sau a) Tính tồn tại: với mọi y ∈ Y tồn tại (ít nhất một) x ∈ X sao cho Kx = y b) Tính duy nhất: với mọi y ∈ Y tồn tại nhiều nhất một x ∈ X sao cho Kx = y c)... xét bài toán giải chập trong trường hợp dạng Fourier của phân phối sai số nhận giá trị 0 trên đường thẳng thực, không chỉ trên một số hạn chế đặc biệt trong NZg Sử dụng các tính chất của các hàm nguyên và một vài kết quả của giải tích điều hòa, chúng tôi xem xét các tập dưới mức của phân phối sai số Bằng cách ước lượng độ đo Lebesgue trên các tập dưới mức của hàm g ft và kết hợp với phép chỉnh hóa Tikhonov, ... xác định Ta sẽ xem xét bài toán này có thỏa yêu cầu của một bài toán chỉnh hay không Mệnh đề 1.9.1 Cho X , Y là không gian Banach, F : X → Y là ánh xạ tuyến tính, liên tục, đơn ánh Nếu ImF ≠ Y và ImF = Y thì F −1 không 32 liên tục Chứng minh Từ giả thiết ImF ≠ Y suy ra tồn tại y ∈ Y \ ImF và tồn tại { yn } ⊂ ImF sao cho yn → y khi n → ∞ Với mọi yn ∈ ImF , tồn tại xn ∈ X sao cho yn = F ( xn ) Nên... có điểm cuối bên trái hữu hạn Trong bài báo của Hall và Meister [20], các tác giả cũng đưa ra một hướng tiếp cận bài toán giải chập trong trường hợp NZg ≠  Để tránh việc chia cho 0 , các tác giả đã sử dụng hàm hn ( t ) = n −ξ t p với ξ > 0, p > 0 và thay g ft bởi cực đại của hai hàm g ft ( t ) với hn ( t ) Hàm hn ( t ) ở trên được gọi là "hàm sóng" Một xấp xỉ cho hàm mật độ f được định nghĩa bởi... gọi là toán tử tự liên hợp Định lý 1.5.4 Cho H là một không gian Hilbert và A là toán tử tự liên hợp trong H Khi đó A = sup { } Ax, x : x 1 = sup { } Ax, x : x = 1 Định lý 1.5.5 Cho H là không gian Hilbert phức và A là toán tử tuyến tính liên tục từ H vào Toán tử A tự liên hợp khi và chỉ khi Ax, x là số thực với mọi x ∈ H 1.6 Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.6.1 Cho f ∈ L1 (  ) , hàm f +∞ f ft ( t )... trong bài báo của ông khi f có giá trên một đoạn [ − S , S ] cố định, nhưng không có sự hội tụ trong trường hợp này Kết quả của bài báo [8] được xây dựng dựa trên sự giả định là hàm mật độ cần tìm có giá compact trong khi giá trị 0 trong biến đối Fourier của hàm mật độ sai số được thừa nhận Cũng tương tự các đề tài trên, trong Groeneboom và Tongbloed [19], các tác giả tập trung xem xét bài toán giải chập. .. tục Toán tử A* được gọi là toán tử liên hợp của A Định lý 1.5.3 Giả sử X , Y , Z là các không gian tuyến tính định chuẩn trên trường  , A, B ∈ A ( X , Y ) và C ∈  (Y , Z ) và λ ∈  Khi đó ta có i) ( A + B ) = A* + B* * ii) ( λ A ) = λ A* * iii) ( C  A ) = A*  C * * Định nghĩa 1.5.4 Cho H là không gian Hilbert và A ∈ A ( H ) Gọi A* là là toán tử liên hợp của A Nếu A* = A thì A được gọi là toán. .. Hilbert Định nghĩa 1.5.3 (Toán tử liên hợp) Cho X , Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và A : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục Toán tử tuyến tính A* : Y * → X * xác định như sau 24 Với mọi y* ∈ Y * ta xác định A* y* như sau A* y* ( x ) = y*  A ( x ) với mọi x ∈ X Khi đó A* y* là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và A* y*  y* A Dễ dàng kiểm tra được A* là toán tử tuyến tính trên ... biết toán giải chập toán không chỉnh cần phải chỉnh hóa Trong lý thuyết toán không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa thường dùng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong luận văn này, làm rõ ý báo Tikhonov' s... PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV Như đề cập phần mở đầu, biết (2) toán không chỉnh yêu cầu phải chỉnh hóa Trong lý thuyết toán không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa thường dùng cho toán giải chập phương... Fourier, toán không chỉnh Ngoài chương chứng minh tính không chỉnh toán giải chập từ đưa yêu cầu phải chỉnh hóa chương 2, sau đánh giá sai số xấp xỉ chương Chương 2: Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov